Тема №8151 Подготовка учащихся к ГИА решение задач на проценты
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Подготовка учащихся к ГИА решение задач на проценты из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Подготовка учащихся к ГИА решение задач на проценты, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Задачи для самостоятельного решения

Задача№3. 1) Число увеличили на 10 %, потом еще на 10 %. На сколько процентов увеличили число за два раза? Ответ : 21%

2) Число увеличили на 10 %, результат уменьшили на 10 %. Какое получилось число — большее или меньшее первоначального? На сколько процентов? Ответ:меньше на 1%

Задача №4. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10 % за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца? Ответ : примерно на 33%

Задача №5. Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь? Зависит ли результат от того, какую пару сторон увеличили на 10 %? Ответ : на 10 %

Задача №6. Каждую сторону квадрата увеличили на 20 %. На сколько процентов увеличилась его площадь? Ответ : 44%

Задача №7. Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие — уменьшили на 20 %. Как изменилась площадь прямоугольника? Ответ :уменьшилась на 4 %

Задача № 8. Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась? Ответ : 25%

 

2.3 Задачи на «высушивание» и «выпаривание»

При решении этих задач надо объяснить учащимся, что все тела, вещества, продукты содержат в себе воду, которая частично испаряет​ся. Поэтому при решении этих задач мы каждый раз разделяем данное нам вещество на воду и «сухой остаток», масса которого не меняется в условиях задачи.

Задача 1. Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влаж​ность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки?

Решение. Заполним таблицу по условию задачи:

 

Масса, в кг

Содержание, в %

вода

сухого вещества

Свежие цветы

8

85

100-85=15

Высушенные

?

20

100-20=20

1)0,15 • 8 = 1,2 кг — масса сухого вещества в 8 кг; 2) 1,2 кг сухого вещества — это 80% массы высушенных цветов, значит, масса высушенных цветов равна 1,2 : 0,8 = 1,5 кг. Ответ: 1,5 кг.

Задача 2. Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг су​хих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах?

Решение. Заполним таблицу по условию задачи:

 

Масса, в кг

Содержание, в %

вода

сухого вещества

Свежие грибы

22

?

 

Сухие грибы

2,5

12

100-12=88

1)​ 2,5 • 0,88 = 2,2 кг — масса сухого вещества;

2)​ 2,2 : 22 • 100 = 10% сухого вещества содержится в свежих грибах;

3) 100 - 10 = 90% воды в свежих грибах. Ответ: 90%.

Задача 3. Свежие яблоки содержат 80% воды, а сушеные 10%. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить 6 кг сушеных?

 

Масса, в кг

Содержание, в %

вода

сухого вещества

Свежие яяяблокигрибы

?

80

100-80=20

Сушёные

6

10

100-10=90

Решение. Если в сушеных яблоках 10% воды, то сухое вещество составляет 90%. Найдем массу сухого вещества в 6 кг сушеных яблок: 6 • 0,9 = 5,4 кг. Та же масса сухого вещества была и в свежих яблоках, и она составляла 20% от их массы. Найдем массу свежих яблок: 5,4 : 0,2 = 27 кг. Ответ: 27 кг.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 4. Если из 10 кг абрикосов получается 8 кг кураги, содержащей 42% воды, то сколько процентов воды содержат свежие абрикосы? Ответ: 53,6%.

Задача 5. В свежих грибах 70% влаги, а в сушеных 10%. Сколько килограм-мов свежих грибов надо собрать для того, чтобы получить 30 кг сушеных?

Ответ: 90кг.

Задача 6. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие -12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22кг свежих грибов? Ответ: 2,5 кг.

Задача 7. На складе хранилось 51 т зерна, влажность которого была 20%. Перед закладкой зерна в зернохранилище его просушили, доведя влажность до 15%. Сколько тонн зерна засыпали в зернохранилище? Ответ: 48т.

Задача 8. Пчёлы перерабатывают цветочный нектар в мёд, освобождая его от воды. Нектар обычно содержит 84% воды, а полученный из него мёд -20%. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчёлам для полу-чения одного килограмма мёда? Ответ: 48т.

Задача, обратная предыдущим

Задача 9. Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит 12% воды. На сколько килограммов увеличится масса одной добытой тонны угля после того, как она две недели пролежит на воздухе?

Эта задача обратна предыдущим, здесь влажность угля увеличива​ется за счет поглощения влаги из воздуха.

Решение. Заполним таблицу по условию задачи:

 

Масса, в т

Содержание, в %

 

 

воды

сухого вещества

Было

1

 

2

100-2=98

Стало

?

12

100-12-88

1)​ 1000 • 0,98 = 980 кг — сухого вещество в добытом угле;

2)980 кг — это 88%, 980 : 0,88 =1114 кг — масса угля после двух недель пребывания на воздухе;

3)1114 - 1000 = 114 кг — увеличение массы одной добытой тонны угля.

Ответ: на 114 кг.

Задачи, решаемые другими способами

Задача 10. Трава при высыхании теряет около 28% своей массы. Сколько было накошено травы, если из нее было получено 1,44 т сена?

Решение. Заполним таблицу по условию задачи:

 

Масса, в т

Содержание, в %

Трава

Х

100

10-2

Сено

1,44

100-28=72

100-12

Зависимость прямо пропорциональная. Составим и решим пропорцию

__Х___ = 100 , откуда Х=1,44*100 = 2т

1,44 72 72 Ответ: 2т.

Задача 11(выпаривание). Имеется 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды. После выпаривания получили массу, содержащую 25% целлюло-зы. Сколько килограммов воды было выпарено?

Решение. Пусть выпарили х кг воды.

Заполним таблицу по условию задачи:

 

С, %

М,кг

т,кг

Было

100-85

500

500 0,15

Стало

25

500-х

(500 - х) .0,25

Составим и решим уравнение: 500 0,15 = (500 - х) 0,25,0,25х = 50, откуда

х = 200 Ответ: 200 кг.

2.4 Решение задач на смеси и сплавы.

Текстовые задачи на смеси и сплавы при всей их кажущейся простоте часто вызывают проблемы. Говоря о смесях, растворах и сплавах будем употреб-лять термин «смесь» независимо от её вида ( твёрдая, жидкая, сыпучая, газо-образная). Смесь состоит из основного вещества и примеси. Что такое основ- ное вещество в каждой задаче определяем отдельно.

При решении текстовых задач на смеси постоянно приходится работать со следующими понятиями:

·​ абсолютное содержание вещества в смеси;

·​ относительное содержание вещества в смеси.

Абсолютное содержание вещества в смеси (m) - это количество вещества , выраженное в обычных единицах измерения ( грамм, литр и т. д.)

Относительное содержание вещества в смеси (С) - это отношение абсолют-ного содержания к общей массе ( объёму ) смеси: вещества , выраженное в обычных единицах измерения ( грамм, литр и т. д.)

С= ___m___ Часто относительное содержание называют концентрацией,

M

процентным содержанием или долей основного вещества в смеси. Эта вели-чина может быть выражена либо в долях единицы, либо в процентах.

Для решения задач на смеси и сплавы, на концентрации нужно уметь рассуждать и решать задачи на дроби и проценты, на составление уравнений и их систем. Эти задачи решаются арифметически, применением линейного уравнения и их систем.

Также эти задачи можно решить старинным способом по правилу «крес-та». Составим схему: Пусть смешали два раствора: первый — массой m1, и концентрацией с1, и второй — массой m2 и концентрацией с2, по​лучили раствор массой (m1+m2) и концентрацией с3, причём с1< с3 < с2.

Найдем зависимость масс исходных растворов от их концентраций.

Масса основного вещества в первом растворе равна с1m1, во вто​ром растворе —c2m2а в смеси с3(m1+m2) .

Составим равенство с1m1+ c2m2 = с3( m1+m2) и из него получим:

с1m1 - с3 m1 =с3m2 – с2 m2, откуда следует пропорция m1 = с23

mс31

сс23

c3

 

cс31

2.4.1​ Задачи на определение концентрации смеси

Задача 1. В колбе было 140 г 10%-го раствора марганцовки (перманганата калия). В нее долили 60 г 30%-го раствора марганцовки. Определите

процентное содержание марганцовки в полученном растворе.

Условия задач на смеси удобно записывать в виде таблицы, и надо приучать учащихся к такой записи. Решение. Заполним таблицу по условию задачи

   
 

С

М(г)

m(г)

Было

10%, или 0,1

140

0,1*140

Добавили

30%, или 0,3

60

0,3*60

Стало

?

140 + 60

 
         

1)​ 0,1 • 140 + 0,3 • 60 = 32 г — масса марганцовки в смеси;

2)​ 140 + 60 = 200 г — масса смеси;

32

3) С= *100 = 16% —содержание марганцовки в смеси.

200 Ответ: 16%.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2. К 200 г раствора, содержащего 60 % соли, добавили 300 г раствора, содержащего 50 % той же соли. Сколько процентов соли содержится в полу-чившемся растворе ? Ответ: 54%

Задача 3. К 900 г раствора, содержащего 30 % соли, добавили 300 г раствора, содержащего 90 % соли. Сколько процентов соли содержится в получившем-ся растворе ? Ответ: 45%

Задача 4. К 150 г раствора, содержащего 20 % соли, добавили 350 г раствора, содержащего 40 % соли. Сколько процентов соли содержится в получившем-ся растворе ? Ответ: 34 %.

2.4.2 Задачи на понижение концентрации

Задача 1. Сколько граммов воды нужно добавить к 5%-й йодной настойке массой 100 г, чтобы концентрация йода умень​шилось до 1%?

Решение. Способ I. 1) 100 • 0,05 = 5 г — масса йода в исходном растворе;

2) 5 г — это 1% йода в полученном растворе. Масса полученного раствора составляет 100% и равна 500 г;

3) 500 - 100 = 400 г — столько воды надо добавить. Ответ: 400 г.

Способ II. Пусть надо добавить х г воды. Заполним таблицу по условию за-дачи.

 

С

М(г)

m(г)

Исходный р-р

5%, или 0,05

100

0,05 .100

Вода

0%, или 0

х

 

Полученный р-р

1%, или 0,01

х+100

0,1(х+100)

Так как масса йода не изменилась, то составим уравнение:

0,01(х + 100) = 5, 0,01л: = 4, откуда х = 400. Ответ: 400 г

Задача 2.Сколько граммов 35%-го раствора марганцов​ки надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%?

Решение. Способ I. Решим задачу по правилу «креста». Составим схему: 35 10

10

0 25

Значит, 325 г воды составляют 25 частей, а 35%-й раствор — 10 частей, или 325 : 25 10 = 130 г.

Ответ: 130 г.

Задача 3. Морская вода содержит 5% солей. Сколько килограммов чистой воды нужно добавить к 40 кг морской, чтобы содержание солей в полученном растворе составило 2%?

Решение. Способ I.

1)​ 40 • 0,05 = 2 кг солей в 40 кг морской воды;

2) 2 кг солей — 2% в полученном растворе (100%), 2:2х 100 = = 100 кг — масса полученного раствора;

3) 100 - 40 = 60 кг — масса добавленной воды. Ответ: 60 кг.

Способ II. Содержание солей в новом растворе в 5 = 2,5 раза меньше, чем

2

в исходном. Следовательно, масса нового раствора должна быть в 2,5 раза больше, то есть 40 • 2,5 = 100 кг. Масса добавленной воды равна 100 - 40 = 60 кг. Ответ: 60 кг.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 4.Сироп содержит 18% сахара. Сколько кило​граммов воды нужно до-бавить к 40 кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15%?Ответ: 8 кг.

Задача 5. В морской воде содержится 5% солей. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 55 кг морской для по​лучения 4%-ного раствора.

Ответ: 13,75 кг.

Задача 6. Апельсиновый сок содержит 12% сахара. Сколько килограммов воды

нужно добавить к 5 кг сока, чтобы со​держание сахара стало 8%?Ответ:2,5 кг.

Задача 7. Имеется сплав меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, что​ бы получить сплав, в котором содержится 40% меди? Ответ: 1,5 кг.

2.4.3 Задачи на смешивание растворов разных концентраций

Задача 1. При смешивании 5%-го и 40%-го растворов кислоты получили 140 г 30%-го раствора кислоты. Сколько грамм каждого раствора было взято?

Решение. Способ 1. Пусть взяли х г 5%-го раствора кислоты. Заполним таблицу по условию задачи:

 

С

М, (г)

т,( г)

5%-й

0,05

х

0,05х:

40%-й

0,4

(140-х)

0,4(140 -х)

Смесь

0,3

140

0,3 140

Составим и решим уравнение:

0,05х + 0,4(140 - х) = 0,3 *140, 0,35х=14, х = 40.

Ответ: 40 г 5%-го и 100 г 40%-го.

Способ 2. Пусть взяли х г 5%-го раствора и у г — 40%-го рас​твора. Заполним таблицу по условию задачи:

 

С

М(г)

m(г)

5%-й

0,05

х

0,05х:

40%-й

0,4

у

0,4у

Смесь

0,3

140

0,3*140

Составим и решим систему уравнений:

{

х + у = 140,

 

{

х = 40,

0,05х + 0,4у = 0,3 140,

у = 100.

Ответ: 40 г 5%-го и 100 г 40%-го

Способ 3. Решим задачу по правилу «креста». Составим схему.

5​ 10

30

40​ 25

Значит 140г смеси содержит 10 частей 5% раствора и 25 частей 40% раствора, всего 35 частей.

1)​ 140: 35=4(г) – приходится на одну часть,

2)​ 4*10=40(г)- 5% раствора

3)​  4*25= 100 (г)-40% раствора.

Ответ: 40 г 5%-го и 100 г 40%-го

Задача 2. Один раствор содержит 20% соли, а второй — 70%. Сколько граммов первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 г 50%-го солевого раствора? Ответ: 40 г 20%-го и 60 г 70%-го.

Задача 3. Имеется творог двух сортов Имеется творог двух сортов. Жирный содер​жит 20% жира а нежирный содержит 5% жира. Определите про​цент жирности получившегося творога, если смешали: 2 кг жирного и 3 кг не-жирного творога. Ответ: 11%

Задача 4. Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 12 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти рас​творы смешать, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащей 39% кислоты. Сколько килограммов кисло-ты в каждом растворе?Ответ: в первом — 7,2 кг, во втором — 0,72 кг.

Задача 5. Индийский чай дороже грузинского на 25%. В каких пропорциях нужно смешать индийский чай с грузинским, чтобы получить чай, который дороже грузинского на 20%? Ответ: 4:1

2.4.4 Задачи на повышение концентрации

Задача 1. Сплав массой 36 кг содержит 45% меди. Сколько меди нужно добавить, чтобы новый сплав содержал 60% меди.

Решение. Пусть добавили х кг меди.

 

С

М(кг)

m(кг)

Было

45%, или 0,45

36

36* 0,45

Добавили

 

х

х

Стало

60% или 0,6

36+х

0,6 ( х+36)

 

0,6(х+36)= 36* 0,45+х, 0,4х=5,4, х=13,5 Ответ:13,5 кг

Задача 2. В сплаве олова и меди содержалось 11 кг меди. После того как в сплав добавили 7,5 кг олова, концентрация олова повысилось на 33%. Какова первоначальная масса сплава?

Решение. Пусть первоначальная масса сплава х кг, в нем содержалось 11 кг меди и(х - 11) кг олова. Заполним таблицу по условию задачи:

 

М, кг

т (олова), кг

С, %

 

На 33% меньше

Было

х

х-11

х-11 100%

х

Стало

х + 7,5

х-11 + 7,5 =х-3,5

х-3,5 100%

х+7,5

Составим и решим уравнение:

х-3,5 100 х-11 100

х х+7,5 = 33

22х2 +165х -5500=0, х1 =12,5, х2 < 0, что не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 12,5 кг

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 3. Имеется два сплава меди. Содержание меди в первом сплаве на 40% меньше, чем во втором. Из них получи​ли новый сплав, содержащий 36% меди. Определите содержание меди в исходных сплавах, если известно, что в первом было 6 кг меди, а во втором — 12 кг. Ответ: 20%, 60%

Задача 4. Имеется два сплава меди. Содержание меди в первом сплаве на 40% меньше, чем во втором. Из них получи​ли новый сплав, содержащий 36% меди. Определите содержание меди в исходных сплавах, если известно, что в первом было 6 кг меди, а во втором — 12 кг.

 


Категория: Математика | Добавил: Админ (06.09.2016) Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0

Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar