Тема №5640 Решение конкурсных задач по математике Шахно
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение конкурсных задач по математике Шахно из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение конкурсных задач по математике Шахно, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

114. При каких значениях уравнение
(5а— 1)*а — (5a-f-2)x-f- За — 2 = 0
имеет равные корни?
115. При каком вещественном значении от выражение
х2 -f- от (от — 1)дг + 36
есть полный квадрат?
116. При некоторых значениях р уравнение
х2 + Зх + 3 + р(х2 + х) = 0
имеет равные корни. Составить квадратное уравнение, имеющее
корнями эти значения р.
117. В уравнении х2 — 2х + q = 0 квадрат разности корней
равен 16.
Определить свободный член уравнения.
118. При каких от уравнение
9х2 — 18отх — 8/п —|— 16 == 0
будет иметь один корень вдвое больше другого?
119. Показать, что уравнение
(х — 1) {х — 3) -)-т (х— 2)(х — 4) = 0
имеет вещественные корни при любом вещественном от.
120. При каком значении от уравнение
2тх2 — 2х — 3от — 2 = 0
имеет различные корни?
121. Какими должны быть р и q, чтобы уравнение
х2 + рх + <7 = 0
имело корнями числа р и q?
122. При каком от уравнения
2х2 — (Зот —|— 2) х -}- 12 = 0j
4х2 — (9 от — 2) х-\- 36 = 0
имеют общий корень?
123. Найти те значения а, при которых уравнения
х2 + ах + 1 = 0;
х2 + х-{-а = 0
имеют общий корень.
Н
124. Доказать, что уравнение
хг-\-ах + 1 = 0
не имеет рациональных корней, если а — целое число, но \а\ф 2.

137. Несколько человек взялись вырыть канаву и.могли бы
окончить работу за 24 часа, если бы делали ее все одновременно.
Вместо этого они приступили к работе один за другим через
равные промежутки времени, и затем каждый работал до оконча­
ния всей работы. Сколько времени они рыли канаву, если пер­
вый, приступивший к работе, проработал в 5 раз больше, чем
последний?
13&., Турист, идущий из деревни на ж.-д. станцию, пройдя за
первый час 3 км, рассчитал, что он опоздает к поезду на 40 ми­
нут, если будет двигаться с тою же скоростью. Поэтому осталь­
ной путь он проходит со скоростью 4 км/час и прибывает на
станцию за 45 минут до отхода поезда. Каково расстояние от
деревни до станции?
139. Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту
цифру перенести влево (т. е. поместить вначале), то новое число
будет на единицу больше утроенного первоначального числа.
Найти это число.
140. Самолет летел сначала со скоростью 220 км/час. Когда
ему осталось пролететь на 385 км меньше, чем он пролетел, он
изменил скорость и стал двигаться со скоростью 330 км/час.
Средняя скорость его на всем пути оказалась равной 250 км/час.
Какое расстояние пролетел самолет?
141. «Мне вдвое больше лет, чем Вам было тогда, когда мне
было столько лет, сколько Вам теперь; когда Вам будет столько
лет, сколько мне теперь, тогда сумма наших возрастов будет равна
63 годам». Сколько лет каждому?
142. Двое рабочих,, работая вместе, могут окончить некоторую
работу в 12 дней. После 8 дней совместной работы один из них
заболел, и другой окончил работу один, проработав еще 5 дней.
Во сколько дней каждый из них, работая отдельно, может вы­
полнить эту работу?
143. Две артели рабочих, работая одновременно, могут выпол-
2
нить некоторую работу в 8 дней. Если бы работало -g рабочих
4
первой артели и -g- второй, то работа была бы выполнена
в 11^- дней. Во сколько дней могла бы выполнить эту работу
каждая артель в отдельности?
144. В сберкассу на книжку было положено 1640 рублей
и в конце года было взято обратно 882 рубля. Еще через год на
книжке снова оказалось 882 рубля. Сколько процентов начисляет
сберкасса в год?
145. Двое рабочих взялись сжать ржаное поле в течение
одного дня, причем каждый обязался сжать половину поля. Пер­
16
вый начал работу на 2 часа 16 минут раньше второго. В полдень,
когда ими уже было сжато 0,4 поля, они приостановили работу
для обеда и отдыха на 1 -g- часа. Первый окончил свою часть
в 7 часов 54 минуты, а второй в 8 часов 10 минут пополудни.
В котором часу начал работать каждый?
146. Два каменщика сложили вместе стену в 20 дней. Во
сколько дней выполнил бы работу каждый из них отдельно, если
известно, что первый должен работать на 9 дней больше второго?
147. Два пешехода Л и В вышли одновременно друг другу
навстречу из городов М и N. Когда они встретились, то оказалось,
что А прошел на 6 км больше, чем В. Если каждый из них
будет продолжать путь с той же скоростью, то А придет в N
через 4 у часа, а В в М — через 8 часов после встречи. Опре­
делить расстояние между М и N.
148. Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг
другу из Л в В и из В в Л. После встречи одному приходится
еще быть в пути 2 часа, а другому у часа. Определить их ско­
рости, если расстояние между Л и В равно 210 км.
149. Для печения пшеничного хлеба взято столько килограм­
мов муки, сколько процентов составляет припек на эту муку.
Для печения ржаного хлеба взято на 10 кг больше муки, а именно,
столько килограммов, сколько процентов составляет припек на
ржаную муку. Сколько килограммов взято той и другой муки,
если всего выпечено 112,5 кг хлеба?
150. Проходя первый участок пути в 24 км, паровоз делал
в час на 4 км меньше, чем когда проходил второй участок
в 39 км. На прохождение второго участка он употребил на 20 ми­
нут больше, чем на прохождение первого. Какова скорость паро­
воза на первом участке?
151. По окружности длиною в 360 м движутся два тела. Одно
из них проходит в секунду на 4 м больше другого и поэтому
проходит всю окружность на 1 секунду скорее. Сколько метров
проходит каждое тело в секунду?
152. Окружность заднего колеса в 2 раза больше окружности
переднего. Если длину окружности заднего колеса уменьшить
на 1 м, а переднего увеличить на 1 м, то на протяжении 60 м
заднее колесо сделает на 30 оборотов больше переднего. Опреде­
лить длину окружности каждого колеса.
153. Трамвайная линия имеет длину 15 км. Если увеличить
скорость трамвая на 3 км/час, то трамвай будет затрачивать на
каждый рейс на* полчаса меньше, чем теперь (рейсом называется
пробег трамвая туда и обратно). Сколько времени затрачивает
теперь вагон на рейс и какова его скорость?
2 К. У. Шахно 17
154. Для ремонта дома наняты плотники и маляры. Те и дру­
гие получили за работу одну и ту же сумму, но маляров было
двумя меньше, чем плотников, и поэтому каждый маляр получил
одним рублем больше плотника. Сколько было плотников и сколько
маляров, если известно, что число рублей, уплаченных им всем,
было на 26 более утроенного числа всех рабочих?
155. От Москвы до Ленинграда 650 км. Пассажирский поезд
проходит это расстояние на 12 часов скорее товарного, так как
его часовая скорость на 24 км больше. Сколько километров про­
ходит в час каждый поезд?
156. От дома до школы 400 м. Ученик старшего класса делает
на этом пути на 300 шагов меньше, чем ученик младшего класса,
так как у него шаги на 30 см больше. Определить длину шага
каждого.
^ 157. Магазин купил кусок сукна за 2000 рублей. 5 м из этого
куска остались не проданными, а остальное сукно было продано
за 1900 рублей, при этом на каждом метре было получено 15 руб­
лей прибыли. Сколько метров сукна было в куске?
158. Куплено два сорта некоторого товара, причем второго
сорта на 15 кг больше первого. За первый сорт заплачено 225 руб­
лей, а за второй 320 рублей. Сколько куплено килограммов того
и другого сорта, если килограмм второго сорта стоил рублем
дешевле килограмма первого?
159. При двух последовательных одинаковых процентных по­
вышениях заработной платы сумма в 100 рублей обратилась
в 125 р. 44 к. Определить, на сколько процентов повышалась
заработная плата?
у 160. В сосуде было 20 л чистого спирта. Часть этого спирта
отлили, а сосуд долили водой. Затем снова отлили столько же
литре®, сколько и в первый раз, и сосуд опять долили водой.
После этого в сосуде оказалось чистого спирта втрое меньше,
чем воды. Сколько спирта отлили в первый раз?
V 161. Куплено материи двух сортов на сумму 152 рубля. Если бы
цена материи первого сорта была выше, а второго ниже на одно
и то же число процентов, то первый сорт стоил бы 150 рублей,
а второй 24 рубля. Сколько рублей стоил первый сорт в дей­
ствительности?
162. Из Тулы по направлению к Вязьме вышел товарный поезд.
Спустя 5 часов 5 минут по той же дороге вышел из Вязьмы
в Тулу пассажирский поезд. Оба поезда встретились на промежу­
точной станции. От этой станции товарный поезд шел до Вязьмы
12 часов 55 минут и от той же станции пассажирский поезд шел
до Тулы 4 часа 6 минут. Сколько времени употребил каждый
поезд на прохождение всего пути между Вязьмой и Тулой?
163. Студенты взяли на лодочной станции на прокат лодку.
Сначала они спустились на 20 км вниз по течению реки, затем
18
"t повернули обратно и вернулись на лодочную станцию,: затратив
на всю прогулку 7 часов. На обратном пути, на расстоянии 12 км
от лодочной станции, они встретили плот, проплывавший мимо
лодочной станции как раз в тот момент, когда они отправлялись
: на прогулку. Определить, с какой скоростью двигалась лодка вниз
по течению реки и какова скорость течения?
164. Из двух населенных пунктов одновременно выходят на­
встречу друг другу два курьера и встречаются в некоторой
точке Mv Если бы первый курьер вышел на час раньше, а вто­
рой на полчаса позже, то они встретились бы на 18 минут раньше,
чем в действительности. Если бы второй вышел на час раньше,
а первый на полчаса позже, то они встретились бы в точке,
отстоящей от Мх на 5600 м. Найти скорости обоих курьеров.
/ 165. От двух кусков сплава с различным процентным содер­
жанием меди, весящих т кг и п кг, отрезано по куску равного
веса. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого
. куска, после чего процентное содержание меди в обоих сплавах
* стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков?
166. Объем А составляет т-ю часть суммы объема В н С,
а объем В — п-ю часть суммы объемов Л и С. Какую часть
суммы объемов А и В составляет объем С?
I 167. Две точки движутся с постоянными скоростями по окруж-
1 ности длиною Ь. Если они движутся в разных направлениях, то
встречаются через каждые tx секунд. При движении в одном
направлении одна точка настигает другую через каждые tt секунд.
Определить скорости обеих точек.
г 168. Из А в В отправилась лодка. Когда лодка прошла уже
/ км, из Л в В вышел пароход, который пришел в В на t часов
раньше лодки. Каково расстояние между Л и В, если скорость
^ лодки составляет о км в час, а скорость парохода w км в час?
„ 169. Мастер дает сеанс одновременной игры в шахматы на
нескольких досках. В конце первых двух часов он закончил р%
партий выигрышем, а I партий проиграл. За следующие два часа
он выиграл у q% оставшихся противников, т партий проиграл
и остальные п партий закончил вничью. На скольких досках шла
игра?
* 170. В сосуде содержится а л р-% раствора азотной кислоты.
Сколько литров q-% раствора той же кислоты нужно влить
I) в сосуд, чтобы после добавления некоторого количества воды,
доводящего общий объем смеси до Ь л, получилась бы кислота
крепостью г%?
171. Дети делят орехи. Первый взял а орехов и n-ю часть
I остатка; второй — 2а орехов и n-ю часть нового остатка; тре­
тий— За орехов и n-ю часть нового остатка и т. д. Оказалось,
что таким способом разделены все орехи поровну. Сколько было
детей?
2* 19
172. Колхоз купил для заправки тракторов на а рублей
лигроина и на такую же сумму керосина, всего п кг. Сколько
килограммов куплено лигроина и сколько керосина, если кило­
грамм первого на b рублей дороже килограмма второго?
173. Из пункта А в пункт В выехала машина с почтой.
Через t минут вслед ей выехала другая. Двигаясь со скоростью V, *
она нагнала первую и, передав забытый срочный пакет, повернула
назад. В пункт А вторая машина прибыла одновременно с при­
бытием первой в пункт В. С какой скоростью двигалась первая
машина, если расстояние между Л и В равно d км?
174. Две бригады рабочих заработали по одинаковому числу
рублей. В первой бригаде было на а рабочих меньше, чем во вто­
рой, вследствие чего каждому рабочему второй бригады досталось
на b рублей меньше, чем каждому рабочему первой бригады.
Число рублей, заработанных каждой бригадой, на с больше числа
рабочих в обеих бригадах вместе. Сколько было рабочих в каждой
бригаде?
175. Двое рабочих выкопали ров, работая один после другого.
При этом первый работал а дней и выполнил часть всей работы,
равную Если бы они работали вместе, то ров был бы вырыт
в число дней, равное среднему арифметическому между числом
дней, в течение которых работал первый, и числом дней, в тече­
ние которых работал второй. Сколько дней работал второй?
176. По одной и той же окружности движутся два тела в одну
и ту же сторону. Длина окружности равна а м. Одно тело про­
ходит окружность на р минут скорее другого тела. Определить,
сколько метров в минуту проходит каждое тело, зная, что они
при движении сходятся каждые q минут.
177. Наняты двое рабочих по разным ставкам. Первый полу­
чил а рублей, а второй, работавший меньше первого на п дней,
получил с рублей. Если бы первый работал столько дней, сколько
второй, а второй столько, сколько первый, то они получили бы
поровну. Сколько дней работал каждый?
178. Группа экскурсантов должна была заплатить за обед
в ресторане а рублей. Но у b участников не оказалось в наличии
денег и поэтому каждый из остальных внес еще с рублей. Сколько
было экскурсантов?
179. Скорый поезд был задержан у семафора на р минут
и наверстал опоздание на перегоне в d км, пройдя его со средней
скоростью на v км/час больше той, какая полагалась по расписа­
нию. Какова средняя скорость на этом перегоне по расписанию?
180. Вклад в А рублей положен в сберегательную кассу по
р% годовых. В конце каждого года вкладчик берет В рублей.
* Размерность км/мин.
20
Через сколько лет, после взятия соответствующей суммы, остаток
будет не меньше 3Л? При каких условиях задача имеет решение?
181. В трех сосудах находится одинаковая жидкость в нерав­
ных количествах. Если половину содержимого (по объему) одного
сосуда разлить поровну в два другие, затем половину содержи­
мого другого сосуда, оказавшегося после первого разлива, разлить
поровну в два другие и после этого половину содержимого третьего
сосуда разлить поровну в два другие, то во всех сосудах окажется
жидкости поровну, а именно по 16 л. Сколько было литров
жидкости в каждом сосуде вначале? (Задачу решить арифме­
тически.)
182. Товарный поезд прошел путь от Ленинграда до Москвы
со средней скоростью 20 км/час., а от Москвы до Ленинграда
со средней скоростью 30 км/час. Какова средняя скорость поезда
на всем пути (время, потраченное на остановку в Москве, в расчет
не принимается)?
183. Доказать, что разность между любым числом и числом,
изображенным теми же цифрами, но написанными в обратном
порядке, делится нацело на 9.

вляются геометрическими прогрессиями?
217. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической про*
грессии равна 9, а сумма квадратов ее членов равна 40,5. Напи­
сать прогрессию.
218. Первый член бесконечно убывающей геометрической про­
грессии равен 1. Каждый же из остальных членов в 2 у раза
меньше суммы двух смежных с ним. Найти сумму членов этой,
прогрессии.
219. Найти бесконечно убывающую геометрическую прогрес­
сию, первый член которой равен 1 и каждый член в 3 раза больше
суммы всех следующих за ним членов.
220. Сумма первых четырех членов бесконечно убывающей
прогрессии равна 15. Сумма первого и четвертого членов в 1,5 раза
больше суммы второго и третьего. Найти сумму прогрессии.
221. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической
прогрессии так, чтобы сумма ее первых шести членов составляла
7
-g суммы всех ее членов.
222. В арифметической прогрессии 11 членов. Первый член
равен 24. Первый, пятый и одиннадцатый члены составляют геоме­
трическую прогрессию. Написать все члены.
V 223. В арифметической прогрессии, содержащей 9 членов, пер­
вый член равен 1, а сумма равна 369. Геометрическая прогрессия
содержит тоже 9 членов, причем первый и последний члены ее
совпадают с соответствующими членами данной арифметической
прогрессии. Найти седьмой член геометрической прогрессии.
■/ 224. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если
второй член увеличить на 8, то данная геометрическая прогрессия
обратится в арифметическую, но если затем третий член будет
увеличен на 64, то она опять обратится в геометрическую про­
грессию. Определить эти числа.
225. Между числом 3 и неизвестным вставлено еще одно число
так, что все три числа образуют арифметическую прогрессию.
Если средний член этой прогрессии уменьшить на 6, то получится
геометрическая прогрессия. Найти неизвестное число.
226. Три числа, сумма которых 114, можно рассматривать как
три последовательных члена геометрической прогрессии или как
первый, четвертый и двадцать пятый члены арифметической про­
грессии. Найти эти числа.
227. Из точек А и В одновременно начали двигаться два тела
навстречу друг другу. Первое в первую минуту прошло 1 м,
24
а в каждую последующую проходило на ~ м больше, чем в пре­
дыдущую. Второе тело проходило каждую минуту по 6 м. Через
сколько минут оба тела встретились, если расстояние между А
и В равно 117 м?
228. Возможны ли три таких числа а,, а2, а8, чтобы они были
одновременно первыми, вторыми и третьими членами арифметиче­
ской и геометрической прогрессии?

278. Собрание, на котором присутствует 30 человек, в том
числе две женщины, выбирает четырех человек для работы на
избирательном участке. Сколько может встретиться таких случаев,
когда в число избранных войдут обе женщины?
279. Нужно распределить преподавание в шести классах между
тремя преподавателями. Сколькими способами можно произвести
это распределение, если каждый должен получить два класса?
280. В вещевой лотерее разыгрывается 5 предметов. Первый
подошедший к урне вынимает из нее 5 билетов. Каким числом
способов он может их вынуть, чтобы 3 из них оказались выиг­
рышными? Всего в урне 100 билетов.
281. Экскурсанты разделились на две равные группы для ро­
зыска заблудившегося товарища. Среди них есть только 4 человека,
знакомых с местностью. Каким числом способов они могут раз­
делиться так, чтобы в каждую группу вошло 2 человека, знающих
местность, если всего их 16 человек?
282. Комсомольцы строительной организации выделили в помощь
подшефному детскому дому бригаду в 5 человек. В составе ком­
сомольской организации 25 человек, в том числе 5 маляров,
4 плотника и 2 штукатура. Каким числом способов можно уком­
плектовать • бригаду, чтобы в нее вошли рабочие всех этих спе­
циальностей по одному?
283. Для культпохода куплено 2п билетов в театр на места,
находящиеся в одном ряду партера (в ряде 2п мест). Сколькими
способами можно распределить эти билеты между лицами данной
компании, состоящей из п мужчин и п женщин, чтобы не сидели
рядом двое мужчин или две женщины?
284. В шахматном турнире двое из участников выбыли, сыграв
только по три партии каждый, и потому на турнире было сыграно
всего 84 партий. Сколько было участников первоначально?
285. Сколько различных натуральных чисел можно составить
из цифр 0, 1, 2, 3, 4, если в каждое число входит каждая из
данных цифр не более одного раза?
286. Сколько различных двузначных чисел можно составить
из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры 0, 1, 2 входят в каждое число,
не более одного раза, а цифра 3 — не более двух раз?
287. Сколько различных пятизначных чисел, больших 20000,
можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если цифры 2, 3, 4 входят
в каждое число по одному разу, а цифра 1— два раза?
288. Сколько различных пятизначных чисел можно составить
из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы четные цифры не стояли рядом?
При этом каждая цифра входит в каждое число один раз.

302. Пользуясь методом математической индукции, доказать,
что п различных прямых, лежащих в плоскости, разбивают плос­
кость на области, которые могут быть закрашены красной и синей
красками так, что все смежные области (т. е. области, имеющие
общий отрезок прямой) будут закрашены разными красками.

418. Доказать, что треугольник, имеющий две равные высоты,—
равнобедренный.
419. Доказать, что треугольник, имеющий две равные ме­
дианы, — равнобедренный.
420. Доказать, что треугольник, имеющий две равные бис­
сектрисы, — равнобедренный.
421. Доказать, что трапеция с равными диагоналями — равно­
бедренная,
422. Доказать, что если угол, прилежащая сторона и сумма
двух других сторон одного треугольника соответственно равны
таким же элементам другого, то такие треугольники равны.
423. Доказать, что треугольники с равными периметрами
и двумя соответственно равными углами — равны.
424. Какая медиана наименьшая?
425. Доказать, что если в шестиугольнике противоположные
стороны равны и параллельны, то три его диагонали, соединяющие
противоположные вершины, пересекаются в одной точке.
426. Основания трапеции равны а и Ь. Найти отрезок прямой,
соединяющей середины ее диагоналей.
427. Доказать, что сумма расстояний любой точки окружности
до двух ближайших к ней вершин вписанного в окружность пра­
вильного треугольника равна расстоянию этой точки до третьей
вершины треугольника.
3* 35
428. Из всех треугольников с одинаковым основанием и одним
и тем же углом при вершине найти треугольник с наибольшим
периметром.
429. Если в шестиугольнике противоположные стороны парал­
лельны, а три диагонали, соединяющие противоположные вершины,
равны между собой, то вокруг такого шестиугольника можно
описать окружность. (Доказать.)
430. В треугольник, длины сторон которого суть а, Ъ и с,
вписана окружность. К окружности проведена касательная так,
что она, пересекая две первые стороны, разделяет данный тре­
угольник на две фигуры — треугольник и четырехугольник. Найти
периметр полученного треугольника.
431. В треугольник вписан круг так, что две из его сторон
делятся точками касания в отношениях — и —. Найти отноше-
п q
ния сторон треугольника.
432. Будет ли вписанный равносторонний многоугольник пра­
вильным?
433. Будет ли описанный равносторонний многоугольник пра­
вильным?
434. В треугольнике соединены прямой основания двух его
высот. Доказать, что образовавшийся при этом треугольник подо­
бен данному.
435. Доказать, что треугольники с соответственно параллель­
ными сторонами подобны.
436. Доказать, что радиусы описанных около подобных тре­
угольников окружностей пропорциональны сходственным сторонам.
437. Доказать, что центр описанного около треугольника
круга, точка пересечения его высот и его центр тяжести лежат
на одной прямой.
438. Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит
через точку пересечения диагоналей О. Доказать, что отрезок,
отсекаемый от этой Прямой боковыми сторонами, делится в точке О
пополам.
439. Доказать, что если отрезок, соединяющий середины двух
противоположных сторон четырехугольника, равен полусумме двух
других сторон, то этот четырехугольник — трапеция.
440. В равнобедренный треугольник АВС вписан полукруг,
диаметр которого лежит на основании АС. К полукругу проведена
касательная, пересекающая сторону АВ в точке М, а сторону ВС
в точке N. Доказать, что AM-CN есть величина постоянная.
441. Определить расстояние от центра описанного около тре­
угольника круга до центра вписанного в этот треугольник круга.
Радиусы кругов R и г (R > г).
442. Доказать, что радиус вписанного в треугольник круга не
больше половины радиуса, описанного около треугольника круга.
36
443. Через точки пересечения А и В двух окружностей про-,
ведены две секущие MAN и PBQ, пересекающие одну окруж­
ность в точках М и Р, а другую в точках N и Q. Доказать,
что прямее МР и NQ параллельны.
444. В треугольник со сторонами k, /, т вписана окружность.
К окружности проведена касательная так, что отрезок ее внутри
треугольника, заключенный между точками пересечения касатель­
ной с первыми двумя сторонами треугольника, равен а. Найти
площадь треугольника, отсеченного этой касательной от данного.
445. Даны две окружности с радиусами R и г. Их общие
внутренние касательные взаимно перпендикулярны. Найти площадь
треугольника, образованного этими касательными и общей внешней
касательной.
446. Непараллельные стороны трапеции продолжены до взаим­
ного пересечения и через полученную точку проведена прямая, па­
раллельная основаниям трапеции. Найти отрезок ее, ограниченный
продолженными диагоналями, если основания трапеции суть а и Ь.
447. В трапеции, основания которой а и Ь, проведена через
точку пересечения диагоналей прямая, параллельная основаниям.
Найти ее длину.
448. Доказать, что куб гипотенузы больше суммы кубов
катетов.
449. Прямоугольный сектор радиуса R разделен на две части
дугой круга- того же радиуса с центром в конце дуги сектора.
Определить радиус круга, вписанного в меньшую из этих
частей.
450. Два круга радиусов гх и г2 касаются в точке С и к ним
проведена общая внешняя касательная АВ, где А и В — точки
касания. Вычислить длины сторон треугольника АВС.
451. Две окружности радиусов г и R касаются снаружи.
Найти расстояние от точки касания до общей внешней касатель­
ной.
452. Два круга радиусов R и г внешне касательны. Опреде­
лить радиус круга, касательного к ним и к их общей внешней
касательной.
453. Три окружности радиусов а, Ь и с касаются попарно
снаружи. Найти длину хорды, отсекаемой третьей окружностью
от общей внутренней касательной первых двух окружностей.
454. Около данного квадрата со стороною а описан круг,
и в один из полученных сегментов вписан квадрат. Определить
сторону вписанного квадрата.
455. Два круга радиусов R и г касаются снаружи в точке М.
На окружности радиуса г взята точка N, диаметрально противо­
положная точке М, и в этой точке построена касательная. Вычис­
лить радиус круга, касательного к двум данным и к касательной,
проходящей через точку N.
37
456. Две стороны остроугольного треугольника — 20 см и
23 ■§■ см. Радиус описанного около треугольника круга— 14,5 см.
Найти радиус вписанного в треугольник круга.
457. Катеты прямоугольного треугольника — 3 и 4. Через се­
редину меньшего катета и середину гипотенузы проведен круг, ка­
сательный к гипотенузе. Найти его площадь.
458. Две равные окружности радиуса г пересекаются. В общую
часть обоих кругов вписан квадрат. Найти сторону этого квадрата,
если расстояние между центрами окружности равно г.
459. На двух смежных сторонах квадрата построены во внеш­
нем поле два полукруга и к ним касательные, параллельные своим
диаметрам. Найти радиус круга, касательного к этим двум полу­
кругам и к упомянутым касательным, если сторона квадрата
равна 2а.
460. Через две смежные вершины квадрата проведена окруж­
ность так, что касательная к ней из третьей вершины равна двой­
ной стороне квадрата. Найти радиус этой окружности, если пло­
щадь квадрата равна 10.
461. Окружность касается большего катета прямоугольного тре­
угольника, проходит через вершину противолежащего острого угла
и имеет центр на гипотенузе. Найти ее радиус, если катеты равны
3 и 4.
462. По данным двум сторонам а и b треугольника найти
третью сторону, если известно, что медианы, проведенные к дан­
ным сторонам, пересекаются под прямым углом.
463. Найти радиус круга, зная длины а и Ь двух его хорд,
исходящих из одной точки окружности, и расстояние d от сере­
дины одной хорды (а) до другой (Ь).
464. Через центры двух равных касающихся окружностей
радиуса г проведена окружность радиуса 2г. Из некоторой точки,
находящейся на последней окружности, описана окружность, ка­
сательная к первым двум. Найти ее радиус.
465. Дан прямоугольный треугольник АВС, где А — прямой
угол. Из А опущен перпендикуляр АК на гипотенузу, а из
К — перпендикуляры КР и КТ на катеты АВ и АС. Зная, что
BP = m и СТ = п, определить длину гипотенузы.
466. Центр окружности радиуса 3 лежит на другой окруж­
ности радиуса 5. Из центра О последней проведен диаметр, каса­
тельный к первой, и в точку касания — радиус, пересекающийся
с общей хордой в точке К- Найти длину прямой ОК-
467. Дан квадрат, сторона которого равна а. Каждые две про­
тивоположные вершины квадрата служат вершинами двух равных
ромбов. Найти площадь, общую сбоим ромбам, если площадь
каждого из них равна половине площади квадрата.
468. Прямоугольный треугольник АВС с катетами а и Ь раз­
38
делен на две равновеликие части AMN и BCMN прямой MN,
перпендикулярной к гипотенузе АВ. Найти площадь круга,
описанного вокруг четырехугольника BCMN.
469. К двум извне касающимся окружностям радиусов R
и г проведены две общие внешние касательные. Найти площадь
трапецйи, образованной этими двумя касательными и хордами,
соединяющими точки касания.
470. В некоторый угол вписана окружность радиуса г, а длина
хорды, соединяющей точки касания, равна а. Параллельно этой
хорде проведены две касательные, и таким образом получилась
трапеция, площадь которой требуется найти.
471. В треугольник со сторонами а, Ь и с вписан полукруг
с диаметром, лежащим на стороне с. Найти величину этого
диаметра.
472. Найти площадь треугольника, если отрезки, образуемые
на одной из его сторон точкой касания вписанной окружности,
суть / п и п, а противолежащий ей угол треугольника равен 60°.
б'ЗТъРМеньшее основание ■ трапеции DC = Ь\ большее основание
трапеции АВ = а. На продолжении меньшего основания определить
точку М под условием, чтобы прямая AM разделила трапецию на
две равновеликие части.
474. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его
площадь пшолам. В каком отношении она делит боковые стороны
треугольника?
475. Найти длину отрезка прямой, параллельной основаниям
трапеции и делящей трапецию на две равновеликие фигуры. Длины
оснований трапеции равны а и Ъ.
476. Прямая, параллельная основаниям трапеции, разделяет ее
на две части, площади которых относятся между собой, как 7 :2
(считая от большего основания). Найти длину этой прямой, если
основания трапеции 5 и 3.
477. Площади треугольников, образованных отрезками диаго­
налей трапеции с ее основаниями, равны и S2. Найти площадь
трапеции.
478. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника,
проведены три прямые, соответственно параллельные сторонам
треугольника. Эти прямые разделяют площадь треугольника на
шесть частей, из которых три — треугольники с площадями S„
S2, S3. Найти площадь данного треугольника.
479. Прямая, параллельная основанию треугольника с пло­
щадью S, отсекает от него треугольник с площадью Sv Определить
площадь четырехугольника, три вершины которого совпадают
с вершинами, маленького треугольника, а четвертая лежит на
основании большого треугольника.
480. К двум, извне касающимся в точке А окружностям,
радиусы которых 3 и 1, проведена общая внешняя касательная
зэ
ВС. Найти площадь фигуры АВС, ограниченную окружностями
и касательной.
481. Построить треугольник, который при данной стороне а и
противолежащем ей угле а имеет наибольшую площадь.
482. Площадь четырехугольника равна 5. Найти площадь
параллелограмма, стороны которого равны и параллельны диаго­
налям четырехугольника.
483. В равнобедренной трапеции средняя , линия равна d,
а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.
484. В угол вписаны два внешнекасательных круга. Хорды,
соединяющие точки касания каждого круга со сторонами угла,
равны соответственно 2а и 26. Определить угол.
485. В равнобедренный треугольник вписаны один над другим
два круга радиусов R и г. Найти углы при основании треуголь­
н и к
486. Точка D, внутри круга радиуса R, удалена от центра
на расстояние а. Через D проведены диаметр и две взаимно
перпендикулярные хорды, одна из которых образует угол а
с диаметром. Определить площадь вписанного в круг четырех­
угольника, имеющего эти хорды диагоналями.
487. Окружности радиусов г и R касаются прямой AD в точке
А и расположены по одну сторону от AD. Прямая, параллельная
AD, пересекает окружности в точках В к С, находящихся по
одну сторону от линии центров. Найти радиус окружности, опи­
санной вокруг треугольника АВС.
488. Прямая касается окружности в точке А. Параллельно
этой прямой проведена другая прямая, пересекающая окружность
в точках В и С, которые соединены с точкой А. Рассматривая
площадь треугольника АВС как функцию расстояния между пря­
мыми, написать формулу, связывающую функцию и аргумент.
Радиус окружности равен R.
489. Площадь прямоугольника равна S. Рассматривая периметр
этого прямоугольника как функцию длины какой-либо его стороны,
определить наименьшее значение функции, а также то значение
аргумента, при котором функция достигает наименьшего значения.

490. Найти геометрическое место проекций данной точки на
всевозможные плоскости, проходящие через другую данную точку.
491. Доказать, что в правильном тетраэдре сумма расстояний
любой внутренней точки до всех его четырех граней есть величина
постоянная.
40
f 492. Взяты такие четыре вершины куба, что никакие две.из
них не лежат на одном ребре. Через каждые три из этих четырех
вершин проведена секущая плоскость. Найти объем тела, ограни­
ченного проведенными плоскостями. Ребро куба равно а.
i 493. Через каждые три вершины куба с ребром а, лежащие
в концах каждых трех ребер, сходящихся в одной вершине, про­
ведена плоскость. Найти объем тела, ограниченного этими плоско­
стями.
494. От правильной четырехугольной призмы плоскостью, про­
ходящей через диагональ нижнего основания и одну из вершин
верхнего основания, отсечена пирамида с полной поверхностью S.
■ Найти полную поверхность призмы, если угол при вершине тре-
} угольника, получающегося в сечении, равен а.
495. Плоские углы при вершине параллелепипеда равны между
собой и равны 45°. Длины ребер, сходящихся в одной вершине,
равны а, Ь и с. Вычислить объем параллелепипеда.
( ' 496. В параллелепипеде длины трех ребер, выходящих из
j общей вершины, суть а, Ь й с. Первые два ребра взаимно пер­
пендикулярны, а третье образует с каждым из них угол а. Опре­
делить объем параллелепипеда.
• 497. Через сторону основания правильной треугольной призмы
проведена плоскость под углом а к плоскости основания. Опре­
делить площадь образовавшегося треугольного сечения, если объем
пирамиды, отсеченной плоскостью от призмы, равен о.
v 498. Основанием прямой призмы служит ромб KBCD со сто-
? роною а и углом 60°. Концы Вх и диагонали верхнего осно­
вания призмы соединены прямыми ВУЕ и DXF с серединами K.D и
КВ нижнего. В пересечении этих прямых образуется угол BfiDt,
рявшдщ а. Определить объем призмы.
' \j /499,.'В основании прямой призмы лежит равнобедренный тре­
угольник, периметр которого равен 2р, а каждый из двух равных
углов равен а. Через основание этого треугольника и конец про­
тивоположного ребра призмы проведено сечение. Угол при осно-
вании этого треугольного сечения равен (3. Вычислить объем призмы.
«ЖЙП^Найти полную поверхность правильной треугольной пира-
мидБГпо данному ее объему V и углу а между боковой гранью
и плоскостью основания.
( С^5(ц1Ъснованием пирамиды служит прямоугольник. Длина каж­
дого бокового ребра равна т. Плоские углы трехгранных углов
при основании пирамиды суть а, (3 и 90°. Определит^ объем пи­
рамиды.
* 502. В правильной четырехугольной пирамиде, у которой сто­
рона основания равна а и двугранный угол при основании равен а,
через одну из сторон основания проведена плоскость под углом fj
к плоскости основания. Определить площадь сечения.
41
. 503. Высота правильной треугольной пирамиды равна Л, а дву­
гранный угол при боковом ребре равен 2а. Определить объем
пирамиды.
504. В правильной га-угольной пирамиде сторона основания
равна 2а, двугранный угол при боковом ребре равен 2а. Опреде­
лить объем пирамиды.
505. Правильная треугольная пирамида пересечена плоскостью,
проходящей через вершину основания и середины двух боковых
ребер. Найти отношение боковой поверхности пирамиды к пло­
щади основания, если известно, что секущая плоскость перпен­
дикулярна к одной из боковых граней. Указать, к какой именно.
506. Основанием пирамиды служит трапеция, боковые стороны
и меньшее основание которой равны а, а острый угол а. Боковые
ребра наклонены к плоскости основания под углом <р. Определить
объем пирамиды.
507. Из середины высоты правильной четырехугольной пира­
миды опущен перпендикуляр на боковое ребро, равный h, и пер­
пендикуляр на боковую грань, равный а. Найти объем пира­
миды.
508. Через одно из ребер основания правильной треугольной
пирамиды со стороной основания q проведена плоскость перпен­
дикулярно к противолежащему боковому ребру и делящая это
ребро в отношении т : га. Определить полную поверхность пира­
миды.
: 509. Вычислить объем правильной пирамиды высоты h, зная,
что в основании ее лежит многоугольник, сумма внутренних углов
которого равна 90° га, а отношение боковой поверхности пирамиды
к площади оснований равно k.
510. Правильная пятиугольная пирамида ABCDES пересечена
плоскостью, проходящей через вершины А и С основания и сере­
дины ребер DS и ES. Найти площадь сечения, если ребро оснот
вания пирамиды равно q, боковое ребро равно Ь.
511. Через вершину правильной га-угольной пирамиды и через
две вершины многоугольника, лежащего в основании, под углом а
к плоскости основания проведена плоскость, рассекающая осно­
вание на два многоугольнйка, имеющие соответственно г + 2 вер­
шины ига — г вершин ^ г < п ~ 2j. Найти объем пирамиды, если
. общая сторона этих двух многоугольников равна Ь.
512. Боковые ребра и две стороны основания треугольной
пирамиды (Навны между собой и равны Ь. Угол между равными
сторонами треугольника, лежащего в основании, равен а. Вычис­
лить объем пирамиды.
513. В основании пирамиды лежит ромб со стороной а и ост­
рым углом а. Каждый из двугранных углов при основании равен <р.
Определить объем шара, вписанного в эту пирамиду.
42
614. Основанием пирамиды SABC служит треугольник АВС,
в котором АВ и АС образуют между собой угол о и АВ = АС = а.
Грань SBC перпендикулярна . к плоскости основания, а грани
SBA и SCA образуют с плоскостью основания углы <р. Опреде­
лить боковую поверхность этой пирамиды.
515. Две равные правильные четырехугольные пирамиды при­
ложены одна к другой основаниями так, что оба основания сов­
падают, а вершины расположены по разные стороны от общего
основания. В образованный таким образом восьмигранник вписан
шар. Определить его радиус, если сторона основания каждой из
пирамид равна а, а плоский угол при вершине а.
\y516. Две правильные треугольные пирамиды имеют общую
высоту; вершина каждой пирамиды лежит в центре основания
другой; боковые ребра одной пересекают боковые ребра другой.
Боковое ребро I первой пирамиды образует с высотой угол а,
боковое ребро второй образует с высотой угол р. Определить
объем общей части обеих пирамид.
С^ТТГ) Боковые грани пирамиды, основанием которой служит
равнобедренная трапеция с высотой Л, одинаково наклонены к пло­
скости основания. Из вершины пирамиды опущены перпендикуляры
на боковые стороны трапеции, и основания их соединены. В полу­
ченном треугольном сечении угол при вершине равен а, а площадь
сечения равна 5. Найти объем пирамиды.
518. В шаре из точки его поверхности проведены три равные
хорды под углом 2а друг к другу. Определить их длины, если
рщ де& ^ара равен R.
С 51§У р правильной усеченной четырехугольной пирамиде про­
ведена плоскость через две противоположные вершины параллельно
диагонали основания. Определить площадь сечения, если ‘высота
пирамиды А, а стороны основания о и Ь.
520. Радиус основания конуса равен R, а образующая накло­
нена к плоскости основания под углом а. В этом конусе прове­
дена плоскость через его вершину под углом «р к его высоте.
Определить площадь полученного сечения.
521. Два конуса имеют общую высоту, но вершины их лежат
в разных концах высоты. Образующая первого конуса равна /,
а угол при вершине его осевого сечения равен 2а. Угол при вер­
шине в осевом сечении второго конуса равен 2р. Найти объем
обшей-части конусов.
/Й22рВ трапеции одна из боковых сторон равна Ъ и образует
с ОбЛйшим основанием 2а угол а. Меньшее основание равно а.
Определить объем тела, образованного вращением этой трапеции
вокруг данной боковой стороны.
523. Угол образующей а конуса с плоскостью его основания
равен а. Найти объем описанной около конуса пирамиды, основа­
нием которой служит ромб с острым углом р.
43
524. Около конуса описана треугольная пирамида, причем
линиями касания боковая поверхность конуса делится на три части,
относящиеся между собой, как 5 :6 :7 . Определить отношение
между частями боковой поверхности пирамиды, ограниченными
линиями касания.
525. На плоскости’ лежат три равных конуса с общей верши­
ной. Каждый из них касается двух, рядом лежащих. Определить
угол при вершине осевого сечения одного из этих конусов.
526. Шар вписан в прямую призму, в основании которой лежит
прямоугольный треугольник. В этом треугольнике перпендикуляр,
опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, имеет длину к
и составляет с одним из катетов угол а. Определить объем
призмы.
527. На высоте конуса, как на диаметре, описан шар. Опре­
делить объем части шара, заключенной внутри конуса, если даны
высота h конуса и угол при вершине осевого сечения 2а.
528. Конус с углом а между осью и образующей и радиусом
основания г рассечен сферической поверхностью, центр которой
находится в вершине конуса, так что объем конуса разделен по­
полам. Найти радиус этой сферы.
529. В правильную п-угольную пирамиду с ребром основания q
и боковым ребром а вписан шар. Найти его радиус.
530. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h.
Перпендикуляр, опущенный из центра шара, описанного около
пирамиды, на ее боковую грань, образует с высотой угол а. Опре­
делить объем шара.
531. Прямой круговой конус рассечен на две части, равные по
объему,^ плоскостью, проходящей через центр вписанного шара
перпендикулярно оси. Вычислить угол между образующей и плос­
костью основания.
532. В прямой круговой конус, угол при вершине осевого сече­
ния которого равен а, вписан шар радиуса г и проведена затем
плоскость, заключающая окружность касания поверхности конуса
с поверхностью шара. Определить объем получившегося усечен­
ного конуса-
533. Основанием пирамиды служит прямоугольник, диагонали
которого образуют между собой угол а, а боковые ребра ее со­
ставляют с плоскостью основания угол <р. Определить объем пира­
миды, если известно, что радиус описанного около нее шара
равен R.
534. В конус вписан шар радиуса г. Найти объем конуса, если
известно, что плоскость, касающаяся шара и перпендикулярная
к одной из образующих конуса, отстоит от вершины конуса на
расстояние d.
535. Можно ли рассечь куб плоскостью так, чтобы в сечении
получился правильный шестиугольник?
44
536. Доказать, что не существует многогранника с нечетным
числом граней, все грани которого являются многоугольниками
с нечетным числом сторон.
537. В шар радиуса R вписан цилиндр. Рассматривая объем
цилиндра как функцию радиуса основания цилиндра, написать
формулу, связывающую функцию и аргумент.
538. Доказать, что через любую прямую можно провести плос­
кость, параллельную любой другой прямой, если только эти пря­
мые не пересекаются.
539. Построить общий перпендикуляр к двум скрещивающимся
•прямым.
540. Плоский угол четырехгранного угла меньше суммы трех
других. (Доказать).

 

Категория: Математика | Добавил: Админ (06.03.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar