Тема №5854 Решение нестандартных задач по математике 30 работ (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение нестандартных задач по математике 30 работ (Часть 2) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение нестандартных задач по математике 30 работ (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Работа 11. Арифметика и весы
1 Три носорога весят столько же, сколько четыре бегемота и один
крокодил. Кто тяжелее: носорог или бегемот?
2 3 карася тяжелее 4 окуней. Что тяжелее: 4 карася или 5 окуней?
3 Груша и слива весят столько, сколько 2 яблока; 4 груши весят
столько, сколько 5 яблок и 2 сливы. Что тяжелее: 7 яблок или 5
груш?
4 Маленькому Гоше подарили весы, и он начал взвешивать иг-
рушки. Машину уравновесили мяч и 2 кубика, а машину с кубиком
уравновесили 2 мяча. Сколько кубиков уравновесят машину?
5 Метрострой нанял двух кротов рыть туннель. Первый крот ра-
ботает быстрее второго, но платят обоим одинаково, учитывая толь-
ко время. Что выгоднее: чтобы первую половину тоннеля выкопал
один крот, а вторую — другой; или, чтобы они начали копать с двух
сторон одновременно и копали бы до встречи?
6 9 одинаковых конфет стоят 11 рублей с копейками, а 13 таких
же конфет — 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна конфета?
7 В трёх ящиках лежат орехи. В первом на 6 орехов меньше, чем в
двух других вместе, а во втором на 10 орехов меньше, чем в первом
и третьем. Сколько орехов в третьем ящике?
8 Малышу и Карлсону дали по одинаковому пирогу. Карлсон на-
чал есть свой пирог на минуту позже Малыша, а через две минуты
после этого оказалось, что Карлсон уже съел столько, сколько еще
осталось съесть Малышу. Докажите, что если бы Малыш и Карлсон
ели один пирог вдвоем, то они управились бы с ним меньше, чем за
три минуты.

Ответы и решения
1 Ответ: носорог.
Решение. Уберём крокодила и одного бегемота. Получится, что 3
носорога, тяжелее, чем 3 бегемота. А значит, один носорог тяжелее
бегемота.
2 Ответ: 4 карася.
Решение. Составим такую схему:
3 карася > 4 окуня.
Так как карасей меньше, но весят они больше, то значит, один
карась тяжелее одного окуня. Если в неравенство слева добавить
ещё карася, а справа окуня, то левая часть останется больше (так
как к большему добавили большее).
3 Ответ: 5 груш тяжелее.
Решение.
2 яблока = груша + слива
5 яблок + 2 сливы = 4 груши
Сложив левые и правые части равенств, получим:
7 яблок + 2 сливы = 5 груш + слива.
Уберём по одной сливе:
7 яблок + слива = 5 груш.
Если убрать сливу, то 5 груш перевесят 7 яблок.
4 Ответ: 5.
Решение. По условию
машина = мяч + 2 кубика.
Тогда
2 машины = 2 мяча + 4 кубика.
Но также по условию 2 мяча по весу равны машине и кубику. Зна-
чит,
2 машины = машина + кубик + 4 кубика.
Убираем из обеих частей равенства по машине:
машина = 5 кубиков.
5 Ответ: выгоднее второй вариант.
Решение. Разделим туннель на одинаковые очень маленькие участ-
ки. За каждый участок нужно платить в зависимости от того, за
какое время он прорыт: чем быстрее, тем меньше платить. Так как
первый крот роет быстрее, то платить ему нужно меньше. Следо-
вательно, выгоднее, чтобы он прорыл как можно большую часть
тоннеля. Если каждый будет копать свою часть, то первым кротом
будет прорыта ровно половина туннеля. А если копать до встречи,
то так как первый копает быстрее, то эта встреча произойдёт на
половине второго, а значит, второй пророет больше половины.
6 Ответ: 1 р. 23коп.
Решение. 9 конфет стоят 11 рублей с копейками, т.е. не меньше
11 рублей, что составляет 1100 копеек. Значит, одна конфета не
может стоить меньше 123 копеек= 1р.23коп. 13 конфет стоят 15
рублей с копейками, т.е. строго меньше 16 рублей, что составля-
ет 1600 копеек. Значит, одна конфета не может стоить больше 123
копеек= 1р.23коп.
7 Ответ: 8.
Решение. Обозначим количество орехов в ящиках a, b, c соответ-
ственно. Тогда условие задачи можно записать так:
a + 6 = b + c
b + 10 = a + c.
Сложив эти равенства, получим:
a + b + 16 = a + b + c + c.
Убираем одинаковые буквы-ящики:
16 = c + c.
А значит, одно c равно 8, т.е. в третьем ящике 8 орехов.
8 Решение. Из того что Карлсон уже съел столько, сколько еще
осталось съесть Малышу, следует, что если бы они ели не два пи-
рога, а один и тот же, то он был бы съеден. При этом в течение
этих трёх минут Карлсон ел не всё время. Значит, если бы они с
Малышом начали есть один пирог, причём одновременно, то они
управились бы с ним меньше, чем за три минуты.
Работа 12. Можно или нельзя
Во всех задачах сегодняшнего занятия нужно дать ответ «Да» или
«Нет». Если ответ «Да», то нужно привести пример, когда такое
может быть. Если ответ «Нет», то нужно объяснить, почему.
1 Ваня говорит: «Позавчера мне было ещё только 10 лет, а в сле-
дующем году исполнится уже 13». Может ли такое быть?
2 Можно ли на шахматной доске расставить 9 ладей так, чтобы
они не били друг друга?
3 а) Существуют ли такие два последовательных натуральных
числа, что сумма цифр каждого из них делится на 4?
б) А два последовательных числа с равной суммой цифр?
4 Может ли в месяце быть а) 3; б) 4; в) 5; г) 6 воскресений?
5 Можно ли разрезать квадрат на квадратики двух размеров так,
чтобы маленьких было столько же, сколько и больших?
6 Кролик, готовясь к приходу гостей, повесил в трёх углах своей
многоугольной норы по лампочке. Пришедшие к нему Винни-Пух
и Пятачок увидели, что не все горшочки с мёдом освещены. Когда
они полезли за мёдом, две лампочки разбились. Кролик перевесил
оставшуюся лампочку в некоторый угол так, что вся нора оказалась
освещена. Могло ли такое быть?
7 Лиса и два медвежонка делят 100 конфет. Лиса раскладывает
конфеты на три кучки; кому какая достанется — определяет жре-
бий. Лиса знает, что если медвежатам достанется разное количество
конфет, то они попросят её уравнять их кучки, и тогда она заберёт
излишек себе. После этого все едят доставшиеся им конфеты.
а) Придумайте, как Лисе разложить конфеты по кучкам так, что-
бы съесть ровно 80 конфет (ни больше, ни меньше).
б) Может ли Лиса сделать так, чтобы в итоге съесть ровно 65 кон-
фет?
8 На территории страны, имеющей форму квадрата со стороной
1000 км, находится 51 город. Страна располагает средствами для
прокладки 11000 км. Сможет ли правительство страны соединить
сетью дорог все свои города?
Ответы и решения
1 Ответ: да, может.
Решение. Пусть Ваня родился 31 декабря 1999 года. А сегодня 1
января 2011 года. Тогда позавчера, 30 декабря, Ване было 10 лет.
На следующий день, 31 декабря, будет его День Рождения, и ему
исполнится 11 лет. В этом, 2011 году ему исполнится 12 лет, а в
следующем, 2012 году ему исполнится 13 лет.
2 Ответ: нет, нельзя.
Решение. В каждом столбце шахматной доски может стоять не
более одной ладьи. Значит, на всей доске может стоять не более 8
ладей. Но 9 > 8, значит, так расставить 9 ладей не удастся.
3 а) Ответ: да, существуют.
Решение. Например, 39 и 40.
б) Ответ: нет, не существуют.
Решение. Известно, что число дает такой же остаток при делении
на 3, что и сумма его цифр. У двух последовательных чисел остатки
при делении на 3 разные, значит, и у сумм их цифр тоже разные.
Таким образом, они не могут быть равны.
4 а) Ответ: нет, не может.
Решение. Предположим, что это произошло, например, в месяц
M. Ясно, что если бы M начинался в понедельник, то воскресений
в нем было не больше, чем есть сейчас. Но тогда бы в M было
всего три недели и еще 6 дней, т.е. всего 27 дней. Но минимальное
количество дней в месяце — 28. Значит, такого не может быть.
б) Ответ: да, может.
Решение. См. пример на рисунке. Это февраль 2011 года.
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28
в) Ответ: да, может.
Решение. См. пример на рисунке. А это май 2011 года.
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31
г) Ответ: нет, не может.
Решение. Если такое возможно, то в этом месяце умещается цели-
ком 5 недель. Т.е. в нем хотя бы 35 дней. Но такого быть не может.
5 Ответ: да, можно.
Решение. См. рис.
6 Ответ: Да, могло.
Решение. Пример см. на рис. Лампочки обозначены кружочками.
7 а) Ответ: 10, 10 и 80 конфет.
Решение. Покажем, что ответ удовлетворяет условию. Если Лисе
достанется 80 конфет, то задача решена. Если ей достанется 10 кон-
фет, то ей придется уровнять кучки медвежат и забрать 70 конфет.
Так, она съесть 10 + 70 = 80 конфет.
б) Ответ: нет, не может.
Решение. Медвежата съедят одинаковое число конфет. Значит, в
сумме они съедят четное число конфет. Но т.к. 100 — четное число,
то и Лиса съест четное число. Но 65 — нечетное, т.е. такого не может
быть.
8. Ответ: да, сможет.
Решение. Построим 5 горизонтальных дорог длиной 1000 км так,
чтобы верхняя и нижняя отставали от верхней и нижней границы
на 100 км, а между соседними дорогами было расстояние 200 км (см.
рис.). Еще построим вертикальную дорогу, соединяющую верхнюю
и нижнюю. Уже построено
5 · 1000 + 800 = 5800 км дорог.
Заметим, что дороги образуют сеть. Чтобы все города образовыва-
ли сеть, достаточно соединить каждый из них с уже построенными
дорогами. Заметим, что расстояние от любого города до ближайшей
горизонтальной дороги не превосходит 100 км. Значит, сумма таких
расстояний не превосходит 51 · 100 = 5100 км. 5100 + 5800 < 11000,
значит, стране удастся справиться.

Работа 13. Пары и чередование
1 Барон Мюнхаузен, вернувшись из кругосветного путешествия,
рассказывает, что по пути он пересёк границу Трапезундии ровно
7 раз. Стоит ли доверять его словам?
2 В джунглях во время кругосветного путешествия на Мюнхау-
зена напали пантеры. Когда он проскочил мимо двух из них, они
бросились на него, промахнулись и загрызли друг друга. Мюнхау-
зен повторял этот манёвр ещё раз и ещё, до тех пор, пока все они не
загрызли друг друга. По словам Мюнхаузена всего было 97 пантер.
Правда ли это?
3 Кузнечик прыгает по прямой — каждый раз на 1 метр влево
или вправо. Через некоторое время он оказался в исходной точке.
Докажите, что он сделал чётное число прыжков.
4 Из комплекта домино выбросили все кости с «пустышками».
Можно ли оставшиеся кости по правилам выложить в ряд?
5 За круглым столом сидят мальчики и девочки. Докажите, что
количество пар соседей мальчик–девочка и девочка–мальчик чётно.
6 Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, поворачи-
вая на 90◦ каждые 30 минут. Докажите, что она может вернуться в
исходную точку только: а) через целое число часов; б) через чётное
число часов.
7 На шахматной доске стоят 8 ладей, из которых никакие две не
бьют друг друга. Докажите, что число ладей стоящих на чёрных
полях чётно.
8 К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же циф-
рами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра
полученной суммы чётна.

Ответы и решения
1 Ответ: нет.
Решение. Заметим, что после четного числа пересечений Мюнхау-
зен будет находиться с той же стороны от границы, что и до этого.
Поскольку 7 — нечетное число, такого быть не могло.
2 Ответ: нет.
Решение. Так как каждый раз какие-то две пантеры загрызали
друг друга, то после каждого маневра число пантер уменьшалось
на 2. В конце пантер не осталось, значит, вначале их было четное
число.
3 Решение. Пусть A — исходная точка. Заметим, что после каж-
дого прыжка расстояние до точки A меняет четность. Изначально
расстояние равно нулю. Значит, когда он вновь попадет в исходную
точку, он совершит четное число прыжков.
4 Ответ: нет.
Решение. Заметим, что среди оставшихся доминошек тройка встре-
чается 7 раз. Значит, она — с краю. Аналогично получим, что с краю
находятся остальные 5 доминошек. Противоречие
5 Решение. Объединим каждую группу подряд сидящих мальчи-
ков в одного мальчика, а каждую группу подряд сидящих девочек
в одну девочку. Тогда поскольку дети одного пола рядом теперь не
сидят, между ними четное число мест, а, значит, и число требуемых
пар четно.
6 Решение. Заметим, что чтобы вернуться в исходную точку,
нужно пройти одинаковое расстояние влево и вправо, а также вверх
и вниз. Пусть улитка поднималась вверх a раз, а влево — b раз.
Тогда она ползла 2 · 30 · a + 2 · 30 · b = 60(a + b). Отсюда следует, что
она ползла четное число часов. Поскольку после каждого движения
по вертикали следует движение по горизонтали и наоборот, то числа
a и b одной четности. Значит, улитка ползла четное число часов.
7 Решение. Пронумеруем числами от 1 до 8 вертикали слева
направо и горизонтали сверху вниз соответственно. Суммой коор-
динат клетки назовем сумму номеров ее вертикали и горизонтали.
Тогда пусть у черных клеток сумма координат четна, тогда у бе-
лых она нечетна. Заметим, что сумма координат клеток, на которых
стоят 8 ладей, четна (она равна удвоенной сумме чисел от 1 до 8).
Но тогда число ладей, стоящих на белых клетках, четно (сумма ко-
ординат белой клетки нечетна), значит, и число ладей на черных
клетках четно.
8 Решение. Предположим, что все цифры суммы нечетны. Раз-
берем два случая.
1) Сумма первой и последней цифры числа меньше 10. Ясно,
что в этом случае не будет ни одного перехода через разряд. Дей-
ствительно, допустим в предпоследнем разряде произошел переход
через десяток, но тогда сумма первой и последней цифры четна, что
неверно по предположению. Продолжая так далее, получим треубе-
мое. Но тогда, складывая средние цифры чисел, получим четную
цифру.
2) Сумма первой и последней цифры числа не меньше 10. Тогда
получим что переход через разряд чередуется с непереходом через
разряд при движении справа налево. Но тогда в десятом разряде
не будет перехода, и в девятом разряде сложатся две одинаковые
цифры, т.е. получится четная цифра.
Работа 14. Комбинаторика
1 Из деревни Филимоново в деревню Ксенофонтово ведут три до-
роги, а из деревни Ксенофонтово в деревню Оладушкино — четыре
дороги. Сколько существует путей из деревни Филимоново в дерев-
ню Оладушкино?
2 От дачного посёлка проложили две дороги до деревни Фили-
моново и одну дорогу до Оладушкино. Сколько теперь существует
путей от Филимоново до Оладушкина?
3 В киоске продаются открытки, на каждой из которых изобра-
жены цветы: либо розы, либо гвоздики, либо тюльпаны. Кроме то-
го, на каждой открытке есть поздравительная надпись: либо «С
Днём рождения!», либо «С Новым годом!», либо «С 8 марта!». Ка-
кое наибольшее число различных открыток может продаваться в
этом киоске?
4 В магазине «Всё для чая» есть 5 видов чашек, 4 вида блюдец и 2
вида ложек. Сколькими способами в этом магазине можно купить:
а) набор из чашки, блюдца и ложки;
б) набор, состоящий из двух разных предметов?
5 Назовём натуральное число «симпатичным», если в его записи
встречаются только чётные цифры. Сколько существует четырёх-
значных «симпатичных» чисел?
6 В футбольной команде нужно выбрать капитана и его заме-
стителя. Сколькими способами это можно сделать? (В футбольной
команде 11 игроков.)
7 В классе учатся 25 человек. Сколькими способами можно вы-
брать двух дежурных?
8 Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трёх букв: А, Б и В.
Словом называется любая последовательность, состоящая не более,
чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?
9 Меню школьной столовой не меняется и состоит из 10 блюд.
Для разнообразия Витя хочет каждый день заказывать такой набор
блюд, который он ещё ни разу не заказывал (при этом число блюд
не важно — он может заказать все 10 блюд, а может заказать только
одно или вовсе ни одного). Сколько дней он сможет так питаться?

Ответы и решения
1 Ответ: 12.
Решение. Из Филимоново в Ксенофонтово можно доехать тремя
способами. Для каждого такого способа есть еще 4 варианта доехать
до Оладушкино. Значит, ответ 3 · 4 = 12.
2 Ответ: 14.
Решение. Рассмотрим пути из Филимоново до Оладушкино. Каж-
дый из этих путей либо проходит через дачный поселок, либо нет.
Путей, не проходящих через него, 12 (см. 1 задачу). Путей, проходя-
щих через дачный поселок всего 2. Значит, всего путей 12 + 2 = 14.
3 Ответ: 9.
Решение. Для каждого из трех видов цветов есть еще три спо-
соба сделать надпись. Значит, всего видов открыток 3 · 3 = 9. А
это и есть наибольшее число различных открыток, которое может
продаваться в киоске.
4 а) Ответ: 40.
Решение. Чашку можно выбрать 5 способами, блюдце — 4 и ложку
— 2. Значит, всего способов 5 · 4 · 2 = 40.
б) Ответ: 38.
Решение. Этот набор может состоять из чашки и блюдца (таких
наборов 5 · 4 = 20), чашки и ложки (таких наборов 5 · 2 = 10)
или блюдца и ложки (таких наборов 4 · 2 = 8). Т.е. всего способов
20 + 10 + 8 = 38.
5 Ответ: 500.
Решение. На первое место симпатичного четырехзначного числа
можно поставить одну из четырех цифр: 2, 4, 6, 8. На каждую из
оставшихся трех позиций можно поставить одну из пяти цифр: 0, 2,
4, 6, 8. Значит, всего симпатичных четырехзначных чисел 4·5·5·5 =500.
6 Ответ: 110.
Решение. Капитана можно выбрать 11 способами, а для каждого
способа выбрать капитана есть еще 10 способов выбрать его заме-
стителя. Т.е. всего способов 11 · 10 = 110.
7 Ответ: 300.
Решение. Сначала найдем количество способов выбрать старшего
дежурного и его помощника. Это можно сделать 25 · 24 способами.
Заметим, что каждая пара из двух человек A и B была посчитана
дважды (когда B помощник A и A помощник B). Значит, всего
способов выбрать двух дежурных 24 · 25 : 2 = 12 · 25 = 300.
8 Ответ: 120.
Решение. Отдельно посчитаем количество слов из одной, двух,
трех и четырех букв. Каждую букву в каждом слове можно выбрать
тремя способами. Т.е. всего слов 3+32+33+34 = 3+9+27+81 = 120.
9 Ответ: 1024.
Решение. Заметим, что каждое блюдо можно либо заказать, либо
нет. Т.е. для каждого блюда есть два варианта. Тогда всего разных
заказов можно составить
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 1024.
Значит, Витя сможет так питаться 1024 дня.

Работа 15. Перебор вариантов
1 Выпишите все наборы из трёх цифр, каждая из которых рав-
на 1, 2 или 3, если порядок цифр неважен (т.е. наборы 112 и 121
считаются одинаковыми).
2 В коробке лежат синие, красные и зеленые карандаши. Всего 20
штук. Синих в 6 раз больше, чем зеленых, красных меньше, чем
синих. Сколько в коробке красных карандашей?
3 В январе некоторого года было 4 понедельника и 4 пятницы.
Каким днем недели могло быть 20-е число этого месяца?
4 В коробке лежат костяшки домино. На рисунке показано только,
как расположены половинки доминошек, но не показаны границы.
Определите, как они проходят.
5 Перечислите все четвёрки натуральных чисел, дающих в сумме 15.
6 Летела стая одноголовых сороконожек и трёхголовых драконов.
Вместе у них 648 ног и 39 голов. Сколько ног у дракона?
7 Поставьте вместо многоточий числа так, чтобы получилось верное высказывание: «В этом предложении цифра 0 встречается . . . раз,
цифра 1 — . . . раз, 2 — . . . раз, 3 — . . . раз, 4 — . . . раз, 5 — . . . раз,
6 — . . . раз, 7 — . . . раз, 8 — . . . раз, 9 — . . . раз». (Слово «раз»
может склоняться.)
56
8 Найдите путь от левого верхнего «а» до правого нижнего «я»,
который проходит по одному разу через каждую букву алфавита.
(Ходить можно на соседнюю букву по вертикали или горизонтали.)
а о д т ч з у а
р и щ ш й п к ю
ю й н ы ж е щ е
п г л ц ь ъ э б
ч и б ш г ъ ф л
д м ь ж н э с е
х ё ц о ы ф р с
в к з в ё м х я

Ответы и решения
1 Ответ: 111, 112, 113, 122, 123.
Решение. Будем считать набор трехзначным числом. Достаточ-
но выписать все трехзначные числа, состоящие только из единиц,
двоек и троек, цифры которых идут в порядке неубывания. Числа
можно выписать, например, в порядке возрастания.
2 Ответ: 6.
Решение. Пусть в коробке лежит a зеленых и b красных каранда-
шей. Тогда синих карандашей 6a. Тогда всего карандашей в коробке
a + b + 6a = 7a + b = 20. Т.к. 7a ≤ 20, то a = 1 или a = 2. Если
a = 1, тогда синих карандашей 6, а красных 13. Но 13 > 6, т.е. этот
случай не подходит. Если a = 2, то синих 12, а красных 6. Этот
случай подходит.
3 Ответ: Воскресеньем.
Решение. Ясно, что если январь начинался с субботы, воскресенья
или понедельника, то в нем хотя бы 5 понедельников. Аналогично,
если он начинался со среды, четверга или пятницы, то в нем хотя
бы 5 пятниц. Значит, этот январь начинался со вторника. Тогда,
22-е вторник, а 20-е воскресенье.
4 Ответ:
Решение. Будем называть доминошкой a|b доминошку, у которой
на одной половинке a точек, а на другой — b.
Предположим, что первая доминошка вертикальная. Тогда до-
миношка 0|4 уже использована. Но при любом дальнейшем разби-
ении оставшаяся половинка с четырьмя точками образует вторую
доминошку 0|4, чего не может быть.
Значит, первые две доминошки горизонтальные. Но тогда по-
следние две доминошки не могут быть горизонтальными (иначе по-
лучится сразу две пары совпадающих доминошек), значит, послед-
няя доминошка вертикальная. Тогда предпоследняя доминошка не
может быть вертикальной, т.к. 0|4 уже использована. Т.е. две пред-
последние горизонтальные. Т.к. доминошка 0|1 уже использована,
получаем разбиение, как в ответе.
5 Ответ: Всего 27 четверок: (1, 1, 1, 12), (1, 1, 2, 11), (1, 1, 3, 10),
(1, 1, 4, 9), (1, 1, 5, 8), (1, 1, 6, 7), (1, 2, 2, 10), (1, 2, 3, 9), (1, 2, 4, 8), (1, 2, 5, 7),
(1, 2, 6, 6), (1, 3, 3, 8), (1, 3, 4, 7), (1, 3, 5, 6), (1, 4, 4, 6), (1, 4, 5, 5), (2, 2, 2, 9),
(2, 2, 3, 8), (2, 2, 4, 7), (2, 2, 5, 6), (2, 3, 3, 7), (2, 3, 4, 6), (2, 3, 5, 5), (2, 4, 4, 5),
(3, 3, 3, 6), (3, 3, 4, 5), (3, 4, 4, 4).
6 Ответ: 6, 44.
7 Ответ: В этом предложении цифра 0 встречается 1 раз, цифра
1 — 11 раз, цифра 2 — 2 раза, цифра 3 — 1 раза, цифра 4 — 1 раз,
цифра 5 — 1 раз, цифра 6 — 1 раз, цифра 7 — 1 раза, цифра 8 — 1
раз, цифра 9 — 1 раз.
8 Ответ:
а(1) д(7) т(8) ч(9) з(10) у(11)
р(2) и(5) щ(6) п(13) к(12)
ю(3) й(4) ж(15) е(14)
л(18) ц(17) ь(16)
б(19) ш(20) г(21) ъ(22) ф(23)
н(26) э(25) с(24)
о(28) ы(27)
в(29) ё(30) м(31) х(32) я(33)

Работа 16. Разрезания – II
1 Разрежьте нарисованную фигуру на две одинаковые (совпадающие при наложении) части.
2 На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколь-
ко частей разделена поверхность глобуса? Меридиан — это дуга, со-
единяющая Северный полюс с Южным. Параллель — окружность,
параллельная экватору (экватор тоже является параллелью).
3 Разрежьте изображенную на рисунке доску на 4 одинаковые
части так, чтобы каждая из них содержала ровно 3 закрашенные
клетки.
4 Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на две части, из
которых можно сложить треугольник.
5 Пару доминошек 1 × 2 назовём гармоничной, если они образуют
квадрат 2 × 2. Существует ли разбиение доски 8 × 8 на доминошки,
в котором ровно одна гармоничная пара?
6 Четырехугольник с длинами сторон 1, 1, 1 и 2, две из которых
параллельны, разбит на четыре одинаковые фигуры. В результате
верхняя сторона разделилась на четыре отрезка. Найти отношение
длины большего отрезка к меньшему.
7 Разрежьте по клеточкам на 4 части фигуру, изображённую на
рисунке, и сложите из них квадрат.
8 а) Можно ли шахматную доску разрезать на доминошки 1 × 2?
б) А если из шахматной доски вырезали одну угловую клетку, то
получится разрезать?
в) А если вырезали две клетки: левую нижнюю и левую верхнюю?
г) А если левую нижнюю и правую верхнюю?

Ответы и решения
1 Решение.
2 Ответ: 432.
Решение. Сначала проведем только меридианы. Область между
двумя соседними меридианами назовем долькой. Пока глобус раз-
бит на 24 дольки. 17 параллелей делят каждую дольку на 18 частей.
Т.е. всего частей 24 · 18 = 432.
3 Решение.
4 Решение.
5 Ответ: да, существует.
Решение.
6 Ответ: 5.
Решение. Заметим, что нижняя сторона в два раза больше верх-
ней. Верхнюю сторону можно составить из трех маленьких и одного
большого отрезка, нижнюю — из трех больших и одного маленько-
го. Тогда
6 маленьких + 2 больших = 3 больших + 1 маленький.
Тогда маленький в 5 раз меньше большого.
7 Решение.
8 а) Ответ: да, можно.
Решение. Шахматную доску можно разрезать на 8 полосок 1 × 8,
а каждую такую полоску на 4 доминошки.
б) Ответ: нет, не получится.
Решение. Каждая доминошка занимает 2 клетки. Т.е. если фигуру
можно разрезать на доминошки, то в ней четное число клеток. Но
8 · 8 − 1 = 63 нечетно.
в) Ответ: да.
Решение. Эту доску можно разбить на одну полоску 1 × 6 и 7
полосок 1 × 8. Каждую из них можно разрезать на доминошки.
г) Ответ: нет.
Решение. Пусть поля этой доски покрашены, как в шахматах.
Заметим, что вырезанные поля одного цвета. Любая доминошка
покрывает одну белую и одну черную клетку. Т.е. при разбиении
фигуры на доминошки количество белых и черных клеток должно
быть одинаково. Но клеток одного цвета 30, а другого 32.

Работа 17. Взвешивания
Во всех задачах сегодняшнего занятия речь идёт о чашечных весах.
У них две чашки, и при взвешивании перевешивает та чашка, на
которой груз тяжелее.
1 Есть три монеты. Среди них одна фальшивая, которая весит
меньше настоящей. Как с помощью одного взвешивания определить
фальшивую монету?
2 Есть девять монет. Среди них одна фальшивая, которая весит
меньше настоящей. Как с помощью двух взвешиваний определить
фальшивую монету?
3 Среди 101 монеты есть одна фальшивая, которая по весу отлича-
ется от настоящей. Но на этот раз неизвестно, в какую сторону. За
два взвешивания определите, легче или тяжелее настоящей фаль-
шивая монета. (Саму монету определять не нужно.)
4 Имеются четыре гири. Одна из них большая и тяжелая, вторая
поменьше и полегче, третья — еще меньше и еще легче, а четвер-
тая — самая маленькая и самая легкая. Гири по очереди ставятся
на чашки весов (на каждый раз берется любая из гирь и ставится
на любую чашку весов). Можно ли, не зная точного веса гирь, по-
ложить по одной их все на весы в таком порядке, чтобы сначала
три раза перевешивала левая чашка, а последний раз — правая?
5 Есть 5 монет. Из них три настоящие, одна — фальшивая, кото-
рая весит больше настоящей, и одна — фальшивая, которая весит
меньше настоящей. За три взвешивания определите обе фальшивые
монеты.
6 В 9 мешках лежат настоящие монеты (по 10 г), а в одном —
фальшивые (11 г). Одним взвешиванием на двухчашечных весах со
стрелкой определите, в каком мешке фальшивые монеты. (Стрелка
показывает, на сколько масса монет на «тяжёлой» чашке больше,
чем на «лёгкой».)
7 Имеются 64 монеты, все разные по весу. За не более, чем 94
взвешивания, определите самую лёгкую и самую тяжёлую монеты.

Ответы и решения
1 Решение. Положим на каждую чашу по монете. Если весы
находятся в равновесии, то фальшивая монета — это третья, если
же какая-то чаша оказалась легче, то на ней и лежит фальшивая
монета.
2 Решение. Положим на каждую чашу по три монеты. За первое
взвешивание можно узнать в какой группе из трех монет находится
фальшивая. А из трех монет за одно взвешивание находить фаль-
шивую мы научились в предыдущей задаче.
3 Решение. Положим на каждую чашу по 50 монет. Если чаши
будут весить одинаково, то оставшаяся монета фальшивая, а моне-
ты, которые лежат на чашах, настоящие. Чтобы узнать, тяжелее
или легче весит фальшивая настоящей, достаточно сравнить ее с
любой настоящей монетой.
Если же одна из чаш весит больше другой, то возьмем ее и разо-
бьем на две кучки по 25 монет. Если они весят одинаково, то фаль-
шивая монета была на другой чаше, значит, фальшивая легче. Если
же одна из чаш перевесит, то фальшивая монета была в этих 50,
т.е. фальшивая тяжелее.
4 Решение. Пусть самая тяжелая гиря — A, вторая — B, третья
— C и четвертая — D. Сначала положим на левую чашу гирю B.
Левая чаша перевесит. Затем добавим к не гирю D. Левая чаша
опять перевесит. Теперь положим на правую чашу гирю C. Т.к. B
весит больше C, то левая снова перевесит. Теперь поставим гирю A
на правую чашу. Т.к. A > B и C > D, правая чаша перевесит.
5 Решение. Первым взвешиванием сравним веса первых двух
монет. Вторым — веса третей и четвертой.
Покажем, что если в обоих взвешиваниях одна из чаш перевеши-
вала, то за оставшееся взвешивание можно установить фальшивые
монеты. Действительно, тяжелая монета не может лежать на лег-
кой чашке, а легкая на тяжелой. Также тяжелая и легкая монеты не
могли участвовать в одном взвешивании. Значит, в одном взвеши-
вании участвовали тяжелая и настоящая, а в другом — настоящая
и легкая. Т.е. оставшаяся монета настоящая. Остается сравнить ее
с монетой с тяжелой чаши, например, в первом взвешивании.
Очевидно, в обоих взвешиваниях чаши не могли находиться в
равновесии.
Если же в одном из взвешиваний чаши находились в равнове-
сии, то на ней лежали две настоящие монеты. Теперь взвесим насто-
ящую и оставшуюся. Мы можем узнать тип этой монеты. А далее
узнаем тип монет на чашах, находившихся в одном из первых двух
взвешиваний не в равновесии.
6 Решение. Пронумеруем мешки числами от 1 до 10. Из i-го
мешка возьмем i монет и положим на левую чашку. Ясно, что если
бы все монеты были настоящими, то левая чаша была бы на 550 г
тяжелее правой. А так она будет тяжелее правой на 550 + i г, где i
— номер мешка, из которого взяты фальшивые монеты.
7 Решение. Разобьем все монеты на 32 пары монет. Далее найдем
в каждой паре легкую и тяжелую монету(это делается за одно взве-
шивание). Очевидно, что самая легкая монета будет среди легких,
а самая тяжелая среди тяжелых. Действительно, самая легкая мо-
нета легче любой другой, а, значит, в своей паре она будет легкой.
Аналогично с тяжелыми.
У нас осталось 94 − 32 = 62 взвешивания.
Теперь возьмем все «легкие» монеты. Покажем, как за 31 взве-
шивание определить среди них самую легкую монету. Сначала по-
ложим на каждую чашу по монете. А далее будем повторять следу-
ющую операцию: после взвешивания будем убирать тяжелую моне-
ту, и класть вместо нее любую монету, которая еще не участвовала
во взвешиваниях. Ясно, что всего будет проведено 31 взвешивание.
А монета, которая останется на весах и будет самой легкой.
Аналогично за 31 взвешивание определим самую тяжелую мо-
нету.
Работа 18. Про время
1 В 4 часа дня с первого до последнего удара часов прошло 6
секунд. Сколько времени пройдет с первого до последнего удара в
полдень?
2 На часах, которые ходят точно, оторвались все цифры. Оста-
лись только деления без подписей. Как узнать, куда нужно вернуть
каждую цифру? (Других часов у вас нет.)
3 Катя на выполнение домашнего задания тратит на 10% больше
времени, чем Лена. А Маша тратит на 10% меньше времени, чем
Катя. Кто из девочек быстрее всего делает домашнее задание?
4 Водитель дальнобойного грузовика взглянул на приборы своей
машины и увидел, что спидометр показывает 25952. «Какое краси-
вое число я проехал. Наверное, не скоро выпадет следующее краси-
вое число», — подумал он. Однако через час двадцать минут на спи-
дометре высветилось следующее красивое число. С какой скоро-
стью ехал грузовик?
5 Есть двое песочных часов: на 5 минут и на 8 минут. Как можно
с их помощью засечь 7 минут?
6 Разрежьте циферблат на две части так, чтобы а) сумма чисел
в каждой части была одинаковой; б) сумма цифр в каждой части
была одинаковой.
7 Сколько раз в сутки стрелки часов образуют прямой угол?
8 Петин будильник испорчен: он спешит на 4 минуты в час. В 7
часов вечера Петя установил на нем точное время и поставил звонок
на 7 часов утра. Во сколько Петя проснётся?

Ответы и решения
1 Ответ: 22 секунды.
Решение. В 4 часа дня часы пробили четыре раза. Значит, между
любыми двумя ударами проходит 6/3 = 2 секунды. (Между 4 уда-
рами часов есть 3 промежутка.) Тогда в 12 часов между первым
и последним ударом есть 11 промежутков по 2 секунды, а значит,
между ними пройдет 22 секунды.
2 Решение. За 12 часов маленькая стрелка проходит полный
круг. За это время она несколько раз совпадает с минутной. Но
только один раз это происходит, когда и минутная, и часовая стрел-
ки показывают на одно и то же деление. Это происходит в 12 ча-
сов. Таким образом, можно узнать какое из отмеченных делений
соответствует 12. Остальные цифры нужно прикреплять последо-
вательно по ходу часовой стрелки.
3 Ответ: Маша.
Решение. Заметим, что т.к. Катино время больше, чем Ленино, то
и 10% от Катиного больше 10% от Лениного. Значит, Маша тратит
времени меньше Лены. Значит, она тратит меньше всего.
4 Ответ: 82, 5 км/ч. Решение. Красивых пятизначных чисел,
начинающихся на 25 больше нет. Т.е. следующее число начинается
на 26 (такое хотя бы одно есть, например, 26062). Заметим, что за-
дав первые две цифры красивого числа, мы задали и две последние:
26X62. Осталось выбрать минимально возможную третью цифру —
это 0. Значит, за час двадцать минут он проехал 26062−25952 = 110
км. Значит, его скорость равна 110
4/3
= 82, 5 км/ч.
5 Решение. Одновременно переворачиваем и те, и другие часы.
Когда в 5-минутных часах песок полностью окажется в нижней ча-
сти, перевернем их еще раз. Через 3 минуты песок полностью бу-
дет в нижней части в 8-минутных часах. В этот момент начинаем
отмерять 7 минут. Через две минуты весь песок будет внизу в 5-
минутных часах. Переворачиваем их, и когда он пересыпется еще
раз, пройдет ровно 2 + 5 = 7 минут с того момента, как мы стали
засекать время.
6 а) Ответ: см. рис.
б) Решение. Так разрезать невозможно. Если бы так разрезать
удалось, то суммы цифр в каждой из частей были бы равны, а,
значит, сумма всех цифр была бы четной. Убедимся, что это не
так:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + (1 + 0) + (1 + 1) + (1 + 2) =
45 + 1 + 2 + 3 = 51 — нечетное число.
7 Ответ: 44.
Решение. В сутки часовая стрелка делает 2 оборота, а минутная
— 24. Т.к. минутная стрелка обгоняет часовую 22 раза и каждый
раз с часовой стрелкой образует по два прямых угла, то ответ — 44.
8 Ответ: В 6 часов 15 минут.
Решение. Пусть у нас есть правильные часы и такие же часы, как
у Пети. Будем отмерять время и по тем, и по другим. Если с 7
часов вечера до того момента, когда зазвенел будильник, пройдет
x часов (или 60x минут), если отмерять по правильным часам, то
по петиным часам пройдет 64x минут. Так как будильник зазвенит,
когда петины часы будут показывать 7 часов утра, то по этим часам
с 7 вечера прошло 12 · 60 = 720 минут. То есть, 64x = 720. Тогда
x = 720/64 = 45/4. Значит, от 7 часов вечера до того момента, когда
зазвенит будильник, пройдет 45/4 часа или 11 часов 15 минут. Легко
посчитать, что будильник зазвенит в 6 часов 15 минут.

Работа 19. Разные задачи
1 У Кости есть 10 палочек длиной 50 см. Он хочет распилить их
так, чтобы получилось 50 палочек длиной 10 см. Сколько распилов
ему придется сделать?
2 Денежной единицей коротышек является фертинг. Можно ли
с помощью десяти купюр номиналом в 1 и 5 фертингов отсчитать
сумму в 31 фертинг?
3 В квадрате 7×7 закрасьте несколько клеток так, чтобы в каждой
строке и в каждом столбце было ровно три закрашенные клетки.
4 У скольких трёхзначных чисел средней цифрой является 0?
5 На острове рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, а
лжецы всегда лгут) в некоторой компании каждый заявил осталь-
ным: «Среди вас — два рыцаря». Сколько рыцарей могло быть в
этой компании?
6 В магазине продаётся шоколад в виде букв английского алфави-
та. Одинаковые буквы имеют одинаковую цену, а разные — разную.
Известно, что слово ONE стоит $6, слово TWO стоит $9, а слово
ELEVEN стоит $16. Сколько стоит слово TWELVE?
7 Сеня взял в долг у Гоши 19 рублей, обязуясь вернуть их в те-
чение 4 месяцев. Причём каждый месяц сумма выплаты должна
расти, составлять целое число рублей и нацело делиться на сум-
му выплаты в предыдущем месяце. Какую сумму выплатит Сеня в
последний месяц?
8 Найдите наибольшее натуральное число, любые две последова-
тельные цифры которого образуют точный квадрат.

Ответы и решения
1 Ответ: 40.
Решение. Для этого нужно каждую палочку разделить на 5 частей
по 10 см. Т.е. на каждой палочке сделать 4 распила. Тогда всего
распилов будет 4 · 10 = 40.
2 Ответ: нет, нельзя.
Решение. 1 и 5 — нечетные числа. Сумма десяти нечетных чисел
четна. Значит, 31 фертинг отсчитать не удастся.
3 Решение.
4 Ответ: у 90.
Решение. Первой цифрой может быть любая от 1 до 9 (всего 9),
а последней — любая от 0 до 9 (всего 10). Значит, таких чисел
9 · 10 = 90.
5 Ответ: 3 или 0.
Решение. Предположим, что был хотя бы один рыцарь. Тогда,
кроме него, должно быть еще ровно два рыцаря. Всего будет три
рыцаря. Ясно, что компания, в которой ровно 3 рыцаря и любое
количество лжецов удовлетворяет условию.
Пусть не было рыцарей. Нетрудно видеть, что компания из од-
них лжецов также удовлетворяет условию.
6 Ответ: $19.
Решение. Возьмем два слова ELEVEN и TWO. Заберем из этих букв
одну букву O, одну N и одну E. Тогда из оставшихся букв можно
сложить слово TWELVE. Значит, оно стоит 16 + 9 − 6 = 19 долларов.
7 Ответ: 12 рублей.
Решение. Заметим, что если в текущем месяце Сеня выплатил x
рублей, то в следующем месяце Сеня выплатит хотя бы 2x рублей.
Таким образом, если в первый месяц Сеня выплатил x рублей, то
всего он выплатит не менее x+2x+4x+8x = 15x рублей. Т.к. 15x ≤
19, то x = 1. Пусть во втором месяце Сеня выплатил y рублей. Тогда
всего он выплатит не менее 1+y+2y+4y = 1+7y рублей. 7y+1 ≤ 19
и y > 1, значит, y = 2. Если в третьем месяце Сеня выплатит не
менее 6 рублей, то в последнем не меньше 12, но 12 + 6 + 2 + 1 =
21 > 19. Значит, в третьем месяце Сеня выплатил 4 рубля. Тогда в
последний месяц Сеня выплатил 19 − 1 − 2 − 4 = 12 рублей.
8 Ответ: 81649.
Решение. Заметим, что в этом числе нет нулей, т.к. нет точного
квадрата из двух цифр, оканчивающегося на ноль. Тогда остав-
шихся возможных вариантов соседних цифр, образующих квадрат,
всего 6: 16, 25, 36, 49, 64, 81. Будем соединять числа ab и bc стрел-
кой, если после ab можно дописать c, не нарушив условие задачи,
т.е. bc — точный квадрат. Тогда любой путь по стрелкам — число,
удовлетворяющее условию задачи. Длина максимального пути — 3,
причем такой путь один. Пройдя по этому пути, получим наиболь-
шее число — 81649.
81
16 36
64
49
25
73
Работа 20. Идущие порознь
1 Винни-Пух и Пятачок вышли из своих домиков навстречу друг
другу и встретились через 2 минуты. Через какое время Пятачок
придет к дому Пуха, если скорость Винни-Пуха в два раза больше
скорости Пятачка?
2 Винни-Пух вышел из гостей от Кристофера Робина на 1 минуту
позже Пятачка. Через какое время он догонит Пятачка, если его
скорость в два раза больше скорости Пятачка?
3 Тигра и Винни-Пух пошли в гости к Кристоферу Робину. Сна-
чала Тигра побежал в два раза быстрее Винни-Пуха, но, пробежав
половину дороги, неожиданно утомился и оставшийся путь прополз
со скоростью в два раза меньшей скорости Винни-Пуха. Кто раньше
встретился с Кристофером Робином — Тигра или Винни-Пух?
4 Тигра умеет бегать со скоростью 30 километров в час и очень
хочет научиться тратить на каждый километр на одну минуту мень-
ше. С какой скоростью нужно научиться бегать Тигре?
5 Упрямый Винни-Пух решил дойти пешком до Северного полюса.
В 12 часов его нагнал Кристофер Робин на велосипеде и подвёз
до того места, откуда до Северного полюса оставалось столько же,
сколько Винни уже прошёл пешком. На Северном полюсе Винни-
Пух был в 14 часов. Сколько времени потребуется Винни-Пуху на
обратный путь пешком, если известно, что на велосипеде его везли
со скоростью вдвое большей, чем он ходит пешком?
6 Юля и Таня делали уроки. Каждая из них начала с математики,
затем выучила стихотворение, следом прочитала текст на англий-
ском языке и, наконец, выполнила упражнение по русскому языку.
На каждый предмет у Юли уходило в два раза меньше времени,
чем на предыдущий, а у Тани — в 4 раза меньше времени, чем на
предыдущий. Начали и закончили они одновременно. Что делала
Таня, когда Юля взялась за русский язык?
7 Двое бегут с разной скоростью вниз по эскалатору метро. Кто
из них насчитает больше ступенек — кто бежит быстрее, или кто
бежит медленнее?
8 Однажды улитка заползла на вершину бамбука, который растет
так, что каждая его точка поднимается вверх с одной и той же ско-
ростью. Путь вверх занял у улитки 7 часов. Отдохнув на вершине
бамбука ровно час, она спустилась на землю за 8 часов. Во сколько
раз скорость улитки больше скорости роста бамбука (обе скорости
постоянны)?

Ответы и решения
1 Ответ: через 4 минуты.
Решение. Путь от места их встречи до дома Пуха Пух прошел за 2
минуты. А т.к. скорость Пятачка в два раза меньше, то он пройдет
этот путь за 4 минуты.
2 Ответ: через 1 минуту.
Решение. За одну минуту Пух проходит то же расстояние, что и
Пятачок за 2 минуты. Значит, он догонит Пятачка через минуту.
3 Ответ: Винни-Пух.
Решение. Когда Тигра пробежит половину пути, Пух пройдет
только четверть. Затем Пуху останется пройти три четверти пу-
ти. За это время Тигра проползет только 3/8 пути, что меньше
половины. Т.е. Пух придет раньше.
4 Ответ: 60 км/ч.
Решение. Т.к. Тигра тратит на каждые 30 километров 60 минут, то
на каждый километр он тратит 2 минуты. Если он будет тратить
на каждый километр на одну минуту меньше, то будет бегать со
скоростью 1 км/мин, или 60 км/ч.
5 Ответ: 4 часа.
Решение. Пусть S — место, с которого начал свой путь Пух, K —
место, где он встретился c Кристофером Робином, L — место, с ко-
торого он снова пошел пешком, N — Северный полюс. На обратном
пути Пуху надо пройти путь NS = NL + LK + KS = 2NL + LK.
При этом за 2 часа Пух проходит отрезок LS и проезжает отре-
зок KL. Значит, за 4 часа он проходит отрезок KL и два отрезка
LS = NL. Т.е. путь NS он пройдет за 4 часа.
6 Ответ: учила стихотворение.
Решение. Пусть Юля делала русский x минут, а Таня — y минут.
Тогда на оставшиеся предметы они потратили: Юля x + 2x + 4x +
8x = 15x минут, а Таня y + 4y + 16y + 64y = 85y минут. Т.к. начали
и закончили они одновременно, то 85y = 15x. Значит, x =
17
3
y. Но
тогда Юля начал делать русский через A = 14 ·
17
3
y =
238
3
y = 79 1
3
y
минут. Т.к. Таня начала учить стихотворение через 64y < A минут,
76
а закончила через 80y > A минут, то когда Юля взялась за русский
язык, Таня учила стихотворение.
7 Ответ: тот, кто быстрее.
Решение. Насчитает ступенек больше тот, кто пробежит по са-
мому эскалатору большее расстояние. А пробежит тот, кто бежит
быстрее.
8 Ответ: в 9 раз.
Решение. Всего улитка провела на бамбуке 7 + 1 + 8 = 16 часов.
Пусть, поднимаясь вверх, улитка проползла расстояние равное x, а
за 1 час отдыха и 8 часов спуска улитки бамбук подрос на y. Тогда,
спускаясь вниз, улитка проползла x + y. Составим выражения для
определения скорости улитки при движении вверх по бамбуку: x
7
;
и при спуске:
x + y
8
. Получим, что x
7
=
x + y
8
, т.е. 8x = 7x+ 7y, или
x = 7y.
Так как бамбук подрос на y за 9 часов, скорость его роста равна
y/9. Выполняя деление последнего равенства на 7, получим, что
x/7 = 7y/7, откуда x/7 = 9 ·
y
9
.
Значит, скорость роста бамбука в 9 раз меньше скорости улитки.

 


Категория: Математика | Добавил: Админ (27.03.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar