Тема №8428 Решение задач из школьной олимпиады по математике 376
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач из школьной олимпиады по математике 376 из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач из школьной олимпиады по математике 376, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Условия задач основного турнира
Группа 1А
169. В выпуклый многоугольник вписан треугольник площади S. Докажите, что найдутся такие три вершины многоугольника, что площадь
треугольника с вершинами в этих точках больше или равна S.
172. У пятизначного числа вычеркнули третью цифру. Полученное число оказалось делителем исходного. Найдите все такие пятизначные
числа.
173. Даны 30 точек, являющихся вершинами правильного тридцатиугольника. Какое наибольшее число треугольников с вершинами в этих
точках можно выбрать таким образом, чтобы каждый треугольник
имел сторону, не являющуюся стороной других выбранных треугольников?
174. Через середину S отрезка MN, концы которого лежат на боковых
сторонах равнобедренного треугольника, проведена прямая, параллельная основанию треугольника и пересекающая боковые стороны в
точках K и L. Докажите, что ортогональная проекция отрезка MN
на основание треугольника равна отрезку KL.
176. В стране N > 3 городов, попарно соединенных дорогами. Дороги принадлежат M компаниям (причем M > N). Докажите, что найдутся
три города, попарно соединенных дорогами трех разных компаний.
177. Два игрока по очереди записывают натуральные числа в клетки прямоугольной таблицы 7 × 9. Первый выигрывает, если после заполнения таблицы число строк с нечетной суммой больше, чем число
строк с четной; в противном случае выигрывает второй игрок. Кто
выиграет при правильной игре?
178. Найдите все функции f(x), определенные для всех x, удовлетворяющие соотношению xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y).
179. Докажите неравенство x
12 − x
9 + x
4 − x + 1 > 0.
180. Пусть AL — это биссектриса остроугольного треугольника ABC. Докажите, что расстояние между ортоцентрами 4ABL и 4ACL не превосходит |AB − AC|.
181. Решите в натуральных числах (x − y)
2 = НОК(x, y).
182. Можно ли в таблице 11 × 11 расставить натуральные числа от 1 до
121 так, чтобы числа отличающиеся друг от друга на 1 располагались
в клетках с общей стороной, а все точные квадраты попали в один
столбец?
184. Докажите, что если двугранные углы трехгранного угла прямые, то
его плоские углы тоже прямые.
186. На сторонах AB, BC, CD, DA описанного параллелограмма ABCD
выбраны соответственно точки E, F, G, H таким образом, что EF и
GH касаются вписанной в ABCD окружности. Докажите, что EH и
FG параллельны.
187. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора {1, 2,
3, . . . , 40} так, чтобы никакие два из выбранных чисел при перемножении не давали точного квадрата?
188. В стране некоторые города соединены дорогами (каждая дорога соединяет ровно два города), причем можно проехать по каждой дороге ровно по одному разу, вернувшись в итоге в исходный город.
Выяснилось, что если, выехав из города Центральный, проехать по
нескольким дорогам (по каждой — не больше одного раза), то всегда
можно после этого вернуться в Центральный, проехав по всем оставшимся дорогам ровно по одному разу. Докажите, что тогда любой
замкнутый маршрут проходит через Центральный.
189. На координатной плоскости отмечено 19 точек с целочисленными координатами. Никакие три точки не лежат на одной прямой. Докажите, что из них можно выбрать такие три точки, что точка пересечения
медиан в треугольнике, образованном выбранными точками, также
имеет целочисленные координаты.
190. Действительные числа w, x, y, z из отрезка [−π/2, π/2] удовлетворяют соотношениям: sin w + sin x + sin y + sin z = 1,
cos 2w + cos 2x + cos 2y+ + cos 2z > 10/3. Докажите, что эти числа
лежат в отрезке [0, π/6].
191. В треугольнике ABC точка D — середина AB, а точка E на стороне
BC такова, что BE = 2EC и ∠ADC = ∠BAE. Найдите ∠BAC.
192. Найдите все многочлены P(x), для которых 16P(x2) = (P(2x))2.
193. Докажите, что при любых натуральных a и d в последовательности
a, a + d, a + 2d, . . . , a + nd, . . . найдутся 100 подряд идущих членов,
не являющихся квадратами натуральных чисел.
194. В стране Конкуренции 2008 городов, некоторые из которых соединены прямыми авиарейсами (в обе стороны). Докажите, что можно
распределить эти рейсы между 1004 авиакомпаниями так, чтобы ни
одна авиакомпания не могла предоставить своим пассажирам кольцевой маршрут более чем по двум городам.
196. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD, в котором
∠DAC = ∠BDC = 36◦
, ∠CBD = 18◦ и ∠BAC = 72◦
, пересекаются в точке P. Найдите ∠AP D.
197. В последовательности целых чисел a1, a2, . . . есть бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов. Для
каждого n числа a1, a2, . . . , an дают попарно различные остатки при
делении на n. Сколько раз в последовательности встречается число
2008?
198. Пусть B0 — середина стороны AC треугольника ABC. Обозначим
через A1 центр вписанной окружности треугольника ABB0, а через
A2 — центр его вневписанной окружности, касающейся стороны AB.
Аналогично для треугольника CBB0 определим точки C1 и C2. Докажите, что четырехугольник A1A2C2C1 — вписанный.
200. Найдутся ли такие различные вещественные числа a, b, c, что прямые
y = ax + b, y = bx + c, y = cx + a пересекаются в одной точке?
202. Требуется расставить на шахматной доске ладьи четырех различных
цветов, так чтобы ладей всех цветов было поровну, и никакие ладьи
разного цвета не били друг друга. Найдите наибольшее число ладей,
при котором это возможно.
203. Дана полуокружность с центром O и диаметром AB. На ней отмечены
точки P, Q и C. Прямые BP и AQ пересекаются в точке S. Известно,
что C — ортоцентр 4SPQ. Чему может быть равен ∠POQ?
204. Треугольник разрезан на треугольники так, что вершина одного треугольника не может лежать на стороне другого треугольника. Внутри
исходного треугольника оказалось 100 вершин треугольников разбиения. Докажите, что в какой-то из вершин внутри исходного треугольника сходится не более 5 треугольников.
206. В треугольнике ABC сторона AB больше AC. Биссектриса внешнего угла A пересекает описанную окружность треугольника ABC в
точке E. Точка F — основание перпендикуляра, опущенного из E на
прямую AB. Докажите, что 2AF = AB − AC.
207. Пусть n > 2 — целое число. Какая цифра стоит после запятой в
десятичной записи числа √3
n3 + 2n2 + n?
208. Последовательность натуральных чисел a1, a2, . . . , a2
n удовлетворяет
соотношению ak 6 k. Докажите, что из неё можно выбрать неубывающую подпоследовательность, состоящую из n + 1 члена.
209. В параллелограмме ABCD, в котором DC = 2AD, из точки C опущен перпендикуляр CE на прямую AD. Докажите, что угол BME в
три раза больше угла AEM, если M — середина стороны AB.
210. An и an — последовательности натуральных чисел. При этом, любое натуральное x можно единственным образом представить в виде
x = x1A1 + . . . + xN AN , где все xn — целые, 0 6 xn 6 an и xN 6= 0.
Докажите, что Ak 6= Aj при k 6= j.
211. В левом нижнем углу доски n × n стоит хромой король, умеющий
ходить только в трех направлениях: вправо, вверх и по диагонали
вправо-вверх. Обозначим An количество всех его маршрутов, ведущих в противоположный угол доски, а через An — количество таких
маршрутов, не заходящих в левый столбец и верхнюю строчку(кроме
начальной и конечной позиции). Докажите, что An = 2An−1.
213. Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде «налево»
некоторые повернулись налево, некоторые — направо, а остальные
— кругом. Всегда ли сержант сможет встать в строй так, чтобы с
обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему
лицом?
214. Даны три точки A, B, C. Где на прямой AC нужно выбрать точку M,
чтобы сумма радиусов окружностей, описанных около треугольников
ABM и CBM, была наименьшей?
215. Найдите две последние цифры в десятичной записи числа: 1! + 2!+
+3! + . . . + 2007! + 2008!
216. В некоторой фирме 2008 сотрудников, любые два из которых либо
друзья, либо враги. Может ли быть так, что у любой пары друзей
есть общий враг, а у любой пары врагов есть общий друг?
Группа 1Б
217. Функция f : N → N удовлетворяет условиям: f(1) = 1, f(2n) = f(n),
f(2n + 1) = f(2n) + 1. Для скольких натуральных n из промежутка
от 1 до 2007 включительно f(n) = 7?
9
218. Решите уравнение: (x+1)21 +(x+1)20(x−1)+(x+1)19(x−1)2 +. . . +
+(x − 1)21 = 0.
219. В 4ABC угол B равен 60◦
, I — центр вписанной окружности,
C1 — точка, симметричная точке C относительно середины отрезка
BI. Докажите, что ∠CAB = 2∠C1AB.
220. Найдите все натуральные a, b, c такие, что НОД(a, b) + НОД(b, c)+
+НОД(a, c) =a + b + c2.
221. Несколько последовательных натуральных чисел выписали в строку в таком порядке, что сумма любой тройки подряд идущих чисел
делится нацело на самое левое число тройки. Какое максимальное
количество чисел могло быть выписано, если последнее число строки
нечетно?
222. Докажите, что из любых десяти различных двузначных натуральных
чисел можно выбрать две различные непересекающиеся группы чисел
так, что сумма чисел в обеих группах будет одинаковой.
223. На продолжениях углов A, B и C треугольника ABC площади S во
внешнюю сторону отложены отрезки, равные соответствующим противоположным сторонам треугольника. Концы построенных отрезков
(отличные от A, B, C) образуют выпуклый шестиугольник. Докажите, что его площадь не меньше 13S.
224. В стране 2007 железных дорог, которые соединяют между собой города, в каждом из которых — по одному вокзалу. Министерство путей
сообщения собирается продать эти вокзалы в собственность нескольким фирмам, но Антимонопольный комитет требует, чтобы любые
два вокзала одной фирмы не были соединены между собой дорогой.
Какое наименьшее количество фирм надо привлечь МПС к продаже
вокзалов, чтобы гарантированно выполнить требование Антимонопольного комитета?
225. Пусть функция f определена на множестве натуральных чисел, принимает натуральные значения и при всех n > 1 удовлетворяет условию 2 + f(n + 1) = f(n) + (n + f(n))2
. Докажите, что если f(1) 6= 1,
то f(f(1)) делится на f(1) + 1.
226. В 4ABC угол B равен 60◦
, I — центр вписанной окружности, C1
— точка, симметричная точке C относительно середины отрезка BI.
Докажите, что ∠CAB = 2∠C1AB.
227. На балу каждый кавалер танцевал с тремя дамами, а каждая дама с
тремя кавалерами. Докажите, что число кавалеров равно числу дам.
228. В квадрате ABCD со стороной 1 на сторонах AB, BC, CD и DA
отмечены точки M, N, K и L соответственно так, что AM + AL+
+CN+CK = 2. Докажите, что прямые MK и NL перпендикулярны.
229. Известно, что корни уравнения x
3 + px2 + qx + r = 0 положительны.
Докажите, что из отрезков, длины которых равны этим корням, можно составить треугольник тогда и только тогда, когда p
3−4pq+8r > 0.
231. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству ab = cd. Докажите, что число a
2007 + b
2007 + c
2007 + d
2007 составное.
232. В Циссильвании 2008 жителей. Трое из них — вампиры, но мало кому
известно, кто именно. Заезжий писатель м-р Стокер попросил каждого жителя назвать двух человек, которые, по его мнению, являются
вампирами. Каждый вампир назвал двух других вампиров, а остальные могли назвать кого угодно. Докажите, что, пользуясь данными
опроса (и зная, что вампиров в Циссильвании ровно трое), м-р Стокер
может выбрать себе проводника, не являющегося вампиром.
233. Треугольник ABC вписан в окружность, причем AB > BC; M — середина дуги AC, расположенная с той же стороны от прямой AC, что
и точка B. Докажите, что основание P перпендикуляра, опущенного
на отрезок AB из точки M, делит ломаную ABC пополам.
11
234. Про функцию f, определенную на множестве натуральных чисел, известно, что f(m) 6= f(n), если |m − n| — простое число. Какое наименьшее число значений может принимать такая функция?
235. Докажите неравенство x
12 − x
9 + x
4 − x + 1 > 0.
236. Решите в целых неотрицательных числах уравнение: 2
m + 3
n = k
2
.
237. Найдите все такие a и b, что уравнения x
2+ax+b
2 = 0 и x
2+bx+a
2 = 0
имеют общий корень.
238. В некотором государстве 2008 городов, причем каждые два города соединены прямым рейсом автобуса или поезда. Пользуясь только одним из этих двух видов транспорта, невозможно объехать 16 городов,
побывав в каждом ровно один раз, и вернуться обратно. Докажите,
что, пользуясь только одним видом транспорта, невозможно объехать
17 городов, побывав в каждом ровно один раз, и вернуться обратно.
239. Две окружности ω1 и ω2 с разными радиусами пересекаются в точках
A и B. Точки P и Q лежат на ω1, R и S — на ω2, причем PR и QS
— общие касательные ω1 и ω2. Докажите, что ортоцентры треугольников APQ, BPQ, ARS, BRS образуют прямоугольник.
240. Гвоздь, три винта и два шурупа вместе весят 24 грамма; два гвоздя,
четыре шурупа и пять винтов вместе весят 44 грамма. Сколько весят
вместе три гвоздя, четыре винта и шесть шурупов?
241. Докажите неравенство x
12 − x
9 + x
4 − x + 1 > 0.
242. В тупоугольном треугольнике все стороны выражаются целыми числами, а один острый угол в два раза больше другого. Какое наименьшее значение может принимать его периметр?
243. Вписанная окружность ω треугольника PBC касается BC и PC в
точках U и V соответственно. Точка S на стороне BC такова, что
BS = CU. PS пересекает ω в двух точках, из которых Q — ближайшая к P. Рассмотрим точку W на PC такую, что PW = CV . Пусть
BW и PS пересекаются в точке R. Докажите, что PQ = RS.
12
244. В турнире принимают участие 20 команд. В каждой игре встречаются
две команды. К настоящему моменту каждая команда сыграла как
минимум одну игру, а всего состоялось 14 игр. Докажите, что можно
найти 6 игр (среди состоявшихся), в которых приняли участие 12
различных команд.

247. В треугольнике ABC окружность, проходящая через вершины A и
C, пересекает стороны AB и BC в точках C1 и A1 соответственно.
Оказалось, что точки A1, B, C1 и точка P пересечения прямых AA1 и
CC1 образуют описанный четырехугольник. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
248. Решите в натуральных числах (x − y)
2 = НОК(x, y).
249. За круглым столом сидят 2008 детей, не более 669 из которых —
мальчики. Докажите, что найдется девочка, для которой выполнено
следующее условие: среди любых нескольких подряд сидящих детей,
крайняя из которых — эта девочка, девочек больше половины.
250. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD, в котором
∠DAC = ∠BDC = 36◦
, ∠CBD = 18◦ и ∠BAC = 72◦
, пересекаются в точке P. Найдите ∠AP D.
251. Число называется прекрасненьким, если оно делится на произведение
всех своих ненулевых цифр. Докажите, что 14 прекрасненьких чисел
не могут идти подряд.
252. Пусть B0 — середина стороны AC треугольника ABC. Обозначим
через A1 центр вписанной окружности треугольника ABB0, а через
A2 — центр его вневписанной окружности, касающейся стороны AB.
13
Аналогично для треугольника CBB0 определим точки C1 и C2. Докажите, что четырехугольник A1A2C2C1 — вписанный.
253. В последовательности a1, a2, . . . целых чисел есть бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов. Для
каждого n числа a1, a2, . . . , an дают попарно различные остатки при
делении на n. Сколько раз в последовательности встречается число
2008?

255. Требуется расставить на шахматной доске ладьи четырех различных
цветов, так чтобы ладей всех цветов было поровну, и никакие ладьи
разного цвета не били друг друга. Найдите наибольшее число ладей,
при котором это возможно.
256. Треугольник разрезан на треугольники так, что вершина одного треугольника не может лежать на стороне другого треугольника. Внутри
исходного треугольника оказалось 100 вершин треугольников разбиения. Докажите, что в какой-то из вершин внутри исходного треугольника сходится не более 5 треугольников.
257. В левом нижнем углу доски n × n стоит хромой король, умеющий
ходить только в трех направлениях: вправо, вверх и по диагонали
вправо-вверх. Обозначим An количество всех его маршрутов, ведущих в противоположный угол доски, а через An — количество таких
маршрутов, не заходящих в левый столбец и верхнюю строчку(кроме
начальной и конечной позиции). Докажите, что An = 2An−1.
258. Дан вписанный четырехугольник ABCD, такой что
∠ABC + ∠ABD = 90◦
. На диагонали BD отмечена точка E,
такая что BE = AD. Из нее на сторону AB опущен перпендикуляр
EF. Докажите, что CD + EF < AC.
14
259. Найдите две последние цифры в десятичной записи числа: 1! + 2!+
+3! + . . . + 2007! + 2008!
260. Найдите наименьшее значение выражения
y
x
, если известно, что x
2−
−10x + y
2 − 2y + 1 = 0.
261. На листе бумаги нарисован правильный треугольник со стороной
2007. Параллельно его сторонам проведены прямые, разбивающие
его на 20072 правильных треугольников со стороной 1. Федя и Саша ходят по очереди. Каждый своим ходом обводит фломастером
замкнутую не самопересекающуюся ломаную, проходящую по сторонам единичных треугольников и являющуюся границей выпуклого
многоугольника. При этом различные ломаные не должны иметь общих точек. Начинает Федя, проигрывает тот, кто не имеет хода. Кто
выиграет при правильной игре?
262. AE и CD — высоты остроугольного треугольника ABC. Биссектриса
угла B пересекает отрезок DE в точке F. На отрезках AE и CD взяли
такие точки P и Q соответственно, что четырёхугольники ADFQ и
CEFP — вписанные. Докажите, что AP = CQ.
263. Десять школьников стоят в ряд. Каждую минуту какие-то два соседних школьника меняются местами. Через некоторое время выяснилось, что каждый из школьников успел побывать на первом и последнем местах. Докажите, что прошло не менее 65 минут.
264. Докажите, что при положительном x выполняется неравенство 4x
17+
+17x
15 6 17x
19 + 4.

Школа №33(1) — Лицей №2 г. Рыбинска. 23 мая 2008 г.
265. Каждая сторона равностороннего треугольника разделена на 6 равных частей, через точки деления проведены прямые, параллельные
сторонам, делящие исходный треугольник на 36 маленьких треугольничков. В каждой из вершин этих треугольничков сидит по жуку.
15
Они одновременно начинают двигаться по линиям деления с равными скоростями. Когда жук попадает в вершину треугольничка, он
поворачивает на 60 или 120 градусов. Докажите, что через некоторое время какие-то два жука окажутся в одной вершине маленького
треугольничка.
266. Вещественные числа a, b, c и d удовлетворяют неравенству abcd > a
2+
+b
2 + c
2 + d
2
. Докажите, что abcd > a + b + c + d + 8.
267. На клетчатой бумаге нарисован выпуклый четырехугольник ABCD
с вершинами в узлах сетки. Сумма углов при вершинах A и B меньше 180◦
. Диагонали этого четырехугольника пересекаются в точке
E. Докажите, что внутри или на границе треугольника ABE кроме
точек A и B найдется еще узел сетки.
268. Найдите все натуральные t, при которых уравнение x(x + t) = y
2 не
имеет решений в натуральных числах x, y.
269. Какое количество ладей на доске 50 × 50 можно расставить так, чтобы каждое поле (как пустое, так и занятое) было побито одинаковым
числом ладей. (Ладья бьет поле или другую ладью на той же вертикали или горизонтали, если между ними нет других фигур. Ладья
себя не бьет.)
270. Точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC, а точка
M — середина стороны BC. Прямая MI пересекает сторону AB в
точке D, а прямая, проходящая через B перпендикулярно AI пересекает отрезок CI в точке K. Докажите, что KD параллельно AC.
271. Найдите все многочлены P(x) с вещественными коэффициентами, обладающие следующим свойством: если значение a
2 −b
2 рационально,
то число P(a) − P(b) тоже рационально.
272. Все натуральные числа раскрашены в k цветов так, что цвет
НОД(a, b) однозначно определяется цветами a и b (например, цвет
НОД синего и красного чисел всегда синий). При каких k верно, что
тогда цвет НОД(a, b) всегда совпадает с цветом числа a или с цветом
числа b?
Группа 2А
ФМЛ г. Углича — Лицей №86. 31 октября 2007 г.
16
273. Докажите, что если какая-нибудь пара значений переменных x и y
удовлетворяет уравнениям x
2 − 3xy + 2y
2 + x − y = 0 и x
2 − 2xy+
+y
2−5x+7y = 0, то эта же пара удовлетворяет уравнению xy−12x+
+15y = 0.
274. Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из
которых отметили одну сторону. Докажите, сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.
275. Пусть p и q — два целых нечётных числа. Докажите, что уравнение
x
2 + 2px + 2q = 0 не может иметь рациональных корней.
276. В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым две партии: одну белыми фигурами, другую — черными. По окончании турнира оказалось, что все набрали одинаковое количество очков (за победу дается 1 очко, за ничью — 1/2 очка, за поражение 0 очков).
Докажите, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число партий белыми.
277. Пусть AB и CD — две перпендикулярные хорды окружности с центром O, пересекающиеся в точке E; N и T середины отрезков AC
и BD соответственно. Докажите,что четырехугольник ENOT — параллелограмм.
278. На столе лежат семь карточек. За один ход разрешается перевернуть
любые пять карточек. Какое наименьшее число ходов необходимо совершить, чтобы перевернуть все карточки?
279. На стороне AC треугольника ABC взята точка B1. Пусть I — центр
вписанной окружности треугольника. Окружность, описанная около треугольника AB1I, вторично пересекает сторону AB в точке C1.
Окружность описанная около треугольника CB1I, вторично пересекает сторону BC в точке A1. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A1B1C1 не зависит от положения точки B1 на
стороне AC.
280. Докажите, что если a, b, c и A, B, C — вещественные числа, удовлетворяющие соотношениям aC − 2bB + cA = 0 и ac − b
2 > 0, то
AC − B2 6 0.

281. Докажите, что для t > 1 выполняется неравенство t
11/5−2t
2/3+1 > 0.
282. В треугольнике ABC угол C в три раза больше угла A. На стороне
AB взята такая точка D, что BD = BC. Найдите CD, если AD = 4.
283. Вася задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, снова
зачеркнул последнюю цифру результата и получил число 21. Какое
число задумал Вася?
284. При каких значениях a сумма четвертых степеней корней уравнения
x2 − x + a = 0 принимает наименьшее значение?
285. В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе AB = 10 проведена высота CH. Тока K — середина BC. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника CHK.
286. В группе из 100 человек каждый имеет не более 10 знакомых среди
остальных. Докажите, что можно выбрать 10 человек, никакие двое
из которых не знакомы друг с другом.
287. Решите уравнение: (x + 1)5 + (x + 1)4
(x − 1) + (x + 1)3
(x − 1)2 + (x + 1)2
(x − 1)3 + (x + 1)(x − 1)4 + (x − 1)5 = 0.
Школа №1 — Лицей №86. 29 февраля 2008 года.
289. Каждый сотрудник компании «Кока-кола» имеющий четное число
знакомых среди сотрудников, послал им по письму, а каждый из
остальных сотрудников послал по письму всем незнакомым. Тедди
получил 99 писем. Докажите, что он получит ещё хотя бы одно письмо.
291. Внутри треугольника ABC и на биссектрисе его угла B выбрана
такая точка M, что AM = AC и ∠BCM = 30◦. Докажите, что ∠AMB = 150◦.
292. У Гарри есть мышонок и много лягушат. Гарри может превращать
лягушат в мышат и наоборот по следующему правилу: если мышат
и лягушат не поровну, то количество тех животных, которых было
меньше половины, удваивается. После того как Гарри сумел проделать эту операцию 17 раз подряд, мышат впервые оказалось в два
раза больше, чем лягушат. Сколько животных было у Гарри?
293. Даны три квадратных трехчлена с попарно различными старшими
коэффициентами. Графики любых двух из них имеют ровно одну общую точку. Докажите, что все три графика имеют ровно одну общую
точку.
294. В параллелограмме ABCD, AB + CD = AC. На стороне BC находится такая точка K, что ∠ADB = ∠BDK. Найдите BK : KC.
295. Сколько десятизначных чисел можно составить так, чтобы любые две
соседние цифры отличались на единицу, если в их десятичной записи
можно использовать только цифры 1, 2 и 3?
296. На столе расставлены в один ряд N стаканов, перевернутые вверх
дном. Разрешается одновременно переворачивать два стакана, стоящие через один. При каких значениях N можно добиться того, чтобы
все стаканы стояли дном вниз?

Группа 2Б
Провинциальный колледж — Школа №58. 27 октября 2007 г.
297. Докажите, что если какая-нибудь пара значений переменных x и y
удовлетворяет уравнениям x
2 − 3xy + 2y
2 + x − y = 0 и x
2 − 2xy+
+y
2−5x+7y = 0, то эта же пара удовлетворяет уравнению xy−12x+
+15y = 0.
298. В выпуклом четырехугольнике ABCD с прямым углом C на стороне
CD взята такая точка P, что ∠AP D = ∠BPC и ∠BAP = ∠ABC.
Докажите, что BC = (AP + BP)/2.
19
299. p и q — нечетные простые числа. Сумма натуральных чисел a и b
равна q, а a
p + b
p — точный квадрат. Докажите, что p = q.
300. Какое наименьшее число соединений требуется для организации проводной сети связи из 10 узлов, чтобы при выходе из строя любых двух
узлов связи сохранялась возможность передачи информации между
любыми двумя оставшимися (хотя бы по цепочке через другие узлы)?
301. Пусть p и q — два нечетных числа. Докажите, что уравнение x
2+2px+
+2q = 0 не может иметь рациональных корней.
302. На столе лежат семь карточек. За один ход разрешается перевернуть
любые пять карточек. Какое наименьшее число ходов необходимо совершить, чтобы перевернуть все карточки?
304. На стороне AC треугольника ABC взята точка B1. Пусть I—центр
вписанной окружности треугольника. Окружность, описанная около треугольника AB1I, вторично пересекает сторону AB в точке C1.
Окружность описанная около треугольника CB1I, вторично пересекает сторону BC в точке A1. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A1B1C1 не зависит от положения точки B1 на
стороне AC.
307. Может ли сумма попарных расстояний между вершинами 25 - вершинного дерева быть равна 1225?
308. Через центр вписанной окружности четырехугольника ABCD проведена прямая. Она пересекает сторону AB в точке X и сторону CD в точке Y ; углы ∠AXY и ∠DY X равны. Докажите, что
AX/BX = CY/DY .
309. В каждой клетке таблицы 37 × 5 (37 строк, 5 столбцов) стоит число
от 1 до 10. В каждой строке числа упорядочены слева на право в
неубывающем порядке. На любой диагональной линии направления
вправо-вниз все числа равны. Докажите, что в таблице есть строка,
содержащая 5 одинаковых чисел.
310. В параллелограмме ABCD, AB + CD = AC. На стороне BC находится такая точка K, что ∠ADB = ∠BDK. Найдите BK : KC.
314. На сторонах AB, BC, CD, DA описанного параллелограмма ABCD
выбраны соответственно точки E, F, G, H таким образом, что EF и
GH касаются вписанной в ABCD окружности. Докажите, что EH и
FG параллельны.
315. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора {1, 2,
3, . . . , 40} так, чтобы никакие два из выбранных чисел при перемножении не давали точного квадрата?
316. В селе Ивановском живут n > 100 человек. Житель села называется
общительным, если у него не менее 100 знакомых среди односельчан.
Докажите, что в Ивановском найдутся либо два знакомых между
собой общительных жителя, либо два незнакомых между собой необщительных жителя.
317. На координатной плоскости отмечено 19 точек с целочисленными координатами. Никакие три точки не лежат на одной прямой. Докажите, что из них можно выбрать такие три точки, что точка пересечения
медиан в треугольнике, образованном выбранными точками, также
имеет целочисленные координаты.
318. Действительные числа w, x, y, z из отрезка [−π/2, π/2] удовлетворяют соотношениям: sin w + sin x + sin y + sin z = 1,
cos 2w + cos 2x + cos 2y+ + cos 2z > 10/3. Докажите, что эти числа
лежат в отрезке [0, π/6].
319. В треугольнике ABC точка D — середина AB, а точка E на стороне
BC такова, что BE = 2EC и ∠ADC = ∠BAE. Найдите ∠BAC.
320. Из квадрата со стороной 5 клеток вырезали одну клетку, после чего его разрезали на 8 одинаковых прямоугольников размером 3 × 1.
Какую клетку изначально вырезали из квадрата?
321. Дан квадрат 10 000 × 10 000. Какое наименьшее количество клеток
надо отметить в этом квадрате так, чтобы в каждом квадрате 10×10
и в каждой горизонтальной полоске 1 × 100 была отмечена хотя бы
одна клетка?
322. В магазине было 6 ящиков, массы которых соответственно 15, 16, 18,
19, 20 и 31 килограммов. Две фирмы приобрели 5 ящиков, причем
одна из них взяла по массе яблок в два раза больше, чем другая.
Какой ящик остался в магазине?
323. Действительные числа w, x, y, z из отрезка [−π/2, π/2] удовлетворяют соотношениям: sin w + sin x + sin y + sin z = 1,
cos 2w + cos 2x + cos 2y+ + cos 2z > 10/3. Докажите, что эти числа
лежат в отрезке [0, π/6].
324. Пятиугольник ABCDE описан около окружности ω. Сторона BC
касается ω в точке K. Известно, что AB = BC = CD. Докажите,
что ∠EKB = 90◦.
325. В стране некоторые города соединены дорогами (каждая дорога соединяет ровно два города), причем можно проехать по каждой дороге ровно по одному разу, вернувшись в итоге в исходный город.
Выяснилось, что если, выехав из города Центральный, проехать по
нескольким дорогам (по каждой — не больше одного раза), то всегда
можно после этого вернуться в Центральный, проехав по всем оставшимся дорогам ровно по одному разу. Докажите, что тогда любой
замкнутый маршрут проходит через Центральный.
326. Найдите все многочлены P(x) с вещественными коэффициентами, обладающие следующим свойством: если значение a
2 −b
2 рационально,
то число P(a) − P(b) тоже рационально.
327. В выпуклом четырехугольнике ABCD на диагонали BD выбраны точки P и Q так, что точки идут в порядке B, P, Q, D и
BP = PQ = QD. Прямая AP пересекает сторону BC в точке E, а
прямая AQ пересекает сторону CD в точке F. Докажите, что ABCD
является параллелограммом тогда и только тогда, когда E и F — середины сторон BC и CD соответственно.
328. На координатной плоскости отмечено 19 точек с целочисленными координатами. Никакие три точки не лежат на одной прямой. Докажите, что из них можно выбрать такие три точки, что точка пересечения
медиан в треугольнике, образованном выбранными точками, также
имеет целочисленные координаты.

Группа 3А

329. Диагонали трапеции равны. Докажите, что она равнобокая.
331. На балу каждый кавалер танцевал с тремя дамами, а каждая дама с
тремя кавалерами. Докажите, что число кавалеров равно числу дам.
332. Решите уравнение (x + 2)4 + x
4 = 82.
333. Докажите, что для t > 1 выполняется неравенство t
11/5−2t
2/3+1 > 0.
334. Чему может равняться угол B треугольника ABC, если известно, что
расстояние между основаниями высот, опущенных из вершин A и C,
равно половине радиуса описанной около треугольника окружности?
335. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству ab = cd. Докажите, что число a
2007 + b
2007 + c
2007 + d
2007 составное.
336. В Циссильвании 2008 жителей. Трое из них — вампиры, но мало кому
известно, кто именно. Заезжий писатель м-р Стокер попросил каждого жителя назвать двух человек, которые, по его мнению, являются
вампирами. Каждый вампир назвал двух других вампиров, а остальные могли назвать кого угодно. Докажите, что, пользуясь данными
опроса (и зная, что вампиров в Циссильвании ровно трое), м-р Стокер
может выбрать себе проводника, не являющегося вампиром.
337. Пусть ABCD — произвольный четырехугольник, K, L, M, N есть
соответственно середины сторон AB, BC, CD, AD. Докажите, что
KLMN — параллелограмм.
338. При каких значениях a минимум функции f(x) = |x + a| + |x − a| на
отрезке [−1, 1] больше максимума функции g(x) = |x
2 + ax| на этом
же отрезке?
339. Решите уравнение x
3 + x
2 + x + 1/3 = 0.
24
340. В футбольном чемпионате участвовали 16 команд. Каждая команда сыграла с каждой по одному разу, за победу давалось 3 очка, за
ничью 1 очко, за поражение 0. Назовем команду успешной, если она
набрала хотя бы половину от наибольшего возможного количества
очков. Какое наибольшее количество успешных команд могло быть в
турнире?
341. Докажите, что если число 2
n − 1 простое, то число n тоже простое.
342. Каждая клетка квадрата 10 × 10 раскрашена в один их двух цветов.
За одну операцию можно любой прямоугольник 1 × 3 перекрасить в
преобладающий в нем цвет. Докажите, что такими операциями можно сделать весь квадрат одноцветным.
345. В ряд выложили несколько апельсинов, мандаринов, яблок и груш.
Известно, что рядом с фруктом каждого вида можно найти фрукт
любого другого вида. Какое наименьшее количество фруктов могло
быть выложено.
346. В треугольнике ABC точка D — середина AB, а точка E на стороне
BC такова, что BE = 2EC и ∠ADC = ∠BAE. Найдите ∠BAC.
347. Решите неравенство (x
x − 7x − 6) • sin x > 0.
348. Из квадрата со стороной 5 клеток вырезали одну клетку, после чего его разрезали на 8 одинаковых прямоугольников размером 3 × 1.
Какую клетку изначально вырезали из квадрата?
350. В алфавите языка племени УЫУ всего две буквы: У и Ы, причем
этот язык обладает такими свойствами: если из слова выкинуть стоящие рядом буквы УЫ, то смысл слова не изменится. Точно так же
смысл слова не изменится при добавлении в любое место слова буквосочетания ЫУ или УУЫЫ. Можно ли утверждать, что слова УЫЫ
и ЫУУ имеют одинаковый смысл?
351. Муха сидит на внешней поверхности круглого стакана. Ей надо переползти в другую точку, лежащую на внутренней поверхности стакана. Найдите кратчайший путь мухи (толщиной стенок стакана пренебречь).
Школа №43 — Кузнечихинская СОШ. 24 ноября 2007 г.
353. На доске выписали в порядке возрастания все целые числа от 1 до
10000, а потом стерли те, которые не делятся ни на 4, ни на 11. Какое
число окажется 2007-м?
354. Три двузначных числа таковы, что сумма любых двух из них равна числу, отличающемуся от третьего лишь порядком цифр. Какой
может быть сумма всех трех чисел?
355. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы,
которые всегда врут. Однажды на острове собрались 12 человек. Двое
сказали: «Среди нас два лжеца», четверо сказали: «Среди нас четыре
лжеца», а каждый из оставшихся шестерых сказал: «Среди нас шесть
лжецов». Сколько же лжецов могло быть на самом деле?
356. 50 детей водят хоровод. Докажите, что найдутся хотя бы двое, каждый из которых держит за руки либо двух мальчиков, либо двух
девочек.
357. Три окружности попарно касаются друг друга внешним образом. Радиусы их относятся как 1 : 2 : 3. Найдите углы треугольника, составленного из точек касания окружностей.
358. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S
и основанием ABCD. Известно, что сторона основания этой пирамиды равна 6, а высота SH = 4. Найдите радиус шара, вписанного в
трехгранный угол при вершине C, касающегося вписанного в пирамиду шара, и целиком лежащего внутри пирамиды.
361. Пусть ABCD — произвольный четырехугольник, K, L, M, N есть
соответственно середины сторон AB, BC, CD, AD. Докажите, что
KLMN — параллелограмм.
362. При каких значениях a минимум функции f(x) = |x + a| + |x − a| на
отрезке [−1, 1] больше максимума функции g(x) = |x
2 + ax| на этом
же отрезке?
363. Решите уравнение x
3 + x
2 + x + 1/3 = 0.
364. В футбольном чемпионате участвовали 16 команд. Каждая команда сыграла с каждой по одному разу, за победу давалось 3 очка, за
ничью 1 очко, за поражение 0. Назовем команду успешной, если она
набрала хотя бы половину от наибольшего возможного количества
очков. Какое наибольшее количество успешных команд могло быть в
турнире?
365. Докажите, что если число 2
n − 1 простое, то число n тоже простое.
366. Имеется 11 пустых коробок. За один ход можно положить по одной
монете в какие-то 10 из них. Играют двое, ходят по очереди. Побеждает тот, после хода которого впервые в одной из коробок окажется
21 монета. Кто выигрывает при правильной игре?
367. В государстве несколько воинских частей, каждая из которых соединена десятью телефонными линиями с другими частями. Из каждой
части можно дозвониться в любую другую (возможно, через другие части). Вражеский шпион перерезал один провод. Докажите, что
связь между всеми частями сохранилась.
368. Докажите, что если двугранные углы трехгранного угла прямые, то
его плоские углы тоже прямые.
369. Найдите значение выражения: (1 + tg 1)(1 + tg 2). . .(1 + tg 44◦).
370. На горизонтальной прямой s произвольным образом катаются две
окружности, радиусы которых r и R. К ним проведены две общие
внутренние касательные, пересекающиеся в точке M. По какой траектории движется точка M?
371. Назовём натуральное число «замечательным», если оно самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него суммой
цифр. Сколько существует трехзначных «замечательных» чисел?
372. В селе Ивановском живут n > 100 человек. Житель села называется
общительным, если у него не менее 100 знакомых среди односельчан.
Докажите, что в Ивановском найдутся либо два знакомых между
собой общительных жителя, либо два незнакомых между собой необщительных жителя.
373. Найдите все натуральные значения n, для которых выполняется равенство n
3 − n = n!
28
374. Окружность, проходящая через вершины B и C прямоугольного треугольника ABC, пересекает гипотенузу AC в точке X. Касательные
к этой окружности, проведенные в точках X и B, пересекаются в точке Y . Докажите, что точка Y лежит на средней линии треугольника
ABC, параллельной стороне BC, или на ее продолжении.
375. Квадратный трехчлен ax2 + bx + c не имеет корней и a + b + c > 0.
Найдите знак коэффициента c.
376. Найдите наибольшее возможное значение выражения:
20x − 4y + 6z − 2x
2 − 4y
2 − 3z
2 − 2.

 

Категория: Математика | Добавил: Админ (27.09.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar