Тема №8384 Решение задач по математике 11
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по математике 11 из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по математике 11, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

7.2. В классе из 26 учеников после диктанта учительница поставила 9
двоек. Двоечник Петя сказал, что если бы он один получил двойку, то все
равно нашлось бы 9 учеников, получивших одну и ту же оценку. Прав ли
Петя? Обоснуйте свой ответ. Добрая учительница никогда не ставит оценку
«1».
Ответ. Петя прав.
Решение. Если бы каждую оценку от 3 до 5 получили не более 8 учеников, то
количество учеников бы не превосходило 1+3·8=25. Так как учеников 26>25,
то какую-то оценку получили не менее 9 учеников.


7.3. Числа от 1 до 10000 выписали в порядке возрастания на доске. Затем
стали стирать по порядку числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3. Какое
число было стерто 2014-тым?
Ответ. 6041.
Решение. Заметим, что стираются только те числа, которые дают остаток 1
или 5 при делении на 6. В каждой шестерке подряд идущих чисел
вычеркивается ровно 2 числа. Значит, для получения 2014 чисел надо взять
1007 шестерок. Число под номером 2014 будет давать остаток 5 при делении
на 6 в 1007-й шестерке. Это число 6·1007-1=6041.


7.4. Квадрат разрезали на два прямоугольника с целыми длинами сторон. У
каждого прямоугольника посчитали площадь и периметр. Получившиеся 4
числа записали в порядке возрастания: 16; 20; 28; 48. Найдите размеры
исходного квадрата и покажите как его разрезали.
Ответ. Квадрат 8
×8 разрезали на прямоугольники 2
×8 и 6
×8
Решение. Два числа, образующие площади должны давать в сумме площадь
квадрата с целыми сторонами. Из всех попарных сумм квадратами являются
только 16+20=36 и 16+48=64. Если площадь квадрата равна 36, то одна из
сторон каждого прямоугольника будет равняться 6. Так как, 16 не делится на
6, данный вариант не подходит. Если площадь квадрата равна 64, то одна из
сторон каждого прямоугольника будет равняться 8. Тогда вторые стороны
равны 16/8=2 и 48/8=6. Периметры прямоугольников 2
×8 и 6
×8 равны 20 и 28
соответственно. Данный вариант удовлетворяет условию задачи.


7.5. В поход собрались 15 жителей острова «Рыцарей и Лжецов». Шесть
участников похода заявили: «Среди нас больше 7 рыцарей», после чего
другие семь участников похода сделали заявление «Среди нас больше 8
лжецов». Сколько рыцарей и сколько лжецов собрались в поход? Напомним,
что рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда обманывают. Ответ
необходимо обосновать.
Ответ. 7 лжецов и 8 рыцарей
Решение. Заметим, что все, сделавшие одно утверждение, являются
одновременно или лжецами или рыцарями. Далее, оба утверждения быть
одновременно истинными не могут, иначе в поход собралось более 15
человек, что противоречит условию. Предположим, что второе утверждение
оказалось истинным. Тогда, в поход собралось больше 8 лжецов. При этом
второе заявление сделали семь рыцарей. Получаем, что в поход собралось не
менее 7 рыцарей и более 8 лжецов, всего более 15 человек. Значит, второе
заявление сделали лжецы. Значит, лжецов не менее 7 человек. При этом их не
больше 8. Шесть участников, сделавших первое заявление, не могут быть
лжецами, иначе лжецов будет не менее 13 и второе утверждение окажется
истинным. Значит, первое заявление сделали шесть рыцарей, и их не меньше
8. Получаем, что всего 8 рыцарей, шесть из которых сделали первое
заявление, и 7 лжецов, сделавших второе заявление.


8 класс
8.1. На контрольной работе учитель дал пять задач и ставил за
контрольную оценку, равную количеству решённых задач. Все ученики,
кроме Саши, решили одинаковое число задач, а Саша – на одну больше.
Первую задачу решили 9 человек, вторую – 7 человек, третью – 5 человек,
четвёртую – 3 человека, пятую – один человек. Сколько четвёрок и пятерок
было получено на контрольной?
Ответ. Ни одной.
Решение. Предположим, что Саша получил не меньше 4, тогда остальные
решили не меньше 3 задач каждый, и суммарное число задач, решённых
всеми учениками, – не меньше 3·9 = 27 (из условия видно, что число
учеников не меньше 9). Но, с другой стороны, это число равно
9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25. Противоречие.


8.2. Числа от 1 до 10000 выписаны в порядке возрастания на доске. Затем
стали стирать по порядку числа, которые не делятся ни на 3 ни на 7. Какое
число было стёрто 2014-тым?
Ответ: 3524.
Решение. Замечаем, что из двадцати одного последовательного числа
стираются 12 чисел. Сколько таких наборов нужно пройти, чтобы стереть
2014 чисел? Находим 2014:12 = 167 и 10 в остатке. Значит, это число будет 17-
тым в 168-м наборе из 21. Отсюда получаем, что искомым числом будет число 
168×21 – 4 = 3524. 

8.4. В турнире по игре в «морской бой» участвовали 18 школьников.
Проигравшие выбывали из соревнований. Каждый день играли одну партию,
участников которой выбирали жребием из ещё не выбывших школьников.
Каждый из шестерых школьников утверждает, что сыграл ровно четыре
партии. Не ошибается ли кто-то из них?
Ответ. Кто-то из школьников ошибается.
Решение. Всего в турнире было сыграно 17 партий, так как каждый
проигравший выбывал. Если каждый из шести школьников сыграл
по 4 партии, то каждый выиграл не менее трёх. Так как в партии есть только
один победитель, то партий в турнире было не меньше, чем 6·3 = 18.
Противоречие.

8.5. Петя и Вася по очереди выписывают делители натурального числа
5040. Делитель можно выписать, только если он не выписывался ранее и
взаимно прост со всеми ранее выписанными числами. Начинает Петя.
Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может победить,
независимо от игры противника?
Ответ. Выигрывает Петя.
Решение. Выигрывает Петя, например, если возьмет первым ходом число
2·3·5=30. Тогда Васе остаётся два хода: 1 или 7. Какое бы число не выбрал
Вася, оставшееся сможет выбрать Петя.

9 класс
9.1. Школьник купил книгу, тетрадь и ручку. Если бы книга была дешевле в
5 раз, тетрадь – в два раза, а ручка – в 2,5 раза, то вся покупка стоила бы 20
рублей. Если же книга была бы дешевле в 2 раза, тетрадь – в 4 раза, а ручка –
в 3 раза, то вся покупка стоила бы 30 рублей. Сколько же стоила покупка на
самом деле?
Ответ. 70 рублей.
Решение. К/5 + Т/2 + Р/2,5 = 20 и К/2 + Т/4 + Р/3 = 30.
Умножим первое равенство на 10, а второе — на 12:
2К + 5Т + 4Р = 200 и 6К + 3Т + 4Р = 360.
Сложив два равенства получим 8К + 8Т + 8Р = 560.
Значит, К + Т + Р = 70. 

9.5. Можно ли раскрасить все целые числа в три цвета так, что если числа а и b разного цвета, то число 2( а + b) третьего цвета. (Все цвета должны присутствовать). Ответ. Можно.

Решение. Все целые числа, которые при делении на 3 дают остаток 1, покрасим в 1-й цвет; все числа, которые при делении на 3 дают остаток 2, покрасим в 2-й цвет; все числа, которые делятся на 3 покрасим в 3-й цвет. Заметим, что 2(1+2) делится на 3; 2(2+3) дает остаток 1 при делении на 3; 2(1+3) дает остаток 2 при делении на 3. Таким образом, требование задачи выполняется.

11.4. Каждое из натуральных чисел от 1 до 1000 записано либо красными,
либо синими чернилами. Докажите, что найдутся два одноцветных числа,
разность между которыми равна либо 8, либо 13.
Решение. Пусть найдется раскраска, при которой каждые два числа, разность
между которыми равна 8 или 13, окрашены в разные цвета. Тогда
одинаковый цвет должны иметь числа, отличающиеся на 16 или на 26. Так
как 105=1+26·4, то числа 1 и 105 одинакового цвета. Так как, 97=1+16·6, то
числа 1 и 97 окрашены в один цвет. Но 105-97=8, получаем противоречие.
Значит при любой раскраске найдутся два одноцветных числа, разность
между которыми равна либо 8, либо 13. 

 


Категория: Математика | Добавил: Админ (23.09.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar