Тема №6048 Решение задач по математике Чулков (Часть 1)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по математике Чулков (Часть 1) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по математике Чулков (Часть 1), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Задача 1. По грибы. Вася нашел на 36
грибов больше, чем Лена. По дороге домой
сестра стала просить Васю: «Дай мне не­
сколько грибов, чтобы у меня стало столько
же грибов, сколько и у тебя!» Сколько гри­
бов должен брат отдать Лене?
Ответ: 18 грибов.
Решение. Предположим, что брат от­
ложит свои «лишние» грибы в корзинку, то­
гда у брата и сестры грибов станет поровну. Для достижения
требования задачи брат должен отдать сестре половину лишних
грибов.
Задача 2. Н а скотном дворе гуляют гуси и поросята. Пе­
тя сосчитал количество голов, их оказалось 30, потом сосчитал,
сколько всего ног. их оказалось 84. Сколько гусей и сколько по­
росят было на скотном дворе?
Ответ: 12 поросят и 18 гусей.
Решение. Предположим, что на дворе гуляют только гуси.
Сколько у них ног? 60 ног. Откуда взялись 24 «лишних» ноги?
Они принадлежат поросятам — по 2 ноги на каждого. Итак, на
дворе гуляют 12 поросят. Остальные — гуси.
Можно рассуждать иначе: предположим, что все поросята пе­
редними лапами встали на бревно. Понятно, что в этом случае
земли касается 60 ног, а остальные 24 ноги — это ноги поросят,
стоящие на бревне. Следовательно, на дворе 12 поросят.
Задача 3. Н а поляне паслись ослы. К ним подошли не­
сколько мальчиков. «Сядем на ослов по одному». — предложил
старший. Двум мальчикам ослов не хватило. «Попробуем сесть
по двое», — снова предложил старший. Тогда один осёл остался
без седока. Сколько ослов и сколько мальчиков было на поляне?
Ответ: шесть мальчиков и четыре осла.
Решение. Представим сначала, что мальчики сели на ослов
по одному и двум мальчикам ослов не досталось.
Посадим мальчиков на ослов по двое. Сделаем так:
1) один из мальчиков пересаживается к кому-нибудь вто­
рым, — один осёл без седока, как и требуется;
2) два других мальчика, — те, кому первоначально ослов
не хватило, подсаживаются вторыми. Итог: три осла «заняты»,
один — «свободен». Следовательно, мальчиков — 6, ослов — 4.
Задача 4. Сколько лет Ване? Когда Ваню спросили, сколь­
ко ему лет, он подумал и сказал: «Я втрое моложе папы, но зато
втрое старше Серёжи». Тут подбежал маленький Серёжа и сооб­
щил, что папа старше его на 40 лет. Сколько лет Ване?
Ответ: 15 лет.
Решение. Папа в три раза старше Вани, который в три раза
старше Серёжи, следовательно, папа в девять раз старше Серёжи.
Другими словами, папа старше Серёжи на восемь возрастов
Серёжи, что составляет 40 лет. Следовательно, Серёже 5 лет.
Ваня старше Серёжи втрое, — ему 15 лет.
В задачах данного типа, как правило, принято учитывать только «пол­
ные» года. Об этом стоит сказать учащимся.
Задача 5. «Старинная задача». Для покупки порции моро­
женого Пете не хватает семи копеек, а Маше — одной копейки.
Тогда они сложили все имевшиеся у них деньги. Но их тоже не
хватило на покупку даже одной порции. Сколько стоила порция
мороженого?
Ответ: 7 копеек.
Решение. Если бы у Пети была хотя бы копейка, то он дал
бы её Маше, и им хватило бы на мороженое (ведь ей не хвата­
ло всего одной копейки!). Следовательно, у Пети денег не было
совсем, а так как ему не хватало на мороженое семи копеек, то
мороженое стоило семь копеек.
Здесь желательно рассказать о системах денежных единиц, об их изме­
нении, динамике цен на мороженое и т. д. На всякий случай: очень вкусное
фруктовое мороженое в 60-70-е годы стоило как раз семь копеек.
Задача 6. Учитель задал на уроке сложную задачу. В ре­
зультате количество мальчиков, решивших эту задачу, оказалось
равным количеству девочек, её не решивших. Кого в классе боль­
ше: решивших задачу или девочек?
Ответ: одинаково.
Решение. Прибавим к мальчикам (а человек), решившим за­
дачу. девочек, решивших задачу (b человек). Что мы получим?
Всех учеников, решивших задачу (а + b человек).
Прибавим к девочкам, не решившим задачу (а человек), де­
вочек. решивших задачу (Ь человек). На этот раз получим всех
девочек (а + b человек).
Мы прибавляли к равным количествам одно и то же. значит,
снова получились равные количества. Следовательно, всего ре­
шивших задачу столько же. сколько девочек.
Решение задачи хорошо представить в виде таблицы
Решили задачу Не решили задачу
Мальчики а
Девочки  а
Задачи для самосто ятельного решения
Задача 7. Стопки тетрадей. Если из одной стопки те­
традей переложить в другую стопку 10 тетрадей, то тетрадей
в стопках станет поровну. На сколько больше тетрадей в первой
стопке, чем во второй?
Задача 8. Ш околадки. Для покупки восьми шоколадок Тане
не хватит 20 рублей. Если же она купит пять шоколадок, то у неё
останется 100 рублей. Сколько денег у Тани?
Задача 9. Покупаем альбом. Для покупки альбома Маше
не хватило 2 копеек, Коле — 34 копеек, а Васе — 35 копеек. Тогда
они сложили свои деньги, но их всё равно не хватило на покупку
одного альбома. Сколько стоит альбом?
Задача 10. Давным-давно. Когда отцу было 27 лет, сыну
было 3 года, а сейчас сыну в три раза меньше лет, чем отцу.
Сколько лет сейчас каждому из них?
Задача 11. С тулья и табуретки. В комнате стоят стулья
и табуретки. У каждой табуретки — 3 ножки, у каждого стула -
4 ножки. Когда на всех стульях и табуретках сидят люди, то
в комнате всего 39 «ног». Сколько стульев и сколько табуреток
в комнате?
Задача 12. Ошибка при сложении. При сложении двух
целых чисел Коля поставил лишний ноль на конце одного из
слагаемых и получил в сумме 6641 вместо 2411. Какие числа он
складывал?
О т в е т ы и реш ения
Задача 7. Ответ: на 20 больше.
Решение. Первая стопка уменьшилась на 10 тетрадей, а вто­
рая увеличилась на 10 тетрадей, после чего стопки сравнялись
в «объеме».
Задача 8. Ответ: у Тани 300 рублей.
Решение. 1) Предположим, Таня купила 5 шоколадок. Со­
гласно условию задачи у неё осталось 100 рублей. Добавим ей
ещё 20 рублей. Теперь в её распоряжении 120 рублей, на которые
И
она может купить ещё три шоколадки. Следовательно, шоколадка
стоит 120 : 3 = 40 рублей.
2) Поскольку при покупке пяти шоколадок будет потрачено
200 рублей и ещё 100 рублей останется, то у Тани 200 + 100 = 300
рублей.
Задача 9. Ответ: альбом стоит 35 копеек.
Решение. Так как у Коли на одну копейку больше, чем у
Васи, то у него есть как минимум одна копейка, и при сложении
денег к Машиным деньгам эта копейка добавится. Но денег на
альбом в итоге не хватило, то есть к Машиным деньгам добави­
лось меньше чем две копейки, следовательно, у Васи вообще не
было денег, то есть ему не хватало для покупки полной стоимости
альбома.
Задача 10. Ответ: сыну — 12 лет, отцу — 36 лет.
Решение. Разница в возрасте между отцом и сыном неиз­
менна и равна 24 годам. Так как сыну сейчас в три раза меньше
лет, чем отцу, то 24 года — это удвоенный возраст сына.
Здесь полезно сделать рисунок.
Задача 11. Ответ: 4 стула и 3 табуретки.
Решение. Если бы в комнате стояли одни табуретки, то всего
в комнате было бы не 39 «ног», как в условии, а не более 35.
Почему? Потому что когда на табуретке сидит человек, то у
каждой табуретки — 5 «ног», и количество «ног» кратно пяти,
то есть если в комнате стоят 7 табуреток, то «ног» на 4 меньше,
чем требуется по условию задачи. В этом случае недостаток «ног»
можно компенсировать, если заменить 4 табуретки на 4 стула.
Если предположить, что комнате меньше семи табуреток, то
«ног» — не более 30, и скомпенсировать недостаток «ног» не по­
лучится.
Задача 12. Ответ: 1941 и 470.
Решение. Поставив лишний ноль на конце одного из слага­
емых, Коля тем самым увеличил это слагаемое в 10 раз. Таким
образом, это слагаемое в 9 раз меньше разности 6641 — 2411 =
= 4230. Следовательно, оно равно 470.

Задача 1. П етя купил две книги. Первая книга оказалась
на 75% дешевле второй. На сколько процентов вторая книга до­
роже первой?
Ответ: на 300%.
Решение. 1) В первом предложении условия задачи за 100%
принята стоимость второй книги. Поскольку стоимость первой
книги на 75% меньше, то она составляет 25% стоимости второй.
Следовательно, вторая книга дороже первой в четыре раза.
2) Для ответа на вопрос задачи следует за 100% принять
стоимость первой книги. Тогда стоимость второй составит 400%
стоимости первой книги. Следовательно, стоимость второй кни­
ги на 300% больше стоимости первой книги.

Задача 2. М ечта покупателя. Картофель подешевел на
20%. На сколько процентов больше картофеля можно купить на
ту же сумму денег?
Ответ: на 25%.
Решение. Картофель подешевел на 20%.
Следовательно, весь ранее купленный картофель
можно приобрести, истратив 80% денег (см.
рисунок). Сложим этот картофель в мешок. Оста­
нется 20% от прежней суммы денег, значит, на
оставшиеся деньги можно купить ещё четверть
мешка картошки, то есть 25% дополнительно.
Задача 3. Где дешевле? В двух магазинах молоко стоило
одинаково. Затем в одном магазине оно сразу подешевело на 40%,
а в другом - сначала на 20%, а затем ещё на 25%. В каком из
магазинов молоко теперь дешевле?
Ответ: цена на молоко в обоих магазинах после подешевения
одинакова.
Решение. Во втором магазине после первого снижения цены
молоко стало стоить 80% первоначальной цены, а после второ­
го — 80% • 0,75 = 60% первоначальной цены, что совпадает
с ценой в первом магазине.
Задача 4. Садовый участок. Длину прямоугольного участ­
ка земли увеличили на 50%. а его ширину уменьшили на 10%. Как
изменилась площадь участка?
Ответ: увеличилась на 35%.
Решение. При увеличении длины участка на 50% его пло­
щадь увеличивается в 1,5 раза, а при уменьшении его ширины
14
на 10% плошадь «увеличивается» в 0. 9 раза. Таким образом, пло­
щадь увеличилась в 1, 5 • 0,9 = 1,35 раза.
Задача 5. Сушёные грибы. Влажность свежих грибов —
99%. а сушёных 98%. Как изменилась масса грибов после под­
сушивания?
Ответ: уменьшилась в два раза.
Решение. Предположим, что масса свежих
грибов равна 100т кг. тогда сухого вещества в
них - т кг. После подсушивания масса сухого
вещества не изменилась, но стала составлять 2% вода
(одну пятидесятую) от массы сушёных грибов _
(см. рисунок). Следовательно, масса сушёных
грибов — 50т кг.
Задача 6. Д ва положительных числа. Одно из положи­
тельных чисел увеличили на 1%. другое на 4%. Могла ли в ре­
зультате сумма этих чисел увеличиться на 3%?
Ответ: да. могла.
Например, пусть первое число равно 100. а второе равно 200.
тогда их сумма равна 300. После увеличения первое число станет
равно 101. а второе 208. Тогда сумма чисел 309. что на 3% больше
300.

Задачи для са м о сто я т е л ьн о го реш ения
Задача 7. Д ва студента. Одинаковые стипендии двух сту­
дентов повысили: отличнику на 100%, а хорошисту — только
на 50%. В следующий раз отличник получил «четвёрку», и ему
понизили стипендию до уровня хорошиста. На сколько процентов
понизили?
Задача 8. З аго то вк а сена. В траве содержится 60% воды,
а в сене — 20% воды. Сколько сена получится из одной тонны
травы?
Задача 9. Последствие кризиса. За два года завод снизил
объём выпускаемой продукции на 51%, при этом каждый год он
снижался на одно и то же число процентов. На сколько?
Задача 10. Ф изическая проблема. Объём некоторой жид­
кости при замерзании увеличился на 25%. На сколько процентов
уменьшится объём льда при таянии?
Задача 11. После стирки. После каждой стирки объём кус­
ка мыла уменьшается на 20%. После скольких стирок он умень­
шится не меньше чем вдвое?
Задача 12. Сравните числа. Известно, что 2% от положи­
тельного числа А больше, чем 3% от положительного числа В.
Верно ли, что 5% от числа А больше, чем 7% от числа В?
О т в е т ы и реш ения
Задача 7. Ответ: на 25%.
Решение. Пусть первоначальная стипендия каждого студен­
та была равна х , тогда после повышения стипендия первого стала
2г£, а второго — 1, Ъх. Стипендия второго студента теперь соста­
вляет три четверти стипендии первого, то есть 75%.
Задача 8. Ответ: 500 кг.
Решение. В тонне травы содержится 400 кг сухого веще­
ства, что составляет 80% от массы сена, тогда масса сена (100%)
составляет 500 кг.
Задача 9. Ответ: на 30%.
16
Решение. Через два года объём выпускаемой продукции со­
ставлял 0,49 от первоначального, при этом этот объём составлял
такую же часть от объёма V предыдущего года, как V от 1.
Осталось узнать, квадрат какого числа равен 0,49. Это число
0,7. Следовательно, каждый год объём выпускаемой продукции
уменьшался на 30%.
Задача 10. Ответ: уменьшится на 20%.
Решение. Объём воды при замерзании увеличивается на че­
тверть (то есть становится равным пяти четвертям прежнего
объёма). При этом четверть исходного объёма равна одной пятой
части «нового» объёма. При таянии объём полученной жидкости
станет прежним, то есть уменьшится на одну пятую часть.
Задача 11. Ответ: после четвёртой стирки.
Решение. Пусть первоначальный объём куска мыла равен х .
тогда после первой стирки он равен 0 ,8х, после второй стирки —
0,64ж, после третьей — 0 ,512а;, а после четвёртой — 0,4096ж, то
есть уменьшится более чем вдвое.
Здесь полезно использовать немного «алгебры».
Задача 12. Ответ: да, верно.
Решение. Так как 2% от числа А больше, чем 3% от числа В ,
то 4% от числа А больше, чем 6% от числа В (и то и другое число
мы увеличили в два раза). Кроме того, 1% от числа А больше,
чем 1% от числа В.
«Сложив» два последних утверждения, получим, что 5% от
числа А больше, чем 7% от числа В.
Можно «ближе к алгебре»: Пусть А — 100ж, В = 100у, тогда
2% от числа А составляет 2ж, а 3% от числа В составляет 3у.
Получим, что 2х > 3у, 4ж > 6у. Заметим также, что 1% от числа
А больше, чем 1% от числа i?, то есть х > у.

Задача 1. День Рождения М алыша. Малыш съедает бан­
ку варенья за 6 минут, а Карлсон — в два раза быстрее. За какое
время они съедят это варенье вместе?
Ответ: за две минуты.
Решение. Карлсон за единицу времени съедает варенья в два
раза больше чем Малыш. Следовательно, вместе они съедят банку
варенья в три раза быстрее, чем это может сделать один Малыш.
В процессе решения задача переформулирована так: «Малыш съедает
банку варенья за 6 минут. За какое время смогут съесть это варенье три
Малыша?» Таким образом, скорость поедания варенья здесь измеряется в
«Малышах».
Задача 2. Старинная задача. Один человек выпьет кадь
пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Во
сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь?
Ответ: за 35 дней.
Решение. 1) Если человек выпивает за 14 дней кадь пития,
то за 70 дней он выпьет в пять раз больше (5 кадей).
2) Если вместе с женой человек за 10 дней выпивает кадь
пития, то за 70 дней они выпьют в семь раз больше (7 кадей).
18
3) Следовательно, за 70 дней жена выпьет 2 кади пития.
Следовательно, кадь пития она выпьет за 35 дней.
Возможно другое решение: разделим кадь на 70 одинаковых
ковшей. За день муж выпивает 70 : 14 = 5 ковшей, а вместе
с женою 70 : 10 = 7 ковшей. Следовательно, жена выпивает 2
ковша пития в день, а всю кадь за 35 дней.
Здесь «пропорциональность» выступает в следующем виде: за одно и то
же время муж (или, например, жена) выпивает одно и то же количество
жидкости (количество для мужа и жены не обязательно одинаковое).
Откуда взялось число 70? Это наименьшее общее кратное чисел 10 и 14.
Задача 3. П ять кошек поймали пять мышек за пять минут.
Сколько кошек поймают десять мышек за десять минут?
Ответ: пять.
Решение. Если пять кошек поймали пять мышек за пять
минут, то за десять минут те же кошки поймают мышек в два
раза больше.
Полезно обсудить такую «задачу»: «Сантехник может починить кран за
20 минут. За какое время починят кран 150 сантехников?»
Задача 4. Д есять бобров рассчитали, что могут построить
плотину за 8 дней. Когда они проработали два дня, то выяс­
нилось, что ввиду надвигающегося паводка им надо закончить
19
работу через 2 дня. Сколько бобров им необходимо позвать себе
на подмогу?
Ответ: 20 бобров.
Решение. За четыре дня 10 бобров смогут выполнить по­
ловину всей работы, следовательно, приглашённым работникам
за оставшиеся два дня нужно сделать вторую половину работу.
Чтобы выполнить половину работы за два дня, потребуется ещё
20 бобров.
Задача 5. Д рова. Двое рабочих могут напилить за день
три поленницы дров, а наколоть — шесть поленниц. Сколько
поленниц дров они должны напилить, чтобы успеть наколоть их
в тот же день?
Ответ: две поленницы.
Решение. За два дня рабочие напилят шесть поленниц, ко­
торые затем успеют наколоть за один день. Итого потребуется
три дня. Следовательно, за один день они управятся с двумя
поленницами.
Задача 6. Классический сю ж ет. Трое рабочих роют яму.
Они работают по очереди, причём каждый работает столько вре­
мени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы.
Работая так, они вырыли яму. Во сколько раз быстрее они закон­
чили бы работу, если бы работали одновременно?
Ответ: в 2,5 раза.
Решение. Представим теперь, что они работают вместе.
Сколько всего ям они выкопают в этом случае? Сначала первый
рабочий выкопает свою долю от «общей» ямы. а двое других
за это время выкопают половину ямы. Затем второй рабочий
сделает свою часть работы, а остальные выкопают ещё половину
ямы. Наконец, третий рабочий доделает свою часть работы,
а остальные выкопают ещё половину ямы. Итого будет выкопано
2,5 ямы. Поэтому, работая втроём, они закончили бы работу
в 2,5 раза быстрее.

Задачи для самосто ятельного решения
Задача 7. Заполним бак. Через первый кран вода заполня­
ет бассейн за три часа, а через второй — за 9 часов. За какое
время заполнится бассейн, если открыть оба крана?
Задача 8. Д ва землекопа рою т канаву. Один из них за
час может прокопать в два раза больше, чем другой, а платят
им за каждый час работы одинаково. Что обойдется дешевле:
одновременная работа землекопов с двух сторон «до встречи» или
рытьё половины канавы каждым из них?
Задача 9. И меется две верёвки. Каждая из них горит
неравномерно, но сгорает ровно за один час. Как с помощью этих
верёвок отмерить ровно 45 минут?
Задача 10. Торт побольше Малыш съедает за 24 минуты,
а Карлсон — за 12 минут. Малыш начал есть первым, а Карлсон
присоединился к нему через 6 минут. Через какое время они
вдвоём доедят торт? Какая доля торта достанется Малышу?
Задача 11. М аш а, Барбос и Ж уч ка. Когда у Маши было
две взрослых кошки и щенок Барбос и все они ели поровну, то
мешка корма для животных хватало на 6 дней. Барбос вырос, и
мешка стало хватать на 4 дня. Потом Маша завела ещё собаку
Жучку, и мешка корма стало хватать только на 3 дня. Кто ест
больше: кошка или собака Жучка, и во сколько раз?
Задача 12. Три землекопа подрядились вырыть котлован.
Если заболеет Иван, то двое сделают работу за 30 дней, если
заболеет Пётр — то за 15 дней, а если не придёт Андрей — то
за 12 дней. Вышел на работу один Андрей. За сколько дней он
управится?
О т в е т ы и реш ения
Задача 7. Ответ: за 2 часа 15 минут.
Решение. Первый кран заменяет три вторых крана. Поэтому
можно считать, что открыто 4 вторых крана. Следовательно,
бассейн заполнится за - часа.
4
21
Задача 8. Ответ: дешевле обойдется одновременная работа
«с двух сторон».
«Быстрый» землекоп роет быстрее, а следовательно, за вы­
полненную работу получит меньше, чем «медленный». При рабо­
те «навстречу друг другу» он сделает больше половины работы
(и получит за неё столько же, сколько и «медленный»), а при
работе по очереди «быстрый» выполнит только половину работы.
Задача решается без вычислений, методом «оценки».
Задача 9. Решение. 1) Зажжём верёвки одновременно, при­
чём первую с одного конца, а вторую — с двух концов. Когда
вторая верёвка сгорит полностью, пройдёт ровно 30 минут.
2) В этот момент подожжём первую верёвку с другого конца.
Когда верёвка догорит, пройдёт ещё 15 минут. Итого 45 минут.
Если задача не получается достаточно долго, полезно задать учащимся
вопросы: какие манипуляции можно делать с верёвкой? Почему бесполезно
складывать верёвку в несколько слоёв или резать на части?
Задача 10. Ответ: через 12 минут; половина.
Решение. За 6 минут Малыш успел съесть четверть торта и
дальше оставшиеся три четверти торта они ели вдвоём. Из остат­
ка Карлсон съест половину торта, а Малыш четверть (Карлсон
ест в два раза быстрее!).
Задача 11. Ответ: Жучка съедает в 1,5 раза больше.
Решение. Будем считать, что каждый ел одну порцию, тогда
за 6 дней они съедали вместе 18 порций — один мешок. Когда
Барбос вырос, кошки по-прежнему съедали 2 порции в день, то
есть за 4 дня они съедали 8 порций, а остальные 10 порций съедал
Барбос, то есть он съедал 2.5 порции в день. Значит, за три
дня они втроём стали съедать 2 х 3 + 2,5 х 3 = 13,5 порций.
Следовательно. Жучка съедает за три дня 4. 5 порции, то есть
1.5 порции в день. Таким образом, она ест в полтора раза больше,
чем одна кошка.
Задача 12. Ответ: за 120 дней.
Решение. Представим себе, что совместная работа продол­
жалась 60 дней.
За это время Пётр с Андреем выкопали два котлована, Иван
с Андреем выкопали четыре котлована, а Иван с Петром — пять
котлованов.
Но всего они выкопали не 11 котлованов, а только 5,5, по­
скольку иначе вклад каждого будет подсчитан дважды. Вспо­
мним, что за это время вклад в работу Ивана с Петром соста­
вляет пять котлованов. Следовательно, вклад в работу Андрея:
половина котлована за 60 дней.

Задача 1. С трекоза и муравьи. Два муравья, Вася и Ки­
рилл, отправились в гости к Стрекозе. Вася всю дорогу полз,
а Кирилл половину пути ехал на Гусенице, что было в два раза
медленнее, чем ползти, а вторую половину скакал на Кузнечике,
что было в десять раз быстрее, чем ползти. Кто из муравьёв
пришёл в гости первым, если вышли они одновременно?
Ответ: первым пришёл Вася.
Решение. В тот момент, когда Кирилл проехал половину
пути и пересаживался на Кузнечика, Вася прополз две половины
пути, следовательно, он уже был на месте.
При разборе задачи полезно изобразить положение муравьёв в момент
«пересадки» Кирилла с Гусеницы на Кузнечика.
Задача 2. Гусеница ползёт по столбу, при этом за день
она поднимается на 5 метров, а за ночь опускается на 4 метра.
Высота столба 10 метров. За какое время гусеница доползёт до
вершины столба?
Ответ: за пять суток и ещё один день.
Решение. Обычно школьники дают ответ «за 10 дней», но ...
24
За сутки гусеница поднимается на 1 метр, следовательно, за
5 суток она поднимется на 5 метров, а за тестой день ещё на 5
метров и достигнет, вершины столба...
Задачу удобно иллюстрировать рисунками, показывающими положение
гусеницы на исходе каждых суток.
Задача 3. Н а круговом м арш руте работают два автобу­
са, их интервал движения составляет 21 минуту. Каким будет
интервал движения, если на этом маршруте будут работать три
автобуса?
Ответ: 14 минут.
Решение. Так как интервал движения при двух автобусах
на маршруте составляет 21 минуту (см. рисунок слева), то длина
маршрута «в минутах» составляет 42 минуты. Следовательно,
интервал движения при трёх автобусах на маршруте составляет
14 минут (см. рисунок справа).
14 минут
Фактически мы «измерили» расстояние «в минутах».
Задача 4. Д орога на работу. Инженер обычно приезжает
поездом на вокзал в 8 часов утра. Точно в 8 часов 00 минут
к вокзалу подъезжает автомобиль и отвозит инженера на завод.
Однажды инженер приехал на вокзал в 7 часов утра и пошёл
навстречу машине. Встретив машину, он сел в неё и приехал на
завод на 20 минут раньше, чем обычно. Определите показание
часов в момент встречи инженера с машиной.
Ответ: 7 часов 50 минут.
Решение. Машина «сэкономила» время «дважды», поскольку:
1) не доехала до вокзала некоторое расстояние;
2) не возвращалась на то же самое расстояние.
25
Таким образом, поскольку машина вернулась на завод на 20
минут раньше, чем обычно, то в момент встречи с инженером ей
оставалось ехать до вокзала 10 минут.
Задача 5. В стречи в пути. Два парома отходят одновре­
менно от противоположных берегов реки и пересекают реку с по­
стоянной скоростью перпендикулярно берегам. Паромы встреча­
ются друг с другом на расстоянии 720 метров от ближайшего
берега. Достигнув берега, они сразу отправляются обратно и за­
тем встречаются в 400 метрах от другого берега. Какова ширина
реки?
Ответ: 1760 метров.
Решение. Сумма расстояний, которые паромы прошли до
первой встречи, равна ширине реки, а сумма расстояний, кото­
рые они прошли к моменту второй встречи, равна утроенной
ширине реки. Значит, до момента второй встречи прошло в три
раза больше времени, чем до момента первой встречи. Следова­
тельно, если к моменту первой встречи один из паромов прошёл
720 метров, то к моменту второй встречи он прошел 2160 метров,
что на 400 метров превышает ширину реки.
Все сказанное можно увидеть из рисунка.
Задача 6. Поезд на мосту. Поезд проходит мост длиной
450 метров за 45 секунд, а мимо светофора проезжает за 15
секунд. Вычислите длину поезда и его скорость.
400 метров
Ответ: длина — 225 метров, скорость — 54 км/ч.
Решение. Поезд проходит расстояние, равное своей длине, за
15 секунд (см. рисунок сверху), а расстояние, большее на 450 ме­
тров, — за 45 секунд (см. рисунок снизу). Следовательно. 450
метров «голова» поезда проходит за 30 секунд, то есть сам поезд в
два раза короче моста, а скорость поезда равна 15 м/с = 54 км/ч.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 7. О т ст а р та до финиша на одинаковых расстоя­
ниях друг от друга расставлены флажки. Спортсмен пробегает
расстояние от первого до седьмого флажка за 7 секунд. За какое
время он добежит от первого до десятого флажка?
Задача 8. По кольцевой линии курсируют с одинако­
вой скоростью и равными интервалами движения 12 трамваев.
Сколько трамваев нужно добавить, чтобы при той же скорости
интервалы между трамваями уменьшились на одну пятую?
Задача 9. И снова поезд. Поезд длиной 180 метров проез­
жает мимо столба за 9 секунд. За какое время поезд полностью
проедет мост длиной 360 метров?
27
Задача 10. Д ва друга, Ваня и Федя, вышли навстречу друг
другу с постоянными скоростями. Ваня вышел из деревни Ванино
в 10 часов утра и пришёл в деревню Федино в 15 часов. Федя
вышел из деревни Федино в 11 часов и пришёл в деревню Ванино
в 16 часов. В котором часу они встретились?
Задача 11. М отоциклист и велосипедист выехали одно­
временно из пункта А в пункт В. Проехав треть пути, велоси­
педист остановился и тронулся лишь тогда, когда мотоциклисту
осталось проехать треть пути до В. Мотоциклист, доехав до 13,
развернулся и сразу поехал обратно в А. Кто приедет раньше:
мотоциклист в пункт А или велосипедист в пункт В1
Задача 12. Король со свитой движется из пункта А в
пункт В со скоростью 5 км/ч. Каждый час он высылает в В
гонцов, которые движутся со скоростью 20 км/ч. С какими ин­
тервалами прибывают гонцы в пункт В1
О т в е т ы и реш ения
Задача 7. Ответ: за 10,5 секунд.
Решение. Шесть (а не семь!) промежутков между флажками
спортсмен пробегает за 7 секунд, а 9 таких же промежутков
за время, равное — * 9 = 10,5 секунд.
Указание. Сделайте рисунок!
Задача 8. Ответ: три трамвая.
Решение. Разделим промежуток между трамваями на пять
равных частей. Тогда длина маршрута — 60 таких частей. Если
интервал между трамваями уменьшить на одну пятую, то про­
межуток между трамваями будет равен четырём частям. Следо­
вательно, на маршруте «поместится» 15 трамваев.
Задача 9. Ответ: за 27 секунд.
Решение. «Голова» поезда проедет мост за 18 секунд, а
«хвост» будет ехать по мосту ещё 9 секунд.
Задача 10. Ответ: в 13.00.
Решение. Скорости ребят одинаковы (подумайте, почему),
и за час каждый из них проходил одну пятую расстояния между
деревнями. За первый час Ваня прошел одну пятую этого рас­
стояния. а до встречи каждый из ребят прошел по две пятых.
Следовательно, Ваня и Федя встретились в 13.00.
Задача 11. Ответ: раньше приедет велосипедист.
Решение. Два «ключевых» факта: 1) велосипедист проехал
треть пути быстрее, чем мотоциклист — две трети пути, сле­
довательно, его скорость составляет больше половины скорости
мотоциклиста; 2) после того как велосипедист тронулся в путь,
ему оставалось проехать две трети пути от А до В, а мотоци­клисту — четыре трети такого же пути.
Задача 12. Ответ: каждые 45 минут.
Решение. Любой гонец, отправленный королём, за час уда­
лится от него на 15 км. Значит, расстояние между этим и сле­
дующим гонцом составляет 15 км. Скорость каждого гонца —
20 км/ч, поэтому 15 км гонец проходит за 45 минут. Следова­
тельно, гонцы будут прибывать в В через каждые 45 минут.


Категория: Математика | Добавил: Админ (17.04.2016)
Просмотров: | Теги: чулков | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar