Тема №8498 Решение задач по математике олимпиада 423 (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по математике олимпиада 423 (Часть 2) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по математике олимпиада 423 (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №1. 16.02.2011

СТАРШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА

1. Куб 3´3´3 состоит из 27 единичных кубиков. В центре одного из кубиков сидит кубогрызка, которая может перебираться по прямой в центр соседнего кубика (то есть имеющего с ее нынешним кубиком общую грань). Добравшись до центра нового кубика, кубогрызка поворачивает на 90°. Какую наибольшую длину может иметь замкнутый маршрут кубогрызки, не проходящий ни через какой кубик, кроме начального, больше одного раза, и возвращающийся в начальный только один раз под прямым углом к начальному ходу? (Аргентина, 1995)

2. В равнобочной трапеции ABCD из точки B опущена высота на большее основание AD и на ее продолжении взята точка E. Отрезки EC и BD пересекаются в точке P. Докажите, что SPED = SEBA+SBPC. (Аргентина, отбор на Ибероамериканскую олимпиаду, 2007, переделка)

3. Решите в целых неотрицательных числах уравнение (xy–7)2 = x2+y2. (Индийская олимпиада)

4. Докажите, что  при всех положительных a, b и c. (Белоруссия, 2010)

5. На столе лежат n камней. Два игрока по очереди берут камни из кучи; каждый игрок при своем ходе может взять любое количество камней, являющееся квадратом натурального числа. Проигрывает не имеющий хода. Докажите, что для бесконечно многих n второй игрок может обеспечить себе победу. (T.Andreescu, D.Andrica, Z.Feng, 104 Number Theory Problems)

6. Дано натуральное число k > 1. Какое наибольшее количество прямых можно расположить на плоскости таким образом, чтобы среди любых k из них нашлись две прямые, образующие угол 60°? (И. Рубанов, А. Акопян)

7. В треугольнике ABC угол B равен 120° и BC = 2AB. Найдите угол между медианами AM и BK. (Белоруссия, 2010)

8. Существует ли такое нецелое положительное число x, что [x]3+x2 = x3+[x]2? (Через [x] обозначается целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x). (Болгария, 2004, региональный раунд)

СТАРШАЯ ГРУППА, ПЕРВАЯ ЛИГА

1. Дан клетчатый квадрат 9´9. В центре одного из квадратиков сидит квадрогрызка, которая может перебираться по прямой в центр соседнего (по стороне) квадратика. Добравшись до центра нового квадратика, квадрогрызка поворачивает на 90°. Какую наибольшую длину может иметь замкнутый маршрут квадрогрызки, не проходящий ни через какой квадратик больше одного раза? (Аргентина, 1995, упрощение)

2. Точка D лежит внутри треугольника ABC. На сторонах этого треугольника построены внешним образом прямоугольники BCEF, CAGH и ABKL, площадь каждого из которых вдвое больше площади треугольника ABC. Докажите, что сумма площадей треугольников DEF, DGH и DKL в четыре раза больше площади треугольника ABC. (M.N.Aref, W.Wernick, Problems & Solutions in Euclidean Geometry, 2.12)

3. Решите в целых неотрицательных числах уравнение (xy–7)2 = x2+y2. (Индийская олимпиада)

4. Докажите, что  при всех положительных a, b и c. (Белоруссия, 2010)

5. На столе лежат n камней. Два игрока по очереди берут камни из кучи; каждый игрок при своем ходе может взять любое количество камней, являющееся квадратом натурального числа. Проигрывает не имеющий хода. Докажите, что для некоторого n > 1000000 второй игрок может обеспечить себе победу. (T.Andreescu, D.Andrica, Z.Feng, 104 Number Theory Problems)

6. Дано натуральное число k > 1. Какое наибольшее количество прямых можно расположить на плоскости таким образом, что среди любых k из них нашлись две прямые, образующие угол 90°? (И. Рубанов, Д. Карпов)

7. В треугольнике ABC угол B равен 120° и BC = 2AB. Найдите угол между медианами AM и BK. (Белоруссия, 2010)

8. Существует ли такое нецелое положительное число x. что [x]+x2 = x+[x]2? (Через [x] обозначается целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x). (Болгария, 2004, региональный раунд, упрощение)

СТАРШАЯ ГРУППА, ВТОРАЯ ЛИГА

1. Квадрат 9´9 состоит из 81 единичного квадратика. В центре одного из квадратиков сидит квадрогрызка, которая может перебираться по прямой в центр соседнего по стороне квадратика. Добравшись до центра нового квадратика, квадрогрызка поворачивает на 90°. Какую наибольшую длину может иметь замкнутый маршрут квадрогрызки, не проходящий ни через какой квадратик, кроме начального, больше одного раза, и возвращающийся в начальный только один раз? (Аргентина, 1995, упрощение)

2. Точка D лежит внутри треугольника ABC. На сторонах этого треугольника построены внешним образом прямоугольники BCEF, CAGH и ABKL, площадь каждого из которых вдвое больше площади треугольника ABC. Докажите, что сумма площадей треугольников DEF, DGH и DKL в четыре раза больше площади треугольника ABC. (M.N.Aref, W.Wernick, Problems & Solutions in Euclidean Geometry, 2.12)

3. Над пятизначным числом проводят следующую операцию: заменяют одну из его цифр на последнюю цифру суммы цифр данного числа. Какое наименьшее число можно получить из числа 13579 несколькими такими операциями? (О. Нечаева)

4. Докажите, что  при всех положительных a и b. (Белоруссия, 2010)

5. Участники олимпиады устроили вечеринку, договорившись разделить расходы поровну. Получив счет на $1680, они посчитали было, сколько нужно заплатить каждому участнику, но вдруг заметили, что четыре человека уже ушли, из-за чего взнос каждого из оставшихся возрос на $1. Сколько человек участвовало в вечеринке? (Аргентина, 2009, межшкольный тур)

6. Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди любых пяти из них нашлись две, образующие угол в 90°? (И. Рубанов, Д. Карпов)

7. В треугольнике ABC угол B равен 120° и BC = 2AB. Найдите угол между медианами AM и BK. (Белоруссия, 2010)

8. Существует ли такое нецелое положительное число x, что [x]2+x = x2+[x]? (Через [x] обозначается целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x). (Болгария, 2004, региональный раунд, упрощение)

МЛАДШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА

1. На столе лежат a красных, b синих и c белых бусин (причем есть хотя бы по одной бусине каждого цвета). Петя и Вася ходят по очереди. За каждый ход игрок берет со стола две или три бусины. Первым ходит Петя. Побеждает тот игрок, после хода которого со стола исчезнут бусины хотя бы одного из цветов. При каких значениях a, b и c Петя имеет выигрышную стратегию? (45 савезно такмиченье из математике, 16.04.2005)

2. Даны различные простые числа a, b, c и d. Докажите неравенство abc+bcd+cda+abd+173 ≤ 2abcd. (L.Panaitopol, V.Bandila, M.Lascu Inegalitati, E1.44)

3. Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди любых ста из них нашлись две перпендикулярные? (И. Рубанов, Д. Карпов)

4. Существует ли такое нецелое положительное число x, что [x]3+x2 = x3+[x]2? (Через [x] обозначается целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x). (Болгария, 2004, региональный раунд)

5. Найдите все пары натуральных чисел a и b, для которых 4a+4a2+4 = b2. (Martin Pan'ak, Czech, A59iii, 2010)

6. Про натуральное число n известно три факта:

1) Если оно делится на 3, то оно лежит между 50 и 59 включительно.

2) Если оно не делится на 4, то оно лежит между 60 и 69 включительно.

3) Если оно не делится на 6, то оно лежит между 70 и 79 включительно.

Чему может быть равно число n? (Окружно такмиченье из математике ученика средньих школа, 20.02.2010. Перви разред, категориjа Б.)

7. На стороне CD выпуклого четырехугольника ABCD отмечена такая точка E, что AD = DE. На отрезке AE отмечена такая точка F, что AF = EC. Известно, что ÐADB = ÐBDC = 90°–ÐABE. Докажите, что BF = BC. (А. Пастор)

8. Дан клетчатый квадрат 9´9. В центре одного из квадратиков сидит квадрогрызка, которая может перебираться по прямой в центр соседнего по стороне квадратика. Добравшись до центра нового квадратика, квадрогрызка поворачивает на 90°. Какую наибольшую длину может иметь замкнутый маршрут квадрогрызки, не проходящий ни через какой квадратик, кроме начального, больше одного раза, и возвращающийся в начальный только один раз? (Аргентина, 1995, упрощение)

МЛАДШАЯ ГРУППА, ПЕРВАЯ ЛИГА

1. На столе лежат a красных, b синих и 4 белых бусины (причем есть хотя бы по одной красной и синей бусине). Петя и Вася ходят по очереди. За каждый ход игрок берет со стола две или три бусины. Первым ходит Петя. Побеждает тот игрок, после хода которого со стола исчезнут бусины хотя бы одного из цветов. При каких значениях a и b Петя имеет выигрышную стратегию? (45 савезно такмиченье из математике, 16.04.2005, упрощение)

2. Даны различные простые числа a, b и c. Докажите, что ab+bc+ca+29 ≤ 2abc. (L.Panaitopol, V.Bandila, M.Lascu Inegalitati, E1.44, упрощение)

3. Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди любых трех из них нашлись две перпендикулярные? (И. Рубанов)

4. Существует ли такое нецелое положительное число x, что [x]3+x2 = x3+[x]2? (Через [x] обозначается целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x). (Болгария, 2004, региональный раунд)

5. Найдите все пары (m,n) натуральных чисел, для которых число 4(mn+1) делится на (m+n)2. (Czech, A60ii, 2011)

6. Про натуральное число n известно три факта:

1) Если оно делится на 3, то оно лежит между 50 и 59 включительно.

2) Если оно не делится на 4, то оно лежит между 60 и 69 включительно.

3) Если оно не делится на 6, то оно лежит между 70 и 79 включительно.

Чему может быть равно число n? (Окружно такмиченье из математике ученика средньих школа, 20.02.2010. Перви разред, категориjа Б.)

7. На стороне CD выпуклого четырехугольника ABCD отмечена такая точка E, что AD = DE. На отрезке AE отмечена такая точка F, что AF = EC. Известно, что ÐADB = ÐBDC = 90°–ÐABE. Докажите, что BF = BC. (А. Пастор)

8. За круглым столом сидят 180 человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Каждый из них произнес фразу: «Среди 17 человек, сидящих следом за мной по часовой стрелке, не менее 9 лжецов». Сколько рыцарей может сидеть за этим столом? (Martin Pan'ak, Czech, A59iii, 2010)

МЛАДШАЯ ГРУППА, ВТОРАЯ ЛИГА

1. На столе лежат 5 красных, 6 синих и 6 белых бусин. Петя и Вася ходят по очереди. За каждый ход игрок берет со стола две или три бусины. Первым ходит Петя. Побеждает тот игрок, после хода которого со стола исчезнут бусины хотя бы одного из цветов. Кто выигрывает при правильной игре? (45 савезно такмиченье из математике, 16.04.2005. Упрощение)

2. Даны различные простые числа p и q. Докажите, что p+q+7 ≤ 2pq. (L.Panaitopol, V.Bandila, M.Lascu Inegalitati, E1.44, упрощение)

3. Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди любых трех из них нашлись две перпендикулярные? (И. Рубанов)

4. Существует ли такое нецелое положительное число x, что [x]2+x = x2+[x]? (Через [x] обозначается целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x). (Болгария, 2004, региональный раунд, упрощение)

5. Найдите все пары (m,n) натуральных чисел, для которых число 4(mn+1) делится на (m+n)2. (Czech, A60ii, 2011)

6. Про натуральное число n известно три факта:

1) Если оно делится на 3, то оно лежит между 50 и 59 включительно.

2) Если оно не делится на 4, то оно лежит между 60 и 69 включительно.

3) Если оно не делится на 6, то оно лежит между 70 и 79 включительно.

Чему может быть равно число n? (Окружно такмиченье из математике ученика средньих школа, 20.02.2010. Перви разред, категориjа Б.)

7. Чтобы пронумеровать страницы объемистого тома по порядку, начиная с первой, печатник использовал 2010 цифр. Сколько страниц содержит том? (фольклор)

8. За круглым столом сидят 180 человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Каждый из них произнес фразу: «Среди 17 человек, сидящих следом за мной по часовой стрелке, не менее 9 лжецов». Сколько рыцарей может сидеть за этим столом? (Martin Pan'ak, Czech, A59iii, 2010)

ГРУППА «СТАРТ», ВЫСШАЯ ЛИГА

1. На столе лежат 17 красных и 37 синих бусин. Петя и Вася ходят по очереди. За каждый ход игрок берет со стола две или три бусины. Первым ходит Петя. Побеждает тот игрок, после хода которого со стола исчезнут бусины хотя бы одного из цветов. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш, независимо от игры соперника? (45 савезно такмиченье из математике, 16.04.2005, упрощение)

2. Для каких натуральных n найдутся натуральные числа a и b такие, что сумма цифр каждого из чисел a, b, a+b равна n? (Болгария, JBMO-TST)

3. Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди любых десяти из них нашлись две перпендикулярные? (И. Рубанов)

4. В стране 100 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит ровно 5 дорог. Страна разделилась на 2 республики по 50 городов в каждой. Докажите, что в первой республике дорог, соединяющих её города, столько же, сколько во второй. (Komal-2010)

5. За круглым столом сидят 180 человек, каждый из которых — рыцарь или лжец (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый из них произнес фразу: «Среди 17 человек, сидящих следом за мной по часовой стрелке, не менее 9 лжецов». Сколько рыцарей может сидеть за этим столом? (Martin Pan'ak, Czech, A59iii, 2010)

6. Про натуральное число n известно три факта:

1) Если оно делится на 3, то оно лежит между 50 и 59 включительно.

2) Если оно не делится на 4, то оно лежит между 60 и 69 включительно.

3) Если оно не делится на 6, то оно лежит между 70 и 79 включительно.

Чему может быть равно число n? (Окружно такмиченье из математике ученика средньих школа, 20.02.2010. Перви разред, категориjа Б.)

7. У паука есть 8 одинаковых носков и 8 одинаковых ботинок. Паук каждую секунду либо надевает на одну из своих ног носок, либо натягивает ботинок на какую-нибудь из ног, на которую носок уже надет (у паука 8 ног; на каждую ногу он надевает один носок и один ботинок). Два способа обувания паука считаются различными, если паук хотя бы в одну из 16 секунд делает различные действия. Сколькими различными способами паук может обуться? (AMC12, 2001)

8. Дан клетчатый квадрат 9´9. В центре одного из квадратиков сидит квадрогрызка, которая может перебираться по прямой в центр соседнего по стороне квадратика. Добравшись до центра нового квадратика, квадрогрызка поворачивает на 90°. Какую наибольшую длину может иметь замкнутый маршрут квадрогрызки, не проходящий ни через какой квадратик, кроме начального, больше одного раза, и возвращающийся в начальный только один раз? (Аргентина, 1995, упрощение)

ГРУППА «СТАРТ», ПЕРВАЯ ЛИГА

1. На столе лежат 5 красных, 6 синих и 6 белых бусин. Петя и Вася ходят по очереди. За каждый ход игрок берет со стола две или три бусины. Первым ходит Петя. Побеждает тот игрок, после хода которого со стола исчезнут бусины хотя бы одного из цветов. Кто выигрывает при правильной игре? (45 савезно такмиченье из математике, 16.04.2005. Упрощение)

2. Существуют ли такие натуральные числа a и b, что сумма цифр каждого из чисел a, b, a+b равна 999? (Болгария, JBMO-TST)

3. Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди любых трех из них нашлись две перпендикулярные? (И. Рубанов)

4. В стране 100 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит ровно 5 дорог. Страна разделилась на 2 республики по 50 городов в каждой. Докажите, что в первой республике дорог, соединяющих её города, столько же, сколько во второй. (Komal-2010)

5. За круглым столом сидят 180 человек, каждый из которых — рыцарь или лжец (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый из них произнес фразу: «Среди 17 человек, сидящих следом за мной по часовой стрелке, не менее 9 лжецов». Сколько рыцарей может сидеть за этим столом? (Martin Pan'ak, Czech, A59iii, 2010)

6. Про натуральное число n известно три факта:

1) Если оно делится на 3, то оно лежит между 50 и 59 включительно.

2) Если оно не делится на 4, то оно лежит между 60 и 69 включительно.

3) Если оно не делится на 6, то оно лежит между 70 и 79 включительно.

Чему может быть равно число n? (Окружно такмиченье из математике ученика средньих школа, 20.02.2010. Перви разред, категориjа Б.)

7. В бассейн ведут две одинаковых трубы. Одна труба заполняет бассейн за 3 часа. Сначала включили обе трубы, но через час одна из труб засорилась и через нее вода стала поступать вдвое медленнее. Через сколько времени бассейн заполнится? (С. Берлов)

8. Дан клетчатый квадрат 8´8. В центре одного из квадратиков сидит квадрогрызка, которая может перебираться по прямой в центр соседнего по стороне квадратика. Добравшись до центра нового квадратика, квадрогрызка поворачивает на 90°. Может ли квадрогрызка посетить ровно по одному разу все клетки доски? (Аргентина, 1995, упрощение)

 

Старшая группа, высшая лига, 1 тур, решения и указания для жюри.

1. Куб 3´3´3 состоит из 27 единичных кубиков. В центре одного из кубиков сидит кубогрызка, которая может перебираться по прямой в центр соседнего кубика (то есть имеющего с ее нынешним кубиком общую грань). Добравшись до центра нового кубика, кубогрызка поворачивает на 90°. Какую наибольшую длину может иметь замкнутый маршрут кубогрызки, не проходящий ни через какой кубик, кроме начального, больше одного раза, и возвращающийся в начальный только один раз под прямым углом к начальному ходу?

Ответ: 24. Решение. Оценка. Покрасим единичные кубики в черный и белый цвета в шахматном порядке. Заметим, что наша зверушка за ход меняет цвет кубика в котором находится, откуда следует, что длина ее пути будет четная. Допустим, она равна 26. Тогда кубогрызка посетила по крайней мере 7 угловых кубиков. Заметим, что путь между двумя угловыми кубиками имеет четную длину и не может быть равен 2, и, значит, не короче 4. Но тогда длина пути не меньше 28 — противоречие. Пример — на рисунке справа (показаны три слоя куба и последовательность обхода кубиков).

¨ Пример — 4 балла, оценка — 6 баллов. Только ответ — 0 баллов.

2. В равнобочной трапеции ABCD из точки B опущена высота на большее основание AD и на ее продолжении взята точка E. Отрезки EC и BD пересекаются в точке P. Докажите, что SPED = SEBA+SBPC.

Решение. Добавим к обеим частям SEBP. Получим, что требуется доказать равенство площадей четырехугольника ABCE и треугольника BED. Площадь последнего равна BE×HD/2, где H — точка пересечения BE и AD. Площадь ABCE равна BE×(AH+BC)/2. Осталось заметить, что AH+BC = HD, поскольку трапеция равнобокая.

3. Решите в целых неотрицательных числах уравнение (xy–7)2 = x2+y2.

Ответ: x = 0, y = 7; x = 7, y = 0; x = 3, y = 4; x = 4, y = 3. Решение. Исходное уравнение нетрудно привести к виду (x+y)2–(xy–6)2 = 13 Û (x+y+xy–6)(x+y–xy+6) = 13. Допустим, xy > 6. Тогда
x+y+xy–6 > 1, откуда x+y+xy–6 = 13 и x+y–xy+6 = 1. Складывая уравнения и деля на 2, получаем x+y = 7, откуда коротким перебором находим решения (3, 4) и (4, 3). Перебирая же случаи, когда xy ≤ 6, находим решения (0, 7) и (7, 0).

¨ Вся логика решения верна, но при разборе вариантов потеряна одна из двух пар ответов — дыра в 4 балла. Найдено разумное разложение на множители, дальнейшего содержательного продвижения нет — 4 балла. Только ответ — 0 баллов.

4. Докажите, что  при всех положительных a, b и c.

Решение. Докажем сначала, что . В самом деле, умножив обе части на a+b, после приведения подобных получаем a2+b2 ³ 2ab. Складывая теперь это неравенство с аналогичным неравенством , получаем искомое.

5. На столе лежат n камней. Два игрока по очереди берут камни из кучи; каждый игрок при своем ходе может взять любое количество камней, являющееся квадратом натурального числа. Проигрывает не имеющий хода. Докажите, что для бесконечно многих n второй игрок может обеспечить себе победу.

Решение. Пусть утверждение задачи неверно. Тогда найдется такое натуральное число a, что при любом исходном числе камней, большем a, побеждает первый. Возьмём кучу из (a+1)2–1 камней. После первого хода в ней останется не меньше, чем (a+1)2–1 –a2 = 2a камней, и, следовательно, в получившейся позиции должен побеждать тот, чья очередь ходить. Но это — второй. Противоречие.

6. Дано натуральное число k > 1. Какое наибольшее количество прямых можно расположить на плоскости таким образом, чтобы среди любых k из них нашлись две прямые, образующие угол 60°?

Ответ: 3k–3. Решение. Пример. Проведем через одну точку три прямые, делящие полный угол на шесть углов по 60°, затем добавим к каждой k–2 параллельные ей прямые. Оценка. Пусть даны 3k–2 прямые. Разобьем их на несколько семейств по следующему принципу: две прямые принадлежат одному семейству, если они параллельны или угол между ними равен 60° (легко проверить, что это действительно разбиение). Каждое семейство состоит из трех наборов параллельных прямых. Очевидно, один из этих наборов содержит не меньше трети всех прямых этого семейства. Далее, выбрав из каждого семейства по такому набору, мы получим набор из прямых, содержащий не менее трети из 3k–2 прямых, то есть не менее k прямых, и угол между любыми двумя из них не равен 60°.

¨ Ответ с примером — 2 балла, без примера — 0 баллов. Только оценка — 6 баллов.

7. В треугольнике ABC угол B равен 120° и BC = 2AB. Найдите угол между медианами AM и BK.

Ответ: 60°. Решение. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD, а точку пересечения медиан обозначим через P. Получаем что, точки B, P и D лежат на одной прямой, а ÐBCD = 60°. Из условия следует, что MC CD, поэтому треугольник MCD — равносторонний. Поэтому BM MD, а ÐBMD=120°. Из равнобедренности треугольников ABM и BMD получаем ÐBMA = ÐDBM = 30°, откуда ÐBP= 60°.

¨ Только ответ — 0 баллов.

8. Существует ли такое нецелое положительное число x, что [x]3+x2 = x3+[x]2? (Через [x] обозначается целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x).

Ответ: Нет. Решение. Пусть для краткости [x] = a, xa = b. По условию (a+b)3a3 = (a+b)2a2. Раскладывая обе части последнего равенства на множители и сокращая на b ¹ 0, получаем равенство (a+b)2+a(a+b)+a2 = 2a+b (*). По условию a ³ 0. Тогда (a+b)2+a(a+b)+a2 > 3a2, а 2a+b < 2a+1. При a ³ 1 имеем 3a2–2a–1 = (a–1)2+2a2–2 ³ 0, и потому равенство (*) тут невозможно. Подставляя в уравнение (*) a = 0, убеждаемся, что в этом случае оно также не имеет решений, лежащих между 0 и 1, что и завершает доказательство.

¨ Только ответ — 0 баллов.

Старшая группа, первая лига, 1 тур, решения и указания для жюри.

1. Дан клетчатый квадрат 9´9. В центре одного из квадратиков сидит квадрогрызка, которая может перебираться по прямой в центр соседнего (по стороне) квадратика. Добравшись до центра нового квадратика, квадрогрызка поворачивает на 90°. Какую наибольшую длину может иметь замкнутый маршрут квадрогрызки, не проходящий ни через какой квадратик больше одного раза?

Ответ: 64. Решение. Раскрасим клеточки в 4 цвета: четные горизонтали — 121212121, нечетные — 434343434. Легко убедиться, что при такой раскраске цвета на маршруте квадратогрызки чередуются с периодом 4: …123412341… . Заметим, что клеточек цвета 2 всего 16. Поэтому замкнутый маршрут квадратогрызки не может быть длиннее 64 клеточек. Пример на 64 — на рисунке справа (клетки пронумерованы в порядке обхода).

¨ Пример — 4 балла, оценка — 6 баллов. Только ответ — 0 баллов.

2. Точка D лежит внутри треугольника ABC. На сторонах этого треугольника построены внешним образом прямоугольники BCEF, CAGH и ABKL, площадь каждого из которых вдвое больше площади треугольника ABC. Докажите, что сумма площадей треугольников DEF, DGH и DKL в четыре раза больше площади треугольника ABC.

Решение. Пусть перпендикуляр DD1, опущенный из точки D на прямую EF, пересекает прямую BC в точке D2. SDEF = DD1×EF/2 = DD2×BC/2+D1D2×BC/2 = SDBC+SBCEF/2 = SDBC+SABC. Аналогично SDGH = SDAC+SABC и SDKL = SDAB+SABC. Осталось сложить три полученных равенства.

3. Решите в целых неотрицательных числах уравнение (xy–7)2 = x2+y2.

Ответ: x = 0, y = 7; x = 7, y = 0; x = 3, y = 4; x = 4, y = 3. Решение. Исходное уравнение нетрудно привести к виду (x+y)2–(xy–6)2 = 13 Û (x+y+xy–6)(x+y–xy+6) = 13. Допустим, xy > 6. Тогда
x+y+xy–6 > 1, откуда x+y+xy–6 = 13 и x+y–xy+6 = 1. Складывая уравнения и деля на 2, получаем x+y = 7, откуда коротким перебором находим решения (3, 4) и (4, 3). Перебирая же случаи, когда xy ≤ 6, находим решения (0, 7) и (7, 0).

¨ Вся логика решения верна, но при разборе вариантов потеряна одна из двух пар ответов — дыра в 4 балла. Найдено разумное разложение на множители, дальнейшего содержательного продвижения нет — 4 балла. Только ответ — 0 баллов.

4. Докажите, что  при всех положительных a, b и c.

Решение. Докажем сначала, что . В самом деле, умножив обе части на a+b, после приведения подобных получаем a2+b2 ³ 2ab. Складывая теперь это неравенство с аналогичным неравенством , получаем искомое.

5. На столе лежат n камней. Два игрока по очереди берут камни из кучи; каждый игрок при своем ходе может взять любое количество камней, являющееся квадратом натурального числа. Проигрывает не имеющий хода. Докажите, что для некоторого n > 1000000 второй игрок может обеспечить себе победу.

Решение. Допустим, при всех n > 1000000 побеждает первый. Возьмём кучу из 100000012–1 камней. После первого хода первого игрока в куче останется не меньше, чем 100000012–1 –10000002 = 2000000 камней, и в получившейся позиции должен побеждать тот, чья очередь ходить. Но это — второй.

6. Дано натуральное число k > 1. Какое наибольшее количество прямых можно расположить на плоскости таким образом, что среди любых k из них нашлись две прямые, образующие угол 90°?

Ответ: 2k–2. Решение. Пример: k–1 параллельных прямых и k–1 прямая, перпендикулярная им. Оценка. Пусть есть n прямых, обладающих указанным в задаче свойством. Покрасим одну из них в синий цвет, все перпендикулярные ей — в красный, а все параллельные — в синий. Если после этого остались непокрашенные прямые — будем повторять процедуру, пока все прямые не будут покрашены. Заметим, что перпендикулярными могут быть только разноцветные прямые. Если n ³ 2k–1, у нас найдутся k одноцветных прямых. Поэтому n не превосходит 2k–2.

¨ Ответ с примером — 2 балла, без примера — 0 баллов. Только оценка — 6 баллов.

7. В треугольнике ABC угол B равен 120° и BC = 2AB. Найдите угол между медианами AM и BK.

Ответ: 60°. Решение. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD, а точку пересечения медиан обозначим через P. Получаем что, точки B, P и D лежат на одной прямой, а ÐBCD = 60°. Из условия следует, что MC CD, поэтому треугольник MCD — равносторонний. Поэтому BM MD, а ÐBMD=120°. Из равнобедренности треугольников ABM и BMD получаем ÐBMA = ÐDBM = 30°, откуда ÐBP= 60°.

¨ Только ответ — 0 баллов.

8. Существует ли такое нецелое положительное число x. что [x]+x2 = x+[x]2? (Через [x] обозначается целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x).

Ответ: Нет. Решение. Пусть для краткости [x] = a, xa = b. По условию (a+b)2a2 = (a+b)–a. Раскладывая обе части последнего равенства на множители и сокращая на b ¹ 0, получаем равенство (a+b)+a = 1 Û b = 1–2a. Но нецелое число b не может равняться целому числу 1–2a.

¨ Только ответ — 0 баллов.

Старшая группа, вторая лига, 1 тур, решения и указания для жюри.

1. Квадрат 9´9 состоит из 81 единичного квадратика. В центре одного из квадратиков сидит квадрогрызка, которая может перебираться по прямой в центр соседнего по стороне квадратика. Добравшись до центра нового квадратика, квадрогрызка поворачивает на 90°. Какую наибольшую длину может иметь замкнутый маршрут квадрогрызки, не проходящий ни через какой квадратик, кроме начального, больше одного раза, и возвращающийся в начальный только один раз?

Ответ: 64. Решение. Раскрасим клеточки в 4 цвета: четные горизонтали — 121212121, нечетные — 434343434. Легко убедиться, что при такой раскраске цвета на маршруте квадратогрызки чередуются с периодом 4: …123412341… . Заметим, что клеточек цвета 2 всего 16. Поэтому замкнутый маршрут квадратогрызки не может быть длиннее 64 клеточек. Пример на 64 — на рисунке справа (клетки пронумерованы в порядке обхода).

¨ Пример — 4 балла, оценка — 6 баллов. Только ответ — 0 баллов.

2. Точка D лежит внутри треугольника ABC. На сторонах этого треугольника построены внешним образом прямоугольники BCEF, CAGH и ABKL, площадь каждого из которых вдвое больше площади треугольника ABC. Докажите, что сумма площадей треугольников DEF, DGH и DKL в четыре раза больше площади треугольника ABC.

Решение. Пусть перпендикуляр DD1, опущенный из точки D на прямую EF, пересекает прямую BC в точке D2. SDEF = DD1×EF/2 = DD2×BC/2+D1D2×BC/2 = SDBC+SBCEF/2 = SDBC+SABC. Аналогично SDGH = SDAC+SABC и SDKL = SDAB+SABC. Осталось сложить три полученных равенства.

3. Над пятизначным числом проводят следующую операцию: заменяют одну из его цифр на последнюю цифру суммы цифр данного числа. Какое наименьшее число можно получить из числа 13579 несколькими такими операциями?

Ответ: 11111. Решение. Очевидно, можно получить только пятизначные числа, у которых все цифры нечетны. 11111 самое маленькое из них. Последовательность такая 13579, 15579, 15779, 15799, 11599, 11559, 11155, 11135, 11113, 11117, 11111.

¨ Только ответ — 0 баллов.

4. Докажите, что  при всех положительных a и b.

Решение. Искомое неравенство получается сложением неравенств  и . Оба эти неравенства сводятся к очевидным применением правила пропорции с последующим приведением подобных.

5. Участники олимпиады устроили вечеринку, договорившись разделить расходы поровну. Получив счет на $1680, они посчитали было, сколько нужно заплатить каждому участнику, но вдруг заметили, что четыре человека уже ушли, из-за чего взнос каждого из оставшихся возрос на $1. Сколько человек участвовало в вечеринке?

Ответ: 84. Решение. Пусть x — число участников вечеринки. По условию 1+1680/x = 1680/(x–4). Это уравнение приводится к квадратному, единственным положительным корнем которого является число 84.

¨ Только ответ — 2 балла.

6. Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди любых пяти из них нашлись две, образующие угол в 90°?

Ответ: 8. Решение. Пример: 4 параллельных прямых и 4 прямых, перпендикулярных им. Оценка. Пусть есть n прямых, обладающих указанным в задаче свойством. Покрасим одну из них в синий цвет, все перпендикулярные ей — в красный, а все параллельные — в синий. Если после этого остались непокрашенные прямые — будем повторять процедуру, пока все прямые не будут покрашены. Заметим, что перпендикулярными могут быть только разноцветные прямые. Если n ³ 9, у нас найдутся 5 одноцветных прямых. Поэтому n не превосходит 8.

¨ Ответ с примером — 2 балла, без примера — 0 баллов. Только оценка — 6 баллов.

7. В треугольнике ABC угол B равен 120° и BC = 2AB. Найдите угол между медианами AM и BK.

Ответ: 60°. Решение. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD, а точку пересечения медиан обозначим через P. Получаем что, точки B, P и D лежат на одной прямой, а ÐBCD = 60°. Из условия следует, что MC CD, поэтому треугольник MCD — равносторонний. Поэтому BM MD, а ÐBMD=120°. Из равнобедренности треугольников ABM и BMD получаем ÐBMA = ÐDBM = 30°, откуда ÐBP= 60°.

¨ Только ответ — 0 баллов.

8. Существует ли такое нецелое положительное число x, что [x]2+x = x2+[x]? (Через [x] обозначается целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x).

Ответ: Нет. Решение. Пусть для краткости [x] = a, xa = b. По условию (a+b)2a2 = (a+b)–a. Раскладывая обе части последнего равенства на множители и сокращая на b ¹ 0, получаем равенство (a+b)+a = 1 Û b = 1–2a. Но нецелое число b не может равняться целому числу 1–2a.

¨ Только ответ — 0 баллов.

 


Категория: Математика | Добавил: Админ (03.10.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar