Тема №8499 Решение задач по математике олимпиада 423 (Часть 3)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по математике олимпиада 423 (Часть 3) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по математике олимпиада 423 (Часть 3), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Младшая группа, высшая лига, 1 тур, решения и указания для жюри.

1. На столе лежат a красных, b синих и c белых бусин (причем есть хотя бы по одной бусине каждого цвета). Петя и Вася ходят по очереди. За каждый ход игрок берет со стола две или три бусины. Первым ходит Петя. Побеждает тот игрок, после хода которого со стола исчезнут бусины хотя бы одного из цветов. При каких значениях a, b и c Петя имеет выигрышную стратегию?

Ответ: При тех, где одно из чисел a, b и c не больше 3, а если все эти числа больше 3 — когда a+b+c дает остаток 0, 1 или 4 при делении на 5. Решение. Если одно из чисел a, b и c не больше 3, Петя выигрывает первым же ходом. Далее будем считать, что все эти числа больше 3. В этом случае сумма a+b+c не меньше 12. Суммы 12 и 13 дают расклады 4,4,4 и 5,4,4, где тот, чья очередь ходить, очевидно, проигрывает. Из позиций с суммами 14, 15 и 16 тот, чья очередь ходить, всегда может перевести партнера в позицию с суммой 12 или 13 (и каждым из чисел, не меньшим 4), и победить. Из позиций с суммами 17 и 18 тот, чья очередь ходить, может попасть только в позиции с суммами 14, 15 или 16, и потому проигрывает, а из позиций с суммами 19, 20 и 21 тот, чья очередь ходить, всегда может перевести партнера в позицию с суммой 17 или 18 и выиграть. Продолжая по индукции, убеждаемся в правильности ответа.

2. Даны различные простые числа a, b, c и d. Докажите, что abc+bcd+cda+abd+173  2abcd.

Решение. Поделив обе части неравенства на abcd, получим 1/a+1/b+1/c+1/d+173/abcd ≤ 2. Очевидно, наибольшее значение левая часть последнего неравенства принимает, когда данные простые числа равны 2, 3, 5 и 7. Нетрудно проверить, что в этом случае она равна 2, откуда и вытекает нужное нам неравенство.

3. Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди любых ста из них нашлись две перпендикулярные?

Ответ: 198. РешениеПример: 99 параллельных прямых и 99 прямых, перпендикулярных им. Оценка. Пусть есть n прямых, обладающих указанным в задаче свойством. Покрасим одну из них в синий цвет, все перпендикулярные ей — в красный, а все параллельные — в синий. Если после этого остались непокрашенные прямые — будем повторять процедуру, пока все прямые не будут покрашены. Заметим, что перпендикулярными могут быть только разноцветные прямые. Если n ³ 199, у нас найдутся 100 одноцветных прямых. Поэтому n не превосходит 198.

¨ Ответ с примером — 2 балла, без примера — 0 баллов. Только оценка — 6 баллов.

4. Существует ли такое нецелое положительное число x, что [x]3+x2 = x3+[x]2? (Через [x] обозначается целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x).

Ответ: Нет. Решение. Пусть для краткости [x] = axa = b. По условию (a+b)3a3 = (a+b)2a2. Раскладывая обе части последнего равенства на множители и сокращая на b ¹ 0, получаем равенство (a+b)2+a(a+b)+a2 = 2a+b (*). По условию a ³ 0. Тогда (a+b)2+a(a+b)+a2 > 3a2, а 2a+b < 2a+1. При a ³ 1 имеем 3a2–2a–1 = (a–1)2+2a2–2 ³ 0, и потому равенство (*) тут невозможно. Подставляя в уравнение (*) a = 0, убеждаемся, что в этом случае оно также не имеет решений, лежащих между 0 и 1, что и завершает доказательство.

¨ Только ответ — 0 баллов.

5. Найдите все пары натуральных чисел a и b, для которых 4a+4a2+4 = b2.

Ответa = 2, b = 6; a = 4, b = 18. Решение. Заметим, что 4a = (2a)2, а b четно. Поэтому b2 ³ (2a+2)2, откуда 4a2+4 ³ 2a+2+4 Û a2 ³ 2a. Последнее неравенство, как легко показать, выполняется только при a, равном 2, 3 или 4. Подстановкой убеждаемся, что 4a+4a2+4 будет точным квадратом только при a = 2 и a = 4, откуда и получаем ответ.

¨ Только ответ — 2 балла. Без обоснования используется, что a2 ³ 2a только при a = 2, 3, 4 — дыра в 4 балла.

6. Про натуральное число n известно три факта:

1) Если оно делится на 3, то оно лежит между 50 и 59 включительно;

2) Если оно не делится на 4, то оно лежит между 60 и 69 включительно;

3) Если оно не делится на 6, то оно лежит между 70 и 79 включительно.

Чему может быть равно число n?

Ответ: 76. Решение. Допустим n делится на 3. Тогда, в силу 1), оно равно 51, 54 или 57. Но ни одно из этих чисел не делится на 4, и второе утверждение для каждого из них не выполнено. Итак, искомое число не делится на 3. Но тогда оно не делится и на 6, и, значит, лежит между 70 и 79. Отсюда, в свою очередь, следует, что искомое число делится на 4. Такое число только одно — 76.

¨ Только ответ — 0 баллов. Только ответ с проверкой — 2 балла.

7. На стороне CD выпуклого четырехугольника ABCD отмечена такая точка E, что AD = DE. На отрезке AE отмечена такая точка F, что AF = EC. Известно, что ÐADB = ÐBDC = 90°ÐABE. Докажите, что BF = BC.

Решение. По условию, треугольник EDA — равнобедренный с биссектрисой DB. Поэтому DB — серединный перпендикуляр отрезков EA. Треугольники ADB и EDB равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, BE = BA и ÐABD = ÐEBD. Тогда ÐBEC = ÐEDBEBD = 90°ÐABE +ÐEBD  = 90°ÐABD = ÐBAF. Соединяя это равенство с равенствами AF = EC и BE = BA получаем, что треугольники BEC и BAF равны, откуда и следует, что BF = BC.

8. Дан клетчатый квадрат 9´9. В центре одного из квадратиков сидит квадрогрызка, которая может перебираться по прямой в центр соседнего по стороне квадратика. Добравшись до центра нового квадратика, квадрогрызка поворачивает на 90°. Какую наибольшую длину может иметь замкнутый маршрут квадрогрызки, не проходящий ни через какой квадратик, кроме начального, больше одного раза, и возвращающийся в начальный только один раз?

Ответ: 64. Решение. Раскрасим клеточки в 4 цвета: четные горизонтали — 121212121, нечетные — 434343434. Легко убедиться, что при такой раскраске цвета на маршруте квадратогрызки чередуются с периодом 4: …123412341… . Заметим, что клеточек цвета 2 всего 16. Поэтому замкнутый маршрут квадратогрызки не может быть длиннее 64 клеточек. Пример на 64 — на рисунке справа (клетки пронумерованы в порядке обхода).

¨ Пример — 4 балла, оценка — 6 баллов. Только ответ — 0 баллов.

Младшая группа, первая лига, 1 тур, решения и указания для жюри.

1. На столе лежат a красных, b синих и 4 белых бусины (причем есть хотя бы по одной красной и синей бусине). Петя и Вася ходят по очереди. За каждый ход игрок берет со стола две или три бусины. Первым ходит Петя. Побеждает тот игрок, после хода которого со стола исчезнут бусины хотя бы одного из цветов. При каких значениях a и b Петя имеет выигрышную стратегию?

Ответ: Если одно из чисел a, b не больше 3 или a+b+4 дает остаток 0, 1 или 4 при делении на 5, побеждает Петя, иначе — Вася. Решение. Если одно из чисел или b не больше 3, Петя выигрывает первым же ходом. Далее будем считать, что оба этих числа больше 3. В этом случае сумма a+b+4 не меньше 12. Суммы 12 и 13 дают расклады 4,4,4 и 5,4,4, где тот, чья очередь ходить, очевидно, проигрывает. Из позиций с суммами 14, 15 и 16 тот, чья очередь ходить, всегда может перевести партнера в позицию с суммой 12 или 13 (и каждым из чисел, не меньшим 4), и победить. Из позиций с суммами 17 и 18 тот, чья очередь ходить, может попасть только в позиции с суммами 14, 15 или 16, и потому проигрывает, а из позиций с суммами 19, 20 и 21 тот, чья очередь ходить, всегда может перевести партнера в позицию с суммой 17 или 18 и выиграть. Продолжая по индукции, убеждаемся в правильности ответа.

2. Даны различные простые числа a, b и c. Докажите, что ab+bc+ca+29  2abc.

Решение. Поделив обе части неравенства на abc, получим 1/a+1/b+1/c+29/abc ≤ 2. Очевидно, наибольшее значение левая часть последнего неравенства принимает, когда данные простые числа равны 2, 3 и 5. Нетрудно проверить, что в этом случае она равна 2, откуда и вытекает нужное нам неравенство.

3. Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди любых трех из них нашлись две перпендикулярные?

Ответ: 4. РешениеПример для 4: продолжения сторон прямоугольника. Оценка. Пусть есть пять прямых. Среди них найдутся две не перпендикулярных — обозначим их a и b. Каждая из трёх оставшихся прямых перпендикулярна либо a, либо b, и найдутся две, перпендикулярные одной и той же — пусть это a. Тогда среди этих двух прямых и прямой b нет двух перпендикулярных.

¨ Ответ с примером — 2 балла, без примера — 0 баллов. Только оценка — 6 баллов.

4. Существует ли такое нецелое положительное число x, что [x]3+x2 = x3+[x]2? (Через [x] обозначается целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x).

Ответ: Нет. Решение. Пусть для краткости [x] = axa = b. По условию (a+b)3a3 = (a+b)2a2. Раскладывая обе части последнего равенства на множители и сокращая на b ¹ 0, получаем равенство (a+b)2+a(a+b)+a2 = 2a+b (*). По условию a ³ 0. Тогда (a+b)2+a(a+b)+a2 > 3a2, а 2a+b < 2a+1. При a ³ 1 имеем 3a2–2a–1 = (a–1)2+2a2–2 ³ 0, и потому равенство (*) тут невозможно. Подставляя в уравнение (*) a = 0, убеждаемся, что в этом случае оно также не имеет решений, лежащих между 0 и 1, что и завершает доказательство.

¨ Только ответ — 0 баллов.

5. Найдите все пары (m,n) натуральных чисел, для которых число 4(mn+1) делится на (m+n)2.

Ответm = n+2 (n ³ 1), n = m+2 (m ³ 1), = n = 1. Решение. Если частное от деления 4(mn+1) на (m+n)2 равно k ³ 2, имеем: 4(mn+1) = k(m+n)2 ³ 4kmn, откуда (k–1)mn ≤ 1, и = n = 1. Равенство же 4(mn+1) = (m+n)2 равносильно равенству (mn)2 = 4, что дает первые две серии ответов.

¨ Только ответ — 2 балла. Потеря ответа (1, 1) — дыра в 2 балла.

6. Про натуральное число n известно три факта:

1) Если оно делится на 3, то оно лежит между 50 и 59 включительно;

2) Если оно не делится на 4, то оно лежит между 60 и 69 включительно;

3) Если оно не делится на 6, то оно лежит между 70 и 79 включительно.

Чему может быть равно число n?

Ответ: 76. Решение. Допустим n делится на 3. Тогда, в силу 1), оно равно 51, 54 или 57. Но ни одно из этих чисел не делится на 4, и второе утверждение для каждого из них не выполнено. Итак, искомое число не делится на 3. Но тогда оно не делится и на 6, и, значит, лежит между 70 и 79. Отсюда, в свою очередь, следует, что искомое число делится на 4. Такое число только одно — 76.

¨ Только ответ — 0 баллов. Только ответ с проверкой — 2 балла.

7. На стороне CD выпуклого четырехугольника ABCD отмечена такая точка E, что AD = DE. На отрезке AE отмечена такая точка F, что AF = EC. Известно, что ÐADB = ÐBDC = 90°ÐABE. Докажите, что BF = BC.

Решение. По условию, треугольник EDA — равнобедренный с биссектрисой DB. Поэтому DB — серединный перпендикуляр отрезков EA. Треугольники ADB и EDB равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, BE = BA и ÐABD = ÐEBD. Тогда ÐBEC = ÐEDBEBD = 90°ÐABE +ÐEBD  = 90°ÐABD = ÐBAF. Соединяя это равенство с равенствами AF = EC и BE = BA получаем, что треугольники BEC и BAF равны, откуда и следует, что BF = BC.

8. За круглым столом сидят 180 человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Каждый из них произнес фразу: «Среди 17 человек, сидящих следом за мной по часовой стрелке, не менее 9 лжецов». Сколько рыцарей может сидеть за этим столом?

Ответ: 90. Решение. Из условия ясно, что из 17 человек, сидящих следом за лжецом, не менее 9 — рыцари, а из 17 человек, сидящих следом за рыцарем, не менее 9 — лжецы. Допустим, среди 17 человек, сидящих за каким-то рыцарем, хотя бы 10 — лжецы. Но тогда среди 17 человек, сидящих следом за первым из этих лжецов, есть хотя бы 9 лжецов, и получается, что этот лжец сказал правду. Стало быть, среди 17 человек, сидящих следом за каждым рыцарем, ровно 9 лжецов (и, стало быть, 8 рыцарей). Аналогично, среди 17 человек, сидящих следом за каждым лжецом, ровно 9 рыцарей и 8 лжецов. Поэтому среди любых 18 человек, сидящих подряд, 9 рыцарей и 9 лжецов, откуда и следует ответ.

¨ Предъявлять схему рассадки 90 рыцарей и 90 лжецов не требуется. Только ответ с примером — 0 баллов.

Младшая группа, вторая лига, 1 тур, решения и указания для жюри.

1. На столе лежат 5 красных, 6 синих и 6 белых бусин. Петя и Вася ходят по очереди. За каждый ход игрок берет со стола две или три бусины. Первым ходит Петя. Побеждает тот игрок, после хода которого со стола исчезнут бусины хотя бы одного из цветов. Кто выигрывает при правильной игре?

Ответ: Вася. Решение. Если после первого хода Пети появится кучка, где не больше трех бусин, Вася, очевидно, выиграет своим первым ходом. В противном случае Вася может своим первым ходом создать позицию 4, 4, 4 (потому что 5 = 4+1, 6 = 4+2, 2+2+1 = 5, и Вася всегда может своим ходом дополнить количество спичек, взятых Петей, до 5), которая, как легко показать, проигрышна для того, чья очередь ходить.

2. Даны различные простые числа p и q. Докажите, что p+q+7 ≤ 2pq.

Решение. Поделив обе части неравенства на pq, получим 1/p+1/q+7/pq ≤ 2. Очевидно, наибольшее значение левая часть последнего неравенства принимает, когда простые числа равны 2 и 3. Нетрудно проверить, что в этом случае она равна 2, откуда и вытекает нужное нам неравенство.

3. Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди любых трех из них нашлись две перпендикулярные?

Ответ: 4. РешениеПример для 4: продолжения сторон прямоугольника. Оценка. Пусть есть пять прямых. Среди них найдутся две не перпендикулярных — обозначим их a и b. Каждая из трёх оставшихся прямых перпендикулярна либо a, либо b, и найдутся две, перпендикулярные одной и той же — пусть это a. Тогда среди этих двух прямых и прямой b нет двух перпендикулярных.

¨ Ответ с примером — 2 балла, без примера — 0 баллов. Только оценка — 6 баллов.

4. Существует ли такое нецелое положительное число x, что [x]2+x = x2+[x]? (Через [x] обозначается целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x).

Ответ: Нет. Решение. Пусть для краткости [x] = axa = b. По условию (a+b)2a2 = (a+b)–a. Раскладывая обе части последнего равенства на множители и сокращая на b ¹ 0, получаем равенство (a+b)+a = 1 Û b = 1–2a. Но нецелое число b не может равняться целому числу 1–2a.

Только ответ — 0 баллов.

5. Найдите все пары (m,n) натуральных чисел, для которых число 4(mn+1) делится на (m+n)2.

Ответm = n+2 (n ³ 1), n = m+2 (m ³ 1), = n = 1. Решение. Если частное от деления 4(mn+1) на (m+n)2 равно k ³ 2, имеем: 4(mn+1) = k(m+n)2 ³ 4kmn, откуда (k–1)mn ≤ 1, и = n = 1. Равенство же 4(mn+1) = (m+n)2 равносильно равенству (mn)2 = 4, что дает первые две серии ответов.

¨ Только ответ — 2 балла. Потеря ответа (1, 1) — дыра в 2 балла.

6. Про натуральное число n известно три факта:

1) Если оно делится на 3, то оно лежит между 50 и 59 включительно;

2) Если оно не делится на 4, то оно лежит между 60 и 69 включительно;

3) Если оно не делится на 6, то оно лежит между 70 и 79 включительно.

Чему может быть равно число n?

Ответ: 76. Решение. Допустим n делится на 3. Тогда, в силу 1), оно равно 51, 54 или 57. Но ни одно из этих чисел не делится на 4, и второе утверждение для каждого из них не выполнено. Итак, искомое число не делится на 3. Но тогда оно не делится и на 6, и, значит, лежит между 70 и 79. Отсюда, в свою очередь, следует, что искомое число делится на 4. Такое число только одно — 76.

¨ Только ответ — 0 баллов. Только ответ с проверкой — 2 балла.

7. Чтобы пронумеровать страницы объемистого тома по порядку, начиная с первой, печатник использовал 2010 цифр. Сколько страниц содержит том?

Ответ: 706. Решение. На страницы с первой по девятую понадобилось 9 цифр, с десятой по 99-ю — 2×90 = 180 цифр. Трехзначные числа от 100 до 999 содержат вместе 3×900 = 2700 цифр, что больше, чем 2010. Поэтому в книге меньше 1000 страниц, и номер последней страницы равен
99+(2010–9–180)/3 = 1821/3 = 706.

¨ Ход решения верен, но забыли прибавить 99 (ответ — 607) — дыра в 4 балла. Только ответ — 0 баллов.

8. За круглым столом сидят 180 человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Каждый из них произнес фразу: «Среди 17 человек, сидящих следом за мной по часовой стрелке, не менее 9 лжецов». Сколько рыцарей может сидеть за этим столом?

Ответ: 90. Решение. Из условия ясно, что из 17 человек, сидящих следом за лжецом, не менее 9 — рыцари, а из 17 человек, сидящих следом за рыцарем, не менее 9 — лжецы. Допустим, среди 17 человек, сидящих за каким-то рыцарем, хотя бы 10 — лжецы. Но тогда среди 17 человек, сидящих следом за первым из этих лжецов, есть хотя бы 9 лжецов, и получается, что этот лжец сказал правду. Стало быть, среди 17 человек, сидящих следом за каждым рыцарем, ровно 9 лжецов (и, стало быть, 8 рыцарей). Аналогично, среди 17 человек, сидящих следом за каждым лжецом, ровно 9 рыцарей и 8 лжецов. Поэтому среди любых 18 человек, сидящих подряд, 9 рыцарей и 9 лжецов, откуда и следует ответ.

¨ Предъявлять схему рассадки 90 рыцарей и 90 лжецов не требуется. Только ответ с примером — 0 баллов.

Группа «Старт», высшая лига, 1 тур, решения и указания для жюри.

1. На столе лежат 17 красных и 37 синих бусин. Петя и Вася ходят по очереди. За каждый ход игрок берет со стола две или три бусины. Первым ходит Петя. Побеждает тот игрок, после хода которого со стола исчезнут бусины хотя бы одного из цветов. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш, независимо от игры соперника?

Ответ: Вася. Решение. Если после очередного хода Пети бусин какого-то цвета осталось не больше 3, Вася победит следующим ходом. В противном случае Вася каждый раз берёт 2 бусины, если Петя перед этим взял 3, и 3 бусины, если Петя взял две, следя за тем, чтобы бусин каждого цвета оставалось не меньше 4 (что всегда возможно, пока бусин остается не меньше 11). После 9 пар таких ходов на столе останется 9 бусин, причем 5 будут одного цвета, а 4 — другого, и будет Петина очередь ходить. После любого его хода на столе останется не больше 7 бусин, то есть бусин какого-то цвета будет не больше 3, и Вася выиграет следующим ходом.

¨ Только ответ — 0 баллов.

2. Для каких натуральных n найдутся натуральные числа a и b такие, что сумма цифр каждого из чисел a, b, a+b равна n?

Ответ: Для всех n, делящихся на 9, и только для них. РешениеПример.  — сумма цифр равна 9kОценка. Пусть число n дает при делении на 9 ненулевой остаток l. Тогда если суммы цифр чисел a и b равны n, то сумма цифр числа a+b дает при делении на 9 остаток 2l, не равный l.

¨ Только ответ — 0 баллов. Ответ с примером без оценки — 4 балла. Оценка без примера — 6 баллов.

3. Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди любых десяти из них нашлись две перпендикулярные?

Ответ: 18. РешениеПример: 9 параллельных прямых и 9 прямых, перпендикулярных им. Оценка. Пусть есть n прямых, обладающих указанным в задаче свойством. Покрасим одну из них в синий цвет, все перпендикулярные ей — в красный, а все параллельные — в синий. Если после этого остались непокрашенные прямые — будем повторять процедуру, пока все прямые не будут покрашены. Заметим, что перпендикулярными могут быть только разноцветные прямые. Если n ³ 19, у нас найдутся 10 одноцветных прямых. Поэтому n не превосходит 18.

¨ Ответ с примером — 2 балла, без примера — 0 баллов. Только оценка — 6 баллов.

4. В стране 100 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит ровно 5 дорог. Страна разделилась на 2 республики по 50 городов в каждой. Докажите, что в первой республике дорог, соединяющих её города, столько же, сколько во второй.

Решение. Пусть первую республику со второй соединяет k дорог. Тогда дорог, соединяющих ее города, как в первой, так и во второй республике — по (5×50–k)/2.

5. За круглым столом сидят 180 человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Каждый из них произнес фразу: «Среди 17 человек, сидящих следом за мной по часовой стрелке, не менее 9 лжецов». Сколько рыцарей может сидеть за этим столом?

Ответ: 90. Решение. Из условия ясно, что из 17 человек, сидящих следом за лжецом, не менее 9 — рыцари, а из 17 человек, сидящих следом за рыцарем, не менее 9 — лжецы. Допустим, среди 17 человек, сидящих за каким-то рыцарем, хотя бы 10 — лжецы. Но тогда среди 17 человек, сидящих следом за первым из этих лжецов, есть хотя бы 9 лжецов, и получается, что этот лжец сказал правду. Стало быть, среди 17 человек, сидящих следом за каждым рыцарем, ровно 9 лжецов (и, стало быть, 8 рыцарей). Аналогично, среди 17 человек, сидящих следом за каждым лжецом, ровно 9 рыцарей и 8 лжецов. Поэтому среди любых 18 человек, сидящих подряд, 9 рыцарей и 9 лжецов, откуда и следует ответ.

¨ Предъявлять схему рассадки 90 рыцарей и 90 лжецов не требуется. Только ответ с примером — 0 баллов.

6. Про натуральное число n известно три факта:

1) Если оно делится на 3, то оно лежит между 50 и 59 включительно.

2) Если оно не делится на 4, то оно лежит между 60 и 69 включительно.

3) Если оно не делится на 6, то оно лежит между 70 и 79 включительно.

Чему может быть равно число n?

Ответ: 76. Решение. Допустим n делится на 3. Тогда, в силу 1), оно равно 51, 54 или 57. Но ни одно из этих чисел не делится на 4, и второе утверждение для каждого из них не выполнено. Итак, искомое число не делится на 3. Но тогда оно не делится и на 6, и, значит, лежит между 70 и 79. Отсюда, в свою очередь, следует, что искомое число делится на 4. Такое число только одно — 76.

¨ Только ответ — 0 баллов. Только ответ с проверкой — 2 балла.

7. У паука есть 8 одинаковых носков и 8 одинаковых ботинок. Паук каждую секунду либо надевает на одну из своих ног носок, либо натягивает ботинок на какую-нибудь из ног, на которую носок уже надет (у паука 8 ног; на каждую ногу он надевает один носок и один ботинок). Два способа обувания паука считаются различными, если паук хотя бы в одну из 16 секунд делает различные действия. Сколькими различными способами паук может обуться?

Ответ: 16!/28Решение. Обуть первую лапу паук может в любые две секунды из шестнадцати (в первую из них он надевает на лапу носок, во вторую – ботинок). Выбрать две секунды из шестнадцати можно 16×15/2 способами. Аналогично, для обувания второй лапы надо выбрать две секунды из оставшихся четырнадцати. Это можно сделать 14×13/2 способами. Продолжая рассуждения для остальных лап и применяя правило умножения вариантов, получаем ответ.

¨ Только ответ — 2 балла.

8. Дан клетчатый квадрат 9´9. В центре одного из квадратиков сидит квадрогрызка, которая может перебираться по прямой в центр соседнего по стороне квадратика. Добравшись до центра нового квадратика, квадрогрызка поворачивает на 90°. Какую наибольшую длину может иметь замкнутый маршрут квадрогрызки, не проходящий ни через какой квадратик, кроме начального, больше одного раза, и возвращающийся в начальный только один раз?

Ответ: 64. Решение. Раскрасим клеточки в 4 цвета: четные горизонтали — 121212121, нечетные — 434343434. Легко убедиться, что при такой раскраске цвета на маршруте квадратогрызки чередуются с периодом 4: …123412341… . Заметим, что клеточек цвета 2 всего 16. Поэтому замкнутый маршрут квадратогрызки не может быть длиннее 64 клеточек. Пример на 64 — на рисунке справа (клетки пронумерованы в порядке обхода).

¨ Пример — 4 балла, оценка — 6 баллов. Только ответ — 0 баллов.

Группа «Старт», первая лига, 1 тур, решения и указания для жюри.

1. На столе лежат 5 красных, 6 синих и 6 белых бусин. Петя и Вася ходят по очереди. За каждый ход игрок берет со стола две или три бусины. Первым ходит Петя. Побеждает тот игрок, после хода которого со стола исчезнут бусины хотя бы одного из цветов. Кто выигрывает при правильной игре?

Ответ: Вася. Решение. Если после первого хода Пети появится кучка, где не больше трех бусин, Вася, очевидно, выиграет своим первым ходом. В противном случае Вася может своим первым ходом создать позицию 4, 4, 4 (потому что 5 = 4+1, 6 = 4+2, 2+2+1 = 5, и Вася всегда может своим ходом дополнить количество спичек, взятых Петей, до 5), которая, как легко показать, проигрышна для того, чья очередь ходить.

2. Существуют ли такие натуральные числа a и b, что сумма цифр каждого из чисел a, b, a+b равна 999?

Ответ: Да. Решение. .

¨ Только ответ «да» — 0 баллов.

3. Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди любых трех из них нашлись две перпендикулярные?

Ответ: 4. РешениеПример для 4: продолжения сторон прямоугольника. Оценка. Пусть есть пять прямых. Среди них найдутся две не перпендикулярных — обозначим их a и b. Каждая из трёх оставшихся прямых перпендикулярна либо a, либо b, и найдутся две, перпендикулярные одной и той же — пусть это a. Тогда среди этих двух прямых и прямой b нет двух перпендикулярных.

¨ Ответ с примером — 2 балла, без примера — 0 баллов. Только оценка — 6 баллов.

4. В стране 100 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит ровно 5 дорог. Страна разделилась на 2 республики по 50 городов в каждой. Докажите, что в первой республике дорог, соединяющих её города, столько же, сколько во второй.

Решение. Пусть первую республику со второй соединяет k дорог. Тогда дорог, соединяющих ее города, как в первой, так и во второй республике — по (5×50–k)/2.

5. За круглым столом сидят 180 человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Каждый из них произнес фразу: «Среди 17 человек, сидящих следом за мной по часовой стрелке, не менее 9 лжецов». Сколько рыцарей может сидеть за этим столом?

Ответ: 90. Решение. Из условия ясно, что из 17 человек, сидящих следом за лжецом, не менее 9 — рыцари, а из 17 человек, сидящих следом за рыцарем, не менее 9 — лжецы. Допустим, среди 17 человек, сидящих за каким-то рыцарем, хотя бы 10 — лжецы. Но тогда среди 17 человек, сидящих следом за первым из этих лжецов, есть хотя бы 9 лжецов, и получается, что этот лжец сказал правду. Стало быть, среди 17 человек, сидящих следом за каждым рыцарем, ровно 9 лжецов (и, стало быть, 8 рыцарей). Аналогично, среди 17 человек, сидящих следом за каждым лжецом, ровно 9 рыцарей и 8 лжецов. Поэтому среди любых 18 человек, сидящих подряд, 9 рыцарей и 9 лжецов, откуда и следует ответ.

¨ Предъявлять схему рассадки 90 рыцарей и 90 лжецов не требуется. Только ответ с примером — 0 баллов.

6. Про натуральное число n известно три факта:

1) Если оно делится на 3, то оно лежит между 50 и 59 включительно.

2) Если оно не делится на 4, то оно лежит между 60 и 69 включительно.

3) Если оно не делится на 6, то оно лежит между 70 и 79 включительно.

Чему может быть равно число n?

Ответ: 76. Решение. Допустим n делится на 3. Тогда, в силу 1), оно равно 51, 54 или 57. Но ни одно из этих чисел не делится на 4, и второе утверждение для каждого из них не выполнено. Итак, искомое число не делится на 3. Но тогда оно не делится и на 6, и, значит, лежит между 70 и 79. Отсюда, в свою очередь, следует, что искомое число делится на 4. Такое число только одно — 76.

¨ Только ответ — 0 баллов. Только ответ с проверкой — 2 балла.

7. В бассейн ведут две одинаковых трубы. Одна труба заполняет бассейн за 3 часа. Сначала включили обе трубы, но через час одна из труб засорилась и через нее вода стала поступать вдвое медленнее. Через сколько времени бассейн заполнится?

Ответ: Через 1 час 40 минут. Решение. Каждая труба за час заполняет треть бассейна. За первый час две трубы заполнили 2/3 бассейна. После этого вторая труба стала заполнять бассейн со скоростью 1/6 бассейна в час, стало быть, две трубы вместе — со скоростью 1/6+1/3 = 1/2 бассейна в час. Поэтому оставшуюся треть бассейна они заполнят за 1/3:1/2 = 2/3 часа.

8. Дан клетчатый квадрат 8´8. В центре одного из квадратиков сидит квадрогрызка, которая может перебираться по прямой в центр соседнего по стороне квадратика. Добравшись до центра нового квадратика, квадрогрызка поворачивает на 90°. Может ли квадрогрызка посетить ровно по одному разу все клетки доски?

Ответ: Нет. Решение. Легко убедиться, что если квадратогрызка вошла в угловую клетку квадрата, то после следующего хода она не сможет никуда свернуть.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №2. 17.02.2011

СТАРШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА

1. В компании 2011 человек. Оказалось, что любые двое имеют хотя бы двух общих знакомых. Назовем трио любую тройку попарно знакомых. Докажите, что можно выбрать 3333 различных трио. (Д. Карпов, А. Глазман)

2. Докажите, что если числа abcd и ac+bd делятся на k, то ac и bd тоже делятся на k (ab, cdk — натуральные числа) (I.Niven, H.Zuckerman, H.Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers)

3. Можно ли вырезать из доски 8´8 восемь клеток так, чтобы из оставшихся клеток нельзя было вырезать по клеткам прямоугольник площади, не меньшей 8? (Аргентина, отбор на Ибероамериканскую олимпиаду, 1998)

4. Решите уравнение  в различных натуральных числах. (Т. Андрееску)

5. Точки K и L расположены на сторонах AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD соответственно так, что AK/KD = CL/LB. Прямая KL пересекает отрезки AC и BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что KP/QL = SACD/SBCD. (Польша, сборы на ММО, 2006)

6. Докажите, что a2+b2+c2 ³ ab+bc+ca+ при любых ab и c. (L.Panaitopol, V.Bandila, M.Lascu Inegalitati, P2.8)

7. Внутри треугольника ABC (AB < BC) лежит точка O, равноудаленная от трех его вершин. BD — биссектриса угла B. Точка M — середина стороны AC, а точка P на луче MO такова, что ÐAPC = ÐABC. Точка N — основание перпендикуляра, опущенного из P на BC. Докажите, что каждая из диагоналей четырехугольника BDMN делит треугольник ABC на две равновеликие части. (Аргентина, отбор на Cono Sur, 2002)

8. Дано натуральное число N. Два игрока по очереди делают такие ходы: A пишет на доске число 1 или –1, B прибавляет к этому числу 2 или вычитает из него 2, потом A прибавляет или вычитает 3 и т.д. (на k-м ходу игрок прибавляет k или вычитает k). Игрок, после хода которого число впервые будет делиться на N, выигрывает. Для каждого N, большего 10, определите, есть ли у одного из игроков выигрышная стратегия, и если есть, то у какого. (Olimpiada Matematica Rioplatense, 2010)

СТАРШАЯ ГРУППА, ПЕРВАЯ ЛИГА

1. В компании 2011 человек. Оказалось, что любые двое имеют хотя бы двух общих знакомых. Назовем трио любую тройку попарно знакомых. Докажите, что можно выбрать 3333 различных трио. (Д. Карпов, А. Глазман)

2. Докажите, что если числа abcd и ac+bd делятся на k, то ac и bd тоже делятся на k (ab, cdk — натуральные числа). (I.Niven, H.Zuckerman, H.Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers)

3. Можно ли вырезать из доски 8´8 восемь клеток так, чтобы из оставшихся клеток нельзя было вырезать по клеткам прямоугольник площади, не меньшей 8? (Аргентина, отбор на Ибероамериканскую олимпиаду, 1998)

4. Решите уравнение  в различных натуральных числах. (Т. Андрееску)

5. Через вершину C равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) с острым углом при вершине A провели перпендикуляр к BC и на этом перпендикуляре отметили точку P, лежащую с той же стороны от прямой BC, что и A, и с той же стороны от прямой AB, что и C. Точка D такова, что ABPD — параллелограмм. M — точка пересечения прямой PC и отрезка AD. Найдите отношение DM/DA. (Аргентина, отбор на Ибероамериканскую олимпиаду, 1999)

6. Докажите, что a2+b2+c2 ³ ab+bc+ca+ при любых ab и c. (L.Panaitopol, V.Bandila, M.Lascu Inegalitati, P2.8)

7. Внутри треугольника ABC (AB < BC) лежит точка O, равноудаленная от трех его вершин. BD — биссектриса угла B. Точка M — середина стороны AC, а точка P на луче MO такова, что ÐAPC = ÐABC. Точка N — основание перпендикуляра, опущенного из P на BC. Докажите, что каждая из диагоналей четырехугольника BDMN делит треугольник ABC на две равновеликие части. (Аргентина, отбор на Cono Sur, 2002)

8. В коробке лежат 50 синих и 50 красных шариков. Вася хочет набрать 25 синих шариков из коробки. Для этого он вслепую вытаскивает по два шарика. Если он вытащил два синих, то берет оба. Если синий и красный, то берет синий, а красный кладет обратно в коробку. Наконец, если он вытащил два красных, то оба откладывает в сторону. За какое наименьшее число вытаскиваний Вася заведомо сможет набрать 25 синих шариков? (С. Берлов)

СТАРШАЯ ГРУППА, ВТОРАЯ ЛИГА

1. Дорогу разделили на 2011 частей (не обязательно равной длины). Яна знает длину дороги. Ей разрешено спросить, чему равно расстояние между серединами любых двух частей, при этом количество вопросов неограничено. Длину каких частей она сможет узнать? (О. Нечаева)

2. Докажите, что если числа abcd и ac+bd делятся на k, то ac и bd тоже делятся на k. (I.Niven, H.Zuckerman, H.Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers)

3. Можно ли вырезать из доски 8´8 восемь клеток так, чтобы из оставшихся клеток нельзя было вырезать по клеткам прямоугольник площади, не меньшей 8? (Аргентина, отбор на Ибероамериканскую олимпиаду, 1998)

4. Решите уравнение x3+y3 = (x+y)2 в различных натуральных числах. (Т. Андрееску)

5. Через вершину C равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) с острым углом при вершине A провели перпендикуляр к BC и на этом перпендикуляре отметили точку P, лежащую с той же стороны от прямой BC, что и A, и с той же стороны от прямой AB, что и C. Точка D такова, что ABPD — параллелограмм. M — точка пересечения прямой PC и отрезка AD. Найдите отношение DM/DA. (Аргентина, отбор на Ибероамериканскую олимпиаду, 1999)

6. В двух коробках лежат конфеты. Если к коробке подходит Вася, то он берет 1/17 часть конфет, имеющихся в данный момент в этой коробке, если Петя — то 1/12, а Коля всегда берет 1/4 часть. Если у берущего конфеты не получается взять ровно столько, сколько надо, то он воздерживается от сладкого. Вначале в коробках конфет было поровну, по истечении некоторого срока оказалось, что конфет снова поровну. Можно ли утверждать, что каждый из мальчиков лакомился из первой коробки столько же раз, сколько из второй? (О. Нечаева)

7. Внутри угла отмечена точка P, не лежащая на его биссектрисе. Отрезки AB и CD проходят через точку P, при этом A и C лежат на одной стороне угла, B и D на другой, отрезок CD перпендикулярен биссектрисе угла, а отрезок AB делится точкой P пополам. Докажите, что AB > CD. (Аргентина, отбор на олимпиаду Cono Sur, 2000)

8. В коробке лежат 50 синих и 50 красных шариков. Вася хочет набрать 25 синих шариков из коробки. Для этого он вслепую вытаскивает по два шарика. Если он вытащил два синих, то берет оба. Если синий и красный, то берет синий, а красный кладет обратно в коробку. Наконец, если он вытащил два красных, то оба откладывает в сторону. За какое наименьшее число вытаскиваний Вася заведомо сможет набрать 25 синих шариков? (С. Берлов)

МЛАДШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА

1. В компании 2011 человек. Оказалось, что любые двое имеют хотя бы двух общих знакомых. Назовем трио любую тройку попарно знакомых. Докажите, что можно выбрать 3333 различных трио. (Д. Карпов, А. Глазман)

2. Можно ли квадрат разрезать на 17 прямоугольников, у каждого из которых меньшая сторона относится к большей, как 3:5? (С. Берлов, С. Волченков)

3. В коробке лежат 50 синих и 50 красных шариков. Вася хочет набрать 25 синих шариков из коробки. Для этого он вслепую вытаскивает по два шарика. Если он вытащил два синих, то берет оба. Если синий и красный, то берет синий, а красный кладет обратно в коробку. Наконец, если он вытащил два красных, то оба откладывает в сторону. За какое наименьшее число вытаскиваний Вася заведомо сможет набрать 25 синих шариков? (С. Берлов)

4. Найдите все натуральные abc и d, для которых справедливо равенство: a+b+c+d–3 = ab = cd. (JBMO-2002)

5. В треугольнике ABC угол A равен 60°. Точка M — середина стороны BC. Докажите, что AB+BC > 2AM. (А. Пастор)

6. Найдите все натуральные n, для которых  равно отношению квадратов двух натуральных чисел. (JBMO-2001)

7. Докажите, что a2+b2+c2 ³ ab+bc+ca+ при любых ab и c. (L.Panaitopol, V.Bandila, M.Lascu Inegalitati, P2.8)

8. На острове живут три племени: рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут, и хитрецы, которые иногда говорят правду, а иногда лгут. За круглым столом сидят представители этих племен. Каждый из сидящих за столом произнес две фразы: 1) «Слева от меня сидит лжец.» 2) «Справа от меня сидит хитрец.» Докажите, что за этим столом рыцарей сидит столько же, сколько и лжецов. (С. Берлов)

МЛАДШАЯ ГРУППА, ПЕРВАЯ ЛИГА

1. В компании 2011 человек. Оказалось, что любые двое имеют хотя бы двух общих знакомых. Назовем трио любую тройку попарно знакомых человек. Докажите, что можно выбрать 2011 различных трио. (Д. Карпов, А. Глазман)

2. Можно ли квадрат разрезать на 17 прямоугольников, у каждого из которых одна из сторон в 2,5 раза больше другой? (Жюри)

3. В коробке лежат 10 синих и 10 красных шариков. Вася хочет набрать 5 синих шариков из коробки. Для этого он вслепую вытаскивает по два шарика. Если он вытащил два синих, то берет оба. Если синий и красный, то берет синий, а красный кладет обратно в коробку. Наконец, если он вытащил два красных, то оба откладывает в сторону. За какое наименьшее число вытаскиваний Вася заведомо сможет набрать 5 синих шариков? (С. Берлов)

4. Найдите все натуральные abc и d, для которых справедливо равенство: a+b+c+d–3 = ab = cd. (JBMO-2002)

5. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. На стороне BC отмечена такая точка K, что KH = KC. А на стороне AB отмечена такая точка L, что KL — биссектриса угла BKH. Докажите, что AL = LH. (А. Глазман)

6. Верно ли, что среди любых шести натуральных чисел найдется три числа, наименьшее общее кратное которых делится на наибольший общий делитель остальных трех чисел? (С. Берлов)

7. Докажите, что a2+b2+c2 ³ ab+bc+ca+ при любых ab и c. (L.Panaitopol, V.Bandila, M.Lascu Inegalitati, P2.8)

8. На острове живут три племени: рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут, и хитрецы, которые иногда говорят правду, а иногда лгут. За круглым столом сидят представители этих племен. Каждый из сидящих за столом произнес две фразы: 1) «Слева от меня сидит лжец.» 2) «Справа от меня сидит хитрец.» Докажите, что за этим столом рыцарей сидит столько же, сколько и лжецов. (С. Берлов)

МЛАДШАЯ ГРУППА, ВТОРАЯ ЛИГА

1. Докажите, что a2+b2+c2 ³ ab+bc+ca+ при любых ab и c. (L.Panaitopol, V.Bandila, M.Lascu Inegalitati, P2.8)

2. Найдите все натуральные числа n, квадратный корень из которых равен числу, полученному удалением пяти последних цифр числа n (в десятичной системе счисления). (Жюри)

3. В коробке лежат 10 синих и 10 красных шариков. Вася хочет набрать 5 синих шариков из коробки. Для этого он вслепую вытаскивает по два шарика. Если он вытащил два синих, то берет оба. Если синий и красный, то берет синий, а красный кладет обратно в коробку. Наконец, если он вытащил два красных, то оба откладывает в сторону. За какое наименьшее число вытаскиваний Вася заведомо сможет набрать 5 синих шариков? (С. Берлов)

4. Найдите все четверки различных натуральных чисел abc и d, для которых выполнено равенство a+b+c+d–3 = ab = cd. (JBMO-2002)

5. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. На стороне BC отмечена такая точка K, что KH = KC. А на стороне AB отмечена такая точка L, что KL — биссектриса угла BKH. Докажите, что AL = LH. (А. Глазман)

6. В двух коробках лежат конфеты. Если к коробке подходит Вася, то он берет 1/17 часть конфет, имеющихся в данный момент в этой коробке, если Петя — то 1/12, а Коля всегда берет 1/4 часть. Если у берущего конфеты не получается взять ровно столько, сколько надо, то он воздерживается от сладкого. Вначале в коробках конфет было поровну, по истечении некоторого срока оказалось, что конфет снова поровну. Можно ли утверждать, что каждый из мальчиков лакомился из первой коробки столько же раз, сколько из второй? (О. Нечаева)

7. Можно ли разрезать квадрат на 17 прямоугольников, у каждого из которых одна из сторон вдвое длиннее другой? (С. Берлов, С. Волченков)

8. На острове живут три племени: рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут, и хитрецы, которые иногда говорят правду, а иногда лгут. За круглым столом сидят представители этих племен. Каждый из сидящих за столом произнес две фразы: 1) «Слева от меня сидит лжец.» 2) «Справа от меня сидит хитрец.» Докажите, что за этим столом рыцарей сидит столько же, сколько и лжецов. (С. Берлов)

 


Категория: Математика | Добавил: Админ (03.10.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar