Тема №8501 Решение задач по математике олимпиада 423 (Часть 5)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по математике олимпиада 423 (Часть 5) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по математике олимпиада 423 (Часть 5), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Младшая группа, вторая лига, 2 тур, решения и указания для жюри.

1. Докажите, что a2+b2+c2 ³ ab+bc+ca+ при любых a, b и c.

Решение. Исходное неравенство нетрудно привести к виду . Полагая u = acv = cb, приводим последнее неравенство к очевидному .

2. Найдите все натуральные числа n, квадратный корень из которых равен числу, полученному удалением пяти последних цифр числа n (в десятичной системе счисления).

Ответ: 10000000000. Решение. Пусть a — число, которое получается отбрасыванием у числа n пяти последних цифр. По условию a2 = 100000a+b, где b < 100000. Поделив на a, получаем a = 100000+b/a. Поскольку a — целое и не меньше 100000, то 0 ≤ b/a < 1. Поэтому равенство a = 100000+b/a возможно только при b = 0, что и дает ответ.

¨ Только ответ — 0 баллов.

3. В коробке лежат 10 синих и 10 красных шариков. Вася хочет набрать 5 синих шариков из коробки. Для этого он вслепую вытаскивает по два шарика. Если он вытащил два синих, то берет оба. Если синий и красный, то берет синий, а красный кладет обратно в коробку. Наконец, если он вытащил два красных, то оба откладывает в сторону. За какое наименьшее число вытаскиваний Вася заведомо сможет набрать 5 синих шариков?

Ответ: 10. РешениеПример. Первые 4 раза вытаскиваются красный и синий, потом пять раз подряд по два красных, и в конце — два синих. Оценка. По два красных шарика можно вытащить не больше 5 раз. Все остальные вытаскивания добавляют хотя бы по одному синему шарику, поэтому их понадобится не больше пяти.

¨ Только оценка — 4 балла. Только пример — 4 балла.

4. Найдите все четверки различных натуральных чисел a, b, c и d, для которых выполнено равенство a+b+c+d–3 = ab = cd.

Ответ: (6, 2, 3, 4) и все четверки, получаемые из последней операциями перестановки двух первых чисел, двух последних чисел и первой пары чисел со второй. Решение. Не умаляя общности будем считать, что a — наибольшее из данных чисел. Тогда a+b+c+d–3 < 4a, откуда b ≤ 3. Допустим, b = 3. Тогда a+c+d = 3a, откуда c = d = a = 3 — не подходит, есть одинаковые числа. Допустим, b = 2. Тогда a+c+d = 2a+1 = cd+1, откуда, как легко проверить, следует, что (c–2)(d–2) = 2. Поскольку обе скобки в левой части последнего равенства больше –2, имеем c–2 = 1, d–2 = 2 или c–2 = 2, d–2 = 1. Это дает решения (6, 2, 3, 4) и (6, 2, 5, 4). Решения, где наибольшим является не a, а другое из данных чисел, получаются из него описанными выше перестановками. Наконец, пусть b = 1. Тогда, как легко показать, все числа равны 1 — не подходит, есть одинаковые числа.

¨ Только ответы (все) — 2 балла. Любая потеря ответа — дыра не меньше, чем в 6 баллов.

5. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. На стороне BC отмечена такая точка K, что KH = KC. А на стороне AB отмечена такая точка L, что KL — биссектриса угла BKH. Докажите, что AL = LH.

Решение. Поскольку KH = KC, точка K лежит на серединном перпендикуляре к отрезку HC. Поскольку этот перпендикуляр параллелен высоте BH, точка K — середина стороны BC. Поэтому HK = BK (как медиана из вершины прямого угла прямоугольного треугольника BHC). Но это значит, что биссектриса KL является высотой в равнобедренном треугольнике BKH, откуда KL||AC. Следовательно, L — середина AB и потому лежит на серединном перпендикуляре отрезка AH, откуда и следует, что AL = LH.

6. В двух коробках лежат конфеты. Если к коробке подходит Вася, то он берет 1/17 часть конфет, имеющихся в данный момент в этой коробке, если Петя — то 1/12, а Коля всегда берет 1/4 часть. Если у берущего конфеты не получается взять ровно столько, сколько надо, то он воздерживается от сладкого. Вначале в коробках конфет было поровну, по истечении некоторого срока оказалось, что конфет снова поровну. Можно ли утверждать, что каждый из мальчиков лакомился из первой коробки столько же раз, сколько из второй?

Ответ: Можно. Решение. Если конфеты брал Вася, в коробке остается 16/17, если Петя — 11/12, если Коля — 3/4 от их предыдущего количества. Если Вася, Петя и Коля брали конфеты из данной коробки несколько раз, их первоначальное количество умножается на 16/17, 11/12 и 3/4 соответствующее количество раз. Если сначала конфет в обоих коробках было поровну, и в конце — тоже, то дроби, на которые умножалось количество конфет в первой и второй коробках, также равны. Но тогда у них в несократимой записи в числителях должно быть поровну множителей 11, а в знаменателях — поровну множителей 17. А так как всем этим множителям не с чем сокращаться, то их было поровну и в исходной записи. Следовательно, Петя и Вася брали из обоих коробок поровну раз. Поделив на 16/17 и 11/12 в нужных степенях, увидим, что поровну раз брал и Коля.

¨ Нет объяснения, почему Коля брал поровну раз — дыра в 6 баллов.

7. Можно ли разрезать квадрат на 17 прямоугольников, у каждого из которых одна из сторон вдвое длиннее другой?

Ответ: Можно. Решение. Разрежем квадрат 4´4 на два прямоугольника 2´4, а потом один из них — на четыре прямоугольника 1´2. Получили разрезание квадрата на 5 прямоугольников с отношением сторон 1:2. Заметим теперь, что если разрезать такой прямоугольник средними линиями на 4 равных прямоугольника, то отношение сторон у каждого из четырех тоже будет 1:2. Каждое такое разрезание увеличивает число прямоугольников на 3. Проделав его 4 раза, получим разрезание на 17 искомых прямоугольников.

8. На острове живут три племени: рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут и хитрецы, которые иногда говорят правду, а иногда лгут. За круглым столом сидят представители этих племен. Каждый из сидящих за столом произнес две фразы: 1) «Слева от меня сидит лжец.» 2) «Справа от меня сидит хитрец.» Докажите, что за этим столом рыцарей сидит столько же, сколько и лжецов.

Решение. Из условия следует, что слева от каждого рыцаря сидит лжец. Справа же от лжеца не могут сидеть ни хитрец (тогда этот лжец сказал бы про своего правого соседа правду), ни лжец (тогда тот сказал бы правду про своего левого соседа). Поэтому правым соседом лжеца может быть только рыцарь. Таким образом, все рыцари и лжецы разбиваются на пары, где лжец — левый сосед рыцаря, откуда и вытекает утверждение задачи.

Группа «Старт», высшая лига, 2 тур, решения и указания для жюри.

1. Назовем соседними такие клетки квадрата 6´6, у которых есть общая сторона или общая вершина. Можно ли так расставить все числа от 1 до 36 в клетках этого квадрата, чтобы разность между числами в любых соседних клетках была не меньше 9?

Ответ: Нельзя. Решение. Заметим, что если взять квадрат 2´2, содержащий число 9, то в нем же окажутся и числа 18, 27 и 36. Поскольку такой квадрат может быть только один, девятка должна стоять в углу. Но тем же свойством обладает и любой квадрат 2´2, содержащий число 18, и потому 18 тоже должно стоять в углу, что несовместимо с девяткой в углу.

2. Найдите все натуральные числа n ³ 100000 такие, что если отбросить у n пять последних цифр, а затем полученное число возвести в квадрат, то получится снова n.

Ответ: 10000000000. Решение. Пусть a — число, которое получается отбрасыванием у числа n пяти последних цифр. По условию a2 = 100000a+b, где b < 100000. Поделив на a, получаем a = 100000+b/a. Поскольку a — целое и не меньше 100000, то 0 ≤ b/a < 1. Поэтому равенство a = 100000+b/a возможно только при b = 0, что и дает ответ.

¨ Только ответ — 0 баллов.

3. В коробке лежат 10 синих и 10 красных шариков. Вася хочет набрать 5 синих шариков из коробки. Для этого он вслепую вытаскивает по два шарика. Если он вытащил два синих, то берет оба. Если синий и красный, то берет синий, а красный кладет обратно в коробку. Наконец, если он вытащил два красных, то оба откладывает в сторону. За какое наименьшее число вытаскиваний Вася заведомо сможет набрать 5 синих шариков?

Ответ: 10. РешениеПример. Первые 4 раза вытаскиваются красный и синий, потом пять раз подряд по два красных, и в конце — два синих. Оценка. По два красных шарика можно вытащить не больше 5 раз. Все остальные вытаскивания добавляют хотя бы по одному синему шарику, поэтому их понадобится не больше пяти.

¨ Только оценка — 6 баллов, только пример — 4 балла.

4. Верно ли, что среди любых 100 натуральных чисел найдется число, которое делится на наибольший общий делитель всех остальных?

Ответ: Нет. Решение. Контрпример: 100 различных числа, каждое из которых равно произведению 99 из 100 данных различных простых чисел. НОД любых 99 из этих произведений равен как раз тому простому числу, на которое не делится оставшееся произведение.

¨ Только ответ — 0 баллов.

5. В двух коробках лежат конфеты. Если к коробке подходит Вася, то он берет 1/17 часть конфет, имеющихся в данный момент в этой коробке, если Петя — то 1/12, а Коля всегда берет 1/4 часть. Если у берущего конфеты не получается взять ровно столько, сколько надо, то он воздерживается от сладкого. Вначале в коробках конфет было поровну, по истечении некоторого срока оказалось, что конфет снова поровну. Можно ли утверждать, что каждый из мальчиков лакомился из первой коробки столько же раз, сколько из второй?

Ответ: Можно. Решение. Если конфеты брал Вася, в коробке остается 16/17, если Петя — 11/12, если Коля — 3/4 от их предыдущего количества. Если Вася, Петя и Коля брали конфеты из данной коробки несколько раз, их первоначальное количество умножается на 16/17, 11/12 и 3/4 соответствующее количество раз. Если сначала конфет в обоих коробках было поровну, и в конце — тоже, то дроби, на которые умножалось количество конфет в первой и второй коробках, также равны. Но тогда у них в несократимой записи в числителях должно быть поровну множителей 11, а в знаменателях — поровну множителей 17. А так как всем этим множителям не с чем сокращаться, то их было поровну и в исходной записи. Следовательно, Петя и Вася брали из обоих коробок поровну раз. Значит, поровну раз брал и Коля.

6. В группе из 25 школьников любые двое имеют общего знакомого. Докажите, что из этой группы можно не менее, чем 36 способами выбрать пару знакомых школьников.

Решение. 1) Никто из семерых не может иметь только одного знакомого, потому что тогда у него и его знакомого не будет общего знакомого. 2) Пусть есть школьник А, имеющий ровно двух знакомых Б и В. Тогда Б и В должны быть знакомы, иначе у А и Б не будет общего знакомого. По аналогичной причине каждый из оставшихся 22 школьников должен быть знаком либо с Б, либо с В, то есть у Б и В суммарно не меньше 26 знакомств. Кроме того, у каждого из оставшихся 23 школьников (включая А) не менее двух знакомств. Всего знакомств получается не менее 72, причем каждое сосчитано дважды, откуда и вытекает утверждение задачи. 3) Если у каждого школьника А хотя бы трое знакомых, всего знакомств не меньше, чем 3×25/2 = 37,5.

7. На острове живут три племени: рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут и хитрецы, которые иногда говорят правду, а иногда лгут. За круглым столом сидят представители этих племен. Каждый из сидящих за столом произнес две фразы: 1) «Слева от меня сидит лжец.» 2) «Справа от меня сидит хитрец.» Докажите, что за этим столом рыцарей сидит столько же, сколько и лжецов.

Решение. Из условия следует, что слева от каждого рыцаря сидит лжец. Справа же от лжеца не могут сидеть ни хитрец (тогда этот лжец сказал бы про своего правого соседа правду), ни лжец (тогда тот сказал бы правду про своего левого соседа). Поэтому правым соседом лжеца может быть только рыцарь. Таким образом, все рыцари и лжецы разбиваются на пары, где лжец — левый сосед рыцаря, откуда и вытекает утверждение задачи.

8. Докажите, что для любого целого > 4 квадрат можно разрезать на n прямоугольников, у каждого из которых одна из сторон вдвое длиннее другой.

Решение. На рисунках справа показано, как нужным образом разрезать квадрат на 5, 6 и 7 прямоугольников. Заметим теперь, что если разрезать такой прямоугольник средними линиями на 4 равных прямоугольника, то отношение сторон у каждого из четырех будет 1:2. Каждое такое разрезание увеличивает число прямоугольников на 3, и мы можем, отправляясь от чисел 5, 6 и 7, замостить весь натуральный ряд, начиная с 5.

¨ Только ответ — 0 баллов.

Группа «Старт», первая лига, 2 тур, решения и указания для жюри.

1. Назовем соседними такие клетки квадрата 4´4, у которых есть общая сторона или общая вершина. Можно ли так расставить все числа от 1 до 16 в клетках этого квадрата, чтобы разность между числами в любых соседних клетках была не меньше 3?

Ответ: Да. Решение. См. рисунок справа.

¨ Только ответ — 0 баллов.

2. Найдите все натуральные числа n ³ 100 такие, что если отбросить у n две последние цифры, а затем полученное число возвести в квадрат, то получится снова n.

Ответ: 10000. Решение. Пусть a — число, которое получается отбрасыванием у числа n пяти последних цифр. По условию a2 = 100a+b, где b < 100. Поделив на a, получаем a = 100000+b/a. Поскольку a — целое и не меньше 100, то 0 ≤ b/a < 1. Поэтому равенство a = 100+b/a возможно только при b = 0, что и дает ответ.

¨ Только ответ — 0 баллов.

3. В коробке лежат 10 синих и 10 красных шариков. Вася хочет набрать 5 синих шариков из коробки. Для этого он вслепую вытаскивает по два шарика. Если он вытащил два синих, то берет оба. Если синий и красный, то берет синий, а красный кладет обратно в коробку. Наконец, если он вытащил два красных, то оба откладывает в сторону. За какое наименьшее число вытаскиваний Вася заведомо сможет набрать 5 синих шариков?

Ответ: 10. РешениеПример. Первые 4 раза вытаскиваются красный и синий, потом пять раз подряд по два красных, и в конце — два синих. Оценка. По два красных шарика можно вытащить не больше 5 раз. Все остальные вытаскивания добавляют хотя бы по одному синему шарику, поэтому их понадобится не больше пяти.

¨ Только оценка — 6 баллов, только пример — 4 балла.

4. Верно ли, что среди любых четырех натуральных чисел найдется число, которое делится на наибольший общий делитель всех остальных?

Ответ: Нет. Решение. Контрпример: четыре различных числа, каждое из которых равно произведению трех из четырех данных различных простых чисел. НОД любых трех из этих произведений равен как раз тому простому числу, на которое не делится четвертое произведение.

¨ Только ответ — 0 баллов.

5. В двух коробках лежат конфеты. Если к коробке подходит Вася, то он берет 1/3 часть конфет, имеющихся в данный момент в этой коробке, если Петя — то 1/5. Если у берущего конфеты не получается взять ровно столько, сколько надо, то он воздерживается от сладкого. Вначале в коробках конфет было поровну, по истечении некоторого срока оказалось, что конфет снова поровну. Можно ли утверждать, что каждый из мальчиков лакомился из первой коробки столько же раз, сколько из второй?

Ответ: Можно. Решение. Если конфеты брал Вася, в коробке остается 2/3, а если Петя — 4/5 от их предыдущего количества. Если Вася и Петя брали конфеты из данной коробки несколько раз, их первоначальное количество умножается на 2/3 и 4/5 столько раз, сколько раз конфеты брали Вася и Петя соответственно. Если сначала конфет в обоих коробках было поровну, и в конце — тоже, то дроби, на которые умножалось количество конфет в первой и второй коробках, также равны. Но обе эти дроби несократимы, поэтому их знаменатели должны быть равны, то есть троек в них должно быть поровну, и пятёрок — тоже, что и требовалось доказать.

¨ Только ответ — 0 баллов.

6. В группе из 7 школьников любые двое имеют общего знакомого. Докажите, что из этой группы можно не менее, чем 9 способами выбрать пару знакомых школьников.

Решение. 1) Никто из семерых не может иметь только одного знакомого, потому что тогда у этих двоих не будет общего знакомого. 2) Пусть есть школьник А, имеющий ровно двух знакомых Б и В. Тогда Б и В должны быть знакомы, иначе у А и Б не будет общего знакомого. По аналогичной причине каждый из оставшихся четверых должен быть знаком либо с Б, либо с В. При этом если он не знаком одновременно с Б и В, он должен быть знаком с одним из оставшихся четверых. Если такое знакомство внутри четверки только одно, то хотя бы двое из четверки знакомы и с Б, и с В, и всего знакомств получается не меньше 10, если же таких знакомств хотя бы два, то не меньше 9, что и требовалось доказать. 3) Если у каждого школьника А хотя бы трое знакомых, всего знакомств не меньше, чем 3×7/2 = 10,5.

7. На острове живут три племени: рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут и хитрецы, которые иногда говорят правду, а иногда лгут. За круглым столом сидят представители этих племен. Каждый из сидящих за столом произнес две фразы: 1) «Слева от меня сидит лжец.» 2) «Справа от меня сидит хитрец.» Докажите, что за этим столом рыцарей сидит столько же, сколько и лжецов.

Решение. Из условия следует, что слева от каждого рыцаря сидит лжец. Справа же от лжеца не могут сидеть ни хитрец (тогда этот лжец сказал бы про своего правого соседа правду), ни лжец (тогда тот сказал бы правду про своего левого соседа). Поэтому правым соседом лжеца может быть только рыцарь. Таким образом, все рыцари и лжецы разбиваются на пары, где лжец — левый сосед рыцаря, откуда и вытекает утверждение задачи.

8. Можно ли разрезать квадрат на 17 прямоугольников, у каждого из которых одна из сторон вдвое длиннее другой?

Ответ: Можно. Решение. Разрежем квадрат 4´4 на два прямоугольника 2´4, а потом один из них — на четыре прямоугольника 1´2. Получили разрезание квадрата на 5 прямоугольников с отношением сторон 1:2. Заметим теперь, что если разрезать такой прямоугольник средними линиями на 4 равных прямоугольника, то отношение сторон у каждого из четырех тоже будет 1:2. Каждое такое разрезание увеличивает число прямоугольников на 3. Проделав его 4 раза, получим разрезание на 17 искомых прямоугольников.

¨ Только ответ — 0 баллов.

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №3. 19.02.2011

СТАРШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА

1. Пусть n — натуральное число. Для каждого его простого делителя p рассмотрим наибольшую его степень, не превосходящую n. Сумму всех таких степеней назовём степенной суммой числа n. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, степенные суммы которых превосходят их более, чем в полтора раза. (Венгрия, олимпиада им. Кюршака, 1985)

2. На стороне BC треугольника ABC лежат точки D и E, причем BD < BE. Докажите, что разность периметров треугольников ABC и ADE больше, чем удвоенная длина меньшего из отрезков BD и EC. (Польша, 2010)

3. Существуют ли на плоскости четыре бесконечных семейства параллельных прямых такие, что расстояние между любыми двумя соседними прямыми одного семейства больше 1 и меньше 2, а через каждую точку пересечения двух прямых из разных семейств проходят прямые двух других семейств? (И. Рубанов)

4. В каждом из 30 сундуков лежит по 13 монет. Монеты весят натуральное число граммов, не большее 30, причем монет каждого веса ровно 13. Известно, что веса любых двух монет, лежащих в одном сундуке, отличаются не более, чем на 4 грамма. Назовем сундук максимальным, если суммарный вес монет в нем не меньше, чем в других сундуках. Какой наименьший суммарный вес может быть у монет в максимальном сундуке? (Аргентина, 2005)

5. В бесконечной последовательности a1a2a3, ... первый член равен 1, а каждый следующий получается из предыдущего умножением на одно из чисел 2, 3, …, 9, причем умножение на каждое число из них производилось хотя бы один раз. Докажите, что для бесконечно многих n сумма цифр числа an+1 не превосходит суммы цифр числа an. (Аргентина, 2009)

6. В тупоугольном треугольнике ABC с тупым углом C угол B в два раза больше угла A. На стороне AB отмечена точка P такая, что BP = 2BC. Известно, что середина M стороны AB лежит между P и B. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из M на сторону AC, делит отрезок PC пополам. (Olimpiada Matematica Rioplatense, 2008)

7. В каждой клетке таблицы k´n (k строк, n столбцов) стоит 1 или 0. Известно, что в каждой строчке есть хотя бы две единицы и хотя бы один ноль. При каком наибольшем k заведомо можно так переставить столбцы, чтобы в результате ни в одной строчке все единицы не стояли подряд? (Голованов через Акопяна его знает)

8. В кружок записались 2011 мальчиков и 2011 девочек, причем каждый из мальчиков знаком хотя бы с 10 девочками. Докажите, что можно выбрать 100 мальчиков и 10 девочек так, чтобы каждый из выбранных мальчиков был знаком хотя бы с одной из выбранных девочек. (Д. Карпов и А. Глазман по мотивам С. Берлова и фольклора)

СТАРШАЯ ГРУППА, ПЕРВАЯ ЛИГА

1. Пусть n — натуральное число. Для каждого его простого делителя p рассмотрим наибольшую его степень, не превосходящую n. Сумму всех таких степеней назовём степенной суммой числа n. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, меньших, чем их степенные суммы. (Венгрия, олимпиада им. Кюршака, 1985)

2. На стороне BC треугольника ABC лежат точки D и E, причем BD < BE. Докажите, что разность периметров треугольников ABC и ADE больше, чем удвоенная длина меньшего из отрезков BD и EC. (Польша, 2010)

3. Существуют ли на плоскости четыре конечных семейства параллельных прямых (в каждом — хотя бы две прямые) такие, что расстояние между любыми двумя соседними прямыми одного семейства больше 1 и меньше 2, а через каждую точку пересечения двух прямых из разных семейств проходят прямые из двух других семейств? (И. Рубанов)

4. В каждом из 30 сундуков лежит по 13 монет. Монеты весят натуральное число граммов, не большее 30, причем монет каждого веса ровно 13. Известно, что веса любых двух монет, лежащих в одном сундуке, отличаются не более, чем на 2 грамма. Назовем сундук максимальным, если суммарный вес монет в нем не меньше, чем в других сундуках. Какой наименьший суммарный вес может быть у монет в максимальном сундуке? (Аргентина, 2005)

5. В бесконечной последовательности a1a2a3, ... первый член равен 1, а каждый следующий получается из предыдущего умножением на одно из чисел 2, 3, …, 9, причем умножение на каждое число из них производилось хотя бы один раз. Докажите, что для бесконечно многих n сумма цифр числа an+1 не превосходит суммы цифр числа an. (Аргентина, 2009)

6. Даны натуральное n и простое p. Докажите, что если n! делится на pp, то оно делится и на pp+1. (США, сборы на ММО, 2006)

7. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) ÐA = 30°. На медиане AD взята точка P, а на стороне AB — точка Q таким образом, что PB = PQ. Найдите угол PQC. (Аргентина, 2007, Certamen Regional)

8. В кружок записались 2011 мальчиков и 2011 девочек, причем каждый из мальчиков знаком хотя бы с 10 девочками. Докажите, что можно выбрать 100 мальчиков и 10 девочек так, чтобы каждый из выбранных мальчиков был знаком хотя бы с одной из выбранных девочек. (Д. Карпов и А. Глазман по мотивам С. Берлова и фольклора)

СТАРШАЯ ГРУППА, ВТОРАЯ ЛИГА

1. Пусть n — натуральное число. Для каждого его простого делителя p рассмотрим наибольшую его степень, не превосходящую n. Сумму всех таких степеней назовём степенной суммой числа n. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, меньших, чем их степенные суммы. (Венгрия, олимпиада им. Кюршака, 1985)

2. В трапеции ABCD с основаниями AB и CD ÐABC = 65° и ÐADC = 130°. Биссектриса угла ADC пересекает отрезок AB в точке E. Известно, что AD = 12 и BE = 15. Найдите среднюю линию трапеции. (Аргентина, 2005, Certamen Zonal)

3. Существуют ли на плоскости четыре конечных семейства параллельных прямых (в каждом — хотя бы две прямые) таких, что расстояние между любыми двумя соседними прямыми одного семейства больше 1 и меньше 2, а через каждую точку пересечения двух прямых из разных семейств проходят прямые из двух других семейств? (И. Рубанов)

4. Даны натуральное n и простое p. Докажите, что если n! делится на pp, то оно делится и на pp+1. (США, сборы на ММО, 2006)

5. В каждом из 30 сундуков лежит по 13 монет. Монеты весят натуральное число граммов, не большее 30, причем монет каждого веса ровно 13. Известно, что веса любых двух монет, лежащих в одном сундуке, отличаются не более, чем на 2 грамма. Назовем сундук максимальным, если суммарный вес монет в нем не меньше, чем в других сундуках. Какой наименьший суммарный вес может быть у монет в максимальном сундуке? (Аргентина, 2005)

6. В строчку выписывают натуральные числа. Каждое число, начиная с третьего – наибольший нечетный делитель суммы двух предыдущих чисел, уменьшенный на 1. Докажите, что рано или поздно в строчке появится 0. (Аргентина, Certamen Regional, 2003, модификация, обобщение, рожки да ножки)

7. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) ÐA = 30°. На медиане AD взята точка P, а на стороне AB — точка Q таким образом, что PB = PQ. Найдите угол PQC. (Аргентина, 2007, Certamen Regional)

8. В кружок записались 2011 мальчиков и 2011 девочек, причем каждый из мальчиков знаком хотя бы с 10 девочками. Докажите, что можно выбрать 19 мальчиков и 2 девочек так, чтобы каждый из выбранных мальчиков был знаком хотя бы с одной из выбранных девочек. (Д. Карпов и А. Глазман по мотивам С. Берлов и фольклора)

МЛАДШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА

1. На каждой клетке доски 8´9 (8 строк, 9 столбцов) стоит по фишке. В некоторый момент каждая фишка сдвинулась на соседнее поле по горизонтали или диагонали. Докажите, что в результате этого образовалось хотя бы 8 пустых клеток. (С. Берлов)

2. Петя и Вася играют в такую игру. На крайнем левом поле клетчатой ленты длины 20 лежит кучка из 2011 камней. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый из ребят своим ходом может сдвинуть любой камень на одно или два поля вправо. Выигрывает тот, кто первым поставит камень на крайнюю правую клетку. Кто выиграет при правильной игре? (С. Берлов)

3. На доске написаны числа 1, 2, ..., 33. За один шаг можно стереть любые два числа, произведение которых — квадрат натурального числа, и вместо них записать квадратный корень из их произведения (в частности можно заменить два равных числа на одно). После нескольких шагов на доске остались числа, произведение любых двух из которых — не точный квадрат. Докажите, что на доске осталось не менее 16 чисел. (Peter Novotn'y, Czech, A59iii, 2010)

4. Найдите все натуральные n, для которых число 5n+12n является точным квадратом. (Општинско такмиченье из математике ученика средньих школа, 02.02.2008. Четвтри разред, категориjа А)

5. В каждом из 30 сундуков лежит по 13 монет. Монеты весят натуральное число граммов, не большее 30, причем монет каждого веса ровно 13. Известно, что веса любых двух монет, лежащих в одном сундуке, отличаются не более, чем на 2 грамма. Назовем сундук наибольшим, если суммарный вес монет в нем не меньше, чем в других сундуках. Какой наименьший суммарный вес может быть у монет в наибольшем сундуке? (Аргентина, 2005)

6. Для чисел a и b, не меньших 1, докажите неравенство

(a2+1)(b2+1)–(a–1)2(b–1)2 ³ 4. (Czech, C59ii, 2010)

7. O — точка пересечения диагоналей CE и AD выпуклого пятиугольника ABCDE. Известно, что AB = DEBC = AD = CE/2 и ÐADE = ÐBACBCA. Докажите, что AO = OE. (А. Пастор)

8. В кружок записались 2011 мальчиков и 2011 девочек, причем каждый из мальчиков знаком хотя бы с 10 девочками. Докажите, что можно выбрать 100 мальчиков и 10 девочек так, чтобы каждый из выбранных мальчиков был знаком хотя бы с одной из выбранных девочек.

 

(Д. Карпов и А. Глазман по мотивам С. Берлова и фольклора)

МЛАДШАЯ ГРУППА, ПЕРВАЯ ЛИГА

1. На каждой клетке доски 8´9 (8 строк, 9 столбцов) стоит по фишке. В некоторый момент каждая фишка сдвинулась на соседнее поле по горизонтали или диагонали. Докажите, что в результате этого образовалось хотя бы 8 пустых клеток. (С. Берлов)

2. Петя и Вася играют в такую игру. На крайнем левом поле клетчатой ленты длины 20 лежит кучка из 2010 камней. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый из ребят своим ходом может сдвинуть любой камень на одно или два поля вправо. Выигрывает тот, кто первым поставит камень на крайнюю правую клетку. Кто выиграет при правильной игре? (С. Берлов)

3. На доске написаны числа 1, 2, ..., 33. За один шаг можно стереть любые два числа, произведение которых — квадрат натурального числа, и вместо них записать квадратный корень из их произведения (в частности можно заменить два равных числа на одно). После нескольких шагов на доске остались числа, произведение любых двух из которых — не точный квадрат. Докажите, что на доске осталось не менее 15 чисел. (Peter Novotn'y, Czech, A59iii, 2010)

4. Найдите все натуральные n, для которых число 5n+12n является точным квадратом. (Општинско такмиченье из математике ученика средньих школа, 02.02.2008. Четвтри разред, категориjа А)

5. При каких натуральных n > 1 натуральные числа от 1 до n можно так покрасить в красный, синий, желтый и зеленый цвета, что чисел каждого цвета будет поровну и суммы синих, красных, желтых и зеленых чисел одинаковы. (Жюри по мотивам фольклора)

6. Для чисел a и b, не меньших 1, докажите неравенство

 (a2+1)(b2+1)–(a–1)2(b–1)2 ³ 4. (Czech, C59ii, 2010)

7. O — точка пересечения диагоналей CE и AD выпуклого пятиугольника ABCDE. Известно, что AB = DEBC = AD = CE/2 и ÐADE = ÐBACBCA. Докажите, что AO = OE. (А. Пастор)

8. В кружок записались 15 мальчиков и 15 девочек, причем каждый из мальчиков знаком хотя бы с тремя девочками. Докажите, что можно выбрать шестерых мальчиков и двух девочек так, чтобы каждый из выбранных мальчиков был знаком хотя бы с одной из выбранных девочек. (С. Берлов по мотивам фольклора)

МЛАДШАЯ ГРУППА, ВТОРАЯ ЛИГА

1. На каждой клетке доски 8´9 (8 строк, 9 столбцов) стоит по фишке. В некоторый момент каждая фишка сдвинулась на соседнее поле по горизонтали или диагонали. Докажите, что в результате этого образовалось хотя бы одна пустая клетка. (С. Берлов)

2. Петя и Вася играют в такую игру. На крайнем левом поле клетчатой ленты длины 19 лежит кучка из 2011 камней. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый из ребят своим ходом может сдвинуть любой камень на одно или два поля вправо. Выигрывает тот, кто первым поставит камень на крайнюю правую клетку. Кто выиграет при правильной игре? (С. Берлов)

3. На доске написаны числа 1, 2, ..., 33. За один шаг можно стереть любые два числа, произведение которых — квадрат натурального числа, и вместо них записать квадратный корень из их произведения (в частности можно заменить два равных числа на одно). После нескольких шагов на доске остались числа, произведение любых двух из которых — не точный квадрат. Докажите, что на доске осталось не менее 9 чисел. (Peter Novotn'y, Czech, A59iii, 2010)

4. Вася перемножил все натуральные числа от 1000 до 2000 включительно и прибавил к этому произведению единицу. Докажите, что все простые делители полученного числа больше 2000. (С. Берлов по мотивам Евклида)

5. При каких натуральных n > 1 натуральные числа от 1 до n можно так покрасить в красный, синий, желтый и зеленый цвета, что чисел каждого цвета будет поровну и суммы синих, красных, желтых и зеленых чисел одинаковы. (Жюри по мотивам фольклора)

6. Для чисел a и b, не меньших 1, докажите неравенство

(a2+1)(b2+1)–(a–1)2(b–1)2 ³ 4. (Czech, C59ii, 2010)

7. Существуют ли два таких картонных треугольника, из которых, разными способами прикладывая их друг к другу без наложений, можно получить треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник? (С. Волчёнков)

8. В кружок записались 15 мальчиков и 15 девочек, причем каждый из мальчиков знаком хотя бы с тремя девочками. Докажите, что можно выбрать пятерых мальчиков и двух девочек так, чтобы каждый из выбранных мальчиков был знаком хотя бы с одной из выбранных девочек. (С. Берлов)

ГРУППА «СТАРТ», ВЫСШАЯ ЛИГА

1. Петя и Вася играют в такую игру. На крайнем левом поле клетчатой ленты длины 20 лежит кучка из 2011 камней. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый из ребят своим ходом может сдвинуть любой камень на одно или два поля вправо. Выигрывает тот, кто первым поставит камень на крайнюю правую клетку. Кто выиграет при правильной игре? (С. Берлов)

2. В кружок записались 15 мальчиков и 15 девочек, причем каждый из мальчиков знаком хотя бы с тремя девочками. Докажите, что можно выбрать пятерых мальчиков и двух девочек так, чтобы каждый из выбранных мальчиков был знаком хотя бы с одной из выбранных девочек. (С. Берлов)

3. На доске написано несколько (больше одного) различных натуральных чисел. Известно, что из любых трех написанных чисел можно выбрать два таких, что одно из них делится на другое. Докажите, что можно выбрать такие два написанных числа a и b, что любое из написанных чисел делится хотя бы на одно из этих двух. (С. Берлов, О. Нечаева)

4. На каждой клетке доски 8´9 (8 строк, 9 столбцов) стоит по фишке. В некоторый момент каждая фишка сдвинулась на соседнее поле по горизонтали или диагонали. Докажите, что в результате этого образовалось хотя бы 8 пустых клеток. (С. Берлов)

5. На доске написаны все натуральные числа от 1 до 100. За одну операцию любые два написанных числа заменяют на сумму цифр их суммы. В результате 99 таких операций на доске осталось одно число. Может ли оно равняться 5? (С. Берлов)

6. Вася перемножил все натуральные числа от 100 до 200 включительно и прибавил к этому произведению единицу. Докажите, что все делители полученного числа, кроме единицы, больше 200. (С. Берлов)

7. Среди семи монет есть одна фальшивая, которая на 1 грамм легче настоящих, и одна фальшивая, которая на 1 грамм тяжелее настоящих. Как за 4 взвешивания на чашечных весах без гирь найти и лёгкую, и тяжёлую монеты? (С. Волчёнков)

8. Существуют ли два таких картонных треугольника, из которых, разными способами прикладывая их друг к другу без наложений, можно получить треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник? (С. Волчёнков)

ГРУППА «СТАРТ», ПЕРВАЯ ЛИГА

1. На первой горизонтали клетчатой доски 9´9 стоят пешки. Пешкой разрешается ходить только вперёд на одно или два поля. Выходить за пределы доски нельзя. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выиграет при правильной игре? (С. Берлов)

2. В кружок записались 15 мальчиков и 15 девочек, причем каждый из мальчиков знаком хотя бы с тремя девочками. Докажите, что можно выбрать 5 мальчиков и двух девочек так, чтобы каждый из выбранных мальчиков был знаком хотя бы с одной из выбранных девочек. (С. Берлов)

3. Даны 2011 различных натуральных чисел. Известно, что для любых двух из этих чисел одно делится на другое. Докажите, что у какого-то из этих 2011 чисел среди остальных данных чисел столько же делителей, сколько чисел делятся на него. (По фольклорным мотивам)

4. На каждой клетке доски 8´9 (8 строк, 9 столбцов) стоит по фишке. В некоторый момент каждая фишка сдвинулась на соседнее поле по горизонтали или диагонали. Докажите, что в результате этого образовалось хотя бы 8 пустых клеток. (С. Берлов)

5. На доске написаны все натуральные числа от 1 до 99. За одну операцию любые два написанных числа заменяют на сумму цифр их суммы. В результате 98 таких операций на доске осталось одно число. Может ли оно равняться 5? (С. Берлов)

6. Вася перемножил все натуральные числа от 100 до 200 включительно и прибавил к этому произведению единицу. Докажите, что все простые делители полученного числа, кроме единицы, больше 200. (С. Берлов)

7. Среди шести монет есть одна фальшивая, которая на 1 грамм легче настоящих, и одна фальшивая, которая на 1 грамм тяжелее настоящих. Как за 4 взвешивания на чашечных весах без гирь найти и лёгкую и тяжёлую монеты? (С. Волчёнков)

8. Существуют ли два таких картонных треугольника, из которых, разными способами прикладывая их друг к другу без наложений, можно получить треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник?

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №4. 20.02.2011

СТАРШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА, БОИ ЗА 1-6 МЕСТА

1. Найдите наибольшее и наименьшее возможное значение суммы S = a/b+c/d, где abcd — натуральные числа, удовлетворяющие условиям a+c = 20202, b+d = 20200. (Olimpiada Matematica Rioplatense, 2010)

2. В каждом из 100 сосудов лежит по 99 камней. Два игрока ходят по очереди. Каждый игрок при своем ходе должен взять по одному камню из 98 сосудов. Игрок, после хода которого два сосуда оказались пусты, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его партнер? (Olimpiada Matematica Rioplatense, 2010)

3. M и N — середины сторон CD и AD выпуклого четырехугольника ABCD соответственно. Перпендикуляр к AB, проведенный через M, и перпендикуляр к BC, проведенный через N, пересекаются в точке P. Докажите, что P лежит на диагонали BD тогда и только тогда, когда диагонали AC и BD перпендикулярны. (Бразилия, 2010)

4. По кругу записаны в порядке возрастания по часовой стрелке числа от 1 до 31. Разрешается взять любые три числа abc (не обязательно соседние и стоящие в любом порядке) и заменить их числами ca–1/10, и b+1/10 соответственно. Докажите, что, применяя такие операции, можно добиться, чтобы числа стояли в порядке возрастания против часовой стрелки. (Аргентина, отбор на Ибероамериканскую олимпиаду, 2009)

5. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD биссектриса угла CAD проходит через середину отрезка BD. Известно, что BD = 2AB. Докажите, что AD = 3BC. (А. Глазман)

6. Найдите все такие натуральные mn и простые p, что число  — натуральное. (Olimpiada Matematica Rioplatense, 2001)

7. Из чисел 1, 2, ..., 37 произвольным образом выбраны 11 различных. Докажите, что из этих 11 чисел можно выбрать четыре таких, что сумма двух из них равна сумме двух других. (Romania Junior Balkan Team Selection Test–2008)

8. Таблица 50´50 заполнена натуральными числами таким образом, что все суммы чисел по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее количество чисел надо изменить, чтобы все эти 100 сумм стали попарно различны? (Kőzepiskola Matematikai Lapok, 2010)

СТАРШАЯ ГРУППА: ВЫСШАЯ ЛИГА, БОЙ ЗА 7 МЕСТО,

ПЕРВАЯ ЛИГА, БОИ 3А 1-6 МЕСТА

1. Найдите наибольшее и наименьшее возможное значение суммы S = a/b+c/d, где abcd — натуральные числа, удовлетворяющие условиям a+c = 20202, b+d = 20200. (Olimpiada Matematica Rioplatense, 2010)

2. В каждом из 100 сосудов лежит по 100 камней. Два игрока ходят по очереди. Каждый игрок при своем ходе должен взять по одному камню из 98 сосудов. Игрок, после хода которого два сосуда оказались пусты, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его партнер? (Olimpiada Matematica Rioplatense, 2010)

3. Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекаются в точке I. Известно, что AI = BC и ÐICA = 2ÐIAC. Найдите угол ABC. (Бразилия, 2 тур, 2010)

4. Известно, что . Найдите . (Бразилия, 2005)

5. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD биссектриса угла CAD проходит через середину отрезка BD. Известно, что BD = 2AB. Докажите, что AD = 3BC. (А. Глазман)

6. Найдите все такие натуральные mn и простые p, что число  — натуральное. (Olimpiada Matematica Rioplatense, 2001)

7. Из чисел 1, 2, ..., 37 произвольным образом выбраны 13 различных. Докажите, что из этих 13 чисел можно выбрать четыре таких, что сумма двух из них равна сумме двух других. (Romania Junior Balkan Team Selection Test–2008)

8. Таблица 50´50 заполнена натуральными числами таким образом, что все суммы чисел по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее количество чисел надо изменить, чтобы все эти 100 сумм стали попарно различны? (Kőzepiskola Matematikai Lapok, 2010)

СТАРШАЯ ГРУППА: ПЕРВАЯ ЛИГА, БОЙ ЗА 7 МЕСТО,

ВТОРАЯ ЛИГА

1. Найдите наибольшее и наименьшее возможное значение суммы S = a/b+c/d, где abcd — натуральные числа, удовлетворяющие условиям a+c = 20202, b+d = 20200. (Olimpiada Matematica Rioplatense, 2010)

2. В каждом из 100 сосудов лежит по 100 камней. Два игрока ходят по очереди. Каждый игрок при своем ходе должен взять по одному камню из 98 сосудов. Игрок, после хода которого два сосуда оказались пусты, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его партнер? (Olimpiada Matematica Rioplatense, 2010)

3. На стороне AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом B взята точка D такая, что CD = AB, а на стороне BC — точка E такая, что DB = DE. Известно, что ÐCAB = 2ÐABD. Найдите угол EDC. (Аргентина, 2008, региональный тур)

4. Известно, что . Найдите . (Бразилия, 2005)

5. Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точка K — середина диагонали BD. Оказалось, что AK — биссектриса угла CAD и AD = 3BC. Докажите, что AC = 2BC. (А. Глазман)

6. Найдите все такие натуральные m и простые p, что число  — натуральное. (Olimpiada Matematica Rioplatense, 2001)

7. Из чисел 1, 2, ..., 37 произвольным образом выбраны 13 различных. Докажите, что из этих 13 чисел можно выбрать четыре таких, что сумма двух из них равна сумме двух других. (Romania Junior Balkan Team Selection Test–2008)

8. Сколькими способами можно раскрасить клетки прямоугольника 2´2011 в два цвета так, чтобы никакие три клетки одного цвета не образовывали уголок из трех клеток? (Бразилия, 2 тур, 2010)

МЛАДШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА, БОИ ЗА 1-4 МЕСТА

1. Найдите наибольшее число, делящееся на 72, которое можно получить из числа 123...20092010 (все натуральные числа от 1 до 2010 записаны подряд) вычеркиванием некоторых цифр. (Државно такмиченье из математике ученика средньих школа, 20.03.2010. Други разред, категориjа Б)

2. Таблица 50´50 заполнена натуральными числами таким образом, что все суммы чисел по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее количество чисел надо изменить, чтобы все эти 100 сумм стали попарно различны? (Kőzepiskola Matematikai Lapok, 2010)

3. Для любых целых чисел abc и d докажите неравенство a2+b2+c2+3d2 ³ (2d–1)(a+b+c)+3d. (Д. Карпов по мотивам ...)

4. Из чисел 1, 2, ..., 37 произвольным образом выбраны 11 различных. Докажите, что из этих 11 чисел можно выбрать четыре таких, что сумма двух из них равна сумме двух других. (Romania Junior Balkan Team Selection Test–2008)

5. Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точка K — середина диагонали BD. Оказалось, что AK — биссектриса угла CAD и AD = 3BC. Докажите, что AC = 2BC. (А. Глазман)

6. В каждом из 100 сосудов лежит по 97 камней. Два игрока ходят по очереди. Каждый игрок при своем ходе должен взять по одному камню из 98 сосудов. Игрок, после хода которого два сосуда оказались пусты, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его партнер? (Olimpiada Matematica Rioplatense, 2010)

7. Аня, Боря, Вика и Галя навещали Диму. Договорились они прийти в один день, но в разное время и пробыли у Димы по 15 минут. Аня посетила Диму в 8 часов, Боря пришел в 9 часов, Вика — в 10 часов, а Галя пришла в 11 часов, только неизвестно кто из них приходил утром, а кто вечером. Известно, что: 1) К Диме кто-то приходил между Аней и Борей; 2) Какая-то из девочек пришла к Диме до Ани; 3) Вика не заходила к Диме между Борей и Галей. Определите кто в какое время приходил к Диме. (Окружно такмиченье из математике ученика средньих школа, 20.02.2010. Перви разред, категориjа Б)

8. Найдите все простые числа p такие, что число (p2–23)(9p+5) — точный квадрат. (А. Глазман)

МЛАДШАЯ ГРУППА: ВЫСШАЯ ЛИГА, БОИ ЗА 5-8 МЕСТА,

ПЕРВАЯ ЛИГА, БОИ 3А 1-6 МЕСТА

1. Найдите наибольшее число, делящееся на 72, которое можно получить из числа 123...20092010 (все натуральные числа от 1 до 2010 записаны подряд) вычеркиванием некоторых цифр. (Државно такмиченье из математике ученика средньих школа, 20.03.2010. Други разред, категориjа Б)

2. Таблица 48´48 заполнена натуральными числами таким образом, что все суммы чисел по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее количество чисел надо изменить, чтобы все эти 96 сумм стали попарно различны? (Kőzepiskola Matematikai Lapok, 2010)

3. Для любых целых чисел ab и c докажите неравенство a2+b2+2c2 ³ (2c–1)(a+b)+2c. (Д. Карпов по мотивам ...)

4. Из чисел 1, 2, ..., 37 произвольным образом выбраны 13 различных. Докажите, что из этих 13 чисел можно выбрать четыре таких, что сумма двух из них равна сумме двух других. (Romania Junior Balkan Team Selection Test–2008)

5. Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точка K — середина диагонали BD. Оказалось, что AK — биссектриса угла CAD и AD = 3BC. Докажите, что AC = 2BC. (А. Глазман)

6. Дан прямоугольник 2´2012 (2 строки, 2012 столбцов). Два игрока ходят по очереди. Первый своим ходом вычеркивает две соседние по вертикали клетки, а второй вычеркивает две соседние по горизонтали клетки. Вычеркивать ранее вычеркнутые клетки нельзя. Игрок, не имеющий хода, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре? (какая–то Болгария, Глазман знает)

7. Аня, Боря, Вика и Галя навещали Диму. Договорились они прийти в один день, но в разное время и пробыли у Димы по 15 минут. Аня посетила Диму в 8 часов, Боря пришел в 9 часов, Вика — в 10 часов, а Галя пришла в 11 часов, только неизвестно кто из них приходил утром, а кто вечером. Известно, что: 1) К Диме кто-то приходил между Аней и Борей; 2) Какая-то из девочек пришла к Диме до Ани; 3) Вика не заходила к Диме между Борей и Галей. Определите кто в какое время приходил к Диме. (Окружно такмиченье из математике ученика средньих школа, 20.02.2010. Перви разред, категориjа Б)

8. Найдите все простые числа p такие, что число (p2–23)(9p+5) — точный квадрат. (А. Глазман)

 


Категория: Математика | Добавил: Админ (03.10.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar