Тема №8502 Решение задач по математике олимпиада 423 (Часть 6)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по математике олимпиада 423 (Часть 6) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по математике олимпиада 423 (Часть 6), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

МЛАДШАЯ ГРУППА: ПЕРВАЯ ЛИГА, БОЙ ЗА 7 МЕСТО,

ВТОРАЯ ЛИГА

1. Найдите наибольшее число, делящееся на 72, которое можно получить из числа 123...20092010 (все натуральные числа от 1 до 2010 записаны подряд) вычеркиванием некоторых цифр. (Државно такмиченье из математике ученика средньих школа, 20.03.2010. Други разред, категориjа Б)

2. 100 депутатов Думы пользуются сетью Билайн, а 200 депутатов – сетью Мегафон. За внутрисетевой звонок Билайн берёт 43 копейки, а Мегафон меньше, но целое число копеек. За звонок в другую сеть стоимость звонка возрастает в 3 раза. Все входящие звонки бесплатные. В течение дня каждый депутат звонит каждому по одному разу и от каждого один раз получает встречный звонок. Сколько стоят звонки с Мегафона, если его ежедневные доходы с депутатов более чем на 11000 рублей превышают доходы Билайна? (С. Волчёнков)

3. Числа abc и d удовлетворяют условию a+d = b+c. Докажите неравенство (ab)(cd)+(ac)(bd)+(da)(bc) ³ 0. (Czech, C54i, 2005)

4. Из чисел 1, 2, ..., 37 произвольным образом выбраны 13 различных. Докажите, что из этих 13 чисел можно выбрать четыре таких, что сумма двух из них равна сумме двух других. (Romania Junior Balkan Team Selection Test–2008)

5. На диагонали BD выпуклого четырехугольника ABCD отмечена точка E. Известно, что AB = CE, ÐABD = ÐBCE = ÐECD и ÐDAB = ÐABC. Докажите, что треугольник BCD равнобедренный. (А. Пастор)

6. Дан прямоугольник 2´2012 (2 строки, 2012 столбцов). Два игрока ходят по очереди. Первый своим ходом вычеркивает две соседние по вертикали клетки, а второй вычеркивает две соседние по горизонтали клетки. Вычеркивать ранее вычеркнутые клетки нельзя. Игрок, не имеющий хода, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре? (какая–то Болгария, Глазман знает)

7. Аня, Боря, Вика и Галя навещали Диму. Договорились они прийти в один день, но в разное время и пробыли у Димы по 15 минут. Аня посетила Диму в 8 часов, Боря пришел в 9 часов, Вика — в 10 часов, а Галя пришла в 11 часов, только неизвестно кто из них приходил утром, а кто вечером. Известно, что: 1) К Диме кто-то приходил между Аней и Борей; 2) Какая-то из девочек пришла к Диме до Ани; 3) Вика не заходила к Диме между Борей и Галей. Определите кто в какое время приходил к Диме. (Окружно такмиченье из математике ученика средньих школа, 20.02.2010. Перви разред, категориjа Б)

8. Трехзначные числа  и  делятся на простое число p. Докажите, что хотя бы одно из чисел a+b+cab+c или ac также делится на p. (Словения, 2010)

ГРУППА «СТАРТ», ВЫСШАЯ ЛИГА

1. Дано натуральное число n > 100. Докажите, что найдется число, которое меньше n, больше единицы, и не имеет с числом n(n–1) общих делителей, кроме 1. (С. Волчёнков, С. Берлов)

2. В некоторые клетки таблицы 13´13 записали числа. Оказалось, что все суммы чисел по строкам и столбцам попарно различны. Какое наибольшее количество клеток могли остаться свободными? (По мотивам Komal-2010)

3. Из чисел 1, 2, ..., 100 произвольным образом выбраны 20 различных. Докажите, что из этих 20 чисел можно выбрать четыре таких, что сумма двух из них равна сумме двух других. (Romania Junior Balkan Team Selection Test–2008)

4. На каждой клетке доски 8´8 лежит камень. Камни убывают по весу в каждой строке (слева направо) и каждом столбце (снизу вверх). Разрешается взвесить на весах (показывающих вес груза) любой камень (несколько камней сразу взвешивать нельзя). Покажите, как за 15 таких взвешиваний определить, есть ли на доске камень, весящий 100 грамм. (С. Волченков)

5. На доске написано число 2011. Вася может написанное число умножать на 8 или делить на 8 (если частное — целое число), либо переставлять в нем цифры (0 на первое место ставить нельзя). Может ли Вася такими операциями получить число 1? (С. Берлов по мотивам классики)

6. На доску выписано несколько натуральных чисел, не превосходящих 100. Оказалось, что числа 1 и 2 выписаны и ни одно из выписанных чисел не равно сумме двух различных выписанных чисел. Какое наибольшее количество чисел могло быть выписано? (По мотивам KoMaL-2010)

7. Как провести на круглом листе бумаги пять отрезков, каждый из которых соединяет две точки на краю листа, чтобы среди частей, на которые эти отрезки делят лист, оказались хотя бы один пятиугольник и хотя бы два четырехугольника? (С. Волчёнков)

8. В стране несколько городов. Некоторые пары городов соединены дорогами, причем из любого города в любой другой можно добраться по этим дорогам. Оказалось, что из двух городов выходят по две дороги, а из остальных — по три или по одной. Докажите, что можно закрыть несколько дорог на ремонт таким образом, чтобы из каждого города выходило по три или по одной дороге. (С. Берлов)

ГРУППА «СТАРТ», ПЕРВАЯ ЛИГА

1. Назовём натуральное число n, большее 3, сложным, если с каждым натуральным числом, меньшими n, кроме 1 и n–1, у него есть общий простой делитель. Найдите все сложные числа, меньшие 1000. (С. Волчёнков)

2. В некоторые клетки таблицы 5´5 записали числа. Оказалось, что все суммы чисел по строкам и столбцам попарно различны. Какое наибольшее количество клеток могли остаться свободными? (По мотивам Komal-2010)

3. Определите максимально возможное число, делящееся на 6, которое может быть получено из числа 123…200920102011 вычеркиванием некоторых из его цифр. (Државно такмиченье из математике ученика средньих школа, 20.03.2010. Упрощение).

4. На 49 карточках записаны числа от 1 до 49. Карточки выложены в квадрат 7´7 числами вниз. Известно, что в каждом горизонтальном ряду числа упорядочены по возрастанию слева направо, а в вертикальном – сверху вниз. Можно ли последовательно открыть не более 12 карточек, чтобы найти карточку с числом 25? (С. Волчёнков)

5. В кружке 6 человек и у каждого ровно 3 друга в этом кружке. Верно ли что всех кружковцев можно рассадить за 3 парты, за каждой из которых сидят 2 друга? (Фольклор)

6. Петя и Вася по очереди умножают записанное на доске число на одно из трёх чисел: 2, 3 или 4. Сначала на доске написана единица. Выигрывает тот, кто первым получит результат больше 250000. Кто может выиграть независимо от игры соперника? (С. Волченков)

7. Как провести на круглом листе бумаги пять отрезков, каждый из которых соединяет две точки на краю листа, чтобы среди частей, на которые эти отрезки делят лист, оказались хотя бы один пятиугольник и хотя бы один четырехугольник? (С. Волчёнков)

8. 100 депутатов Думы пользуются сетью Билайн, а 200 депутатов – сетью Мегафон. За внутрисетевой звонок Билайн берёт 43 копейки, а Мегафон меньше, но целое число копеек. За звонок в другую сеть стоимость звонка возрастает в 3 раза. Все входящие звонки бесплатные. В течение дня каждый депутат звонит каждому по одному разу и от каждого один раз получает встречный звонок. Сколько стоят звонки с Мегафона, если его ежедневные доходы с депутатов более чем на 11000 рублей превышают доходы Билайна? (С. Волчёнков)

 

СТАРШАЯ ГРУППА

N

Задача

Ответ

1.

Число x3+2x2+6x+1 является точным кубом (x- натуральное число). Найдите все такие  x.

3

2.

В Трансильвании есть  люди и упыри, причем люди всегда говорят правду, а упыри всегда лгут.  Часть населения психически нормальна, а часть сошла с ума. Сумасшедшие все истинные суждения считают ложными, а все ложные утверждения — истинными (например, сумасшедший упырь будет говорить правду, СЧИТАЯ, что это ложь). Муж и жена либо оба упыри, либо оба люди.

 

Жена: « Все, что говорит мой муж, правда».

Муж: «Моя жена свихнулась».

Напишите, кто они ( и каждому напишите его психическое состояние).

Муж и жена оба – психически здоровые упыри или оба сумасшедшие упыри.

3.

Найдите НОД всех чисел вида p4–1,где p – все простые числа от 7 до 2011.

240

4.

Король ходит вправо, вверх и вправо-вверх на доске 5×20. Он вышел из одного угла и пришел в другой угол. Какое наименьшее количество ходов он мог сделать?

24

5.

В трапеции ABCD основание ВС вдвое короче основания AD, а ÐВКС=90°, где K – середина AD.  Найдите отношение AD:KM, где М – точка пересечения диагоналей трапеции.

6:1

6.

В треугольнике ABC проведены высоты BD и CE. Оказалось, что ÐCBD= 2ÐABD, ÐACE =3ÐBCE. Найдите углы треугольника ABC.

36°, 81°, 63°

7.

Из данных пяти различных отрезков надо выбрать три и составить из них прямоугольный треугольник. Оказалось, что можно сделать это четырьмя различными способами. Найдите отношение длин наибольшего и наименьшего отрезков.

Корень из 5

8.

Вычислите, чему равно .

1006.

 

 

МЛАДШАЯ  ГРУППА

N

Задача

Ответ

1.

Найдите все натуральные n, которые равны сумме некоторых трех различных натуральных делителей числа n – 1.

13, 31

2.

Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета?

37

3.

За один ход разрешается умножить число на 2 или прибавить к нему 3. За какое количество ходов можно из  3 получить число 2010? Найдите все варианты ответов .

От 14 до 669

4.

Король ходит вправо, вверх и вправо-вверх на доске 5×20. Он вышел из одного угла и пришел в другой угол. Какое наименьшее количество ходов он мог сделать?

24

5.

Впишите в середину числа 2012 ( между 20 и 12) наименьшее возможное число цифр так, чтобы полученное многозначное число делилось 2011.

0939

6.

Некоторые буквы заменили цифрами, причем одинаковые – одинаковыми, разные – разными. Даны 4 числа 1234, 5678, 9278, 0834 и имена ВАЛЯ, КОЛЯ, ДИМА, РОМА. Запишите на этом шифре КИРОВ..

16920

7.

Длина круга стадиона равна 400м. Три бегуна одновременно стартовали в часовом забеге с одной стартовой линии, каждый – со своей постоянной скоростью. Первый бегун пробежал 20 км, второй – 19 км, третий – 18км. Сколько раз во время этого забега один из бегунов обгонял другого? Одновременный финиш не считается обгоном.

8 раз.

8.

В треугольнике ABC проведены высоты BD и CE. Оказалось, что ÐCBD= 2ÐABD, ÐACE =3ÐBCE. Найдите углы треугольника ABC.

36°, 81°, 63°

 

 

ГРУППА «СТАРТ»

N

Задача

Ответ

1.

caterpillars. Разрежьте квадрат на 4 равные части так, чтобы в каждой секции была гусеница со своим листком. У одной гусеницы не будет листка, она садится на диету.

Проверьте ответ. Может быть несколько разных вариантов.

2.

Замените звёздочки натуральными числами так, чтобы получилось верное равенство:

(9/*)-(*/21)=17/42.

2, 86

3.

За один ход разрешается умножить число на 2 или прибавить к нему 3. За какое наименьшее количество ходов можно из  3 получить число 300?

От 8 до 99

4.

Длина круга стадиона равна 400м. Три бегуна одновременно стартовали в часовом забеге с одной стартовой линии, каждый – со своей постоянной скоростью. Первый бегун пробежал 20 км, второй – 19 км, третий – 18км. Сколько раз во время этого забега один из бегунов обгонял другого? Одновременный финиш не считается обгоном.

8 раз

5.

Впишите в середину числа 2012 ( между 20 и 12) наименьшее возможное число цифр так, чтобы полученное многозначное число делилось 2011.

0939

6.

Некоторые буквы заменили цифрами, причем одинаковые – одинаковыми, разные – разными. Даны 4 числа 1234, 5678, 9278, 0834 и имена ВАЛЯ, КОЛЯ, ДИМА, РОМА. Запишите на этом шифре КИРОВ..

16920

7.

 Дно квадратного бассейна выложено квадратными плитками двух цветов, как показано на рисунке. Прораб заказал плиток одного вида на 2011 больше, чем другого. Найдите размеры бассейна.

 

: 2011×2011

8.

На четырех карточках с одной стороны написаны числа 2, 5, 7 и 12 (каждое – ровно на одной карточке), а с другой стороны - слова «делится на 7», «простое», «нечетное», «больше 100» (каждое – ровно на одной карточке). Известно, что в каждой карточке число, написанное на ней, НЕ соответствует слову на другой стороне. Найдите, какие числа на каких карточках написаны.

5- делится на 7,

12 – простое,

2 – нечетное,

7 – больше 100

 

 

 


Категория: Математика | Добавил: Админ (03.10.2016) Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0

Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar