Тема №8503 Решение задач по математике олимпиада 423 (Часть 7)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по математике олимпиада 423 (Часть 7) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по математике олимпиада 423 (Часть 7), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Старшая группа, высшая лига, 4 тур, решения и указания для жюри.

1. Найдите наибольшее и наименьшее возможное значение суммы = a/b+c/d, где abcd — натуральные числа, удовлетворяющие условиям a+c = 20202, b+d = 20200.

Ответ= 20201+1/20199 и m = 1+20201/20199=1/141+20201/20059. Решение. Ответ: Пусть b ³ d, тогда 1/d ³ 1/b , а тогда если мы будем «перекидывать» 1 из a в b и обратно, то чем больше a тем S меньше и чем меньше a тем S больше. Таким образом и для максимуму и для минимума одно из чисел a и c должно быть 1. То есть и максимум достигается на 1/b+20201/d , а минимум на 20201/b+1/d . Максимум. Если d не равно 1, то есть оба и b и d больше 1, то сумма a/b+c/≤ 20202/2<M. Если = 1, то получаем S=1/20199+20201 = MМинимум= 20201/b+1/d=1/d+20201/(20200–d) = 20200(d+1)/(d(20200–d)), пусть d+1=x , тогда минимум достигается, когда у (x–1)(20201–x)/x достигается максимум. (x–1)(20201–x)/= 20201–x–20201/x , а здесь максимум, когда у x+20201/x минимум. а он достигается, когда x=142 . То есть d=141 , то есть b=20200–141=20059 и минимум 1/141+20201/20059

2. В каждом из 100 сосудов лежит по 99 камней. Два игрока ходят по очереди. Каждый игрок при своем ходе должен взять по одному камню из 98 сосудов. Игрок, после хода которого два сосуда оказались пусты, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его партнер?

Ответ: Второй. Решение. При каждом ходе игрок не берет камней из двух сосудов. Будем называть эти сосуды пропущенными. Очевидно, пока не сделаны 99 ходов, ни один сосуд не опустеет, поэтому при каждом из этих 99 ходов делающий ход игрок может сам выбирать, какие два сосуда пропустить. Пусть второй игрок каждым ходом пропускает два сосуда, которые еще не были пропущены (если такой остался только один — пропускает его и любой другой; если таких вообще не осталось — делает любой ход). Тогда после 99 ходов все сосуды будут пропущены хотя бы один раз (так как два сосуда пропустил первый игрок начальным ходом, а потом второй игрок сделал еще 49 ходов, при каждом из которых он мог увеличивать количество пропущенных сосудов на 2, пока оно не достигло 100).

После 99 ходов сосуд, который был пропущен хоть раз, будет содержать хотя бы один камень. Поэтому после 99 ходов в наших 100 сосудах останется 99×(100-99)×98 = 198 камней, причем в каждом сосуде будет не менее одного камня. Отсюда следует, что хотя бы в двух сосудах будет ровно по одному камню (иначе общее число камней не меньше 1+2×99=199), и сотым ходом второй игрок выиграет.

3. M и N — середины сторон CD и AD выпуклого четырехугольника ABCD соответственно. Перпендикуляр к AB, проведенный через M, и перпендикуляр к BC, проведенный через N, пересекаются в точке P. Докажите, что P лежит на диагонали BD тогда и только тогда, когда диагонали AC и BD перпендикулярны.

Решение. Проведем через точки A и C перпендикуляры к BC и AB соответственно, а точку их пересечения обозначим за Q. Легко видеть, что точка P лежит на прямой BD тогда и только тогда, когда на ней лежит точка Q. Точка Q является ортоцентром треугольника ABC, следовательно прямая BQ перпендикулярна AC. Поэтому BQ совпадает с BD тогда и только тогда, когда BD перпендикулярна AC.

4. По кругу записаны в порядке возрастания по часовой стрелке числа от 1 до 31. Разрешается взять любые три числа a, b, c (не обязательно соседние и стоящие в любом порядке) и заменить их числами c, a–1/10, и b+1/10 соответственно. Докажите, что, применяя такие операции, можно добиться, чтобы числа стояли в порядке возрастания против часовой стрелки.

ОтветРешение.

5. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD биссектриса угла CAD проходит через середину отрезка BD. Известно, что BD = 2AB. Докажите, что AD = 3BC.

Решение. Пусть KLM — середины отрезков ABLAC и BD соответственно. Длины сторон AD и BC обозначим через a и b. Поскольку ÐLMA = ÐMAD = ÐCAM, получаем, что AL = LM. А поскольку AB = BM, получаем, что AL — медиана в треугольнике ABM. Но MK — тоже медиана в этом треугольнике, значит K — точка пересечения медиан. Следовательно, LK/MK = 1:3. Поскольку LK = BC/2, а MK = AD/2, получаем утверждение задачи.

6. Найдите все такие натуральные m, n и простые p, что число  — тоже натуральное.

Ответm = 1, n = 1, p = 3; m = 2, n = 4, p = 3. Решение. Прибавляя к нашей дроби 1, узнаем, что число d = 7mp×2n — делитель числа 2×7m, а вычитая — что делитель числа p×2n+1. Поскольку d, очевидно, нечетно, оно является общим делителем 7m и p. Таким образом, возможны два случая: d = 1 или d = p = 7. В первом случае 7m–1 = p×2n делится на 3, поэтому p = 3. При этом если n = 1, то m = 1, а если n > 1, то 7m–1 кратно 4, поэтому m = 2k, (7k–1)(7k+1) = 3×2n. В левой части одна из скобок не делится на 4 и поэтому не превосходит 6, значит, k = 1, откуда m = 2 и n = 4. Во втором случае 7m–7×2n = 7, поэтому 7m–1–1 = 2n, что невозможно, так как левая часть делится на 3.

7. Из чисел 1, 2, ..., 37 произвольным образом выбраны 11 различных. Докажите, что из этих 11 чисел можно выбрать четыре таких, что сумма двух из них равна сумме двух других.

Решениеa+b = c+d Û a–c = b–d. Поэтому достаточно найти две пары из четырех различных чисел такие, что разности большего и меньшего чисел в парах одинаковы. Всего различных разностей возможно 36: от 1 до 36, а различных пар из 11 чисел можно составить 55. Поэтому среди таких пар есть пары с равными разностями. Две пары с равными разностями не дают решения задачи только если большее число одной пары равно меньшему числу другой, то есть пары составлены из чисел, входящих в трехчленную арифметическую прогрессию. Очевидно, что если есть две различные трехчленные прогрессии или прогрессия и не входящая в нее пара с равными разностями — все в порядке. Если же нет, то трехчленных прогрессий k ≤ 18, а четырехчленных прогрессий нет. Поэтому остается 55–2k «одиночных» пар, у которых разности принимают не более 36–k различных значений. Поскольку при k ≤ 18 имеем 55–2k > 36–k, среди «одиночных» пар найдутся две с равными разностями.

8. Таблица 50´50 заполнена натуральными числами таким образом, что все суммы чисел по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее количество чисел надо изменить, чтобы все эти 100 сумм стали попарно различны?

Ответ: 66. РешениеОценка. Построим двудольный граф G, вершинами которого будут столбцы и строчки, а рёбра соответствуют тем числам, которые мы изменяем. Количество рёбер, очевидно, не превосходит количества вершин (то есть 100) минус количество компонент связности. Рассмотрим компоненты связности этого графа. Пусть одна них состоит из двух вершин. Это означает, что есть строчка и столбец, в которых изменили ровно по одному числу, причём это число стоит на их пересечении. Но тогда и после изменения суммы чисел в них равны, противоречие. Итак, в графе нет компонент связности из двух вершин. Есть не более одной компоненты связности из одной вершины, так как такая компонента связности соответствует строке или столбцу, в которой не изменено ни одно число. Следовательно, 99 вершин нашего графа разбиваются на компоненты связности из хотя бы трёх вершин, таких компонент связности не более 33. Итого мы имеем не более 34 компонент связности, а значит, не менее 100–34 = 66 рёбер. Пример. Выделим один столбец, в которым ничего не меняется, и разобьём остальные 49 столбцов и 50 строчек на 33 тройки из столбца и двух строк или строки и двух столбцов — это сделать несложно. Рассмотрим одну тройку — пусть это строка и два столбца. Изменим числа в двух клетках на их пересечении, прибавив к ним 10a и 10b. Все 66 показателей степеней во всех тройках сделаем разными, что обеспечит различные изменения.

Старшая группа, первая лига, 4 тур, решения и указания для жюри.

1. Найдите наибольшее и наименьшее возможное значение суммы = a/b+c/d, где abcd — натуральные числа, удовлетворяющие условиям a+c = 20202, b+d = 20200.

Ответ= 20201+1/20199 и m = 1+20201/20199=1/141+20201/20059. Решение. Ответ: Пусть b ³ d, тогда 1/d ³ 1/b , а тогда если мы будем «перекидывать» 1 из a в b и обратно, то чем больше a тем S меньше и чем меньше a тем S больше. Таким образом и для максимуму и для минимума одно из чисел a и c должно быть 1. То есть и максимум достигается на 1/b+20201/d , а минимум на 20201/b+1/d . Максимум. Если d не равно 1, то есть оба и b и d больше 1, то сумма a/b+c/≤ 20202/2<M. Если = 1, то получаем S=1/20199+20201 = MМинимум= 20201/b+1/d=1/d+20201/(20200–d) = 20200(d+1)/(d(20200–d)), пусть d+1=x , тогда минимум достигается, когда у (x–1)(20201–x)/x достигается максимум. (x–1)(20201–x)/= 20201–x–20201/x , а здесь максимум, когда у x+20201/x минимум. а он достигается, когда x=142 . То есть d=141 , то есть b=20200–141=20059 и минимум 1/141+20201/200592. В каждом из 100 сосудов лежит по 100 камней. Два игрока ходят по очереди. Каждый игрок при своем ходе должен взять по одному камню из 98 сосудов. Игрок, после хода которого два сосуда оказались пусты, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его партнер?

Ответ: Второй. Решение. Пусть второй игрок повторяет ходы первого (то есть каждым ходом берет камни из тех сосудов, из которых их только что брал первый). Очевидно, при такой стратегии второго игрока после каждого его хода количество камней во всех сосудах оказывается четным, а после каждого хода первого игрока количество камней в тех сосудах, из которых он берет камни, оказывается нечетным (следовательно, не 0). Поэтому первый игрок выиграть не может. С другой стороны, игра закончится не более чем за 102 хода, поэтому второй выиграет.

3. Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекаются в точке I. Известно, что AI = BC и ÐICA = 2ÐIAC. Найдите угол ABC.

Ответ: 60°. Решение. Пусть CD биссектриса угла C, а E такая тока на CD, что AE = AI. Заметим что AD = DC. Легко видеть, что один из треугольников AID и AED должен быть равен треугольнику CDB (поскольку у них равна пара сторон и угол между одной из этих сторон и прямой содержащей третью сторону). Очевидно, это должен быть треугольник AED. Поэтому, ÐAED = ÐABC = 180°–3ÐCAB. С другой стороны, в силу равнобедренности треугольника AED, ÐAED = ÐAIE = 3ÐCAB/2. Таким образом 180°–3ÐCAB = 3ÐCAB/2. Следовательно ÐCAB = 40°, а ÐABC = 60°.

4. Известно, что . Найдите .

ОтветРешение.

5. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD биссектриса угла CAD проходит через середину отрезка BD. Известно, что BD = 2AB. Докажите, что AD = 3BC.

Решение. Пусть KLM — середины отрезков ABLAC и BD соответственно. Длины сторон AD и BC обозначим через a и b. Поскольку ÐLMA = ÐMAD = ÐCAM, получаем, что AL = LM. А поскольку AB = BM, получаем, что AL — медиана в треугольнике ABM. Но MK — тоже медиана в этом треугольнике, значит K — точка пересечения медиан. Следовательно, LK/MK = 1:3. Поскольку LK = BC/2, а MK = AD/2, получаем утверждение задачи.

6. Найдите все такие натуральные m, n и простые p, что число  — тоже натуральное.

Ответm = 1, n = 1, p = 3; m = 2, n = 4, p = 3. Решение. Прибавляя к нашей дроби 1, узнаем, что число d = 7mp×2n — делитель числа 2×7m, а вычитая — что делитель числа p×2n+1. Поскольку d, очевидно, нечетно, оно является общим делителем 7m и p. Таким образом, возможны два случая: d = 1 или d = p = 7. В первом случае 7m–1 = p×2n делится на 3, поэтому p = 3. При этом если n = 1, то m = 1, а если n > 1, то 7m–1 кратно 4, поэтому m = 2k, (7k–1)(7k+1) = 3×2n. В левой части одна из скобок не делится на 4 и поэтому не превосходит 6, значит, k = 1, откуда m = 2 и n = 4. Во втором случае 7m–7×2n = 7, поэтому 7m–1–1 = 2n, что невозможно, так как левая часть делится на 3.

7. Из чисел 1, 2, ..., 37 произвольным образом выбраны 13 различных. Докажите, что из этих 13 чисел можно выбрать четыре таких, что сумма двух из них равна сумме двух других.

Решение. Из 13 различных чисел можно составить 78 пар. Каждая из 78 их сумм не превосходит 37+36 = 73. Поэтому найдутся две различные пары с одинаковыми суммами. Легко видеть, что эти пары состоят из четырех разных чисел.

8. Таблица 50´50 заполнена натуральными числами таким образом, что все суммы чисел по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее количество чисел надо изменить, чтобы все эти 100 сумм стали попарно различны?

Ответ: 66. РешениеОценка. Построим двудольный граф G, вершинами которого будут столбцы и строчки, а рёбра соответствуют тем числам, которые мы изменяем. Количество рёбер, очевидно, не превосходит количества вершин (то есть 100) минус количество компонент связности. Рассмотрим компоненты связности этого графа. Пусть одна них состоит из двух вершин. Это означает, что есть строчка и столбец, в которых изменили ровно по одному числу, причём это число стоит на их пересечении. Но тогда и после изменения суммы чисел в них равны, противоречие. Итак, в графе нет компонент связности из двух вершин. Есть не более одной компоненты связности из одной вершины, так как такая компонента связности соответствует строке или столбцу, в которой не изменено ни одно число. Следовательно, 99 вершин нашего графа разбиваются на компоненты связности из хотя бы трёх вершин, таких компонент связности не более 33. Итого мы имеем не более 34 компонент связности, а значит, не менее 100–34 = 66 рёбер. Пример. Выделим один столбец, в которым ничего не меняется, и разобьём остальные 49 столбцов и 50 строчек на 33 тройки из столбца и двух строк или строки и двух столбцов — это сделать несложно. Рассмотрим одну тройку — пусть это строка и два столбца. Изменим числа в двух клетках на их пересечении, прибавив к ним 10a и 10b. Все 66 показателей степеней во всех тройках сделаем разными, что обеспечит различные изменения.

Старшая группа, вторая лига, 4 тур, решения и указания для жюри.

1. Найдите наибольшее и наименьшее возможное значение суммы = a/b+c/d, где abcd — натуральные числа, удовлетворяющие условиям a+c = 20202, b+d = 20200.

Ответ= 20201+1/20199 и m = 1+20201/20199=1/141+20201/20059. Решение. Ответ: Пусть b ³ d, тогда 1/d ³ 1/b , а тогда если мы будем «перекидывать» 1 из a в b и обратно, то чем больше a тем S меньше и чем меньше a тем S больше. Таким образом и для максимуму и для минимума одно из чисел a и c должно быть 1. То есть и максимум достигается на 1/b+20201/d , а минимум на 20201/b+1/d . Максимум. Если d не равно 1, то есть оба и b и d больше 1, то сумма a/b+c/≤ 20202/2<M. Если = 1, то получаем S=1/20199+20201 = MМинимум= 20201/b+1/d=1/d+20201/(20200–d) = 20200(d+1)/(d(20200–d)), пусть d+1=x , тогда минимум достигается, когда у (x–1)(20201–x)/x достигается максимум. (x–1)(20201–x)/= 20201–x–20201/x , а здесь максимум, когда у x+20201/x минимум. а он достигается, когда x=142 . То есть d=141 , то есть b=20200–141=20059 и минимум 1/141+20201/20059

2. В каждом из 100 сосудов лежит по 100 камней. Два игрока ходят по очереди. Каждый игрок при своем ходе должен взять по одному камню из 98 сосудов. Игрок, после хода которого два сосуда оказались пусты, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его партнер?

Ответ: Второй. Решение. Пусть второй игрок повторяет ходы первого (то есть каждым ходом берет камни из тех сосудов, из которых их только что брал первый). Очевидно, при такой стратегии второго игрока после каждого его хода количество камней во всех сосудах оказывается четным, а после каждого хода первого игрока количество камней в тех сосудах, из которых он берет камни, оказывается нечетным (следовательно, не 0). Поэтому первый игрок выиграть не может. С другой стороны, игра закончится не более чем за 102 хода, поэтому второй выиграет.

3. На стороне AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом B взята точка D такая, что CD = AB, а на стороне BC — точка E такая, что DB = DE. Известно, что ÐCAB = 2ÐABD. Найдите угол EDC.

Ответ: ÐEDC = 22,5°. Решение. Пусть DH — высота треугольника BDE. Тогда ÐCAB = ÐHDC и ÐABD = ÐBDH = ÐHDE = ÐEDC. Следовательно, треугольники ABD и EDC равны по двум сторонам и углу между ними. Значит Ð= ÐA = 45°, а ÐEDC = 22,5°.

4. Известно, что . Найдите .

ОтветРешение.

5. Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точка K — середина диагонали BD. Оказалось, что AK — биссектриса угла CAD и AD = 3BC. Докажите, что AC = 2BC.

Решение. Пусть KLM — середины отрезков ABLAC и BD соответственно. Длины сторон AD и BC обозначим через a и b. Поскольку ÐLMA = ÐMAD = ÐCAM, получаем, что AL = LM. А поскольку AB = BM, получаем, что AL — медиана в треугольнике ABM. Но MK — тоже медиана в этом треугольнике, значит K — точка пересечения медиан. Следовательно, LK/MK = 1:3. Поскольку LK = BC/2, а MK = AD/2, получаем утверждение задачи.

6. Найдите все такие натуральные m и простые p, что число  — тоже натуральное.

Ответm = 1, p = 3. Решение. Прибавляя к нашей дроби 1, узнаем, что число d = 7m–2p — делитель числа 2×7m, а вычитая — что делитель числа 4p. Поскольку d, очевидно, нечетно, оно является общим делителем 7m и p. Таким образом, возможны два случая: d = 1 или d = p = 7. В первом случае 7m–1 = 2p делится на 3, поэтому p = 3, откуда m = 1 и n = 1. Во втором случае 7m–14 = 7, поэтому 7m = 21, что невозможно.

7. Из чисел 1, 2, ..., 37 произвольным образом выбраны 13 различных. Докажите, что из этих 13 чисел можно выбрать четыре таких, что сумма двух из них равна сумме двух других.

Решение. Из 13 различных чисел можно составить 78 пар. Каждая из 78 их сумм не превосходит 37+36 = 73. Поэтому найдутся две различные пары с одинаковыми суммами. Легко видеть, что эти пары состоят из четырех разных чисел.

8. Сколькими способами можно раскрасить клетки прямоугольника 2´2011 в два цвета так, чтобы никакие три клетки одного цвета не образовывали уголок из трех клеток?

ОтветРешение.

 


Категория: Математика | Добавил: Админ (03.10.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar