Тема №5981 Решение задач по математике Райхмист (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по математике Райхмист (Часть 2) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по математике Райхмист (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

Сложность * 1»
9.151. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб так. что
этот угол у них общий и все вершины ромба лежат на сторона*
треугольника. Найти длину большего катета, если длина стороны ромба
равна Ш .
5
9.152. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квад-
рат так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на
катетах. Найти длину катета, если длина стороны квадрата равна ^ Д .
9.153. В прямоугольный треугольник с углом 30° вписан ромб так, что
этот угол у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах тре­
угольника. Найти длину гипотенузы треугольника, если длина стороны
ромба равна 12 Д -18.
9.154. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан ромб
так, что один острый угол у них общий и все вершины ромба лежат на
сторонах треугольника. Найти длину стороны ромба, если длина катета
2 + Д
равна — ^— .
9.155. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан квадрат так,
что прямой угол у них общий и все вершины квадрата лежат на сторо­
нах треугольника. Найти длину большего катета, если длина стороны
квадрата равна
. 9.156. В прямоугольный треугольник с углом 30° вписан квадрат так,
что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на кате­
тах. Найти длину большего катета, если длина стороны квадрата равна
1 2 -Д Т .
9.157. В прямоугольный треугольник с углом. 60" вписан ромб так, что
этот угол у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах
треугольника. Найти длину стороны ромба, если длина большего катета
равна 9 Д .
9.158. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квад­
рат так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на
катетах. Найти длину стороны квадрата, если длина катета равна 18 Д .
9.159. В прямоугольный треугольник с углом 30° вписан ромб так. что
этот угол у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах
треугольника. Найти длину стороны ромба, если длина большего катета
равна 9 ( Д + 2).
9.160. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан ромб
так. что острый угол у них общий и все вершины ромба лежат на
сторонах треугольника. Найти длину гипотенузы, если длина стороны
ромба равна 0,6 ( Д - I ].
166
Сложность « 1»
9
9.161. Диагональ прямоугольной трапеции, равная , делит
трапецию на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Найти
периметр трапеции.
9.162. Вычислить площадь прямоугольной трапеции, если ее острый
угол равен 60й, меньшее основание равно 4/ Г и большая боковая
сторона равна 2 • ( 4УТ ).
9.163. Найти периметр равнобочной трапеции, если ее основания
относятся как 1:3, а высота равна меньшему основанию и равна
9.164. В равнобочной трапеции меньшее основание равно боковой
стороне, а угол при основании равен 45°. Найти площадь трапеции, ес­
ли ее высота равна — -------.
9.165. В трапеции, площадь которой равна 161, высота равна 7, а
разность параллельных сторон равна 11, найти длину большего осно­
вания.
9.166. Основания равнобочной трапеции равны 13 и 17. Найти пло­
щадь трапеции, если ее диагонали взаимно перпендикулярны.
9.167. В прямоугольной трапеции боковая сторона равна меньшему
основанию и составляет с ним угол 120°. Найти периметр трапеции, ес­
ли ее высота равна 27(7 Д — 3).
9.168. В прямоугольной трапеции боковая сторона равна меньшему
основанию и составляет с ним угол 120°. Найти площадь трапеции, если
се меньшее основание равно 2
9.169. В равнобочной трапеции боковая сторона равна основанию.
Найти периметр трапеции, если угол при основании равен 60°, а высота
равна 18 J j .

9.172. Найти площадь сектора, если радиус круга равен 10, а цент­
ральный угол содержит 1,1 рад.
9.173. Вычислить углы, составленные касательной и хордой, если
хорда делит окружность на две части, относящиеся как 3:7.
9.174. Определить площадь сектора, если его радиус равен 6, а цент­
ральный угол составляет 3 рад.
9.175. Вписанный в окружность угол опирается на дугу, длина кото­
рой равна 10. Чему равен этот угол, если радиус круга равен 5?
9.176. Вписанный угол на 20° меньше центрального угла, опирающе­
гося на ту же дугу. Найти эти углы.
9.177. Секущая и касательная, выходящие из одной точки, соот­
ветственно равны 40 и 20. Секущая удалена от центра на 8. Определить
радиус круга.
9.178. Вычислить вписанный угол, опирающийся на дугу, равную
длины окружности.
9.179. Найти длину дуги сектора, если его площадь равна 15, а ра­
диус кругл равен 6.
9.180. Площадь сектора радиуса 12 равна 216. Определить его цент­
ральный угол.
Сложность « Iо
9.181. Величина угла АВС, образованного хордами АВ и ВС, равна 60°.
Найти величину дуги АВ (в градусах), если АВ = 1В€.
9.182. Хорда АВ делит окружность на две дуги, одна из которых рав­
на 80°. а другая делится хордой АС пополам. Найти величину угла ВАС.
9.183. Определить угол между хордой АВ и диаметром ВС, если хорда
ЛЯ стягивает дугу в 54°.
9.184. Хорды АВ и АС стягивают дуги, величины которых соответст­
венно равны 116° и 24°. Найти величину угла ВАС, если хорды лежат по
разные стороны от центра окружности.
9.185. Величина угла АВС, образованного хордами АВ и ВС, равна 96°.
Найти величину дуги АВ (в градусах), если АВ = ВС.
9.186. Окружность разделена в отношении 3 : 8 : 4, и точки деления
соединены между собой хордами. Найти больший угол полученного
треугольника.
9.187. Хорды АВ и ВС взаимно перпендикулярны. Найти величину
Угла ВСА, если хорда ВС стягивает дугу в 46°.
9.188. Хорды АВ и ВС стягивают дуги, величины которых соответст­
венно равны 168° и 144". Найти величину угла АВС, если хорды лежат по
Сану сторону от центра окружности.
9.189. Хорда делит окружность на две дуги, разность между величи-
Чами которых равна 40". Найти величину бблъшего вписанного угла,
опирающегося на эту хорду.
169
9.190. Величина угла между хордами АВ и ВС равна 164“. Найти u<r
личину центрального угла, опирающегося на хорду АВ, если АВ = ВС.
Сложность «/ »
9.191. Расстояние от центра окружности до хорды равно 5 Д
и вдвое
меньше радиуса. Найти длину хорды.
9.192. Хорда, длина которой равна 7 / Т Т . стягивает дугу, величина
которой равна 120°. Найти длину радиуса окружности.
7 Д 9.193. Найти расстояние от центра окружности радиуса ло
хорды, если ее длина равна длине радиуса.
J2 +1
9.194. В сектор АОВ с радиусом R — и углом 90° вписана
окружность, касающаяся отрезков ОА, ОВ и дуги АЁ. Найти радиус впи­
санной окружности.
9.195. Найти расстояние от центра окружности радиуса 5 Д
до
хорды, если она стягивает дугу, величина которой равна 90°.
9.196. Длина хорды равна З Д . Найти расстояние от центра окруж­
ности до хорды, если она стягивает дугу в 120°.
9.197. Найти длину хорды, если она стягивает дугу окружности вели- 3 д чиной в 90°. а радиус окружности равен ,, ■.

9.198. В сектор АОВ, дуга которого содержит 60°, а радиус равен 18,6.
вписана окружность, касающаяся отрезков ОА, ОВ и дуги АВ. Найти
радиус окружности.
9.199. Найти расстояние от центра окружности радиуса З Д 7 до
хорды, если она стягивает дугу, величина которой равна 60°.
9.200. Расстояние от центра окружности до хорды равно
меньше длины хорды. Найти длину радиуса.
7 Д
и вдвое
Сложность «2 »
. 9.201. Из одной точки к окружности проведены две касательные
Длина каждой касательной равна 13, а расстояние между точками каса­
ния равно 24. Найти длину радиуса окружности.
9.202. Две окружности касаются друг друга извне. Две их общие
касательные пересекаются под углом 60°. Найти радиус большей окруж­
ности, если радиус меньшей окружности равен 13,5.
170
9.203. Из точки А к окружности радиуса 7,5 проведены две касатель­
ные длиной 10. Найти расстояние от точки А до хорды, соединяющей
доки касания.
9.204. Две окружности, каждая из которых вписана в острый угол 60°,
касаются друг друга внешним образом. Найти расстояние от точки
касания окружностей до стороны угла, если больший радиус равен 23.
9.205. Через концы хорды АВ проведены две касательные, пересека­
ющиеся в точке С. Найти длину высоты треугольника АВС, опушенной
из вершины С, если АС = 12 и АВ = 14,4.
9.206. Найти расстояние между центрами двух одинаковых пересека­
ющихся окружностей радиуса 17, если длина их обшей хорды равна 16.
9.207. В острый угол вписана окружность радиуса 1,3. Найти рассто­
яние от вершины угла до точки касания, если расстояние между точка­
ми касания равно 2,4.
9.208. Две окружности касаются друг друга извне. Их общая каса­
тельная образует с прямой, проходящей через центры окружностей, угол,
равный 30°. Найти радиус большей окружности, если расстояние от
точки касания окружностей до их обшей касательной равно 14,25.
9.209. Через концы хорды, длина которой 30, проведены две каса­
тельные до пересечения в точке А. Найти расстояние от точки А до хор­
ды, если радиус окружности равен 17.
9.210. Из точки А к окружности проведены касательная и секущая,
проходящая через центр окружности. Ближайшая к А точка пересечения
секущей с окружностью С соединена с точкой касания В. Найти длину
ВС. если угол ВАС равен 30° и расстояние от точки А до центра окруж­
ности равно 15.
Сложность «2 »
9.211. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их
центров под углами 90° и 60°. Найти радиус большей окружности, если
центры окружностей лежат по разные стороны от хорды, а расстояние
1 + д
между центрами равно — j — .
9.212. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их
Центров под углами 90" и 120°. Найти расстояние между центрами ок­
ружностей, лежащими по разные стороны от хорды, если длина хорды
равна 3 — Д .
9.213. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их
Центров под углами 60° и 90°. Найти радиус большей окружности, если
Центры окружностей лежат по одну сторону от хорды, а расстояние ме­
жду центрами равно 3( Д — 1).
9.214. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их
Центров под углами 90° и 120°. Найти расстояние между центрами ок­
171
ружностей, лежащими по одну сторону от хорды, если длина хорды р;щ-
з+ Д
на — — ■
9.215. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их
центров, расположенных по разные стороны от хорды, под углами 60“ и
120°. Найти расстояние между центрами окружностей, если меньший
радиус равен 7.
9.216. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их
центров под углами 60° и 120°. Найти расстояние между центрами ок­
ружностей. лежащими по одну сторону от хорды, если меньший радиус
равен 19.
9.217. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их
центров под углами 90° и 60°. Найти длину хорды, если центры окруж­
ностей расположены по разные стороны от хорды, а расстояние между
центрами равно —-^ — . Д-1
9.218. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их
центров под углами 90° и 60°. Найти длину хорды, если центры окруж­
ностей лежат по одну сторону от хорды, а расстояние между центрами
равно 9 (/ Г — I).
9.219. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их
центров под углами 90° и 120°. Найти радиус меньшей окружности, если
центры окружностей лежат по разные стороны от хорды, а расстояние
между центрами равно 2( JJ + 1).
9.220. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их
центров под углами 90° и 120°. Найти радиус меньшей окружности, если
7 Д - !
расстояние между центрами окружностей равно — — ----- - , а центры
лежат по одну сторону от хорды.

9.221. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 40".
Определить острый угол между радиусом описанной окружности, про­
веденным в вершину прямого угла, и гипотенузой.
9.222. Окружность радиуса 1 + J2 описана около равнобедренного
прямоугольного треугольника. Найти радиус вписанной в этот треуголь­
ник окружности.
9.223. В окружность радиуса / Г вписан прямоугольный треугольник
так, что один из катетов в УТ раз ближе к центру, чем другой. Опре­
делить больший катет.
172
9.224. В прямоугольном треугольнике АВС л В = 30е, Z C = 90°, О —
центр вписанной окружности. Отрезок ОА равен 12. Вычислить радиус
еписанной окружности.
9.225. Окружность радиуса б / Т описана около равнобедренного
уреугольника с углом 120°. Найти его основание.
9.226. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямо­
угольны й треугольник, равен /2-1. Найти длину высоты треугольника.
9.227. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а угол
при основании равен 30°. Определить диаметр описанной окружности.
9.228. Окружность радиуса 3 - / Т описана около прямоугольного
уреугольника с острым углом 30°. Найти его периметр.
9.229. Сумма меньшего катета и гипотенузы равна 3. Острый угол
прямоугольного треугольника равен 30°. Найти радиус описанной ок­
ружности.
9.230. Острый угол между радиусом описанной окружности, прове­
денным в вершину прямого угла, и меньшим катетом прямоугольного
треугольника равен 52°. Определить меньший острый угол треугольника.
Сложность «2 »
9.231. Окружность касается одного из катетов равнобедренного пря­
моугольного треугольника и проходит через вершину противолежащего
острого угла. Найти радиус окружности, если ее центр лежит на гипо-
тенузе. длина которой равна — * 1 + лj — .
9.232. Окружность касается большего катета прямоугольного тре­
угольника с углом 60° и проходит через вершину этого угла. Найти пе­
риметр треугольника, если центр окружности лежит на гипотенузе, а
Длина ее радиуса равна ? ■ ^ .
9.233. Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного
треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник,
равен 3, а меньший катет равен 10.
9.234. Окружность касается большего катета прямоугольного тре­
угольника и проходит через вершину противолежащего острого угла.
Найти радиус окружности, если ее центр лежит на гипотенузе, а длины
катетов равны 3 и 2 /ПГ .
9.235. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,
Раасн 2. Один из катетов равен 14. Найти гипотенузу.
9.236. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной ок­
ружности делит гипотенузу на отрезки 3 и 10. Найти больший катет.
173
9.237. Точка на гипотенузе прямоугольного треугольника, равноул.1
ленная от обоих катетов, делит ее на отрезки 6 и 8. Найти ббльшии
катет.
9.238. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если радиус
вписанной окружности равен 3. а один из катетов равен 8
9.239. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,
равен 4. Один из катетов равен 9. Найти второй катет.
9.240. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной ок­
ружности делит гипотенузу на отрезки 5 и 12. Найти меньший катет.
Сложность «2»
9.241. В треугольнике АВС величина угла ВАС равна 60", а радиус ок­
ружности с центром в точке О. описанной около треугольника, равен
* /3 . Найти плошадь треугольника ОВС.
9.242. В треугольнике АВС величины углов ВАС и АВС равны соот­
ветственно 30° и 45°. Найти плошадь четырехугольника АОВС, если О —
центр окружности радиуса J2-JT . описанной около треугольника.
9.243. Найти радиус описанной около треугольника АВС окружнос­
ти, если величина угла ВАС равна 60°. а расстояние от центра описан­
ной окружности до стороны ВС равно 1,3.
9.244. В треугольнике АВС величины углов ВАС и АВС равны соот­
ветственно 30" и 45°. Найти периметр четырехугольника АОВС, если О
— центр описанной около треугольника АВС окружности, а ее радиус
равен 3 — J2
9.245. В треугольнике АВС длина стороны ВС равна длине радиуса
описанной окружности. Найти величину угла ВАС (в градусах).
9.246. В треугольнике АВС величина угла АСВ равна 120°. Найти
длину стороны АВ, если радиус описанной окружности равен JT5 .
9.247. В треугольнике АВС длина стороны ВС равна 2/2 , величина
угла ВАС равна 45°. Найти радиус окружности, описанной около трс
угольника.
9.248. В треугольнике АВС величины углов ВАС и АВС равны соот­
ветственно 15" и 45°. Вычислить косинус угла АОВ, если О — центр
описанной около треугольника окружности.
9.249. Около треугольника АВС с острым углом ВАС, величина кото­
рого равна 45". описана окружность с центром в точке .0. Найти ее ра
диус, если плошадь треугольника ОВС равна 18.
9.250. В треугольнике АВС величина угла АВС равна 45°. Вычислить
длину стороны АС, если радиус окружности, описанной около треуголь
ника, равен /К .
174
Сложность *2»
9.251. В треугольнике АВС длина стороны АС равна
15
Vя ’
величина
уща АВС равна 60°, а периметр треугольника равен -j=-. Найти пло-
щяпь вписанного в треугольник круга.
9.252. Длина медианы прямоугольного треугольника, проведенной к
5 24 тпотенузе, равна —р - . Периметр треугольника равен —=■ . Найти пло-
Vя Vя
щаяь вписанного в треугольник круга.
9.253. Периметр треугольника АВС равен 9. радиус вписанной в этот
треугольник окружности равен J J . Найти расстояние от центра впи­
санной окружности до вершины В, если длина стороны АС равна 3,5.
9.254. В прямоугольном треугольнике расстояние от вершины пря­
мого угла до центра вписанной окружности равно J2 , а радиус описан­
ной окружности равен 2,5. Найти периметр треугольника.
9.255. В треугольнике АВС длина стороны АС равна б У Т , величина
угла АВС равна 60°, а периметр треугольника равен 14УТ. Найти рас­
стояние от центра вписанной в треугольник окружности до вершины В.
9.256. В треугольнике АВС длина стороны АС равна 13, величина угла
АВС равна 120°, а радиус вписанного круга равен J J . Найти периметр
треугольника.
9.257. В прямоугольном треугольнике отрезки гипотенузы, на кото­
рые ее делит точка касания вписанной окружности, равны 2 и 3. Найти
радиус вписанной окружности.
9.258. Периметр прямоугольного треугольника равен 24, а радиус
описанной около него окружности равен 5. Найти радиус вписанной
окружности.
9.259. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности
равен 3.5, а периметр треугольника равен 36. Найти радиус описанной
окружности.
9.260. В треугольнике АВС дано: АВ = ВС и АС = 10. Из середины D
стороны АВ проведен перпендикуляр DE к стороне АВ до пересечения с
ВС в точке Е и точка Е соединена с точкой А. Периметр треугольника
АВС равен 40. Найти периметр треугольника АЕС:

9.261. В треугольнике со сторонами 2, 3,5 и 4,4 на большей стороне
^ята точка, равноудаленная от двух других сторон. Найти длины отрез-
*°в, на которые эта точка делит большую сторону треугольника.
175
9.262. В равнобедренном треугольнике высота равна 32. а боковая
сторона относится к основанию как 2:1. Определить радиус вписанной
окружности.
9.263. В треугольнике со сторонами 5. 6 и 10 к меньшей стороне
проведены медиана и биссектриса. Найти расстояние между точками
пересечения медианы и биссектрисы с меньшей стороной.
9.264. Дан треугольник со сторонами 8, 12 и 12,3. Проведена окруж­
ность. касающаяся меньших сторон и имеющая центр на большей сто­
роне. Найти длины отрезков, на которые центр окружности делит боль­
шую сторону.
9.265. В прямоугольнике со сторонами 3 и 4,25 проведены биссект­
рисы двух углов, прилежащих к большей стороне. Найти расстояние ме­
жду точками пересечения противоположной стороны с биссектрисами.
9.266. В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит
высоту в отношении 5:3 (считая от вершины), а боковая сторона равна
8,5. Найти длину основания треугольника.
9.267. В прямоугольном треугольнике с катетами 18 и 24 из вершины
большего острого угла проведена биссектриса. Найти длину проекции
биссектрисы на больший катет.
9.268. В треугольник АВС вписан ромб BDEFтак, что вершины D, Е и
Улежат соответственно на сторонах ВС, АС и АВ. Найти длину отрезка
ЕС, если АВ = 3, ВС = 7, АС = 5.
9.269. В равнобедренном треугольнике радиус вписанного круга сос­
тавляет высоты, опущенной на основание. Найти длину боковой
стороны треугольника, если длина основания равна 11.
96 9.270. В прямоугольном треугольнике с катетами 4 и у из верши­
ны большего острого угла проведена биссектриса. Найти ее длину.
Сложность *2»
9.271. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла
В проведены медиана BE и высота ВК. Величина угла ВСА равна 60°.
Найти величину угла КВЕ.
9.272. В равнобедренном треугольнике длина боковой стороны равна
5, а площадь треугольника равна 12. На основании треугольника взята
точка М. Найти сумму расстояний от точки М до боковых сторон тре­
угольника.
9.273. В прямоугольном треугольнике величина угла, образованного
медианой и высотой, проведенными к гипотенузе, равна 16°. Найти ме­
ньший острый угол треугольника.
9.274. В равнобедренном треугольнике длина боковой стороны р а в н а
6. На основании треугольника взята точка М. Сумма расстояний от точ­
ки М до боковых сторон треугольника равна 5. Найти площадь тре­
угольника.
176
9.275. В прямоугольном треугольнике величина угла между медианой
Н высотой, проведенными к гипотенузе, равна 24°. Найти величину угла
между указанной высотой и большим катетом.
9.276. В равнобедренном треугольнике длина основания равна 9, а
величина угла при основании равна 30°. Из точки М, взятой на основа­
нии, опушены перпендикуляры на боковые стороны. Найти сумму длин
дох перпендикуляров.
9.277. В прямоугольном треугольнике АВС длина гипотенузы АС рав­
на Ю, угол при вершине В — прямой, точка £ — середина гипотенузы.
Величина угла ВЕС равна 120°. Из точки В опушена высота ВК на гипо­
тенузу. Найти длину отрезка АК гипотенузы.
9.278. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла
В проведены медиана BE и высота ВК. Найти площадь треугольника
ВКЕ, если ВК = 4 Л , а величина угла ВСА равна 30°.
9.279. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла
В проведены медиана BE и высота ВК. Длина КЕ равна I , а величина
угла ВАК равна 60°. Найти длину гипотенузы.
9.280. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла про­
ведены к гипотенузе медиана и высота. Найти острый угол, образован­
ный медианой и высотой, если один из острых углов треугольника ра­
вен 40"
Сложность «3 »
9.281. В треугольнике АВС величины углов ВАС и ВСА равны со­
ответственно 60° и 45°, а радиус описанной около него окружности ра­
вен / 3 -Д . Найти плошадь треугольника.
9.282. В треугольнике АВС величины углов ВАС и АВС равны соот­
ветственно 30° и 75°. Найти длину стороны АВ, если радиус описанной
около треугольника окружности равен 3[ Л - Л ) •
9.283. Вычислить площадь равнобедренного треугольника, если ра­
диус описанной окружности равен 4 Л . а длина отрезка прямой, сое­
диняющего середины основания и боковой стороны, в Л Р&3 меньше
РДДиуса описанной окружности.
9.284. В треугольнике АВС величины углов ВАС и ВСА равны соот­
ветственно 30° и 75°. Найти расстояние от центра описанной окружнос­
ти до стороны А С, если длина ВС равна 3^ Л + Л ) ■
9.285. В треугольнике АВС величины углов ВАС и ВСА равны соот-
■етственно 45° и 60°, а длина стороны ВС равна 4/ГТ. Найти плошадь
треугольника ВОА, где О — центр описанной около треугольника АВС
дружности.
12.» 177
9.286. В треугольнике АВС величины углов ВАС и ВСА равны соот-
ветственно 30° и 75°. Найти высоту треугольника, опушенную на сторо­
ну ВС. если радиус описанной около треугольника окружности равен
2-Д-
9.287. В треугольнике АВС расстояние от центра описанной окруж­
ности до стороны ВС равно Jb , а величины углов ВАС и АС В равны
соответственно 45° и 60е. Найти длину стороны АВ.
9.288. В треугольнике АВС величины углов ВАС и ВСА равны соот-
ветственно 45и и 60°. расстояние от центра описанной окружности ло
стороны ВС равно 3 - Д . Найти длину высоты треугольника, опушен­
ной на сторону ВС.
9.289. В треугольнике АВС величины углов ВАС и ВСА соответст­
венно равны 45° и 60°. а радиус описанной окружности равен Д - Д
Найти длину стороны АС.
9.290. В треугольнике АВС величины углов ВАС и ВСА равны соответственно 45° и 60й, а длина стороны АС равна — —— . Найти радиус окружности, описанной около треугольника.

Сложность «3 »
9.291. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с
основанием 8 и боковой стороной 6. проведена касательная, параллель­
ная основанию. Найти длину отрезка касательной, заключенной между
сторонами треугольника.
9.292. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с
основанием 16 и боковой стороной 17, проведена касательная, парал­
лельная высоте треугольника. Найти длину отрезка касательной, заклю­
ченной между сторонами треугольника.
9.293. Сторона ромба равна 10. большая диагональ равна 16. К ок­
ружности. вписанной в ромб, проведена касательная, параллельная его
меньшей диагонали. Найти длину отрезка касательной, заключенной
между сторонами ромба.
9.294. Около окружности радиуса Д описана равнобочная трапе­
ция с большим основанием 6. Боковые стороны трапеции продолжены
до их пересечения. Найти длину боковой стороны полученного равно­
бедренного треугольника.
9.295. В равнобедренный треугольник с основанием 15,5 вписана ок­
ружность. К окружности проведена касательная, параллельная основа­
нию треугольника. Найти боковую сторону треугольника, если длина
отрезка касательной, заключенного между сторонами треугольника, рав­
на 10,5.
9.296. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник f
основанием 12 и высотой 8, проведена касательная, параллельная осно-
178 •
ggiiiiio- Найти площадь трапеции, отсекаемой этой касательной от тре-
«щльника.
f.297. Полуокружность, центр которой лежит на большем основании
0 прямоугольной трапеции ABCD, касается остальных сторон трапе­
ции. Стороны АВ и DC продолжены до пересечения в точке М. Найти
иеньшее основание трапеции, если AM = 6 и DM = 10.
9.298. В ромб, диагонали которого равны 12 и 16, вписана окруж­
ность. Найти расстояние от точки касания окружности со стороной
ромба до меньшей диагонали.
9.299. В равнобедренный треугольник с боковой стороной 2,5 и ос­
нованием 3 вписана полуокружность гак. что она касается боковых сто­
рон, а центр окружности лежит на основании. Найти расстояние между
точками касания полуокружности с боковыми сторонами треугольника.
9.300. В ромб, длины диагоналей которого равны JJ + I и /3 - I ,
вписана окружность. Точки касания окружности со сторонами ромба
Последовательно соединены. Найти площадь полученного четырехуголь­
ника.
Сложность *3»
9.301. Определить боковую сторону равнобочной трапеции, описан­
ной около окружности, если острый угол при основании трапеции ра­
вен л/3, а площадь трапеции равна 288 У Т .
9.302. Равнобочная трапеция описана около окружности. Боковая
сторона трапеции делится точкой касания на отрезки длиной 12 и 48.
Найти площадь трапеции.
9.303. Площадь равнобочной трапеции, описанной около окружнос­
ти, равна 144,5. Найти радиус окружности, если угол при основании
трапеции равен к/6.
9.304. Площадь равнобочной трапеции, описанной около окружнос­
ти, равна 128 У Т . Найти боковую сторону трапеции, если острый угол
при основании трапеции равен л/З.
9.305. Около окружности радиуса 2 УТ описана равнобочная трапе­
ция. Определить площадь трапеции, если ее высота вдвое больше мень­
шего из оснований трапеции.
9.306. Равнобочная трапеция описана около окружности. Большее
основание трапеции видно из центра круга под углом 120°. Найти боко­
вую сторону трапеции, если ее площадь равна 50 УТ .
9.307. Площадь равнобочной трапеции, описанной около окружное-
равна 162, а высота трапеции вдвое меньше ее боковой стороны.
“ айти радиус окружности.
9.308. Площадь равнобочной трапеции, описанной около окружное-
равна 98 УЗ . Найти среднюю линию трапеции, если угол при мень-
Ц|см основании трапеции равен 120°.
U* 179
9.309. Определить среднюю линию трапеции, описанной около оц.
ружности. если площадь трапеции равна 312,5, а угол при основании
трапеции равен 30°.
9.310. Определить высоту равнобочной трапеции, описанной около
окружности, если площадь трапеции равна 242, а большее основание
трапеции видно из центра окружности под углом 150°.
Сложность *3»
9.311. В выпуклом равностороннем шестиугольнике ABCDEF углы
при вершинах А, С и £ — прямые. Найти плошадь шестиугольника, ес­
ли его сторона равна з у г т г .
9.312. В выпуклом равностороннем шестиугольнике ABCDEF со сто­
роной * * углы при вершинах В и F — прямые. Найти пло-
^ 4 + Д + Д
щадь шестиугольника, зная, что СЕ — АВ.
9.313. В выпуклом равностороннем пятиугольнике ABCDE углы при
вершинах В и £ — прямые. Найти плошадь пятиугольника, если его
сторона равна 5/ Г / Г •
9.314. В выпуклом равностороннем шестиугольнике ABCDEF угол
при вершине F — прямой. Найти плошадь шестиугольника, если тре­
угольник АСЕ, образованный диагоналями, — равносторонний со сто­
роной
9.315. В выпуклом равностороннем шестиугольнике ABCDEF углы
при вершинах А и £ — прямые, а угол при вершине С равен 60°. Найти
плошадь шестиугольника, если его сторона равна 1 ■ ■ .
У Д + Д +4
9.316. В выпуклом равностороннем шестиугольнике ABCDEF углы
при вершинах В и F — прямые, а угол при вершине D равен 120°. Найти
площадь четырехугольника ACDE, если сторона шестиугольника равна
5 ,//15 - Д .
9.317. В выпуклом равностороннем шестиугольнике ABCDEF со сто­
роной 5 ^ 3 - Д каждый из углов при вершинах А, С и F составляет
150°. Найти площадь шестиугольника.
9.318. В выпуклом равностороннем пятиугольнике ABCDE угол при
вершине А — прямой, а углы при вершинах С и D равны между собой
Найти площадь четырехугольника BCDE, если сторона пятиугольника
равна <У5бД-77 .
180
9.319. В выпуклом равностороннем пятиугольнике ABCDE со сторо-
ной 7 ^ 2 Д -Д угол при вершине А — прямой, а сторона ВС перпен­
дикулярна диагонали BE. Найти площадь четырехугольника BCDE.
9.320. В выпуклом равностороннем шестиугольнике ABCDEF угол
при вершине В — прямой, а сторона CD перпендикулярна диагонали СА.
Найти площадь четырехугольника ACDF, если диагональ DF равна
стороне шестиугольника и равна , / 2 Д - Д .
Сложность «г3»
9.321. В прямоугольнике ABCD (ВС // AD) точка М делит диагональ
АС в отношении 4 : ( (AM : МС = 4 : (). Найти отношение площади
треугольника MCD к площади прямоугольника ABCD.
9.322. В параллелограмме ABCD (ВС // AD) точка К делит диагональ
АС в отношении 3 : I (АК : КС = 3 : I). Найти отношение плошади
треугольника AKD к плошади параллелограмма ABCD.
9.323. В трапеции ABCD (ВС // AD) точка М делит сторону CD в
отношении I : 3 (СМ : MD =1:3). Известно, что AD = 2ВС. Найти
отношение площади треугольника ACM к площади трапеции ABCD.
9.324. В прямоугольнике ABCD (ВС//AD) точка М делит сторону АВ
в отношении 2 : I (AM : МВ = 2 : I), а точка К — середина стороны ВС.
Найти отношение площади треугольника МВК к площади прямоуголь­
ника ABCD.
9.325. В параллелограмме ABCD (ВС // AD) точка К делит диагональ
АС в отношении 2 : I (АК : КС = 2 : I), а точка М — середина стороны
АВ. Найти отношение плошади треугольника AMD к плошади паралле­
лограмма ABCD.
9.326. В трапеции ABCD (В С // AD) точка М делит диагональ АС в
отношении I : 2 (AM : МС =1:2). Найти отношение площади треуголь­
ника AMD к площади трапеции ABCD.
9.327. В прямоугольнике ABCD (ВС // AD) точка М делит диагональ
АС в отношении I : 4 (МС = 4АМ ), а точка К делит сторону CD в
отношении 2 : 3 (3 СК ~ 2KD). Найти отношение площади треугольника
СМК к площади прямоугольника ABCD.
9.328. В параллелограмме ABCD (ВС// AD) точка М делит диагональ
АС в отношении 2 : 3 (3AM = 2МС ), а точка К делит сторону CD в от­
ношении I : 2 (2 СК = KD). Найти отношение площади треугольника
СМК к плошади параллелограмма ABCD.
9.329. В трапеции ABCD (ВС // AD) точка М делит диагональ АС в
отношении I : 3 (3 AM = МС), а точка К — середина DC. Найти отно­
шение площади треугольника МСК к площади трапеции ABCD, если
AD = 2 ВС
181
9.330. В трапеции ABCD (ВС // AD) точка М делит диагональ н с
пополам, а точка К делит сторону CD в отношении I : 3 (3СК = KDy
Найти отношение площади треугольника MKD к площади трапеции
ABCD. если AD = 4ВС.
Сложность « 3»
9.331. В трапеции ABCD (ВС // AD) точка К делит основание AD и
отношении I : 3 (KD = ЪАК). Точка М есть точка пересечения ВК с диа­
гональю АС. Найти отношение площади треугольника АМК к площади
трапеции ABCD, если AD = 2ВС.
9.332. В прямоугольнике ADCD (AD // ВС) дано: АВ = 3, AD = 4.
Биссектриса угла CAD, образованного диагональю АС и стороной AD,
пересекает диагональ BD в точке К, а сторону CD в точке N. Найти
плошадь треугольника KND.
9.333. В параллелограмме ABCD (AD // ВС) проведена биссектриса
угла BAD. К — точка пересечения биссектрисы с диагональю BD, а М —
точка пересечения биссектрисы со стороной параллелограмма ВС. Найти
отношение плошади треугольника ВКМ к плошади параллелограмма
ABCD, если АВ : AD =1:3.
9.334. В трапеции ABCD (ВС//AD) точка N делит AD в отношении
5 : I (AN = 5ND). Точка К есть точка пересечения BD и NC. Найти
отношение плошади треугольника ABD к плошади трапеции ABCD, если
2ВК= 3 KD.
9.335. В параллелограмме ABCD (AD // ВС) точка М — середина АВ, а
точка К делит диагональ BD так, что ВК = 3KD. Через точки М и К
проведена прямая, которая пересекает сторону DC в точке N. Найти
отношение плошади треугольника KND к площади параллелограмма
ABCD.
9.336. В прямоугольнике ABCD (AD// ВС) точка М делит сторону АВ
в отношении 4 : I (AM = 4МВ), а точка К делит диагональ BD в отно­
шении 3 : I (ВК : KD = 3 : I). Через точки М и К проведена прямая,
которая пересекает сторону CD в точке N. Найти отношение плошали
треугольника KND к плошади прямоугольника ABCD.
9.337. В трапеции ABCD (ВС//AD) точка /Уделит AD в отношении
5 : I (AN — 5ND). Точка К есть точка пересечения BD и NC. Найти
отношение плошади треугольника ABD к плошади трапеции ABCD, если
2ВК = ЪКО.
9.338. В трапеции ABCD (ВС Ц AD) точка К — середина AD, точка N
— точка пересечения BD и КС. Найти отношение плошади треуголь­
ника DCN к плошади трапеции ABCD, если AD = 2ВС.
182
9.339. В равнобокой трапеции ABCD ( ВС // AD) дано: C7V 1 AD.
Точка К ( точка пересечения высоты C7V и диагонали BD) делит диа-
рональ BD в отношении 3 : I (3KD = ВК). Найти плошддь трапеции, если
пдошадь треугольника NKD равна ^ .
9.340. В равнобокой трапеции ABCD (ВС // AD), BN — высота, О —
точка пересечения диагоналей BD и АС, причем OD = ЪВО, точка К —
точка пересечения высоты BN и диагонали АС Найти отношение пло­
щади треугольника AKN к площади трапеции ABCD.
Сложность *3»
9.341. В прямоугольнике ABCD (ВС//AD) точка /Уделит сторону CD
в отношении I : 3 (3CW = ND). Прямая AN пересекает диагональ BD в
точке К. Найти площадь треугольника KND, если площадь прямоуголь­
ника равна 56.
• 9.342. В параллелограмме ABCD (ВС // AD) точка N делит боковую
сторону CD в отношении I : 2 (2CN = ND). Прямая AN пересекает
диагональ BD в точке К. Найти отношение площади треугольника KND к
площади параллелограмма ABCD.
9.343. В трапеции ABCD (ВС // AD) точка N делит боковую сторону
CD в отношении 2 : 3 (3C7V = 2ND). Прямая AN пересекает диагональ BD
в точке К. Найти отношение плошали треугольника KND к площади
трапеции ABCD, если ЪВС = AD.
9.344. В прямоугольнике ABCD (ВС // AD) точка N делит сторону CD
в отношении 2 • 3 (3CD = 2ND). Прямая AN пересекает биссектрису угла
АВС в точке К, а прямая ВК пересекает сторону AD в точке L. Найти
отношение площади треугольника AKL к площади прямоугольника, если
AB :AD= I : 3.
9.345. В параллелограмме ABCD (AD // ВС) точка N делит сторону CD
в отношении I : 2 (CN : ND =1:2). Биссектриса угла АВС пересекает
AN в точке К, a AD в точке М. Найти отношение площади треугольника
АВК к плошали параллелограмма, если AD = 2АВ.
9.346. В трапеции ABCD (AD // ВС) точка N делит сторону CD в
отношении I : 2 (CN : ND =1:2). Высота трапеции, опушенная из
вершины В на основание AD, пересекает AN в точке М, a AD в точке К.
Найти отношение площади треугольника АМК к площади трапеции, если
AD= ЪВС.
9.347. В прямоугольнике ABCD (АВ// CD) точка /Уделит сторону CD
в отношении I : 2 (2CN = ND). Прямая AN пересекает диагональ BD в
точке К. Найти отношение площади треугольника KND к площади
прямоугольника, если ВС : АВ =2:3.
9.348. В параллелограмме ABCD (ВС // AD) точка N делит боковую
сторону CD в отношении I : 3 (3CN = ND). Прямая AN пересекает диа­
183
гональ BD в точке К. Найти плошадь параллелограмма, если площадь
треугольника KND равна 2.
9.349. В трапеции ABCD (AD // BQ точка О делит диагональ АС ъ
отношении 2 :1 (АО : ОС = 2 : I). Прямая ВО пересекает сторону CD в
точке N. Найти отношение площади треугольника CON к площади
трапеции, если AD : ВС = 3:2.
9.350. В прямоугольнике ABCD (ВС//AD) точка /Уделит сторону CD
в отношении I : 2 (2CN = ND). Прямая AN пересекает биссектрису угла
А ВС в точке К, а прямая В К пересекает сторону AD в точке L. Найти
плошадь прямоугольника, если плошадь треугольника ALK равна 3, и
AB.AD= 1:2.

10.001. Боковая поверхность куба равна 3. Чему равна длина диаго­
нали куба?
10.002. Ребро куба равно Найти объем прямого цилиндра.
вписанного в куб так, что его осью служит прямая, проходящая через
центры оснований куба.
10.003. Полная поверхность куба равна 3. Чему равна длина диаго­
нали грани'куба?
10.004. Диагональ грани куба равна 2/2 . Найти объем куба.
10.005. Ребро куба равно 5/2 . Найти расстояние от плоскости диа­
гонального сечения до не пересекающего его ребра.
10.006. Площадь основания куба равна 9. Найти его объем.
10.007. Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через диаго­
нали верхнего и нижнего оснований, равна 16/2 . Найти длину ребра
куба.
10.008. Объем куба равен 2/2 . Чему равен радиус окружности, опи­
санной около грани куба?
10.009. Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через три
несмежные вершины, равна 18/3. Найти длину ребра куба.
10.010. Диагональ куба равна ЗУЗ . Какова его полная поверхность?
Сложность *0»
10.011. Основанием призмы служит ромб со стороной 2 и острым уг­
лом 30°. Найти объем призмы, если ее высота равна 3.
10.012. Основанием призмы служит трапеция, средняя линия кото-
Р°й равна 7, а высота трапеции равна 4. Найти объем призмы, если ее
Иясота равна 0,5.
185
10.013. Основанием призмы является треугольник со сторонами 5 и 4
и углом 30й между ними. Найти объем призмы, если ее высота равна 0.2
10.014. Основанием призмы служит равнобочная трапеция с острыц
углом 45", боковой стороной 2 и средней линией 2 J2 . Найти объем
призмы, если ее высота равна 5.
10.015. Основание призмы — прямоугольник со сторонами 3 и 4
Найти объем призмы, если ее высота равна диагонали прямоугольника.
10.016. Основание призмы — квадрат со стороной bj 2 . Найти объем
призмы, если ее высота равна удвоенной диагонали квадрата.
10.017. В прямой треугольной призме две стороны основания равны
и 3. а синус угла между ними равен
л т
6
. Найти объем призмы.
если боковое ребро равно 4.
10.018. Основанием прямой призмы является равнобедренный пря­
моугольный треугольник с гипотенузой 2j2 . Найти объем призмы, ес­
ли боковое ребро равно катету.
10.019. Основание призмы — равносторонний треугольник, плошадь
которого равна 9 JJ. Найти объем призмы, если ее высота в /Т раз
больше стороны основания.
10.020. Основанием призмы служит равнобедренный треугольник,
основание которого равно 6, а боковая сторона равна 5. Найти объем
призмы, если ее высота равна высоте треугольника, опушенной на его
основание.
Сложность *0»
10.021. Основанием прямой призмы служит равнобедренный тре­
угольник, основание которого равно 8, а боковая сторона равна 5. Най­
ти плошадь боковой поверхности призмы, если ее высота равна высоте
треугольника, проведенной к его основанию.
10.022. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 7, а стороны
его основания равны 4 и 5. Найти плошадь боковой поверхности парал­
лелепипеда.
10.023. В правильной треугольной призме сторона основания равна 1.
а плошадь боковой поверхности равна З/ТТ . Найти длину диагонали
боковой грани призмы.
10.024. Основанием прямой призмы является равнобочная трапеция,
боковая сторона которой равна 5, а основания равны 7 и 9. Найти пло*
шаль боковой поверхности призмы, если ее высота равна 12.
10.025. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 26 и №•
а синус угла между ними равен . Определить плошадь боковой
поверхности параллелепипеда, если его объем равен 40.
10.026. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 3. 4
и 6. Найти плошадь боковой поверхности призмы, если ее высота равна
0,5.
186
10.027. Найти полную поверхность правильной треугольной призмы,
если сторона ее основания равна 4/У , а боковое ребро равно А JTT .
10.028. Основанием прямой призмы является равносторонний тре­
угольник, площадь которого равна 9 /Г . Найти площадь боковой по­
верхности призмы, если ее высота в 3 раза больше стороны основания.
10.029. В прямой треугольной призме стороны основания равны 25,
26 и 29, а боковая поверхность равна 1620. Найти высоту призмы.
10.030. Основанием прямой призмы служит равнобедренный прямо­
угольный треугольник, площадь которого равна 18. Найти площадь
боковой поверхности призмы, если ее высота равна 2 - /2 .
Сложность * I»
10.031. Определить объем прямоугольного параллелепипеда, диаго­
наль которого равна 13, а диагонали его боковых граней равны 4/То и
эЛТ.
10.032. Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда
составляют с плоскостью основания углы 30° и 60°. Вычислить величину
А - tg ф. где ф — угол между диагональю параллелепипеда и плос­
костью основания.
10.033. Найти объем прямого параллелепипеда, зная, что его высота
равна J J , диагонали составляют с основанием углы 45° и 60°, а основа­
нием служит ромб.
10.034. Угол между диагоналями основания прямоугольного парал­
лелепипеда равен 30°. Диагональ параллелепипеда составляет с плос­
костью основания угол 45°. Найти высоту параллелепипеда, если его
объем равен 2.
10.035. В прямоугольном параллелепипеде диагональ основания рав­
на 3 и составляет со стороной основания угол 45°. Через эту сторону и
противоположную ей сторону верхнего основания проведена плоскость,
образующая с плоскостью основания угол 45°. Найти площадь боковой
поверхности параллелепипеда.
10.036. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3
и 4. Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под
Углом 45°. Определить площадь боковой поверхности параллелепипеда.
10.037. В прямом параллелепипеде стороны основания, равные 2 и 8,
образуют угол 30°. Площадь боковой поверхности равна 10. Определить
объем параллелепипеда.
10.038. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 5j2 и об­
разует с плоскостью основания угол 45°. Найти площадь боковой повер­
хности параллелепипеда, если площадь его основания равна 12.
187
10.039. В основании прямого параллелепипеда лежит параллело.
грамм со сторонами I и 4 и острым углом 60°. Большая диагональ па­
раллелепипеда равна УЗЗ Определить его объем.
10.040. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 4
и 3. Диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания
угол, тангенс которого равен . Определить полную поверхность па­
раллелепипеда.
Сложность «2 »
10.041. Основанием наклонной призмы служит параллелограмм со
сторонами 3 и 6 и острым углом 45°. Боковое ребро призмы равно 4j2 и
наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найти объем призмы.
10.042. Определить объем правильной четырехугольной призмы, ес­
ли ее диагональ образует с плоскостью боковой грани угол 30°, а сторо­
на основания равна J2 .
10.043. Основанием призмы служит квадрат со стороной ^ 4 - /Т .
Одна из боковых граней также квадрат, другая — ромб с углом 60°. Оп­
ределить полную поверхность призмы.
10.044. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы
равна 4 и составляет с боковым ребром призмы угол 30°. Найти объем
призмы.
10.045. Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием
которой служит равносторонний треугольник со стороной 2, если боко­
вое ребро призмы равно стороне основания и наклонено к плоскости
основания под углом 60°.
10.046. Найти объем правильной треугольной призмы, если сторона
ее основания равна 2, а площадь боковой поверхности равна сумме
площадей оснований.
10.047. В правильной треугольной призме площадь сечения, прохо­
дящего через боковое ребро призмы перпендикулярно противолежащей
боковой грани, равна JТ , а сторона основания призмы равна 4/Т
Найти площадь полной поверхности призмы.
10.048. Основанием прямой призмы служит ромб, а площади ее диа­
гональных сечений равны 3 и 4. Найти площадь боковой поверхности
призмы.
10.049. Площади двух' боковых граней прямой треугольной призмы
равны 3 и 4, а угол между сторонами основания, через которые прохо­
дят эти боковые грани, равен 30°. Боковое ребро равно I. Найти объем
призмы.
10.050. Основанием прямой призмы служит равнобедренный тре­
угольник, основание которого равно J J J2 + I , а угол при нем равен 45е
188
дойти объем призмы, если ее боковая поверхность равна сумме
^лошадей оснований.
Сложность «3»
10.051. В кубе ABCDA'B'C'D' через вершины А, С и середину ребра
р’Р проведено сечение. Найти ребро куба, если площадь сечения равна
50/6
10.052. Через концы трех ребер прямоугольного параллелепипеда,
выходящих из одной вершины, проведена плоскость, образующая с
плоскостью основания угол, косинус которого равен ^ . Длины сторон
основания равны 5 и 3. Определить площадь полученного сечения.
10.053. В кубе ABCDA’B'C'D‘ через середины ребер A'D\ D'D и вер­
шину В' проведено сечение. Найти площадь сечения, если ребро куба
равно 4/5 .
10.054.. В правильной четырехугольной призме диагональ равна
2-^4 Д ) и наклонена к плоскости основания под углом 45°. Опреде­
лить площадь сечения, проходящего через две противоположные сторо­
ны оснований.
10.055. В кубе ABCDA'B'C'D' через середины ребер А'В\ В'В и D'C'
проведено сечение. Найти объем куба, если площадь сечения равна 8 Д .
10.056. В правильной четырехугольной призме ABCDA'B'C'D' через
вершину В' и диагональ основания АС проведено сечение. Найти его
площадь, если АВ = 4 Д , а угол наклона сечения к основанию равен 45°.
10.057. В кубе ABCDA'B'C'D’ через середины ребер А’В\ D'C' и верши­
ну В проведено сечение. Найти объем куба, если площадь сечения рав-
10.058. В прямоугольном параллелепипеде диагональ основания равна
5, а косинус угла, который она составляет с большей стороной нижнего
основания, равен 0,8. Через эту сторону и противоположную ей сторону
верхнего основания проведена плоскость, косинус угла наклона которой
к плоскости нижнего основания равен 0,3. Найти площадь этого сече­
ния.
10.059. В кубе через сторону основания проведено сечение под уг­
лом 30° к плоскости основания. Найти площадь сечения, если ребро ку­
ба равно 4 д .
10.060. Через вершины А, С и D’ правильной четырехугольной приз­
мы ABCDA'B’C'D’ проведена плоскость, образующая с плоскостью осно­
вания угол 60°. Найти площадь сечения призмы этой плоскостью, если
сторона основания призмы равна 4.

10.061. Основанием четырехугольной пирамиды служит ромб со
стороной 3 и острым углом 45°. Найти объем пирамиды, если ее высота
равна J2 .
10.062. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7. а
сторона основания равна 8. Определить боковое ребро.
190
10.063. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный
^угольн и к с меньшим катетом JJ и острым углом 30°. Найти объем
пирамиды, если ее высота равна гипотенузе основания.
10.064. Найти объем правильного тетраэдра с ребром 3 /2 .
10.065. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 171.
Найти объем другой правильной четырехугольной пирамиды, у которой
сторона основания в 3 раза меньше, а высота равна высоте данной
пирамиды.
10.066. Чему равна площадь полной поверхности правильной пира-
ииды, боковое ребро которой равно 5, а основанием служит квадрат со
стороной 6?
10.067. Основанием треугольной пирамиды служит прямоугольный
треугольник с гипотенузой 8 и острым углом 45е. Найти объем пирами­
ды. если ее высота равна 3.
10.068. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, все
ребра которой равны 3 /2 .
10.069. Боковые грани треугольной пирамиды — прямоугольные тре­
угольники, а боковые ребра равны ^ 3 - /У . Вычислить полную поверх­
ность пирамиды.
10.070. В правильной треугольной пирамиде высота равна стороне
основания и равна 6 J J . Найти объем пирамиды.
Сложность «/ »
10.071. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пи­
рамиды равны 12 и 4. Найти объем усеченной пирамиды, если ее высо­
та равна / У .
10.072. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной
пирамиды равны 3 и 1. Найти объем усеченной пирамиды, если ее вы­
сота раина 3.
10.073. Основаниями усеченной пирамиды служат равнобедренные
прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны 7 и 5. Найти
объем усеченной пирамиды, если ее высота равна 12.
10.074. Основаниями усеченной пирамиды служат прямоугольные
треугольники с острым углом 30°. Гипотенузы треугольников равны 6 и
4. Найти объем усеченной пирамиды, если ее высота равна J J .
10.075. Основаниями усеченной пирамиды служат ромбы с острым
Углом 60° и сторонами, равными 8 и 6. Найти объем усеченной пирами­
ды. если ее высота равна
191
10.076. Основаниями усеченной пирамиды служат равнобедренные
треугольники с углом 120“ Боковые стороны треугольников равны 12 и
6. Найти объем усеченной пирамиды, если ее высота равна •
10.077. Стороны оснований правильной шестиугольной усеченной
пирамиды равны 4 и 2. Найти объем усеченной пирамиды, если ее
высота равна
I
д
10.078. Основаниями усеченной пирамиды служат равнобедренные
треугольники с углом 60° при вершине. Высоты треугольников равны 3 и
4 Найти объем усеченной пирамиды, если ее высота равна 15 Д .
10.079. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пи­
рамиды равны 3 и 7. Ребро усеченной пирамиды равно 2Д . Найти
площадь ее боковой поверхности.
10.080. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной
пирамиды равны 5 и 3. Ребро усеченной пирамиды равно /ТУ. Найти
площадь ее полной поверхности.
Сложность «I»
10.081. В правильной четырехугольной пирамиде плоскость, парал­
лельная основанию, делит высоту пополам. Найти сторону основания
пирамиды, если плошадь сечения равна 36.
10.082. В правильной треугольной пирамиде плоскость, параллель­
ная основанию, делит высоту в отношении 2:1 (считая от основания)
Найти площадь сечения, если сторона основания равна 6 Д j.
10.083. В правильной четырехугольной пирамиде со стороной осно­
вания 13 Д проведена плоскость, параллельная основанию. Найти пло­
щадь сечения, если боковое ребро пирамиды делится этой плоскостью н
отношении 1.4 (считая от вершины пирамиды).
10.084. На каком расстоянии от вершины правильной четырехуголь­
ной пирамиды следует провести плоскость, параллельную основанию,
чтобы рассечь пирамиду на две равные по объему части, если высота
пирамиды равна J Д ?
10.085. Основание пирамиды — ромб со стороной 15 Д и острым
углом 30". Найти плошадь сечения, параллельного основанию, если
плоскость сечения делит высоту в отношении 4:1 (считая от вершины
пирамиды).
10.086. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с
катетом 35 Плоскость, параллельная основанию, делит высоту пирами­
ды в отношении 2:3 (считая от вершины пирамиды). Найти второй ка­
тет основания, если плошадь сечения равна 126.
192
10.087. Объем пирамиды равен 120. Через середину высоты проведе­
на плоскость, параллельная основанию. Найти объем полученной усе­
ченной пирамиды.
10.088. В четырехугольной пирамиде плоскость, параллельная осно-
ранию, делит высоту пирамиды пополам. Основанием пирамиды служит
прямоугольник со стороной 5. Найти вторую сторону основания, если
ллошадь полученного сечения равна 133.
10.089. В пирамиде на расстоянии S от вершины проведена плос­
кость. параллельная основанию пирамиды. Найти высоту пирамиды,
если плошади сечения и основания соответственно равны 16 и 25.
10.090. В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит высоту в
.отношении 1:1. Площадь основания больше плошади сечения на 381.
Найти площадь основания.

 

 

Категория: Математика | Добавил: Админ (12.04.2016)
Просмотров: | Теги: Райхмист | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar