Тема №5596 Решение задач по математике Шахно (Часть 1)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по математике Шахно (Часть 1) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по математике Шахно (Часть 1), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

244. Турист, идущий из деревни на ж.-д. станцию,
пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что он опоздает к
поезду на 40 мин, если будет двигаться с тою же ско­
ростью. Поэтому остальной путь он проходит со скоростью
4 км/час и прибывает на станцию за 45 мин до отхода
поезда. Каково расстояние от деревни до станции?
* В примерах 234—239 п — целое > 1.
24
245. Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если
эту цифру перенести влево (т. е. поместить вначале), то
новое число будет на единицу больше утроенного перво­
начального числа. Найти это число.
246. Самолет летел сначала со скоростью 220 км/час.
Когда ему осталось пролететь на 385 км меньше, чем
пролетел, он изменил скорость и стал двигаться со ско­
ростью 330 км/час. Средняя скорость самолета на всем
пути оказалась равной 250 км/час, Какое расстояние про­
летел самолет?
247. Мне вдвое больше лет, чем Вам было тогда, ког­
да мне было столько лет, сколько Вам теперь; когда Вам
будет столько лет, сколько мне теперь, тогда сумма на­
ших Еозрастов будет равна 63 годам. Сколько лет каж­
дому?
248. Две автомашины выехали одновременно из одного
и того же пункта в одном и том же направлении. Первая
имеет скорость 50 км/час, а вторая 40 км/час. Спустя
полчаса из того же пункта выехала третья машина и,
догнав вторую, находилась в движении еще 1,5 час до
того, как нагнала первую. Какова скорость третьей маши­
ны, если движение всех машин равномерное?
249. Пассажирский поезд идет из Л в В и после 5 мин
остановки в В идет далее в С. Спустя 14 мин после того,
как он покинул В, ему встречается скорый поезд, скорость
которого вдвое больше скорости пассажирского поезда.
Скорый поезд выехал из С в тот момент, когда пассажир­
ский поезд был на расстоянии 25 км от Л. Кроме того,
известно, что скорому поезду нужно 2 час, чтобы пройти
расстояние СВ, и что, если он из Л сразу возвратится, то
прибудет в С на 0,75 час позже прибытия пассажирского
поезда. Сколько километров в час делает каждый поезд и
как удалены друг от друга пункты Л, В и С?
250. Некоторое количество денег было разложено на п
кучек. После этого из первой кучки переложили во вторую
часть бывших в первой кучке денег. Затем из второй
1
кучки — часть оказавшихся в ней после перекладывания
денег переложили в третью кучку. Далее, часть денег,
получившихся после этого в третьей кучке, переложили
в четвертую и т. д. Наконец из л-й кучки часть оказав­
25
шихся в ней после предшествующего перекладывания де­
нег переложили в первую кучку. После этого в каждой
кучке стало А рублей. Сколько денег было в каждой куч­
ке до перекладывания?
251. Двое рабочих, работая вместе, могут окончить не­
которую работу в 12 дней. После 8 дней совместной ра­
боты один из них заболел, и другой окончил работу одцн,
проработав еще 5 дней. Во сколько дней каждый из них,
работая отдельно, может выполнить эту работу?
252. Две бригады рабочих, работая одновременно, могут
выполнить некоторую работу в 8 дней. Если бы работало
2
рабочих первой бригады и 0,8 второй, то работа была
бы выполнена в 11-^- дней. Во сколько дней могла бы
выполнить эту работу каждая бригада в отдельности?
253. Когда старшему брату было столько лет, сколько
сейчас среднему, тогда младшему было 10 лет. Когда
среднему будет столько, сколько сейчас старшему, тогда
младшему будет 26 лет., Сколько лет каждому брату, если
сумма лет старшего и среднего братьев в день рождения
младшего была в два раза больше числа лет младшего
в настоящее время? ;
254. Некоторый сплав состоит из двух металлов, вхо­
дящих в отношении 1 : 2, а другой содержит те же металлы
в отношении 2 :3 . Сколько частей каждого сплава нужно
взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же
металлы в отношении 17:27?
255. Поезд вышел со станции А по направлению к В
в 9 час. В 15 час он остановился из-за снежного заноса.
Через 2 час путь был расчищен, и машинист, чтобы на­
верстать потерянное время, повел поезд на остальном пути
со скоростью, превышающей скорость поезда до остановки
на 20%. Но поезд все же пришел с опозданием на 1 час.
На следующий день поезд, шедший по тому же расписа­
нию, тоже попал в занос, но на 150 км дальше от Л, чем
первый поезд. Простояв 2 час, он тоже пошел со ско­
ростью на 20% выше прежней, но нагнал лишь полчаса
и пришел в В с опозданием на 1,5 час. Найти расстояние
между А и В.
256. На участке реки от Л до В течение так медлен­
но, что его можно принять равным нулю. На участке же
от В до С оно достаточно быстро. Лодочник проплывает
26
расстояние от Л до С за 3 час, а обратно от С до Л
(вверх) за 3,5 час. Если бы на всем протяжении от Л
до С течение было такое же, как от В до С, то на весь
з
путь от Л до С потребовалось бы 2-^ час. Сколько вре­
мени понадобилось бы в этих условиях, чтобы подняться
вверх от С до Л?
257. В сберкассу на книжку было положено 1640 руб.
и в конце года было взято обратно 882 руб. Еще через
год на книжке снова оказалось 882 руб. Сколько процен­
тов начисляет сберкасса в год?
258. Двое рабочих взялись сжать ржаное поле в те­
чение одного дня, причем каждый обязался сжать поло­
вину поля. Первый начал работу на 2 час 16 мин раньше
второго. В полдень, когда ими уже было сжато 0,4 поля,
они приостановили работу для обеда и отдыха на 1,5 час.
Первый окончил свою часть в 7 час 54 мин, а второй
в 8 час 10 мин пополудни. В котором часу начал работать
каждый?
259. Два каменщика сложили вместе стену в 20 дней.
Во сколько дней выполнил бы работу каждый из них от­
дельно, если известно, что первый должен работать на
9 дней больше второго?
260. Два пешехода А и В вышли одновременно друг
другу навстречу из городов М и N. Когда они встрети­
лись, то оказалось, что А прошел на 6 км больше, чем В.
Если каждый из них будет продолжать путь с той же
скоростью, то А придет в N через 4,5 час, а В в М —
через 8 час после встречи. Определить расстояние меж­
ду М и N.
261. Два автомобиля выезжают одновременно навстре­
чу друг другу из 4 в J5 и из S в 4 . После встречи од­
ному приходится еще быть в пути 2 час, а другому
~ час. Определить их скорости, если расстояние между
А и В равно 210 км.
262. Для печения пшеничного хлеба взято столько ки­
лограммов муки, сколько процентов составляет припек
на эту муку. Для печения ржаного хлеба взято на 10 кг
больше муки, а именно столько килограммов, сколько
процентов составляет припек на ржаную муку. Сколько
килограммов взято той и другой муки, если всего выпе­
чено 112,5 кг хлеба?
27
263. Проходя первый участок пути в 24 км, паровоз
делал в час на 4 км меньше, чем когда проходил второй
участок в 39 км. На прохождение второго участка он
употребил на 20 мин больше, чем на прохождение пер­
вого. Какова скорость паровоза на первом участке?
264. По окружности длиною в 360 м движутся два
тела. Одно из них проходит в секунду на 4 м больше
другого и поэтому проходит всю окружность на 1 сек
скорее. Сколько метров в секунду проходит каждое
тело?
265. Окружность заднего колеса в 2 раза больше
окружности переднего. Если длину окружности заднего ко­
леса уменьшить на 1 ж, а переднего увеличить на 1 ж,
то на протяжении 60 ж заднее колесо сделает на 30 обо­
ротов больше переднего. Определить длину окружности
каждого колеса.
266. Трамвайная линия имеет длину 15 км. Если уве­
личить скорость трамвая на 3 км/час, то трамвай будет
затрачивать на каждый рейс на полчаса меньше, чем те­
перь (рейсом называется пробег трамвая туда и обратно).
Сколько времени затрачивает теперь трамвай и какова его
скорость?
267. В ремонте дома участвовали плотники и маляры.
Те и другие получили за работу одну и ту же сумму, но
маляров было двумя меньше, чем плотников, и поэтому
каждый маляр получил одним рублем больше плотника.
Сколько было плотников и сколько маляров, если извест­
но, что число рублей, уплаченных им всем, было на 26
больше утроенного числа всех рабочих?
268. От Москвы до Ленинграда 650 км. Пассажир­
ский поезд проходит это расстояние на 12 час скорее
товарного, так как его часовая скорость на 24 км больше.
Сколько километров в час проходит каждый поезд?
269. От дома до школы 400 ж. Ученик старшего клас­
са делает на этом пути на 300 шагов меньше, чем ученик'
младшего класса, так как у него шаги на 30 см больше.
Определить длину шага каждого.
270. Магазин купил кусок сукна за 200 руб. 5 ж из
этого куска остались непроданными,' а~ остальное сукно
было продано за 190 руб., при этом на каждом метре бы­
ло получено 1,5 руб. прибыли. Сколько метров сукна бы­
ло в куске?
271. Куплено два сорта некоторого товара, причем
28
второго сорта на 15 кг больше первого. За второй сорт
заплачено 32 руб., а за первый 22,5 руб. Сколько купле­
но килограммов того и другого сорта, если килограмм
второго сорта стоил на 10 коп. дешевле килограмма пер­
вого?
272. При двух последовательных одинаковых процент­
ных повышениях заработной платы сумма в 100 руб. об­
ратилась в 125 р. 44 к. Определить, на сколько процентов
повышалась заработная плата?
273. В сосуде было 20 л чистого спирта. Часть этого
спирта отлили, а сосуд долили водой. Затем снова отлили
столько же литров, сколько в первый раз, и сосуд опять
долили водой. После этого в сосуде оказалось чистого
спирта втрое меньше, чем воды. Сколько спирта отлили
в первый раз?
274. У мальчика имеются двухкопеечные монеты.
Играя он укладывает их на площадке плотно одну к дру­
гой то в виде квадрата, то в виде правильного треуголь­
ника, используя каждый раз все монеты. В последнем
случае в стороне содержится на 2 монеты больше, чем
в первом. Какая сумма денег имеется у мальчика?
275. В шахматном турнире двое из участников выбы­
ли, сыграв только по три партии каждый. Поэтому на
турнире было сыграно всего 84 партии. Сколько было
участников первоначально и играли ли выбывшие участ­
ники между собой?
276. Куплено материи двух сортов на сумму 15 р. 20 к.
Если бы цена материи первого сорта была выше, а вто­
рого ниже на одно и то же число процентов, то первый
сорт стоил бы 15 руб. а второй 2 р. 40 к. Сколько стоил
первый сорт в действительности?
277. Из Тулы по направлению к Вязьме вышел товар­
ный поезд. Спустя 5 час 5 мин по той же дороге вышел
из Вязьмы в Тулу пассажирский поезд. Оба поезда встре­
тились на промежуточной станции. От этой станции то­
варный поезд шел до Вязьмы 12 час 55 мин и от той же
станции пассажирский поезд шел до Тулы 4 час 6 мин.
Сколько времени употребил каждый поезд на прохож­
дение всего пути между Вязьмой и Тулой?
278. Студенты взяли на лодочной станции лодку на '
прокат. Сначала они спустились на 20 км вниз по течению
реки, затем повернули обратно и вернулись на лодочную
станцию, затратив на всю прогулку 7 час. На обратном
29
пути, на расстоянии 12 км от лодочной станции, они встре­
тили плот, проплывавший мимо лодочной станции как
раз в тот момент, когда они отправлялись на прогулку.
Определить, с какой скоростью двигалась лодка вниз по
течению и какова скорость течения?
279. Из двух населенных пунктов выходят навстречу
друг другу два курьера и встречаются в некотором
пункте Мг. Если бы первый курьер вышел на час рань­
ше, а второй на полчаса позже, то они встретились бы на
18 мин раньше, чем в действительности. Если бы второй
вышел на час раньше, а первый на полчаса позже, то
они встретились бы в пункте, отстоящем отЛ ^на 5600 ж.
Найти скорости обоих курьеров.
280. Несколько человек взялись вырыть канаву и мог­
ли бы окончить работу за 24 час, если бы делали ее все
одновременно. Вместо этого они приступили к работе
один за другим через равные промежутки времени, и за­
тем каждый работал до окончания всей работы. Сколько
времени они рыли канаву, если первый, приступивший
к работе, проработал в 5 раз больше, чем последний?
281. Сплав из двух металлов весом в Р кг, будучи
погруженным в воду, теряет в своем весе А кг. Такой же
вес первого из двух составляющих металлов, погружен­
ного в воду, теряет В кг, а второй — С кг. Найти вес со­
ставляющих сплав металлов и исследовать возможность
решения задачи в зависимости от величин Р, А, В и С.
282. От двух кусков сплава с различным процентным
содержанием меди, весящих т кг и п кг, отрезано по
куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков
сплавлен с остатком другого куска, после чего процент­
ное содержание меди в обоих сплавах стало одинаковым.
Сколько весил каждый из отрезанных кусков?
283. Объем А составляет т-ю часть суммы объемов
В и С, а объем В — п-ю часть суммы объемов А и С.
Какую часть суммы объемов А и В составляет объем С?
284. Две точки движутся с постоянными скоростями
по окружности длиною L. Если они движутся в разных
направлениях, то встречаются каждые tx сек. При дви­
жении в одном направлении одна точка настигает дру­
гую через каждые оек% Определить скорости обеих
точек.
285. Из Л в В отправилась лодка. Когда лодка про­
шла уже I км, из Л в В вышел пароход, который при­
30
шел в В на t час раньше лодки. Каково расстояние меж­
ду А и В, если скорость лодки составляет и км/час, а ско­
рость парохода w км/час?
286. Мастер дает сеанс одновременной игры в шах­
маты на нескольких досках. В конце первых двух часов
он закончил р% партий выигрышем, а / партий проиг­
рал. За следующие два часа он выиграл у q% оставших­
ся противников, т партий проиграл и остальные п партий
закончил вничью. На скольких досках шла игра?
287. В сосуде содержится а л р %-ного раствора азот­
ной кислоты. Сколько литров q %-ного раствора той же
кислоты нужно влить в сосуд, чтобы после добавления
некоторого количества воды, доводящего общий объем
смеси до b л, получилась бы кислота крепостью г ;%?
288. В одном сосуде находится а л р %-ного раствора
кислоты, а в другом Ъ л q ,%-ного раствора той же кис­
лоты. Из каждого сосуда отлили по одинаковому коли­
честву литров и взятое из первого вылили во второй,
а взятое из второго вылили в первый. Сколько литров бы­
ло взято из каждого сосуда, если в сосудах оказался
раствор одной и той же крепости?
289. Два велосипедиста, выехав одновременно с раз­
ными, но постоянными скоростями из пункта А в пункт
В, достигнув его, сразу поворачивают обратно. Первый
велосипедист, обогнав второго, встречает его на обрат­
ном пути на расстоянии а км от В, затем достигнув А
и снова повернув к В, он встречает второго велосипедис­
та, пройдя k-ю часть расстояния от А до В. Найти рас­
стояние от А до В.
290. В некоторой точке круглого биллиарда радиуса R
на расстоянии а от его центра находится упругий шарик.
В какую точку борта нужно направить шарик, чтобы он,
дважды отразившись от борта, вернулся в исходную
точку? Размерами шарика пренебрегаем.
291. Сферический баллон с толщиной стенки е, изго­
товленный из материала плотности d, наполнен жид­
костью плотности 8. Каков должен быть внутренний
радиус R баллона для того чтобы при погружении его
в жидкость плотности Д имело место равновесие? Какому
условию должны удовлетворять плотности d, 6 и А,
чтобы задача была возможна?
292. Средний годовой процент прироста населения из
года в год остается постоянным. Если бы годовой про-
31
цент прироста увеличился на k, то через п лет числен­
ность населения была бы в два раза больше, чем при нор­
мальных условиях. Определить годовой процент прироста
населения.
293. Сосуд, наполненный последовательно двумя жид­
костями, плотности которых d и D, весит соответственно
q и Q кг, включая сюда и вес самого сосуда. Найти вес
сосуда и его объем. Найти условия возможности задачи.
294. Д ва' поезда выезжают одновременно из А и В
навстречу друг другу и встречаются на расстоянии р км
от В. Через t час после встречи второй поезд, мино­
вав пункт А, находился в q км от него, а первый в это
время, миновав пункт В, находился от второго поезда
на расстоянии в два раза большем, чем расстояние меж­
ду пунктами А и В, Найти скорости поездов .и расстоя­
ние между А и В.
295. Число х в т раз больше разности чисел у и г,
а число у в п раз больше разности х и г. Найти зависи­
мость между т и п , если известно, что z в два раза боль­
ше разности чисел х и у. Числа х, у и 2 не равны нулю.
296. Часы показывают в некоторый момент на т мин
меньше, чем следует, хотя и спешат. Если бы они пока­
зывали на п мин меньше, чем следует, но уходили бы
в сутки на t мин больше, чем уходят, то верное время они
показали бы на сутки раньше, чем покажут. На сколько
минут в сутки эти часы спешат?
297. Дети делят орехи. Первый взял а орехов и п-ю
часть остатка; второй — 2а орехов и п-ю часть нового
остатка; третий — За орехов и п-ю часть нового остатка
и т. д. Оказалось, что таким способом разделены все
орехи поровну. Сколько было детей?
298. Колхоз купил для заправки тракторов на а руб.
лигроина и на такую же сумму керосина, всего п кг.
Сколько килограммов куплено лигроина и сколько керо­
сина, если килограмм первого на Ъ руб. дороже кило­
грамма второго?
299. Из пункта А в пункт В выехала машина с поч­
той. Через t мин за ней выехала другая. Двигаясь со ско­
ростью v км/час, она нагнала первую и, передав забытый
срочный пакет, повернула назад. В пункт А вторая ма­
шина прибыла одновременно с прибытием первой в пункт
В. С какой скоростью двигалась первая машина, если
расстояние между А и В равно d км?
32
300. Две бригады рабочих заработали по одинаковому
числу руб. В первой бригаде было на а рабочих меньше,
чем во второй, вследствие чего каждому рабочему второй
бригады досталось на b руб. меньше, чем каждому рабо­
чему первой бригады. Число рублей, заработанных каж­
дой бригадой, на с больше числа рабочих в обеих брига­
дах вместе. Сколько было рабочих в каждой бригаде?
301. Двое рабочих выкопали ров, работая один после
другого. При этом первый работал а дней и выполнил
часть всей работы, равную -у-. Если бы они работали
вместе, то ров был бы вырыт в число дней, равное сред­
нему арифметическому между числом дней, в течение ко­
торых работал первый, и числом дней, в течение которых
работал второй. Сколько дней работал второй?
302. По одной и той же окружности движутся два тела
в одну и ту же сторону. Длина окружности равна а м.
Одно тело проходит окружность на р мин скорее другого
тела. Определить, сколько метров в минуту проходит
каждое тело, зная, что они при движении сходятся каж­
дые q мин.
303. Наняты двое рабочих по разным ставкам. Пер­
вый получил а руб., а второй, работавший меньше пер­
вого на п дней, получил с руб. Если бы первый работал
столько дней, сколько второй, а второй столько, сколько
первый, то они получили бы поровну. Сколько дней ра­
ботал каждый?
304. Группа экскурсантов должна была заплатить за
обед в ресторане а руб. Но у b участников не оказалось
в наличии денег и поэтому каждый из остальных внес
еще с руб. Сколько было экскурсантов?
305. Скорый поезд был задержан у семафора на
р мин и наверстал опоздание на перегоне в d км, пройдя
его со средней скоростью на v км/час больше той, какая
полагалась по расписанию, Какова средняя скорость на
этом перегоне по расписанию?
306. Два вкладчика положили в сберкассу одинако­
вые суммы. Первый взял вклад по истечении .а месяцев
и получал т руб., а второй взял вклад по истечении b
месяцев и получил п руб. Сколько каждый из них по­
ложил в сберкассу и сколько процентов начисляет сбер­
касса?
307. В трех сосудах находится одинаковая жидкость
з к. у, Шахно 33
в неравных количествах. Если половину содержимого
(по объему) одного сосуда разлить поровну в два дру­
гие, а затем половину содержимого другого сосуда, ока­
завшегося после первого разлива, разлить поровну в два
другие и после этого половину содержимого третьего со­
суда разлить поровну в два другие, то во всех сосудах
окажется жидкости поровну, а именно псМб л. Сколько
было литров жидкости в каждом сосуде вначале? (За­
дачу решить арифметически).
308. Товарный поезд прошел путь от Ленинграда до
Москвы со средней скоростью 20 км/час, а от Москвы до
Ленинграда со средней скоростью 30 км/час. Какова
средняя скорость поезда на всем пути (время, потрачен­
ное на остановку в Москве, в расчет не принимается) ?,
309. Доказать, что разность между любым числом и
числом, изображенным теми же цифрами, но написан­
ными в обратном порядке, делится нацело на 9.

342. Известно, что сумма бесконечно убывающей гео­
метрической прогрессии ест|? предел Sn при п оо, где
п — сумма первых членов прогрессии. Нужно ли это до­
казывать?
343. Сумма членов бесконечно убывающей геометри­
ческой прогрессии равна 9, а сумма квадратов ее чле­
нов — 40,5. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
344. Сумма членов бесконечно убывающей геометри­
ческой прогрессии равна 3, а сумма кубов ее членов рав-
108 тт на — jy. Написать три первых члена этой прогрессии.
345. Сумма членов бесконечно убывающей геометри­
ческой прогрессии, стоящих на нечетных местах, равна 36,
а сумма ее членов, стоящих на четных местах, равна 12.
Найти эту прогрессию.
346. Первый член бесконечно убывающей геохметри-
ческой прогрессии равен 1. Каждый же из остальных чле­
нов в 2-|- раза меньше суммы двух смежных с ним. Най­
ти сумму этой прогрессии.
347. Найти бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию, первый член которой равен 1 и каждый член
в три раза больше суммы всех следующих за ним чле­
нов.
348. Сумма первых четырех членов бесконечно убыва­
ющей геометрической прогрессии равна 15. Сумма первого
и четвертого членов в 1,5 раза больше суммы второго
и третьего. Найти сумму прогрессии.
349. Найти знаменатель бесконечно убывающей гео­
метрической прогрессии так, чтобы сумма ее первых шести чле­
нов составляла суммы всех ее членов.
350. В арифметической прогрессии 11 членов. Первый
член равен 24. Первый, пятый и одиннадцатый члены со­
ставляют геометрическую прогрессию. Написать все члены
арифметической прогрессии.
351. В арифметической прогрессии, состоящей из 9 чле­
нов, первый член равен 1, а сумма равна 369. Геометри­
ческая прогрессия тоже содержит 9 членов, причем пер­
вый и последний члены ее совпадают с соответствующими
членами данной арифметической прогрессии. Найти седь­
мой член геометрической прогрессии.
37
352. Три числа составляют геометрическую прогрессию.
Если второй член увеличить на 8, то данная прогрессия
обратится в арифметическую, но если затем третий член
будет увеличен на 64, то она опять обратится в геомет­
рическую прогрессию. Найти эти числа.
353. Между числом 3 и неизвестным числом вставлено
еще одно число так, что все три числа образуют арифме­
тическую прогрессию. Если средний член этой прогрессии
уменьшить на 6, то получится геометрическая прогрессия.
Найти неизвестное число.
354. Три числа, сумма которых 114, можно рассматри­
вать как три последовательных члена геометрической про­
грессии или как первый, четвертый и двадцать пятый члены
арифметической прогрессии. Найти эти числа.
355. Из точек А я В одновременно начали двигаться
два тела навстречу друг другу.. Первое в первую минуту
прошло 1 м , а в каждую последующую проходило на
0,5 м больше, чем в предыдущую. Второе тело проходило
каждую минуту по 6 к. Через сколько минут оба тела
встретились, если расстояние между А я В равно
117 ж?
356. Возможны ли три таких числа а „ а г , а3, чтобы
они были одновременно первыми, вторыми и третьими
членами арифметической и геометрической прогрессии?
357. В многочлене ах4 + бх3 4х* + d x + / коэффи­
циенты а , b и 4 образуют геометрическую прогрессию,
а 4, а и Ь — арифметическую. Многочлен делится на
1 + х -f- х®. Найти частное от деления первого многочле­
на на второй.

427. Собрание, на котором присутствует 30 человек,
в том числе две женщины, выбирает четырех человек для
работы на избирательном участке. Сколько может встре­
титься случаев, когда в число избранных войдут обе
женщины?
428. Нужно распределить преподавание в шести клас­
сах между тремя преподавателями. Сколькими способа­
ми можно произвести это распределение, если каждый
должен получить два класса?
429. В вещевой лотерее разыгрывается 5 предметов.
Первый подошедший к урне вынимает из нее 5 билетов.
Каким числом способов он может их вынуть, чтобы 3 из
них оказались выигрышными? Всего в урне 100 билетов.
430. Экскурсанты разделились на две равные группы
для розыска заблудившегося товарища. Среди них есть
только 4 человека, знакомых с местностью. Каким числом
43
способов они могут разделиться так, чтобы в каждую
группу вошло 2 человека, знакомых с местностью, если
всего их 16 человек?
431. Комсомольцы строительной организации выдели­
ли в помощь подшефному детскому дому бригаду в 5 че­
ловек. В составе комсомольской организации 25 чело­
век, в том числе 5 маляров, 4 плотника и 2 штукатура.
Каким числом способов можно укомплектовать бригаду,
чтобы в нее вошли рабочие всех этих специальностей по
одному?
432. Для культпохода куплено 2 п билетов в театр на
места, находящиеся в одном ряду партера (в ряде 2 п
мест). Сколькими способами можно распределить эти
билеты между лицами данной компании, состоящей из п
мужчин и п женщин, чтобы не сидели рядом двое муж­
чин или две женщины?
433. Девять из десяти карт, среди которых есть
червонный, раздаются трем лицам так, что первый полу­
чает 3, второй 4, а третий 2. Сколько существует спосо­
бов раздачи, при которых червонный- туз попадает к
третьему лицу?
434. Сколько различных натуральных чисел можно со­
ставить из цифр 0, 1,2, 3, 4, если в каждое число входит
каждая из данных цифр не более одного раза?
435. Сколько различных двузначных чисел можно
составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры 0, 1, 2, входят
в каждое число не более одного раза, а цифра 3 —
не более двух раз?
436. Сколько различных пятизначных чисел, больших
20 000, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если цифры
2, 3, 4 входят в каждое число по одному разу, а циф­
ра 1 — два раза?
437. Сколько различных пятизначных чисел без повто­
рения цифр можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так,
чтобы четные цифры не стояли рядом?
438. Найти коэффициент при я4 в выражении
* (1 _ *)4 + *2 (1 + 2х)8 + хЦ1+ Зх)1\
не выписывая лишних членов.
439. Доказать, что II10— 1 делится на 100.
440. Доказать, что коэффициент при Xs в разложе­
нии по степеням х выражения
44
\пI биноминальный коэф-
равен пС„~2,
441. Доказать, что
I2 + & + (С2)2+ . . . + (Сй)* = CL
442. В разложении^ j / * -------i
фициент третьего члена на 44 больше коэффициента
второго. Найти свободный член.
443. В разложении [у~х - f сумма коэффици­
ентов на 240 меньше суммы коэффициентов разложения
(а + Ь)2п. Найти третий член первого разложения.
444. Сколько рациональных членов содержится в раз­
ложении
(| /2 + К З )100?
[ (s — 2 ) хг + пх — s] {х 1)Я
445. Найти все рациональные члены разложения
" о 1 \ 20 2 ------|71Г) * не вьшисывая члены иррациональные.
446. Найти все те значения п, при которых какие-либо
три последовательных коэффициента разложения бинома
(х + а)п являются тремя последовательными членами
арифметической прогрессии.
447. Найти показатель п бинома (х + 2)п, зная,
что десятый член разложения этого бинома имеет наи­
больший коэффициент.
448. Доказать, что наибольший коэффициент разло­
жения (а + Ь)2П есть число четное.
449^ Найти наибольший член разложения(1 + | /Г2)50*
450. Определить номер наибольшего члена разложе­
ния (р 4- q)n по убывающим степеням буквы р, предпола­
гая, что р > 0 ; q > 0; p -{-q = i. При каких условиях:
а) наибольший член будет первый? б) наибольший член
будет последний? в) разложение будет содержать два
одинаковых последовательных члена, превышающих все
остальные члены разложения?
451. В разложении найти свободный
член, не выписывая членов, зависящих от х.
452. В разложении (1 + х — х2)2Ъ найти тот член, у
которого показатель степени х в три раза больше суммы
всех коэффициентов разложения.
45
453. Найти коэффициент при х3 в выражении
(1 + х)3 + (1 гЬ х)4 + (1 + х)5 + . . . + (1 + х)15.
454. Д оказать:
(1 + х)" + (1 + х ) " - 1 х + (1 + x )n“ 2 х2 + ... + (1 + х) х " - 1 +
-Ь ••• + 1.
п — натуральное число.
455. Разложить по убывающим степеням х — 2 мно­
гочлен
х 4 — 1 lx 3 + 43х2 — 72х + 45.

 

835. Треугольник, имеющий две равные высоты,— рав­
нобедренный.
836. Треугольник, имеющий две равные медианы,—
равнобедренный.
837. Треугольник, имеющий две равные биссектри­
сы,— равнобедренный.
838. Если биссектриса угла треугольника является
одновременно его медианой, то такой треугольник —
равнобедренный.
839. Если угол, прилежащая к нему сторона и сумма
двух других сторон одного треугольника соответственно
равны yfviy, прилежащей к нему стороне и сумме двух
других сторон второго треугольника, то такие треуголь­
ники равны.
840. Треугольники с равными периметрами и двумя
соответственно равными углами — равны.
841. Трапеция с равными диагоналями — равнобед­
ренная.
842. Если в шестиугольнике противоположные сто­
роны равны и параллельны, то три его диагонали, сое­
72
линяющие противоположные вершины, пересекаются в
одной точке.
843. Сумма расстояний любой точки окружности до
двух ближайших к ней вершин вписанного в эту окруж­
ность правильного треугольника равна расстоянию взя­
той точки до третьей вершины треугольника.
844. Прямые, соединяющие основания высот остро­
угольного треугольника, образуют треугольник, биссек­
трисами которого являются высоты данного.
845. Из всех треугольников с одинаковым основани­
ем и одинаковым углом при вершине равнобедренный
имеет наибольший периметр.
846. Если в шестиугольнике противоположные сто­
роны* параллельны, а три диагонали, соединяющие про­
тивоположные вершины, равны между собой, то вокруг
такого шестиугольника можно описать окружность.
847. Диаметры окружностей, каждая из которых
проходит через точку пересечения высот треугольника
и через две его вершины, равны между собой.
848. Прямая, проходящая через основания двух вы­
сот остроугольного треугольника, отсекает от треуголь­
ника подобный ему треугольник.
849. Треугольники с соответственно параллельными
сторонами подобны.
850. Радиусы окружностей, описанных около подоб­
ных треугольников, пропорциональны сходственным
сторонам.
851. Если из точки С проведены к окружности се­
кущая, имеющая с окружностью точки пересеченйя А
и By и отрезок CD, где D точка окружности, и если
СА • СВ = CD2, то прямая CD есть касательная к этой
окружности.
852. Если из точки, отстоящей от прямой на расстоя­
ние а, проведены к этой прямой две наклонные, с проек­
циями на нее, равными 2а и За, то сумма углов этих
наклонных со своими проекциями равна 45°.
853. Если в четырехугольнике, две противоположные
стороны которого не параллельны, отрезок прямой, со­
единяющий середины этих сторон, равен полусумме двух
других сторон четырехугольника, то этот четырехуголь­
н и к ^ трапеция.
854. Длина отрезка прямой, соединяющей середину
основания треугольника с серединою отрезка высоты
73
между вершиной и ортоцентром, равна радиусу описан­
ного около треугольника круга.
855. Касательные к окружности, проведенные через
вершины прямоугольника, вписанного в эту окружность,
образуют ромб,
856. Прямая, проходящая через основания высот
треугольника, проведенных из двух его вершин, перпен­
дикулярна прямой, проходящей через его третью вер­
шину и центр описанного вокруг треугольника круга,
857. Биссектрисы углов, образованных продолжения­
ми противоположных сторон вписанного в окружность
четырехугольника, перпендикулярны между собой,
858. Диаметр вписанного в прямоугольный треуголь­
ник круга равен разности между суммою катетов и ги­
потенузой.
859. Середины оснований трапеции и точка пересе­
чения ее диагоналей лежат на одной прямой.
860. Если из точки Р, взятой вне окружности, прове­
дены к этой окружности касательные РА и РВ, где
А и В *=?— точки касания, то отрезок перпендикуляра
АС, опущенного из точки А на диаметр BD, делится
прямою PD пополам. Точка С — основание перпенди­
куляра, тючка D — точка окружности,
861. Расстояние от точки окружности до хорды есть
средняя пропорциональная между расстояниями от этой
точки до касательных, проведенных к окружности
в концах хорды.
862. Центр описанного около треугольника круга,
точка пересечения его высот и его центр тяжести лежат
на одной прямой.
863. Если прямая, параллельная основаниям трапе­
ции, проходит через точку пересечения диагоналей, то
отрезок, отсекаемый от этой прямой боковыми сторона­
ми трапеции, делится точкой пересечения пополам.
864. Середины диагоналей описанного около окруж­
ности четырехугольника и центр этой окружности ле­
жат на одной прямой.
865. Из всех треугольников с одинаковым основа­
нием и одинаковым углом при вершине равнобедренный
имеет наибольшую площадь.
866. Если в равнобедренный треугольник ЛВС» впи­
сан полукруг, диаметр которого лежит на основании
АСУ и если к полукругу проведена касательная, пересе­
74
кающая сторону АВ в точке М, а сторону ВС в точке
N, то произведение AM • CN есть величина постоянная.
867. Если через точки А и В пересечения двух
окружностей проведены две секущие MAN и PBQ; пе­
ресекающие одну окружность в точках М и Р, а дру­
гую в точках N и Q>to прямые МР и NQ — параллельны.
868. Произведение диагоналей вписанного в окруж­
ность четырехугольника равно сумме произведений его
противоположных сторон.
869. Куб гипотенузы больше суммы кубов катетов.
870. Найти расстояние от центра описанного около
треугольника круга до центра вписанного в этот тре­
угольник круга. Радиусы кругов R и г (R >r).
871. Доказать, что радиус вписанного в треугольник
круга не больше половины радиуса, описанного около
треугольника круга.
872. К какой вершине треугольника лежит ближе
всего центр вписанной в этот треугольник окружности?
873. Какая медиана наименьшая?
874. Будет ли вписанный равносторонний много­
угольник правильным?
875. Будет ли описанный равносторонний много­
угольник правильным?
876. Из каких равных правильных многоугольников
можно сложить паркет?
877. Вершина В треугольника АВС перемещается
так, что длина медианы AD остается неизменной, а сто­
рона АС — неподвижной. Найти геометрическое место
точек В.
878. А и В — две заданные неподвижные точки
окружности, М — подвижная точка той же окружности.
На продолжении отрезка AM в сторону, внешнюю к
окружности, откладывается отрезок MN = MB. Найти
геометрическое место точек N.
879. Найти геометрическое место вершин прямого
угла неизменяемого прямоугольного треугольника, если
две другие его вершины скользят по сторонам другого
прямого угла,
880. Одна окружность касается прямой в точке А.
Другая касается той же прямой в точке В и первой
окружности в точке М. Найти геометрическое место
точки М.
881. Найти геометрическое место точек, сумма рас­
75
стояний которых до двух данных прямых есть величина
постоянная.
882. Из точки вне окружности проведена секущая и в
точках пересечения ее с окружностью — касательные.
Найти геометрическое место точек пересечения этих ка­
сательных,
883. Из точки D, взятой на стороне ВС треугольни­
ка АВС, проводятся всевозможные прямые, пересекаю­
щие стороны АС и А В или их продолжения соответст­
венно в точках Е и F. Найти геометрическое место
точек пересечения окружностей, описанных вокруг тре­
угольников CDE и BDF.
884. На сторонах прямого угла отложены от его вер­
шины О отрезки ОА и 05 , равные между собой. Через
точки А и В проведены прямые, параллельные двум
данным взаимно перпендикулярным прямым и пересе­
кающиеся в точке М. Какую линию опишет точка М,
если прямой угол будет вращаться вокруг своей вер­
шины О?
885. В круг вписан правильный шестиугольник.
Пользуясь только линейкой, построить — часть радиу­
са R, где п = 2, 3, 4, 5,..,
886. На данной прямой построить точку, сумма рас­
стояний которой до двух данных точек наименьшая.
887. Даны точки А и В и между ними две парал­
лельные прямые MN и PQ. Провести между последними
в данном направлении отрезок CD так, чтобы сумма
АС + CD + DB была наименьшая.
888. В данный острый угол вписать треугольник наи­
меньшего периметра так, чтобы одна его вершина нахо­
дилась в точке, данной внутри угла, а две другие — на
сторонах угла.
889. Через три данные точки провести параллельные
прямые так, чтобы расстояния между ними были равны.
890. На продолжении диаметра построить такую
точку, чтобы длина касательной, проведенной из нее к
окружности, равнялась диаметру.
891. Из вершин треугольника как из центров постро­
ить окружности, каждая из которых касалась бы двух
других внешним образом.
892. Построить треугольник по данной стороне с,
высоте hj, и медиане та.
76
893. Построить треугольник, зная основания трех
его высот.
894. Провести секущую к двум концентрическим
окружностям так, чтобы хорда большего круга была
вдвое больше хорды меньшего круга.
895. На стороне данного угла найти точку, равно­
удаленную от другой стороны и от данной точки внутри
угла.
896. В данный сегмент вписать квадрат так, чтобы
одна его сторона лежала на хорде (основании) сег­
мента.
897. Трапецию пересечь отрезком, параллельным ос­
нованию, так, чтобы он разделился диагоналями на три
равные части.
898. Построить окружность, проходящую через две
данные точки и касающуюся данной прямой.
899. Пользуясь только линейкой, разделить трапе­
цию на две равновеликие части.
900. Пользуясь только линейкой, разделить парал­
лелограмм на две части, площади которых относи­
лись бы как 1 :3 .
901. Данный треугольник превратить в равновели­
кий ему треугольник с данным основанием и общим
углом при основании, причем оба основания должны
лежать на одной прямой.
902. На данной прямой найти такую точку, чтобы
модуль разности расстояний ее от двух данных точек,
находящихся по одну сторону от прямой, был наимень­
шим, а также такую точку, чтобы модуль этой разности
был наибольшим.
903. Основания трапеции равны а и 6. Найти отре­
зок прямой, соединяющий середины ее диагоналей.
904. В треугольник, длины сторон которого суть а,
Ъ и с, вписана окружность. К окружности проведена
касательная так, что она, пересекая две первые сторо­
ны, разделяет данный треугольник на две фигуры —
треугольник и четырехугольник. Найти периметр полу­
ченного треугольника.
905. В треугольник вписан круг так, что две из его
т
сторон делятся точками касания в отношениях — и
Найти отношения сторон треугольника.
77
906. На отрезке и двух его неравных частях построе­
ны полукруги в одну сторону, По радиусам R и г мень­
ших полукругов определить радиус круга, касательного
ко всем трем полукругам,
907. Площадь треугольника АВС равна S. Его сто­
роны АВ, ВС и СА разделены точками М, N и Р так,
что AM ! МВ = 1 1 4, BN ! NC «= 1 : 4 и CP t РА — 1 : 4.
Найти площадь треугольника, ограниченного отрезками
прямых AN, ВР и СМ.
900s В треугольник со сторонами а, b и с вписан
круг. Точки касания его со сторонами данного треуголь­
ника соединены прямыми и таким образом получился
новый треугольник, стороны которого требуется опреде­
лить.
909. Основания высот остроугольного треугольника
со сторонами а, Ь и с служат вершинами другого тре­
угольника. Найти периметр последнего и показать, что
8 5а
он равен .где S — площадь данного треуголь­
ника*
910. Найти радиус вписанного в прямоугольный тре­
угольник круга, если даны радиус R описанного около
этого треугольника и площадь треугольника S.
911. В треугольник со сторонами k, I и т вписана
окружность* К окружности проведена касательная так,
что отрезок ее внутри треугольника, заключенный меж­
ду точками пересечения касательной с первыми двумя
сторонами треугольника, равен а. Найти площадь тре­
угольника, отсеченного этой касательной от данного.
912. Прямоугольный треугольник разделен на два
треугольника перпендикуляром, опущенным из вершины
прямого угла на гипотенузу, В образовавшиеся тре­
угольники вписаны окружности с радиусами гг и г2.
Найти радиус круга, вписанного в данный треугольник,
913. Даны две окружности с радиусами R и г. Их
общие внутренние касательные взаимно перпендикуляр­
ны. Найти площадь треугольника, образованного этими
касательными и общей внешней касательной окружно­
стей.
914. Непараллельные стороны трапеции продолже­
ны до взаимного пересечения и через полученную точку
проведена прямая, параллельная основаниям трапеции*
78
Найти отрезок ее, ограниченный продолженными диа­
гоналями, если основания трапеции а и Ь.
915. В трапеции, основания которой а и 6, проведена
через точку пересечения диагоналей прямая, параллель­
ная основаниям, Найти длину отрезка этой прямой, от­
секаемого от нее боковыми сторонами трапеции.
916. Прямоугольный сектор радиуса R разделен на
две части дугой круга того же радиуса с центром в кон­
це дуги сектора. Найти радиус круга, вписанного в
меньшую из этих частей.
917. Два круга радиусов гг и г2 касаются в точке С
и к ним проведена общая внешняя касательная АВ, где
А и В — точки касания, Найти длины сторон треуголь­
ника АВС.
918. Две окружности радиусов г и R касаются сна­
ружи. Найти расстояние от точки касания до их общей
внешней касательной.
919. Два круга радиусов R и г внешне касательны.
Найти радиус круга, касательного к ним и к их общей
внешней касательной.
920. Три окружности радиусов а, b и с касаются по­
парно снаружи. Найти длину хорды, отсекаемой треть­
ей окружностью от общей внутренней касательной пер­
вых двух окружностей,
921. Около данного квадрата со стороною а описан
круг, и в один из полученных сегментов вписан квад­
рат. Определить сторону вписанного квадрата*
922. Два круга радиусов R и г касаются снаружи
в точке М. На окружности радиуса г взята точка Л/,
диаметрально противоположная точке М , и в этой точке
проведена касательная. Найти радиус круга, касатель­
ного к двум данным и к касательной, проходящей через
точку N.
923. Дан прямоугольный сектор АОВ радиуса
Параллельно его хорде АВ на расстоянии т от нее про­
ведена секущая, пересекающая продолженные радиусы
ОА и ОВ в точках С и D, а дугу сектора — в точках
Е и F. Из точки Еу ближайшей к С, восставлен к CD
перпендикуляр ЕМ, пересекающий ОА в точке М. Пока­
зать, что длина отрезка DM не зависит от m и найти
длину этого отрезка.
924. По данным двум сторонам а и b треугольника
найти третью сторону, если известно, что медианы, про­
73
веденные к данным сторонам, пересекаются под пря­
мым углом.
925. Найти радиус круга, зная длины а и b двух его
хорд, исходящих из одной точки окружности, и расстоя­
ние d от середины первой из данных хорд до второй,
926. Через центры двух равных касающихся окруж­
ностей радиуса г проведена окружность радиуса 2г.
Из некоторой точки, находящейся на последней окруж­
ности, описана окружность, касательная к первым двум.
Найти ее радиус.
927. Дан прямоугольный треугольник АВС, где А —
прямой угол. Из А опущен перпендикуляр АК на гипо­
тенузу, а из К — перпендикуляры КР и КТ на катеты
АВ и АС. Зная, что ВР = т и СТ — п, найти длину ги­
потенузы.
928. Площадь треугольника ЛВС равна Sx; площадь
треугольника ЛЯВ, где Я — точка пересечения высот,
равна S2. Найти площадь прямоугольного треугольника
ABL, предполагая, что точка L лежит на отрезке СЯ
или его продолжении.
929. Две стороны остроугольного треугольника —
20 см и 23,2 см. Радиус описанного около треугольника
круга равен 14,5 см. Найти радиус вписанного в тре­
угольник круга,
930. Катеты треугольника — 3 и 4, Через середину
меньшего катета и середину гипотенузы проведен круг,
касательный к гипотенузе. Найти площадь этого круга.
931. Две равные окружности радиуса г пересекают­
ся. В общую часть обоих кругов вписан квадрат. Найти
сторону этого квадрата, если расстояние между центра­
ми окружностей равно г.
932. На двух смежных сторонах квадрата построены
во внешнем поле два полукруга и к ним касательные,
параллельные своим диаметрам. Найти радиус круга,
касательного к этим двум полукругам и к упомянутым
касательным, если сторона квадрата равна 2а.
933. Через две смежные вершины квадрата проведе­
на окружность так, что касательная к ней, проведенная
из третьей вершины, равна двойной стороне квадрата.
Найти радиус этой окружности, если площадь квадрата
равна 10.
934. Окружность касается большего катета треуголь­
ника, проходит через вершину противолежащего остро­
80
го угла и имеет центр на гипотенузе. Найти ее радиус,
если катеты равны 3 и 4.
935. Центр окружности радиуса 3 лежит на другой
окружности радиуса 5. Из центра О последней прове­
ден диаметр, касательный к первой, и в точку каса­
ния— радиус, пересекающийся с общей хордой в точке
К. Найти длину отрезка ОК.
936. Каждые две противоположные вершины квад­
рата со стороною а служат вершинами двух равных
ромбов. Найти площадь, общую обоим ромбам, если
площадь каждого из них равна половине площади
квадрата.
937. Прямоугольный треугольник АВС с катетами а
и Ъ разделен на две равновеликие части AMN и BCMN
прямой MN, перпендикулярной к гипотенузе АВ. Найти
площадь круга, описанного вокруг четырехугольника
BCMN.
938. К двум извне касающимся окружностям радиу­
сов R и г проведены две общие касательные. Найти
площадь трапеции, образованной этими двумя касатель­
ными и хордами, соединяющими точки касания.
939. В некоторый угол вписана окружность радиуса
г, а длина хорды, соединяющей точки касания, равна а.
Параллельно этой хорде проведены две касательные,
и таким образом получилась трапеция, площадь которой
требуется найти.
940. В треугольник со сторонами а, Ь и с вписан
полукруг с диаметром, лежащим на стороне с. Найти
величину этого диаметра.
941. Найти площадь треугольника, если отрезки, об­
разуемые на одной из его сторон точкой касания впи­
санной окружности, суть т и я, а противолежащий ей
угол треугольника равен 60°.
942. Меньшее основание трапеции DC = Ь\ большее
основание АВ = а. На продолжении меньшего основания
найти точку М при условии, чтобы прямая AM раздели­
ла трапецию на две равновеликие части,
943. Прямая, параллельная основанию треугольника,
делит его площадь пополам. В каком отношении она
делит боковые стороны треугольника?
944. Найти длину отрезка прямой, параллельной
основаниям трапеции и делящей трапецию на две рав­
6 к. У. Шахно 81
новеликие фигуры, заключенного между боковыми сто­
ронами трапеции. Длины оснований трапеции равны
а и Ь.
945. Прямая, параллельная основаниям трапеции,
разделяет ее на две части, площади которых относятся
между собой, как 7 :2 (считая от большего основания).
Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между
боковыми сторонами трапеции, если основания трапе­
ции равны 5 и 3.
946. Площади треугольников, образованных отрез­
ками диагоналей трапеции с ее основаниями, равны St
и S2. Найти площадь трапеции.
947. Через некоторую точку, взятую внутри треуголь­
ника, проведены три прямые, соответственно параллель­
ные сторонам треугольника. Эти прямые разделяют пло­
щадь треугольника на шесть частей, из которых три —
треугольники с площадями Si S2 и S 3. Найти площадь
данного треугольника.
948. Прямая, параллельная основанию треугольника
с площадью S, отсекает от него треугольник с пло­
щадью Si. Определить площадь четырехугольника, три
вершины которого совпадают с вершинами маленького
треугольника, а четвертая лежит на основании большого
треугольника.
949. К двум, извне касающимся в точке А окружно­
стям, радиусы которых 3 и 1, проведена общая внешняя
касательная ВС. Найти площадь фигуры АВС, ограни­
ченную окружностями и касательной.
950. По высотам hi, h2, ft3 треугольника определить
его площадь S.
951. По медианам mu т2, от3 треугольника определить
его площадь S.
952. - Площадь четырехугольника равна S. Найти пло­
щадь параллелограмма, стороны которого равны и па­
раллельны диагоналям четырехугольника.
953. В равнобедренной трапеции средняя линия рав­
на d, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти
площадь трапеции.
954. В угол вписаны два внешнекасательных круга.
Хорды, соединяющие точки касания каждого круга со
сторонами угла, равны соответственно 2а и 2Ь, Опреде­
лить угол.
8 2
955. В равнобедренный треугольник вписаны один
над другим два круга радиусов R и г, касающиеся друг
друга. Найти углы при основании треугольника.
956. Точка D внутри круга радиуса R удалена от
центра на расстояние а. Через D проведены диаметр
и две взаимно перпендикулярные хорды, одна из кото­
рых образует угол а с диаметром. Определить пло­
щадь вписанного в круг четырехугольника, имеющего
эти хорды диагоналями.
957. Окружности радиусов г и R касаются прямой AD
в точке А и расположены по одну сторону от AD. Пря­
мая, параллельная AD, пересекает окружности в точках
В и С, находящихся по одну сторону от линии центров.
Найти радиус окружности, описанной вокруг треугольни­
ка ЛВС.
958. Из вершин квадрата, сторона которого а, как
из центров, проведены окружности радиусов а. Найти
площадь, общую всем четырем построенным кругам.
959. Прямая касается окружности в точке Л. Парал­
лельно этой прямой проведена другая прямая, пересе­
кающая окружность в точках В и С, которые соединены
с точкой Л. Рассматривая площадь треугольника ЛВС
как функцию расстояния между прямыми, написать
формулу, связывающую функцию и аргумент. Радиус
окружности равен R,
960. Из всех прямоугольников с площадью S найти
прямоугольник с наименьшим периметром.
961. Треугольник ЛВС с площадью S и углом а при
вершине Л разделен на две равновеликие фигуры AMN
и CMNB прямой MN, где М и N — точки на сторонах Л С
и ЛВ. Найти периметр фигуры AMN при условии, что
длина MN — наименьшая.
962. Три положительных числа а, Ь и с связаны зави­
симостью
а2 = Ъ2 + са.
На оснований каких теорем можно утверждать, что
эти числа могут быть приняты за длины сторон тре­
угольника и что этот треугольник прямоугольный?


Категория: Математика | Добавил: Админ (02.03.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar