Тема №5597 Решение задач по математике Шахно (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по математике Шахно (Часть 2) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по математике Шахно (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

963. В правильном тетраэдре сумма расстояний от
любой внутренней точки до его четырех граней есть ве­
личина постоянная.
964. Если имеется конечное число таких прямых, что
каждые две из них пересекаются, то все они или прохо­
дят через одну точку, или лежат в одной плоскости.
965. Любой выпуклый четырехгранный угол можно
пересечь плоскостью так, что в сечении получится па­
раллелограмм.
966. Куб можно пересечь плоскостью так, что в сече­
нии получится правильный шестиугольник.
967. Если через три вершины параллелепипеда, яв­
ляющиеся вторыми концами ребер, исходящих из одной
вершины, проведена плоскость, то треугольник, полу­
чающийся в пересечении параллелепипеда этой пло­
скостью, пересекается диагональю параллелепипеда,
исходящей из той же вершины, в центре тяжести.
968. Если все двугранные углы трехгранного угла
острые, то и все плоские углы трехгранного угла тоже
острые.
969. Если любое сечение поверхности плоскостью есть
окружность, то эта поверхность — шаровая.
970. Не существует многогранника с нечетным числом
граней, все грани которого являются многоугольниками
с нечетным числом сторон.
971. Любой плоский угол четырехгранного угла мень­
ше суммы трех других плоских углов.
972. Найти геометрическое место проекций данной
точки на * всевозможные плоскости, проходящие через
другую данную точку.
973. Найти геометрическое место центров сечений
данной шаровой поверхности, плоскостями, проходящи­
ми через данную прямую.
974. Доказать, что через любую прямую можно про­
вести плоскость, параллельную любой другой прямой,
если только эти прямые не пересекаются.
975. Построить общий перпендикуляр к двум скре­
щивающимся прямым.
84
976. Построить прямую, параллельную данной пря­
мой и пересекающую две другие данные прямые.
977. Построить отрезок данной длины, параллель­
ный данной плоскости, так, чтобы концы его находились
на двух данных прямых.
978. Взяты такие четыре вершины куба, что ника­
кие две из них не лежат на одном ребре. Через каждые
три из этих четырех вершин проведена плоскость. Найти
объем тела, ограниченного проведенными плоскостями.
Ребро куба равно а.
979. Через каждые три вершины куба с ребром а,
лежащие в концах каждых трех ребер, сходящихся в
одной вершине, проведена плоскость. Найти объем тела,
ограниченного этими плоскостями.
980. От правильной четырехугольной призмы плоско­
стью, проходящей через диагональ нижнего основания
и одну из вершин верхнего основания, отсечена пирамида
с полной поверхностью S. Найти полную поверхность
призмы, если угол при вершине треугольника, получив­
шегося в сечении, равен а.
981. Плоские углы при вершине параллелепипеда рав­
ны между собой и равны 45°. Длины ребер, сходящихся
в одной вершине, равны а, Ъ и с. Найти объем паралле­
лепипеда.
982. В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих
из одной вершины, суть а, Ь и с. Первые два ребра вза­
имно перпендикулярны, а третье образует с каждым из
них угол а. Найти объем параллелепипеда.
988. Острые углы а, р появляю тся плоскими углами
трехгранного угла. Найти его двугранные углы.
984. Найти объем параллелепипеда, если длины трех
его ребер, сходящихся в одной вершине, равны I, т и пу
а плоские углы при той же вершине — а, р и у, причем
все острые.
985. Через середину высоты правильной треугольной
пирамиды, параллельно ее боковой грани, проведена
плоскость. Найти площадь получившегося сечения, если
площадь боковой грани пирамиды равна 5.
986. Через центр основания правильной треугольной
пирамиды, параллельно двум непересекающимся ребрам
ее, проведена плоскость. Найти площадь получившегося
сечения, если боковое ребро пирамиды равно /, а ребро
основания а.
85
987. Боковые грани пирамиды, основанием которой
служит равнобедренная трапеция с высотой Л, одинаково
наклонены к плоскости основания. Из вершины пирами­
ды опущены перпендикуляры на боковые стороны тра­
пеции, и основания их соединены. В полученном тре­
угольном сечении угол при вершине равен а, а площадь
сечения равна 5. Найти объем пирамиды.
988. Основанием четырехугольной пирамиды служит
трапеция с основаниями а и Ь {а^Ь) и высотой h. Боко­
вая грань, проходящая через меньшее основание трапе­
ции, перпендикулярна к плоскости основания, а проти­
воположная грань является равнобедренным треугольни­
ком с углом при вершине пирамиды, равным а. Через
вершину пирамиды и точку пересечения диагоналей тра­
пеции проведена плоскость, параллельная основаниям
трапеции. Найти площадь образовавшегося в этой пло­
скости треугольника.
989. Через сторону основания правильной треуголь­
ной призмы проведена плоскость под углом а к плоско­
сти основания. Определить площадь образовавшегося
треугольного сечения, если объем пирамиды, отсеченной
плоскостью от призмы, равен V.
990. Гранями треугольной пирамиды являются рав­
ные равнобедренные треугольники. Основание и противо­
лежащий ему угол каждого такого треугольника — а
и а. Найти объем пирамиды.
991. Основанием прямой призмы служит ромб KBCD
со стороною а и углом 60°. Концы Вх и D{ диагонали
верхнего основания призмы соединены прямыми ВгЕ и
DiF с серединами сторон KD и КВ нижнего. В пересече­
нии этих прямых образуется угол B\OD\y равный а.
Определить объем призмы.
992. В основании прямой призмы лежит равнобедрен­
ный треугольник, периметр которого равен 2/?, а каждый
из двух равных углов равен а. Через основание этого
треугольника и конец противоположного ребра призмы
проведено сечение. Угол при основании этого треуголь­
ного сечения равен р. Найти объем призмы.
993. Найти полную поверхность правильной треуголь­
ной пирамиды по данному ее объему V и углу а меж­
ду боковой гранью и плоскостью основания.
994. Основанием пирамиды служит прямоугольник.
86
Длина каждого бокового ребра равна т. Плоские углы
трехгранных углов при основании пирамиды суть а, р
и 90°. Найти объем пирамиды.
995. В правильной четырехугольной пирамиде, у ко­
торой сторона основания равна а и двугранный угол при
основании равен а, через одну из сторон основания про­
ведена плоскость под углом р к плоскости основания.
Определить площадь сечения.
996. Высота правильной треугольной пирамиды рав­
на Л, а двугранный угол при боковом ребре равен 2а.
Найти объем пирамиды.
997. В правильной ^-угольной пирамиде сторона
основания равна 2а, двугранный угол при боковом ребре
равен 2а. Определить объем пирамиды.
998. Правильная треугольная пирамида пересечена
плоскостью, проходящей через вершину основания и се­
редины двух боковых ребер. Найти отношение боковой
поверхности пирамиды к площади основания, если из­
вестно, что секущая плоскость перпендикулярна к одной
из боковых граней. Указать, к какой именно.
999. Основанием пирамиды служит трапеция, боко­
вые стороны и меньшее основание которой равны a, a
острый угол а. Боковые ребра наклонены к плоскости
основания под углом <р. Найти объем пирамиды.
1000. Из середины высоты правильной четырехуголь­
ной пирамиды опущен перпендикуляр на боковое ребро,
равный Л, и перпендикуляр на боковую грань, равный а.
Найти объем пирамиды.
1001. Через одно из ребер основания правильной тре­
угольной пирамиды со стороной основания q проведена
плоскость перпендикулярно противолежащему боковому
ребру и делящая это ребро в отношении т : п. Опреде­
лить полную поверхность пирамиды.
1002. Вычислить объем правильной пирамиды высо­
ты Л, зная, что в основании ее лежит многоугольник, сум­
ма внутренних углов которого равна 90°п> а отношение
боковой поверхности пирамиды к площади основания
равно k.
1003. Правильная пятиугольная пирамида SABCDE
пересечена плоскостью, проходящей через вершины А
и С основания и середины ребер SD и SE. Найти пло­
щадь сечения, если ребро основания пирамиды равно qy
а боковое ребро равно
87
1004. Через вершину правильной /z-угольной пирами­
ды и через две вершины многоугольника, лежащего
в основании, под углом а к плоскости основания проведена
плоскость, рассекающая основание на два многоуголь­
ника, имеющие соответственно ( г + 2) вершины и (/г—г)
сторона этих двух многоугольников равна Ь.
1005. Боковые ребра и две стороны основания тре­
угольной пирамиды равны между собой и равны Ь. Угол
между равными сторонами треугольника, лежащего в
основании, равен а. Найти объем пирамиды.
1006. Основанием пирамиды SABC служит треуголь­
ник АВС, в котором АВ и АС образуют между собой
угол а и АВ=АС = а. Грань SBC перпендикулярна к
плоскости основания, а грани 5 В Л 1 и 5СЛ образуют
с плоскостью основания углы ср. Определить боковую
поверхность этой пирамиды.
1007. Две правильные треугольные пирамиды имеют
общую высоту; вершина каждой пирамиды лежит в цен­
тре основания другой; боковые ребра одной пересе­
кают боковые ребра другой. Боковое ребро I первой пи­
рамиды образует с высотой угол а, боковое ребро второй
образует с высотой угол р. Определить объем общей
части этих пирамид.
1008. Правильный октаэдр пересечен плоскостью так,
что в сечении получился правильный шестиугольник.
Все вершины этого шестиугольника соединены с одной из
вершин данного октаэдра. Найти объем образовавшегося
тела, если объем октаэдра равен V.
1009. В правильной усеченной четырехугольной пира­
миде проведена плоскость через две противоположные
вершины параллельно диагонали основания. Определить
площадь сечения, если высота пирамиды h, а стороны
оснований а и Ь.
1010. В основании пирамиды лежит ромб со сторо­
ной а и острым углом а. Каждый из двугранных углов
при основании равен <р. Определить объем шара, впи­
санного в эту пирамиду.
1011. Две равные правильные четырехугольные пи­
рамиды приложены одна к другой основаниями так, что
оба основания совпадают, а вершины расположены по
разные стороны от общего основания. В образованный
Найти объем пирамиды, если общая
88
таким образом восьмигранник вписан шар. Определить
его радиус, если сторона основания каждой из пирамид
равна а, а плоский угол при вершине равен а.
1012. Шаровая поверхность касается трех ребер куба,
сходящихся в одной вершине, и трех его граней, пересе­
кающихся в вершине, противоположной предыдущей.
Найти часть поверхности этой сферы, лежащей вне куба,
если ребро куба равно а.
1013. Шар вписан в прямую призму, в основании ко­
торой лежит прямоугольный треугольник. В этом тре­
угольнике перпендикуляр, опущенный из вершины пря­
мого угла на гипотенузу, имеет длину h и составляет
с одним из катетов угол а. Определить объем призмы.
1014. Ребро правильного тетраэдра равно а. Опреде­
лить радиус шара, поверхность которого касается всех
ребер тетраэдра.
1015. Двугранный угол при боковом ребре правиль­
ной четырехугольной пирамиды равен а, а радиус шара,
вписанного в эту пирамиду, равен /?. Найти полную по-
верхность^ пирамиды.
1016. В прямой круговой конус объема V вписана
треугольная пирамида с плоскими углами при вершине,
равными а,р и у. Найти объем этой пирамиды.
1017. В шаре из точки его поверхности проведены три
равные хорды под углом 2а друг к другу. Определить их
длины, если радиус шара равен R.
1018. В правильную четырехугольную пирамиду, сто­
рона основания которой равна а, а плоский угол при вер­
шине равен а, вписан полушар с плоскостью экватора,
расположенной в основании пирамиды. Найти объем мно­
гогранника, четыре вершины которого находятся в точ­
ках касания шаровой поверхности с боковыми гранями
пирамиды, а пятая — в центре полушара.
1019. Стороны равнобедренной трапеции касаются
кругового цилиндра, ось которого перпендикулярна па­
раллельным сторонам трапеции. Найти угол, который
образует ось цилиндра с плоскостью трапеции, если
основания трапеции суть а и 6, а ее высота равна к.
1020. О севое сечение конуса — две взаимно перпен­
дикулярные прямые. На одной и той же образующей ко­
нуса взяты точки Л и В на расстоянии а друг от друга.
На поверхности конуса взяты еще две точки С и D такие,
89
что ABCD — правильный тетраэдр. Найти расстояние от
вершины .конуса до ребра CD этого тетраэдра*
1021. Найти объем цилиндра, расположенного внутри
правильного тетраэдра так, что высота тетраэдра служит
осью цилиндра, окружность одного основания цилиндра
лежит в плоскости основания тетраэдра, а окружность
другого — касается остальных граней тетраэдра и пере­
секает две другие его высоты. Ребро тетраэдра равно L
1022. Радиус основания конуса равен R, а образую­
щая наклонена к плоскости основания под углом а.
В этом конусе проведена плоскость через его вершину
под углом (р к его высоте. Найти площадь полученного
сечения.
1023. Два конуса имеют общую высоту, но верши­
ны их лежат в разных концах высоты. Образующая пер­
вого конусслравна /, а угол при вершине его осевого сече­
ния равен 2а. Угол при вершине в осевом сечении второ­
го конуса равен 2р. Найти объем общей части конусов.
1024. В трапеции одна из боковых сторон равна Ь и
образует с большим основанием, равным 2а, угол а.
Меньшее основание равно а. Определить объем тела,
образованного вращением этой трапеции вокруг данной
боковой стороны.
1025. Угол образующей а конуса с плоскостью его
основания равен а. Найти объем описанной около кону­
са пирамиды, основанием которой служит ромб с острым
углом р.
1026. Около конуса описана треугольная пирамида,
причем линиями касания боковая поверхность конуса де­
лится на три части, относящиеся между собой, как
5:6:7. Найти отношение между частями боковой по­
верхности пирамиды, ограниченными линиями касания.
1027. На плоскости лежат три равных конуса с общей
вершиной. Каждый из них касается двух, рядом лежа­
щих. Найти угол при вершине осевого сечения одного из
этих конусов.
1028. На высоте конуса, как на диаметре, описан
шар. Найти объем части шара, заключенной внутри ко­
нуса, если даны высота h конуса и угол при вершине его
осевого сечения, равный 2а.
1029. Конус с углом а между осью и образующей
и радиусом основания г рассечен сферической поверх­
ностью, центр которой находится в вершине конуса, так
90
что объем конуса разделен пополам. Найти радиус этой
сферы.
1030. В правильную n-угольную пирамиду с ребром
основания q и боковым ребром а вписан шар. Найти его
радиус.
1031. Высота правильной четырехугольной пирамиды
равна h. Перпендикуляр, опущенный из центра шара,
описанного около пирамиды, на ее боковую грань, обра­
зует с высотой угол а. Найти объем шара.
1032. Прямой круговой конус рассечен на две части,
равные по объему, плоскостью, проходящей через центр
вписанного шара перпендикулярно оси. Найти угол
между образующей и плоскостью основания.
1033. В прямой круговой конус, угол при вершине осе­
вого сечения которого равен а, вписан шар радиуса г и
затем проведена плоскость, заключающая окружность
касания поверхности конуса с поверхностью шара. Най­
ти объем получившегося усеченного конуса.
1034. Основанием пирамиды служит прямоугольник,
диагонали которого образуют между собой угол а, а бо­
ковые ребра ее составляют с плоскостью основания
угол ср. Найти объем пирамиды, если известно, что ра­
диус описанного около нее шара равен /?.
1035. В конус вписан шар радиуса г. Найти объем
конуса, если известно, что плоскость, касающаяся шара
и перпендикулярная к одной из образующих конуса, от­
стоит от вершины конуса на расстояние d.
1036. В шар радиуса R вписан цилиндр. Рассматри­
вая объем цилиндра как функцию радиуса основания
цилиндра, написать формулу, связывающую функцию
и аргумент.
1037. Можно ли определить призму как многогран­
ник, у которого две грани — равные многоугольники
с соответственно параллельными сторонами, а все осталь­
ные грани — параллелограммы?


Категория: Математика | Добавил: Админ (02.03.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar