Тема №7756 Задачи для проведения олимпиады по математике 5-9 классы 2145 (Часть 1)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи для проведения олимпиады по математике 5-9 классы 2145 (Часть 1) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи для проведения олимпиады по математике 5-9 классы 2145 (Часть 1), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

1. В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых
президентских выборов. В стране ровно 20 000 000 избирателей, из которых только
один процент (регулярная армия Анчурии) поддерживает Мирафлореса. Он хочет
быть демократически избранным. <Демократическим голосованием> Мирафлорес
называет вот что: всех избирателей разбивают на несколько равных групп, затем
каждую из этих групп вновь разбивают на некоторое количество равных групп,
затем эти последние группы снова разбивают на равные группы и так далее; в самых
мелких группах выбирают представителя группы — выборщика, затем выборщики
выбирают представителей для голосования в ещё большей группе и так далее;
наконец, представители самых больших групп выбирают президента. Мирафлорес
сам делит избирателей на группы. Может ли он так организовать выборы, чтобы
его избрали президентом? (При равенстве голосов побеждает оппозиция.)
XXXII московская олимпиада. Решение — в №7–1970
2. Дана сфера радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ0 , γ1 , ... , γn
радиуса r , где n > 2 . Окружность γ0 касается всех окружностей γ1 , ... , γn ;
кроме того, касаются друг друга окружности γ1 и γ2 , γ2 и γ3 , ... , γn и γ1 . При
каких n это возможно? Вычислите соответствующий радиус r .

9. Рассмотрим следующие свойства тетраэдра (тетраэдр — это произвольная треугольная пирамида):
• все грани одной площади;
• каждое ребро равно противоположному;
• все грани конгруэнтны;
• центры описанной и вписанной сфер совпадают;
• для любой вершины тетраэдра сумма величин сходящихся в этой вершине
плоских углов равна 180◦ .
Докажите, что все эти свойства эквивалентны. Найдите ещё несколько равносильных им свойств тетраэдра. Н.Б. Васильев и А.Л. Тоом. Решение — в №10–1970
10. Четыре круга, центры которых — вершины выпуклого четырёхугольника, целиком
покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга,
которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
Г.А. Гальперин. Решение — в №10–1970
11. а) На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 весёлых чижа
(на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один — по часовой
стрелке, другой — против). Докажите, что чижи никогда не соберутся на одном
дереве.
б) А если чижей и деревьев n? Из
задач вечерней математической школы при МГУ. Решение — в №11–1970 и на странице 40 двенадцатого номера 1970 года
12. Какие четырёхугольники можно разрезать прямой линией на два подобных между
собой четырёхугольника? Н.Б. Васильев и М.И. Башмаков. Решение — в №11–1970
13. Если разность между наибольшим и наименьшим из n данных вещественных чисел
равна d, а сумма модулей всех n(n−1)/2 попарных разностей этих чисел равна s,
то (n − 1)d  s  n2d/4 . Д окажите это. Н.Б. Васильев и М.И. Башмаков. Решение — в №11-1970
14. Некоторые грани выпуклого многогранника покрашены так, что никакие две покрашенные грани не имеют общего ребра. Докажите, что в этот многогранник
нельзя вписать шар, если а) покрашенных граней больше половины; б) сумма площадей покрашенных граней больше суммы площадей непокрашенных граней.
Н.Б. Васильев и М.И. Башмаков. Решение — в №11–1970. Статья Е.М. Андреева <Невписываемые многогранники> восьмого номера 1970 года
15. Квадратная таблица размером n × n заполнена неотрицательными числами так,
что как сумма чисел любой строки, так и сумма чисел любого столбца равна 1.
Докажите, что из таблицы можно выбрать n положительных чисел, никакие два
из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.
Н.Б. Васильев. Решение — в №11–1970. Комментарий — в статье М.И. Башмакова <Паросочетания и траспортные сети> четвёртого номера 1970 года
3
16. Многочлен с целыми коэффициентами, который при трёх различных целых значениях переменной принимает значение 1, не может иметь ни одного целого корня.
Докажите это. Н.Б. Васильев. Решение — в №12–1970
17. Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом 60◦ , спросил:
<Как пройти в село NN?> Ему ответили: <Иди по левой дороге до деревни N — это
в восьми верстах отсюда,— там увидишь, что направо под прямым углом отходит
большая ровная дорога,— это как раз дорога в NN. А можешь идти другим путём:
сейчас по правой дороге; как выйдешь к железной дороге,— значит, половину пути
прошёл; тут поверни налево и иди прямо по шпалам до самого NN>. — <Ну,
а какой путь короче-то будет?> — <Да всё равно, что так, что этак, никакой
разницы.> И пошёл крестьянин по правой дороге.
Сколько вёрст ему придётся идти до NN? Больше десяти или меньше? А если
идти от развилки до NN напрямик? (Все дороги прямые.)
Н.Б. Васильев. Решение — в №12–1970 C
A B
M
18. а) Для любой точки М описанной около правильного треугольника АВС окружности длина одного из отрезков МА,
МВ и МС равна сумме длин двух других. Докажите это.
б) Три равные окружности касаются друг друга, а четвёртая
окружность касается всех трёх. Докажите, что для любой
точки четвёртой окружности длина касательной, проведённой
из неё к одной из трёх окружностей, равна сумме длин касательных, проведённых из неё к двум другим окружностям.
Н.Б. Васильев.
Решение — в №12–1970. Статья М.Ю. Панова и А.В. Спивака <Вписанные многоугольники> первого номера 1999 года
19. В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: <покой> и <возбуждение>.
Если клетка возбудилась, то она сразу посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через миллисекунду)
доходит до обеих её соседок. Каждая клетка возбуждается
в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал
только от одной из соседних клеток. Например, если в начальной момент времени возбуждены три соседние клетки,
а остальные покоятся, то возбуждение будет распространяться следующим образом:
Пусть в начальный момент времени возбуждена только одна клетка. Сколько будет
возбуждённых клеток через 15 мсек? 65 мсек? 1000 мсек? вообще, через t мсек?
4
А если цепочка не бесконечная, а состоит из соединённых в окружность n клеток,
будет возбуждение поддерживаться бесконечно долго или затухнет?
Н.Б. Васильев. Начало решения — в
№12–1970 и №8–1971; окончание — в решении задачи М56 (восьмой номер 1971 года). Статья Д.Б. и М.Б. Фуксов <Арифметика биномиальных коэффициентов>
20. Разбейте правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы любая
прямая пересекала не более сорока из них. ХХХI московская олимпиада. Решение — в №12–1970
21. Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин
которых равна 10. Докажите существование прямой, пересекающей по крайней
мере четыре из этих окружностей.

28.
∗ а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно
узнать, есть в ней хотя бы один радиоактивный шар или нет, но нельзя узнать,
сколько таких шаров в кучке. Докажите, что за 8 проверок можно выделить оба
радиоактивных шара.
б) Из 11 шаров 2 радиоактивны. Докажите, что менее чем за 7 проверок нельзя
гарантировать выделение обоих радиоактивных шаров.
А.Н. Виленкин. XXX московская олимпиада. Решение — в №3 и №4–1971
5
29. На столе лежат n одинаковых монет, образуя замкнутую цепочку. Центры монет
образуют выпуклый многоугольник. а) Сколько оборотов сделает монета такого же
размера за время, пока она один раз прокатится по внешней стороне всей цепочки,
как показано на рисунке?
б) Как изменится ответ, если радиус этой монеты в k раз больше радиуса каждой
из монет цепочки? Н.Б. Васильев. Решение — в №4–1971
30. Любую конечную систему точек плоскости можно покрыть несколькими непересекающимися кругами, сумма диаметров которых меньше количества точек, а
расстояние между любыми двумя из которых больше 1. Докажите это. (Расстояние
между двумя кругами — это расстояние между их ближайшими точками.)
В.И. Арнольд. Решение — в №4–1971
31. Квадратный лист бумаги разрезают по прямой на две части. Одну из полученных
частей снова разрезают на две части, и так делают много раз. Какое наименьшее
число разрезов нужно сделать, чтобы среди полученных частей могло оказаться
ровно 100 двадцатиугольников?
И.Н. Бернштейн. Московская олимпиада, 1970 год. Решение — в №5–1971
32. Во всех клетках таблицы размером 100×100 стоят плюсы. Разрешено одновременно
изменить знаки во всех клетках одной строки или во всех клетках одного столбца.
Можно ли, проделав такие операции несколько раз, получить таблицу, где ровно
1970 минусов? А.В. Зелевинский. Московская олимпиада, 1970 год. Решение — в №5–1971
33.
∗ Рассмотрим натуральное число n > 1000 . Найдём остатки от деления числа 2n на
числа 1, 2, 3, ... , n и найдём сумму всех этих остатков. Докажите, что эта сумма
больше 2n. А.Г. Кушниренко. Московская олимпиада, 1970 год. Решение — в №5–1971
34. Если натуральное число делится на 10 101 010 101, то по крайней мере шесть цифр
его десятичной записи отличны от нуля. Докажите это.
А.К. Толпыго. Московская олимпиада, 1970 год. Решение — в №6–1971
35.
∗ Около сферы с радиусом 10 описан некоторый 19-гранник. Докажите, что на его
поверхности есть две точки, расстояние между которыми больше 21.
А.Г. Кушниренко. Московская олимпиада, 1970 год. Решение — в №6–1971
36. На плоскости нельзя расположить 7 прямых и 7 точек так, чтобы через каждую
из точек проходили 3 прямые и на каждой прямой лежали 3 точки. Докажите
это. Н.Б. Васильев. Решение — в №6–1971
37.
∗ В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число
так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки,
по модулю не превосходит единицы.
а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами,
докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
б) Докажите, что можно взять c = 4.
в) Улучшите оценку — докажите, что утверждение верно для c = 3.
г) Постройте пример, показывающий, что при c < 3 утверждение неверно.
Ю.И. Ионин. Решение — в №6–1971
38. Окружность, построенная на высоте СD прямоугольного треугольника АВС как
на диаметре, пересекает катет ВС в точке K, а катет АС — в точке М. Отрезок
KМ пересекает высоту СD в точке L. Длины отрезков СK, СL и СM составляют
геометрическую прогрессию (то есть СK/СL = СL/СM). Найдите величины острых
углов треугольника АВС.

44. Для любого натурального числа k существует бесконечно много натуральных чисел t , не содержащих в десятичной записи нулей и таких, что сумма цифр числа kt равна сумме цифр числа t . Докажите это. Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 10 класс. Решение — в №7–1971
45.
∗ а) Из любых 200 целых чисел можно выбрать 100 чисел, сумма которых делится
на 100. Докажите это.
б) Из любых 2n − 1 целых чисел можно выбрать n, сумма которых делится на n.
Докажите это. Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 9 класс. Решение — в №7 и №8–1971
46. Сколько в выпуклом n-угольнике может быть сторон, равных наибольшей диагонали?

48. Биссектриса AD, медиана BM и высота CH остроугольного треугольника ABC
пересекаются в одной точке. Докажите неравенство BAC > 45◦ .
Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 9 класс. Решение — в №7–1971
49. На карточках написаны все числа от 11 111 до 99 999 включительно. Затем эти
карточки выложили в цепочку в произвольном порядке. Докажите, что полученное
444 445-значное число не является степенью двойки.
Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 10 класс. 7–1971
50.
∗ Вершины правильного n-угольника покрашены несколькими красками (каждая —
одной краской) так, что точки одного и того же цвета служат вершинами правильного многоугольника. Докажите, что среди этих многоугольников есть два
конгруэнтных. Н.Б. Васильев. Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 10 класс. Решение — в №8–1971
51. Если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел больше
суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1. Докажите
это. Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 8 класс. Решение — в №8–1971
52. Пять отрезков таковы, что из любых трёх можно составить треугольник. Докажите,
что хотя бы один из таких десяти треугольников остроугольный.
М. Серов. Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 9 класс. Решение — в №8–1971
53. Через середину М стороны ВС и центр О вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, пересекающая высоту АН в точке Е. Докажите, что длина
отрезка АЕ равна радиусу вписанной окружности треугольника.
Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 10 класс. Решение — в №8–1971
54. Два конгруэнтных прямоугольника расположены так, что
их контуры пересекаются в восьми точках. Докажите, что
площадь пересечения этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.
Г.А. Гальперин. Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 10 класс. Решение — в №8–1971
55. Множество всех натуральных чисел, в десятичных записях
которых не больше n цифр, разбили на два подмножества
следующим образом. В первое входят числа с нечётной суммой цифр, а во второе — c чётной. Докажите, что для любого натурального числа
k  n сумма k-х степеней всех чисел первого подмножества равна сумме k-х степеней всех чисел второго подмножества.
Всесоюзная олимпиада 1970 года, 10 класс. Решение — в №8–1971
56. На окружности выписаны в произвольном порядке четыре единицы и пять нулей.
В промежутке между двумя одинаковыми числами пишем нуль, между разными
цифрами — единицу, а после этого первоначальные цифры стираем. Докажите,
что сколько бы раз мы ни повтoрили эту процедуру, мы никогда не получим набор
из девяти нулей. Е.Б. Дынкин, С.А.Молчанов, А.Л. Розенталь и А.К. Толпыго. Решение — в №8–1971
57. a) Найдите число k, которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей
(включая 1 и k).
б) Докажите, что если заменить 14 на 15, то ответов будет несколько; а при
замене 14 на 17 ни одного не будет.
Е.Б. Дынкин, С.А.Молчанов, А.Л. Розенталь и А.К. Толпыго. Решение — в №8–1971
58. На плоскости даны три прямые, пересекающиеся в одной точке. На одной из них
отмечена точка. Прямые — биссектрисы некоторого треугольника, а отмеченная
точка — одна из его вершин. Постройте этот треугольник.
Е.Б. Дынкин, С.А.Молчанов, А.Л. Розенталь и А.К. Толпыго. Решение — в №8–1971
8
59. При каких n гири массами 1 г, 2 г, 3 г, ... , n г можно разложить на три равные
по массе кучки? (Например, при n = 9 — можно: 9 + 6 = 8 + 7 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 .)
Е.Б. Дынкин, С.А.Молчанов, А.Л. Розенталь и А.К. Толпыго. Решение — в №8–1971
60. Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь
цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на два непересекающихся подмножества так,
чтобы сумма любых двух различных чисел из одного и того же подмножества
содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.
Е.Б. Дынкин, С.А.Молчанов, А.Л. Розенталь и А.К. Толпыго. Решение — в №8–1971

67. Ювелиру заказали золотое кольцо шириной h, имеющее форму тела, ограниченного
поверхностью шара с центром О и поверхностью цилиндра радиуса r , ось которого
проходит через точку О. Мастер сделал такое колечко, но выбрал r слишком
маленьким. Сколько золота ему придётся добавить, если r нужно увеличить в
k раз, а ширину h оставить прежней? Н.Б. Васильев. Решение — в №10–1971
68. Сеть линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей
с радиусами 1, 2, 3, 4, ... и центром в точке О, прямой l, проходящей через
точку О, и всевозможных касательных к окружностям, параллельных l. Вся
плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном
порядке. В цепочке красных точек, показанных на рисунке, каждые две соседние
точки являются противоположными вершинами синей клетки. Докажите, что
10
все точки такой бесконечной цепочки лежат на одной параболе (поэтому рисунок
словно соткан из парабол).

75. Докажите для любого выпуклого многогранника следующие утверждения.
а) Сумма длин рёбер больше утроенного диаметра. (Диаметр многогранника — это
наибольшая из длин отрезков с концами в вершинах многогранника.)
б) Для любых вершин A и B многогранника существуют три ломаные, каждая
из которых идёт по его рёбрам из А в В и никакие две не проходят по одному
ребру.
в) Если разрезать любые два ребра, то для любых двух вершин А и В многогранника существует соединяющая их ломаная, идущая по оставшимся рёбрам.
г) В пункте б) можно выбрать три ломаные, никакие две из которых не имеют
общих вершин, за исключением точек А и В. А.Г. Кушниренко. Решение — в №12–1971
76. В некоторой компании у каждых двух незнакомых ровно двое общих знакомых, а
у любых двоих знакомых нет больше ни одного общего знакомого. Докажите, что
в этой компании каждый знаком с одним и тем же числом людей.
Н.Б. Васильев. Решение — в №12–1971
77. Длины двух сторон треугольника равны 10 и 15. Докажите, что длина биссектрисы
угла между ними не больше 12.

80. В прямоугольной таблице расставлены произвольные числа. Разрешено одновременно изменить знак у всех чисел некоторого столбца или у всех чисел некоторой
строки. Докажите, что, повторив такую операцию несколько раз, можно получить
таблицу, у которой неотрицательна как сумма чисел любого столбца, так и сумма
чисел любой строки.
А.С.Шварц. Решение — в №1–1972. Статья Л.Д. Курляндчика и Д.В. Фомина <Этюды о полуинварианте> седьмого номера 1989 года
A A
A


 A
P
81. Внутри квадрата A1A2A3A4 расположена точка P. Из вершины A1 опущен перпендикуляр на прямую A2P, из вершины A2 — на A3P, из A3 — на A4P, из A4 — на A1P.
Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
А.Н. Виленкин. Решение — в №1–1972
82. На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся
в этих автомашинах, слили в одну, то она смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее
место. Докажите, что хотя бы одна машина может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных
машин. Н.Б. Васильев. Решение — в №1–1972
83.
∗ Множество первых n натуральных чисел ни при каком n > 1 нельзя разбить на два
множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению
чисел другого. Докажите это. Н.Б.Васильев. Решение — в №1–1972
84.∗ А — основание перпендикуляра, опущенного из центра
данной окружности на прямую ВС, причём ВA = АС. Через точки В и С проведены секущие, одна из которых
пересекает окружность в точках Р и Q, вторая — в точках
M и N. Прямые РM и QN пересекают прямую BC
в точках R и S. Докажите равенство AR = AS. (

 

92. Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом каждый второй
день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий — ездить
в магазин за продуктами, а каждый пятый день — решать задачи по математике.
(В первый день Петя сделал и первое, и второе, и третье и очень устал.) Сколько
будет у Пети <приятных> дней, когда нужно будет купаться, но не нужно ни ездить
в магазин, ни решать задачи? Сколько <скучных>, когда совсем не будет никаких
дел? Л.Г. Лиманов. Решение — в №3–1972
93. Каждое из n данных чисел, выписанных вдоль окружности, было равно единице
или минус единице. Между каждыми двумя соседними числами написали их
произведение, а сами числа после этого стёрли. Сумма оставшихся n произведений
оказалась равна нулю. Докажите, что n делится на 4. А.М. Леонтович. Решение — в №3–1972
94.
∗ Если в каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее чем четыре
ребра, то хотя бы одна из граней — треугольник. Докажите это.
Л.Г. Лиманов. Решение — в №3–1972 O
E F
K
95. На доске начертили трапецию и её среднюю линию ЕF. Из точки О пересечения диагоналей на большее основание опустили перпендикуляр ОK и стёрли трапецию.
14
Восстановите чертёж по сохранившимся отрезкам EF
и KО. Л.Г. Лиманов. Решение — в №3–1972
96. Пять положительных чисел таковы, что если из суммы
любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит
квадрата произведения данных пяти чисел. С.Т. Берколайко. Решение — в №4–1972
97. В трапеции ABCD с основаниями AB = a и CD = b проведён отрезок A1B1 , соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции проведён отрезок A2B2 ,
тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков AB, A1B1 , A2B2 , ... какое-то число встретиться дважды?
Является ли эта последовательность монотонной (возрастающей или убывающей)?
Стремится ли она к какому-нибудь пределу?

105. а) Сумма цифр числа после умножения на 8 может уменьшиться: 75 · 8 = 600
— сумма цифр была 7 + 5 = 12 , а стала 6 + 0 + 0 = 6 . Однако она не может
уменьшиться более, чем в 8 раз. Докажите это. Другими словами, докажите для
любого натурального числа n неравенство s(n)  8s(8n) , где s(a) — сумма цифр десятичной
записи числа a.
б*) Для каких ещё натуральных чисел k существует такое положительное число ck ,
что для любого натурального n справедливо неравенство cks(n)  s(kn) ? Найдите
для каждого такого k наибольшее подходящее значение ck .
И.Н. Бернштейн. Решение — в №5–1972
106. Если для чисел p1 , p2 , q1 и q2 выполнено неравенство (q1 − q2)2 + (p1 − p2)(p1q2 −
− p2q1) < 0 , то квадратные трёхчлены x2 + p1x + q1 и x2 + p2x + q2 имеют
вещественные корни, причём между двумя корнями каждого из них лежит корень
другого. Докажите это. И.Ф.Шарыгин. V Всесоюзная олимпиада. Решение — в №6–1972
107. а) Дан выпуклый многоугольник A1A2 ...An . На стороне A1A2 взяты точки B1
и D2 , на стороне A2A3 — точки B2 и D3 , ... , на стороне AnA1 — точки Bn и D1
так, что если построить параллелограммы A1B1C1D1 , A2B2C2D2 , ... , AnBnCnDn , то
прямые A1C1 , A2C2 , ... , AnCn пересекутся в одной точке. Докажите равенство
A1B1 · A2B2 · ... · AnBn = A1D1 · A2D2 · ... · AnDn.
б) Для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне A1A2 выбраны
точки B1 и D2 , на стороне A2A3 — точки B2 и D3 , а на стороне A3A1 —
точки B3 и D1 , причём A1B1 · A2B2 · A3B3 = A1D1 · A2D2 · A3D3 , а четырёхугольники
A1B1C1D1 , A2B2C2D2 и A3B3C3D3 — параллелограммы, то прямые A1C1 , A2C2
и A3C3 пересекаются в одной точке. Докажите это.
В.Л. Гутенмахер. V Всесоюзная олимпиада. Решение — в №6–1972
108. а) Прямая, разбивающая данный треугольник на два многоугольника равной площади и равного периметра, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник. Докажите это.
б) Докажите аналогичное утверждение для произвольного многоугольника, в который можно вписать окружность.
Ю.И. Ионин. V Всесоюзная олимпиада. Решение — в №7–1972. Комментарий — на странице 60 этого же номера
109. а) В вершине A1 правильного 12-угольника A1A2A3 ...A12 стоит знак минус, а в
остальных — плюсы. Разрешено одновременно поменять знак на противоположный
в любых последовательных а) шести; б) четырёх; в) трёх вершинах многоугольника. Докажите, что при помощи таких операций нельзя добиться того, чтобы в
вершине A2 оказался знак минус, а в остальных вершинах — плюсы.
V Всесоюзная олимпиада. Решение — в №7–1972. Комментарий — на странице 60 этого же номера
110. Несколько клеток бесконечного листа клетчатой бумаги окрашены. Докажите, что
из листа можно вырезать несколько квадратов так, что все окрашенные клетки
окажутся в вырезанных квадратах и при этом в любом вырезанном квадрате площадь окрашенных клеток составит не менее 1/5 и не более 4/5 площади этого
квадрата. Г.В. Розенблюм. V Всесоюзная олимпиада. Решение — в №8–1972
111.
∗ В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя
точками которой не равно 0,001. Докажите, что площадь этой фигуры не превышает 0,34. (Можете считать, что граница фигуры, о которой говорится в условии, состоит
из отрезков прямых и дуг окружностей. Постарайтесь получить более точную оценку.
Докажите аналогичную теорему в пространстве.) Г.В. Розенблюм. Решение — в №8–1972
16
112. В таблице размером m× n записаны числа так, что для любых двух строк и любых
двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими
прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел
стёрли, но по оставшимся можно восстановить стёртые. Докажите, что осталось
не менее (n + m − 1) чисел. Л.Г. Лиманов. Решение — в №8–1972
113. Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число,
делящееся на 2n . Д окажите это. (Например, 2 делится на 2, число 12 делится на 4,
на 8 делится число 112, а на 16 делится число 2112.) Б.М. Ивлев. Решение — в №8–1972
114. По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд
чисел a, b, c, d произведение чисел a − d и b − c отрицательно, то числа b и c
можно поменять местами. Докажите, что такие операции можно проделать лишь
конечное число раз.
В.Б. Алексеев. Решение — в №8–1972. Статья Л.Д. Курляндчика и Д.В. Фомина <Этюды о полуинварианте> седьмого номера 1989 года
115.
∗ В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено
перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда.
Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)
Г.А. Гальперин, А.Г.Ширшов и Л.Г. Лиманов. Решение — в №8–1972 и на странице
116. а) Если соединены середины последовательных сторон выпуклого многоугольника, то периметр полученного многоугольника
не меньше половины периметра исходного многоугольника. Докажите это.
б) Если соединить середины последовательных сторон выпуклого
n-угольника, где n > 3 , то площадь полученного многоугольника
не меньше половины площади исходного многоугольника. Докажите это. Г.А. Гальперин. Решение — в №8–1972. Комментарий — на странице 80 этого же номера
117. Несколько человек в течение t минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал
за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно
1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой
наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти t минут?
Попробуйте решить эту задачу сначала для небольших значений t , например, для t = 2,5 .
Н.Н. Константинов. Решение — в №8–1972
118. С четырёх сторон шахматной доски размером n × n построена кайма шириной в
2 поля. Докажите, что кайму можно обойти шахматным конём, побывав на каждом
поле один и только один раз, в тех и только тех случаях, когда n − 1 кратно 4.
Ю.И. и Ю.Ю. Соркины. Решение — в №8–1972
119. Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести
из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю
сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких
векторов окажется равна нулю. Докажите это. Н.Б. Васильев. Решение — в №8–1972
120. В некотором множестве введена операция ∗, которая по каждым двум элементам
a и b этого множества вычисляет некоторый элемент a ∗ b этого множества. Для
любых элементов a, b и c выполнено равенство a ∗ (b ∗ c) = b ∗ (c ∗ a) ; кроме того,
если a ∗ b = a ∗ c, то b = c. Докажите, что операция ∗ а) коммутативна, то есть
для любых элементов a и b верно равенство a ∗ b = b ∗ a; б) ассоциативна, то есть
для любых элементов a, b и c верно равенство (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) .

125.
∗ а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая
следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди
каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье?
б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством?
в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать
только нечётные числа. (Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь
среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма 5 + 7 делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма 107 + 5
делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма 7 + 107 делится на 3; наконец, в тройке 3, 5, 107
сумма 3 + 107 делится на 5.) Ю.И. Ионин. Решение — в №9–1972
126. Многоугольник, описанный вокруг окружности радиуса r , разрезали на треугольники. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников
больше r . И.Д. Новиков. Решение — в №10–1972
127. Для каждого натурального n обозначим через s(n) сумму цифр его десятичной
записи. Конечно или бесконечно множество натуральных чисел m, не представимых в виде m = n + s(n) ? (Например, 117 = 108 + s(108) , а число 121, как нетрудно
убедиться, в виде n + s(n) не представимо.) Н.Б. Васильев. Решение — в №10–1972
128. Найдите отношения длин сторон треугольника, одна из медиан которого делится
вписанной окружностью на три равные части. Н.Б. Васильев. Решение — в №10–1972
129. а) В ведро налили 12 литров молока. Пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 литров,
разделите молоко на две равные части.
б*) Решите общую задачу: при каких a и b можно разделить пополам (a + b)
литров молока, пользуясь лишь сосудами в a литров, b литров и (a + b) литров?
(За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить всё, что там есть, или долить
второй сосуд до верха.) В.В. Ушаков и Л.Г. Лиманов. Решение — в №11–1972
18
130. Какое наибольшее число точек можно разместить a) на плоскости; б*) в пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был
тупоугольным?
Г.А. Гальперин. Решение — в №11–1972. Комментарий — в статье И.М. Яглома <Оценки углов> десятого номера 1973 года
131. Четыре точки, в которых биссектрисы углов
между продолжениями противоположных сторон вписанного четырёхугольника пересекают
его стороны, являются вершинами ромба. Докажите это.
Десятиклассник М. Уртембаев (АлмаАта, Казахстан) и Н.Б. Васильев. Решение — в №11–1972
132. По окружности выписаны n чисел x1 , x2 ,
... , xn , каждое из которых равно 1 или −1 ,
причём сумма произведений соседних чисел
равна нулю (как в задаче М93) и вообще для
каждого k = 1 , 2, ... , n−1 сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга
на k мест, равна нулю (то есть x1x3 + x2x4 + ... = 0, x1x4 + x2x5 + ... =0 и
так далее; например, для n = 4 можно взять одно из чисел равным −1 , а три
других — равными 1).
а) Докажите, что n — квадрат целого числа.
б*) Существует ли такой набор чисел для n = 16 ? (Мы не знаем, при каких n такой
набор чисел существует.) Д.Н. Бернштейн. Решение — в №11–1972
133. Один из простейших многоклеточных организмов — водоросль вольвокс — представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными,
шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь,
шесть или пять соседних; в каждой <вершине> сходятся три клетки). Бывают
экземпляры, у которых есть и четырёхугольные, и восьмиугольные клетки, но
биологи заметили, что если таких <нестандартных> клеток (менее чем с пятью и
более чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клеток на 12 больше, чем
семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Объясните
этот факт.

153.
∗ Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а другой вставляет её
по своему усмотрению вместо одной из звёздочек в следующей разности: ∗∗∗∗ −
− ∗∗∗∗ . Затем первый называет ещё одну цифру, второй ставит её, первый опять
называет цифру, и так играют до тех пор, когда все звёздочки будут заменены
21
цифрами. Первый стремится к тому, чтобы разность получилась как можно больше,
а второй — чтобы она стала как можно меньше. Докажите, что
а) второй может расставлять цифры так, чтобы полученная разность стала не больше 4000, независимо от того, какие цифры называл первый;
б) первый может называть цифры так, чтобы разность стала не меньше 4000,
независимо от того, куда расставляет цифры второй.
Ю.И. Ионин. Всесоюзная олимпиада. Решение — в №3–1973
154. На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих
утверждений:
• некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку;
• некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.
А.Г. Харазишвили
и Н.Б. Васильев. Всесоюзная олимпиада. Решение — в №3–1973. Статья А.В. Спивака <Цепи и антицепи> пятого номера 2003 года
155.
∗ Дано несколько квадратов, сумма площадей которых равна 1. Докажите, что их
можно поместить без наложений в квадрат площади 2.
Г.А. Гальперин. Всесоюзная олимпиада. Статья Н.Б. Васильева и Г.А. Гальперина <Упаковка квадратов> четвёртого номера 1973 года
A B
D C
M N
P
Q
156. Точки M и N — середины сторон AD
и BC прямоугольника ABCD. На продолжении отрезка DC за точку D лежит
точка P. Прямые PM и AC пересекаются в точке Q. Докажите равенство углов
QNM и MNP. Ю.В.Михеев и Н.Б. Васильев.
Всесоюзная олимпиада 1972 года. Решение — в №4–1973

158. Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней её строке написано одно только натуральное число a > 1 , а далее под каждым числом k слева
пишем число k2 , а справа — число k+ 1 . Докажите, что в каждой строке таблицы
все числа разные. Например, при a = 2 вторая строка состоит из чисел 4 и 3, третья —
из чисел 16, 5, 9 и 4, четвёртая — из чисел 256, 17, 25, 6, 81, 10, 16 и 5.
Всесоюзная олимпиада 1972 года. Решение — в №4–1973
159.
∗ Можно ли расставить цифры 0, 1 и 2 в клетках листа клетчатой бумаги размером
100×100 таким образом, чтобы в каждом прямоугольнике размером 3×4 , стороны
которого идут по сторонам клеток, были бы три нуля, четыре единицы и пять
двоек? В.Е. Лапицкий и Ю.И.Ионин. Всесоюзная олимпиада 1972 года. Решение — в №4–1973
160.
∗ Когда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для любой
группы команд можно найти команду (может быть, из той же группы), которая
набрала в играх с командами этой группы нечётное число очков. Докажите, что
в турнире участвовало чётное число команд. (Поражение — 0 очков, ничья — 1 очко,
выигрыш — 2 очка.)
Г.А. Каспаров и Б.Макаревич. Всесоюзная олимпиада 1972 года. Решение — в №5–1973
22
161. Озеро имеет форму невыпуклого n-угольника. Докажите, что множество точек
озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо является внутренностью
некоторого выпуклого m-угольника, где m  n. И.Н. Бернштейн. Решение — в №5–1973
162. Возрастающая последовательность натуральных чисел a1 < a2 < a3 < ... такова,
что каждое натуральное число либо принадлежит ей, либо представимо в виде
суммы двух членов последовательности, быть может, одинаковых. Докажите для
любого натурального n неравенство an  n2 .
Девятиклассник Ю.Г. Ерошкин. Решение — в №5–1973
163. Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то проекции их точки пересечения на стороны
(или их продолжения) лежат на одной окружности.
Докажите это. И.А. Кушнир и Н.Б. Васильев. Решение — в №5–1973
164. На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполняющей верхнюю полуплоскость, записаны
какие-то числа так, что для каждой чёрной клетки
сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках — справа и слева,— равна сумме двух других
чисел, стоящих в соседних с ней клетках — сверху и снизу. Известно число, стоящее в одной клетке n-й строки (голубой крестик на рисунке), а требуется узнать
число, стоящее над ним в (n + 2) -й строке (красный знак вопроса на рисунке).
Сколько ещё чисел, стоящих в двух нижних строках (голубые точки на рисунке),
нужно для этого знать? М.Л. Гервер. Решение — в №5–1973
165.
∗ На окружности расположено множество F точек, состоящее из 100 дуг. При
любом повороте R окружности множество R(F) имеет хотя бы одну общую точку
с множеством F. (Другими словами, для любого угла α от 0◦ до 180◦ в множестве F
можно указать две точки, отстоящие одна от другой на угол α.) Какую наименьшую
сумму длин могут иметь 100 дуг, образующих множество F? Каков будет ответ,
если дуг не 100, а n? Ю.П. Лысов. Решение — в №6–1973
166. а) Школьники одного класса в сентябре ходили в два туристических похода. В первом походе мальчиков было меньше 2/5 общего числа участников этого похода,
во втором — тоже меньше 2/5. Каждый из учеников участвовал по крайней мере
в одном походе. Докажите, что в этом классе мальчики составляют меньше 4/7
общего числа учеников.
б) Пусть в k-м походе, где 1  k  n, мальчики составляли αk -ю часть общего
количества участников этого похода. Какую наибольшую долю могут составлять
мальчики на общей встрече всех туристов (всех, кто участвовал хотя бы в одном из
n походов)? Н.Б. Васильев. Решение — в №6–1973
167. В любой арифметической прогрессии a, a+d, a+ 2d, ... , a+nd, ... , составленной из натуральных чисел, есть бесконечно много членов, в разложении которых
на простые множители входят в точности одни и те же простые числа. Докажите
это. Дж. Пойа и Ю. Соркин. Решение — в №6–1973 и на странице 48 двенадцатого номера 1973 года
168. В правильной усечённой пирамиде точка K — середина некоторой стороны АВ
верхнего основания, L — середина некоторой стороны CD нижнего основания.
Докажите равенство длин проекций отрезков АВ и CD на прямую KL.
Г. Нотен. Решение — в №6–1973
169. Пусть k и n — натуральные числа, k  n. Расставьте первые n2 натуральных
чисел в таблицу n×n так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания
и при этом сумма чисел в k-м столбце была а) наименьшей; б) наибольшей.
Н.Б. Васильев. Решение — в №6–1973
170. а) Пусть M и N — точки касания вписанной
в треугольник АВС окружности со сторонами АВ и
АС соответственно, Р — точка пересечения прямой
MN с биссектрисой угла В. Докажите, что угол
BPC прямой.
б) Докажите более общий факт: если расположенная внутри треугольника ABC точка O такова, что
величина угла BOC на 90◦ больше величины угла BAO, точки M и N — основания перпендикуляров, опущенных из точки O на стороны AB и AC, а P — точка
пересечения прямых BO и MN, то угол BPC прямой. И.Ф.Шарыгин. Решение — в №7–1973
171. На плоскости нарисован правильный шестиугольник, длина стороны которого равна 1. При помощи одной только линейки постройте отрезок длины √
7 .
А.В. Аляев. Решение — в №7–1973
172. Пусть p — простое число. Напишем сначала p единиц, затем p двоек, p троек,
p четвёрок, p пятёрок, p шестёрок, p семёрок, p восьмёрок и p девяток. Докажите,
что полученное таким образом число при делении на p даёт такой же остаток, что
и число 123 456 789. М.Л. Гервер. Решение — в №7–1973
173.∗ В квадратной таблице 4 × 4 расставлены
числа 1, 2, 3, ... , 16 так, что сумма
четырёх чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу,
причём числа 1 и 16 стоят в противоположных углах таблицы. Докажите,
что в этом <магическом квадрате> сумма любых двух чисел, расположенных
симметрично относительно центра квадрата, одна и та же.
Л.Г. Лиманов. Решение — в №7–1973
175.∗ Для каждого данного натурального m найдите такое наибольшее число N, что возможна следующая ситуация.
а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита
на m равных частей; через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам и разрезавшие треугольник
на m2 маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников отмечены N вершин так, чтобы ни для
каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не параллелен ни одной из сторон (на рисунке m =6 и N = 4 ).
б) Каждое ребро тетраэдра разбито на m равных частей; через точки деления проведены плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников
отмечены N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежат на прямой, параллельной одной из граней.
в) Среди решений уравнения x1 + x2 + ... + xk = m в целых неотрицательных
числах выбраны N решений так, что ни в каких двух из выбранных решений
ни одна переменная не принимала одно и то же значения.


Категория: Математика | Добавил: Админ (20.08.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar