Тема №7758 Задачи для проведения олимпиады по математике 5-9 классы 2145 (Часть 3)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи для проведения олимпиады по математике 5-9 классы 2145 (Часть 3) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи для проведения олимпиады по математике 5-9 классы 2145 (Часть 3), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

625.
∗ На координатной плоскости заданы четыре точки с рациональными координатами,
не лежащие в вершинах параллелограмма, причём никакие три из них не принадлежат одной прямой. Разрешено проводить прямую через любые две уже полученные
точки и отмечать точку пересечения любых двух проведённых прямых. Докажите,
что множество точек, которые можно получить таким образом,— это множество
всех точек плоскости с рациональными координатами, если четыре точки — вершины а) трапеции; б) произвольного четырёхугольника.
Ю.В.Михеев. Решение — в статье <Одной линейкой> десятого номера 1980 года
626. Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что
сумма площадей чёрных клеток равна сумме площадей белых клеток.
В.В. Произволов. Решение — в №3–1981
627. В каждой клетке бесконечного листа клетчатой бумаги записано натуральное число.
а) Пусть каждое из этих чисел встречается ровно один раз. (Приведите примеры
такой расстановки чисел!) Докажите, что для любого заданного m найдутся две
соседние (имеющие общую сторону) клетки, разность чисел которых не меньше m.
б*) Пусть каждое натуральное число n встречается ровно n раз (то есть 1 —
единожды, 2 — дважды и так далее). Укажите наибольшее число k такое, что
обязательно найдутся две соседние клетки, разность чисел в которых не меньше k. А.К. Толпыго. Решение — в №3–1981
628. На сфере построен треугольник, одна <сторона> которого имеет величину 120◦ .
Докажите, что <медиана>, опущенная на эту <сторону>, делится каждой из двух
других <медиан> на две равные части. (<Медианы> и <стороны> — дуги больших
окружностей.)
636. Множество А состоит из натуральных чисел, его наименьший элемент равен 1, а
наибольший элемент равен 100. Каждый элемент множества А, кроме 1, равен
сумме двух (возможно, равных) чисел, принадлежащих А. Укажите среди всех
множеств А, удовлетворяющих этим условиям, множество с минимальным числом
элементов. Ю.В. Нестеренко. XIV Всесоюзная олимпиада, 1980 год. Решение — в №5–1981
637. Дан равносторонний треугольник АВС. Некоторая прямая, параллельная прямой
АС, пересекает прямые АВ и ВС в точках М и Р соответственно. Точка D — центр треугольника РМВ, точка Е — середина отрезка АР. Найдите величины
углов треугольника DЕС. Л.П. Купцов. XIV Всесоюзная олимпиада, 1980 год. Решение — в №5–1981
638. Некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги выкрашены в красный
цвет, остальные — в синий, причём так, что каждый прямоугольник из 6 клеток
размером 2 × 3 содержит в точности две красные клетки. Сколько красных клеток
может содержать прямоугольник из 99 клеток размером 9 × 11 ?
Н. Карташов. XIV Всесоюзная олимпиада, 1980 год. Решение — в №5–1981
639. Рёбра AC и CB тетраэдра ABCD перпендикулярны. Перпендикулярны и рёбра AD
и DB. Докажите, что косинус угла между прямыми АС и ВD меньше отношения
CD/AB. Ю.В. Нестеренко. XIV Всесоюзная олимпиада, 1980 год. Решение — в №5–1981
640. Число x лежит на отрезке [0;1] и записано в виде бесконечной десятичной дроби.
Переставив её первые 5 цифр после запятой, получаем новую бесконечную десятичную дробь, отвечающую некоторому новому числу x1 . Переставив в десятичной
записи числа x1 цифры со второй по шестую (после запятой), получаем десятичную
запись числа x2 . Вообще, десятичную запись числа xk получаем, переставляя
в десятичной записи числа xk−1 цифры с k-й по (k + 4) -ю (после запятой).
а) Докажите, что как бы ни переставляли цифры на каждом шаге, получаемая
последовательность x1 , x2 , x3 , ... имеет некоторый предел.
б) Выясните, можно ли с помощью такого процесса получить из рационального
числа иррациональное.
в) Придумайте число, для которого описанный процесс всегда приводит к иррациональному числу, каковы бы ни были перестановки пятёрок цифр на каждом
шаге. Н. Карташов. XIV Всесоюзная олимпиада, 1980 год. Решение — в №5–1981
641. O — центр правильного шестиугольника АВСDEF. Точки M и N — середины
сторон CD и DE. Прямые АМ и BN пересекаются в точке L. Докажите, что
а) площади треугольника АВL и четырёхугольника DMLN равны; б) величины
углов АLO и OLN равны 60◦ ; в) угол OLD прямой. Э.Г. Готман. Решение — в №6–1981
642. Каждое натуральное число представимо в виде a0 + 2a1 + ... + 2nan , где каждое
из чисел a0 , a1 , ... , an равно −1 , 0 или 1, причём произведение любых двух
соседних чисел последовательности a0 , a1 , ... , an равно 0. Докажите это и
докажите, что такое представление единственно. (Например, 1 = 1 , 2 = 2 , 3 = 4−1 ,
5= 4+1, 6= 8 − 2, 7= 8 − 1 , 9 = 8 + 1 , 10 = 8 + 2 , 11 = 16 − 4 − 1 , 12 = 16 − 4 ,
13 = 16 − 4 + 1 .) И.Жук и Н.Б. Васильев. Решение — в №6–1981
643. Карточки с числами 1, 2, ... , 31, 32 сложены в стопку по порядку. Разрешено
снять сверху любое число карточек и вложить их между некоторыми из оставшихся
или под ними, не меняя порядка тех и других, а в остальном произвольно. Эту
операцию назовём перемешиванием. Докажите, что за 5 перемешиваний можно
а) переложить карточки в обратном порядке;
б) разложить карточки в любом порядке.
в) Не всякий порядок карточек можно получить за 4 перемешивания. Докажите
это. В. Турчанинов и Ю.П. Лысов. Решение — в №6–1981
88
644. а) Существует выпуклый 1980-угольник со сторонами длины 1, 2, ... , 1980,
величины всех углов которого равны. Докажите это.
б) Существует ли такой 1981-угольник? Г.А. Гуревич. Решение — в №6–1981
645.
∗ В подвале три коридора, все выходы из которых закрыты. OA = OB = OC = 1.
В подвале находятся инспектор Варнике и преступник. Варнике замечает преступника, если расстояние между ними не превосходит r . Он знает, что максимальная
скорость преступника в два раза меньше его собственной максимальной скорости.
В начальный момент инспектор находится в точке O и не видит преступника.
Подскажите, как может Варнике наверняка поймать преступника, если а) r = l/3 ;
б) r = l/4 ; в) r > l/5 ; а) r > l/7 . Шириной коридоров и размерами людей пренебрегите. (Варнике должен придумать такой план действий, чтобы, даже если преступник
о нём заранее знает, преступник всё равно не мог ускользнуть.)
650.
∗ Существует ли такая последовательность
а) натуральных чисел, что любое натуральное число единственным образом представимо в виде суммы нескольких её членов (сумма может состоять и из одного
только слагаемого);
б) натуральных чисел, что число 1 не принадлежит последовательности, а любое другое натуральное число единственным образом представимо в виде суммы
нескольких её членов (сумма может состоять и из одного только слагаемого);
в) целых чисел, что 0 не принадлежит последовательности и не является суммой
никакого множества её членов, а любое целое число, отличное от 0, единственным
образом представимо в виде суммы нескольких её членов (сумма может состоять и
из одного только слагаемого);
г) целых чисел, что ни 0, ни 1 не принадлежат последовательности и не являются
суммами никакого множества её членов, а любое целое число, отличное от 0 и 1,
единственным образом представимо в виде суммы нескольких её членов (сумма
может состоять и из одного только слагаемого)? А.А. Разборов. Решение — в №7–1981
651. Дама сдавала в багаж диван, чемодан, саквояж, корзину, картину, картонку и
маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж,
вместе взятые, и столько же, сколько корзина, картина и картонка, вместе взятые.
Картина, корзина и картонка весили поровну, и каждая из них больше, чем
89
собачонка. Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той породы. При
проверке оказалось, что собака перевешивает диван, если с ней на весы добавить
саквояж или чемодан. Докажите, что претензия дамы была справедлива.
А.Л. Тоом и В.Л. Гутенмахер. Решение — в №7–1981
652. Женя разрезал выпуклый картонный многогранник на грани (по рёбрам) и послал
этот набор граней по почте Вите. Витя склеил из всех этих граней выпуклый
многогранник. Могло ли случиться, что многогранники Жени и Вити не равны?
Н.Б. Васильев. Решение — в №7–1981
653. Имеется линейка с двумя делениями. С помощью линейки можно проводить
произвольные прямые и откладывать отрезки определённой длины. Постройте с
её помощью а) какой-нибудь прямой угол; б*) прямую, перпендикулярную данной
прямой. В.Л. Гутенмахер. Решение — в №7–1981
654. Из любых ли шести натуральных чисел можно выбрать три числа, никакие два
из которых не имеют общих делителей, больших 1, или три числа, имеющие общий
делитель, больший 1? Ж.М. Раббот. Решение — в №7–1981
655. На столе у чиновника Министерства околичностей лежат n томов Британской
энциклопедии, сложенной в несколько стопок. Каждый день, придя на работу,
чиновник берёт из каждой стопки по одному тому и складывает взятые тома
в новую стопку, затем располагает стопки по количеству томов (в невозрастающем
порядке) и заполняет ведомость, в которой указывает количество томов в каждой
стопке. Кроме этого, чиновник никогда ничего не делает.
а) Какая запись будет сделана в ведомости через месяц, если общее количество
томов n = 3 , 6 или 10? (Начальное расположение произвольно.)
б) Если общее число томов имеет вид k(k + 1)/2 , где k — натуральное число, то,
начиная с некоторого дня, ведомость будет заполняться одинаковыми записями.
Докажите это.
в) Исследуйте, что будет через много дней работы при других значениях величины n. С. Лиманов и А.Л. Тоом. Решение — в №7–1981
656. Среди любых 30 ненулевых векторов пространства есть такие два вектора, величина
угла между которыми меньше 45◦ . Д окажите это. А.К. Толпыго. Решение — в №8–1981
657. В квадратной таблице, заполненной числами, все строки различны. Докажите, что
из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице
все строки также будут различны. А.В. Анджанс. Решение — в №8–1981
658. В квадрате со стороной 1 проведено конечное количество отрезков, параллельных
его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведённых
отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые квадрат разбивается
этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше 0,01.
683. Несколько одинаковых кругов положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что круги можно раскрасить в четыре цвета так, что любые
два касающихся круга будут окрашены в разные цвета. Нарисуйте расположение
кругов, при котором трёх цветов для такой раскраски недостаточно.
Г. Рингель и В. Покровский. Решение — в №1–1982
684.
∗ Двое играют в следующий вариант <морского боя>. Один игрок располагает на доске n × n несколько непересекающихся <кораблей> n × 1 (быть может, ни одного).
Второй игрок наносит одновременно ряд ударов по полям доски и про каждое поле
получает от противника ответ — попал или промахнулся. По какому минимальному числу полей следует нанести удары, чтобы по ответу противника можно было
однозначно определить расположение всех его кораблей? Рассмотрите случаи, когда n равно а) 4; б) 10. в) А если n — любое натуральное число?
Е.Я. Гик и Н.Б. Васильев. Решение — в №1–1982
685.
∗ Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если
одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества чётных
и нечётных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел
на бесконечное число (не пересекающих друг друга) бесконечных конгруэнтных
подмножеств?
693. Ежедневно каждый из 1000 жителей посёлка делится узнанными накануне новостями со всеми своими знакомыми. Любая новость рано или поздно становится
известной всем жителям посёлка. Докажите, что можно выбрать 90 жителей так,
что если одновременно им сообщить какую-то новость, то через 10 дней её будут
знать все жители посёлка.
Н. Карташов и А.П. Савин. Всесоюзная олимпиада, 9 класс, 1981 год. Решение — в №3–1982
694. В каждой вершине куба записано число. За один шаг к двум числам, размещённым
на одном (любом) ребре, прибавляют по единице. Можно ли за несколько таких
шагов сделать все восемь чисел равными между собой, если вначале числа были
поставлены, как на а) левом; б) среднем; в) правом рисунке?
Ю.И. Ионин. Всесоюзная олимпиада, 9 класс, 1981 год. Решение — в №3–1982
695.
∗ Можно ли все клетки какой-нибудь прямоугольной таблицы окрасить в белый и
чёрный цвета так, чтобы чёрных и белых клеток было поровну, а в каждой строке
и в каждом столбце было более 3/4 клеток одного цвета?
С.В. Конягин и Ю.В. Нестеренко. Всесоюзная олимпиада, 10 класс, 1981 год. Решение — в №3–1982
696. Можно ли таблицу 10 × 10 клеток заполнить различными натуральными числами
так, чтобы для любого квадрата k × k клеток, где 2  k  10 , а) суммы; б) произведения k чисел на его диагоналях были одинаковы? А. Балинский. Решение — в №4–1982
697. Назовём пузатостью прямоугольника отношение его меньшей стороны к большей
(пузатость квадрата равна 1). Докажите, что, как бы ни разрезать квадрат на прямоугольники, сумма их пузатостей будет не меньше 1. С.В. Фомин. Решение — в №4–1982
698. На сторонах a, b, c и d вписанного в окружность четырёхугольника <наружу>
построены прямоугольники размерами a × c, b × d, c × a и d × b. Докажите, что
центры этих прямоугольников являются вершинами а) параллелограмма; б) прямоугольника. О. Пенкин. Решение — в №4–1982
699. Полукруг с диаметром АВ разрезан отрезком СD, перпендикулярным АВ, на два
криволинейных треугольника АСD и ВСD, в которые вписаны окружности, касающиеся АВ в точках Е и F. Докажите, что а) AD = AF; б) DF — биссектриса
угла BDC; в) величина угла ЕDF не зависит от выбора точки С на отрезке АВ. В.А. Сендеров. Решение — в №4–1982
700. Можно ли множество всех конечных десятичных дробей разбить на а) два; б) три
класса так, чтобы ни в один из классов не попали два числа, разность которых —
степень числа 10, то есть число вида 10n , где n — целое? А. Лейдерман. Решение — в №4–1982
701. Люда, Марина и Наташа нарисовали остроугольный треугольник LMN. Затем
Люда построила свой треугольник, у которого длины двух сторон равны LM и
LN, а величина угла между ними на 60◦ больше величины угла L треугольника
LMN. Аналогично Марина построила свой треугольник со сторонами длинами
ML и MN, величина угла между которыми на 60◦ больше величины угла M, а
Наташа — свой, у которого величина угла между сторонами длин NL и NM на 60◦
больше величины угла N. Докажите, что третьи (новые) стороны трёх построенных
треугольников одинаковы. А. Каплан. Решение — в №5–1982
702. Обозначим через Sn сумму первых n простых чисел: S1 = 2, S2 = 2+ 3 = 5,
S3 = 2 + 3 + 5 = 10 , S4 = S3 + 7 = 17 и так далее. Докажите, что для любого
натурального n между Sn и Sn+1 есть хотя бы один точный квадрат.
704.
∗ Вокруг квадрата описан параллелограмм (вершины квадрата лежат на разных сторонах параллелограмма). Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин
параллелограмма на стороны квадрата, тоже являются вершинами квадрата.
Н.Б. Васильев. Решение — в №5–1982
705. На прямоугольном листе клетчатой бумаги расположено несколько прямоугольных
карточек, стороны которых лежат на линиях сетки. Карточки покрывают лист
в два слоя (то есть каждую клетку листа покрывают в точности две карточки).
Передвигать карточки нельзя.
а) Пусть карточки имеет размеры 1 × 2 клетки. Докажите, что можно выбрать
часть карточек так, чтобы они покрыли лист в один слой.
Останется ли это верным, если карточки б) произвольных размеров; в*) размера
1 × 3 клетки? Г.А. Гальперин и В.В. Произволов. Решение — в №5–1982
706. Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой
окружности. Докажите равенство длин хорд, соединяющих точки пересечения
касательных с окружностями. На рисунке эти хорды показаны красным цветом.)
А.П. Савин. Решение — в №6–1982
707. Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём
для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе.
Докажите, что найдётся кружок, где занимаются не менее 2/3 учеников этого
класса. А. Сидоренко. Решение — в №6–1982
708. На сторонах выпуклого четырёхугольника площади S вне него построены квадраты,
центры которых служат вершинами нового четырёхугольника площади S1 .
а) Докажите неравенство S1   2S.
б) Докажите, что S1 = 2S тогда и только тогда, когда диагонали исходного
четырёхугольника равны по длине и взаимно перпендикулярны.
П.Б. Гусятников. Решение — в №6–1982
709.
∗ Пол комнаты, имеющей форму правильного шестиугольника со стороной 10, заполнен плитками, имеющими форму ромба со стороной 1 и острым углом 60◦ .
Разрешено вынуть три плитки, составляющие правильный шестиугольник со стороной 1, и заменить их расположение другим, как показано на рисунке. Докажите,
что
а) из любого расположения плиток такими операциями можно получить любое
другое;
б) это можно сделать не более чем за 1000 операций;
в) из расположения плиток нижнего левого рисунка нельзя получить расположение
рисунка нижнего правого менее чем за 1000 операций.
А. Смирнов и Н. Васильев. Решение — в №6–1982
710.
∗ Существует ли такая возрастающая последовательность натуральных чисел, ни один
из членов которой не равен сумме нескольких остальных, что n-й член этой последовательности для любого натурального числа n не превосходит числа а) 2 • 3n/2 ;
б) 10 • 1,5n ; в) n10 ; г) 1000 • n7/2 ; д) 1000 • n3/2 ? С.В. Конягин. Решение — в №6–1982
97
711. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность с центром O, взаимно перпендикулярны. Докажите, что ломаная АОС делит четырёхугольник на две части равной площади. В. Варваркин. Решение — в №7–1982
712. Любое положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичные записи которых содержат только цифры 0 и до 7. Докажите это.
Э. Туркевич. Решение — в №7–1982
713. М — множество точек на плоскости. Точку О плоскости называем <почти центром
симметрии> множества М, если из М можно выбросить одну точку так, что для
оставшегося множества точка О является центром симметрии. Сколько <почти
центров симметрии> может иметь конечное множество? В.В. Прасолов. Решение — в №7–1982
714.
∗ n друзей одновременно узнали n новостей, причём каждый узнал одну новость.
Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. За один разговор можно
передать сколько угодно новостей. Какое минимальное количество звонков необходимо, чтобы все узнали все новости? Рассмотрите три случая: а) n = 64 ;
б) n = 55 ; в) n = 100 . А.В. Анджанс. Решение — в №7–1982
715.
∗ Прямой угол разбит на одинаковые клетки. На некоторых клетках стоят фишки,
причём расположение фишек можно преобразовывать так: если для некоторой
фишки соседняя сверху и соседняя справа клетки свободны, то в эти клетки ставим
по фишке, а старую фишку убираем. Вначале в угловую клетку ставим одну лишь
фишку. Можно ли указанными операциями освободить от фишек уголки из а) трёх;
б) шести; в) десяти клеток, показанные на рисунках?
731. Двое играют в такую игру: первый называет натуральное число от 2 до 9; второй
умножает это число на произвольное натуральное число от 2 до 9; затем первый
умножает результат на любое натуральное число от 2 до 9 и так далее; выигрывает
тот, кто первым получит произведение больше а) тысячи; б) миллиона. Кто
выигрывает при правильной игре — начинающий или его партнёр?
В.Г. Болтянский. Решение — в №9–1982
732. а) В треугольник ABC вписаны два разных прямоугольника так, что на основании
AC лежат по две вершины каждого прямоугольника (а на сторонах AB и BC —
по одной). Периметр каждого из прямоугольников равен 10. Найдите площадь
треугольника ABC и докажите, что периметр любого вписанного в треугольник
ABC прямоугольника, две вершины которого лежат на AC, тоже равен 10.
б*) В четырёхугольник ABCD вписаны два прямоугольника с параллельными сторонами (так, что на каждой из сторон AB, BC, CD и DA лежит по одной вершине
каждого прямоугольника). Периметр каждого из прямоугольников равен 10. Найдите площадь четырёхугольника ABCD и докажите, что для любой точки на любой
из сторон четырёхугольника ABCD можно построить вписанный прямоугольник
с вершиной в этой точке, стороны которого параллельны сторонам данного прямоугольникa и периметр которого также равен 10.
740. Серёжа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил соседку
тетю Люду: <Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша?> —
<Это очень просто,— ответила соседка. — Наклони кастрюлю — вот так; постучи,
чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна. Теперь заметь точку на
кастрюле, ближайшую к краю, до которой поднялась крупа — и зажми её пальцем!
До этого уровня и надо налить воду. <Так ведь пшена можно насыпать побольше
и поменьше, да и кастрюли бывают разные — широкие и узкие>,— усомнился
Серёжа. <Всё равно, мой способ годится в любом случае!>— гордо ответила тетя
Люда.
а) Докажите, что тетя Люда права: отношение объёмов воды и пшена по её рецепту
всегда одно и то же.
б) Чему равно это отношение? В. Семёнова. Решение — в №10–1982
741. а) Укажите хотя бы одно натуральное число, которое делится на 30 и имеет ровно
30 различных делителей (включая 1 и само число). б) Найдите все такие числа.
М. Лёвин. Решение — в №10–1982
742. На а) окружности; б) сфере радиусом 1 расположены n точек. Докажите, что
сумма квадратов расстояний между ними не превышает n2 .
743. В стране n городов.
а) Между любыми двумя городами имеется прямое сообщение самолетом или пароходом. Докажите, что, пользуясь лишь каким-то одним видом транспорта, из
любого города можно попасть в любой другой (возможно, с пересадками).
б) Между любыми двумя городами имеется прямое сообщение самолетом, поездом
или пароходом. Докажите, что можно выбрать не менее n/2 городов и один из
трёх видов транспорта так, что, пользуясь им одним, из любого выбранного города
можно попасть в любой другой выбранный город.
в) Приведите пример, доказывающий, что в утверждении б) заменить число n/2
большим, вообще говоря, нельзя. ´ Л.Д. Курляндчик и С. Охитин. Решение — в №10–1982
101
744.
∗ В треугольник АВС вписан подобный ему треугольник А1В1С1 (вершины А1 , В1
и С1 углов, равных по величине углам А, B и C, лежат соответственно на отрезках
ВС, СА и АВ). Пусть А0 , В0 , С0 — точки пересечения прямых BВ1 и CС1 ,
АA1 и CС1 , BB1 и AA1 . Докажите, что шесть окружностей, описанных около
треугольников АВС0 , ВСA0 , АСB0 , А1В1С0 , A1C1B0 и B1C1A0 , пересекаются в одной
точке.
765. Пусть В — конечное множество точек на плоскости, не лежащее на одной прямой
и состоящее не менее чем из 3 точек.
а) Существуют три такие точки множества В, что проходящая через них окружность не содержит внутри себя других точек множества В. Д окажите это.
б) Назовём триангуляцией множества В семейство треугольников с множеством
вершин В, никакие два из которых не имеют общих внутренних точек, в объединении дающих выпуклый многоугольник (триангуляцию множества В можно
получить, соединяя его точки непересекающимися отрезками, пока это возможно).
Докажите, что для любого В существует такая триангуляция, что окружность,
описанная около любого треугольника этой триангуляции, не содержит внутри себя
точек множества В. Укажите способ построения такой триангуляции.
в) Если никакие четыре точки множества В не лежат на одной окружности, то
описанная в пункте б) триангуляция единственна. Докажите это.
866. а) Во всех клетках прямоугольника размером а) 20 × 20 ; б) 21 × 21 ; в) m × n стоит
по одному солдатику. Для какого наибольшего d можно переставить солдатиков
в другие клетки так, чтобы каждый передвинулся на расстояние не меньше d?
(Расстояние измеряем по прямой между центрами старой и новой клеток; сторона
клетки равна 1.) С.С. Кротов и Н.Б. Васильев. Турнир городов апреля 1984 года. Решение — в №9–1984
867. На уроке танцев 17 мальчиков и 17 девочек построили двумя параллельными
рядами так, что образовалось 17 пар. При этом в каждой паре рост мальчика
отличается от роста девочки не более чем на дециметр. Докажите, что если
в каждом ряду перестроить мальчиков и девочек по росту, то по-прежнему в каждой
паре мальчик и девочка будут отличаться не более чем на дециметр.
А.Г.Печковский. Турнир городов апреля 1984 года. Решение — в №9–1984
868. Плоские углы при вершине треугольной пирамиды не прямые. Из вершин основания в боковых гранях проведены высоты. Докажите, что три прямые, соединяющие
между собой основания высот каждой грани, параллельны одной плоскости.
И.Ф.Шарыгин,
Н.Б. Васильев, В.Н. Дубровский и В.Л. Гутенмахер. Турнир городов апреля 1984 года. Решение — в №9–1984
869.
∗ Пары последовательных натуральных чисел (8;9) и (288;289) обладают тем свойством, что каждое из этих чисел содержит каждый свой простой множитель не менее чем во второй степени.
а) Укажите ещё одну такую пару последовательных чисел.
б) Докажите, что существует бесконечно много таких пар.
1016. Окружность с центром O вписана в многоугольник. Р — центр масс этого многоугольника, K — центр масс его контура. Докажите, что точки Р, О и К лежат
на одной прямой, причём РО = 2РК. (При определении точки Р мы рассматриваем
многоугольник как однородную пластину, а при определении точки К — как контур из однородной проволоки.) И.З. Вайнштейн. Решение — в №4–1987
1017.
∗ Каждой вершине правильного пятиугольника приписано некоторое целое число.
Сумма всех пяти чисел положительна. Если трём последовательным вершинам
приписаны числа х, y, z, причём y < 0 , то эти числа заменяем соответственно
на х + y, −y и z + y. Такие операции выполняем, пока хотя бы одно из пяти
чисел отрицательно. Обязательно ли этот процесс закончится через конечное число
шагов? А.П. Савин. XXVII международная олимпиада. Решение — в №4–1987
1018. Пусть A и В — соседние вершины правильного n-угольника с центром О. Треугольник ХYZ конгруэнтен треугольнику ОАВ и вначале совпадает с ним, а затем
движется в плоскости n-угольника так, что точки Y и Z остаются на контуре, а
X — внутри n-угольника. Какую фигуру опишет точка X, когда Y и Z совершат
полный оборот по границе n-угольника?
В.Н. Дубровский. XXVII международная олимпиада. Решение — в №4–1987
1019. На листе клетчатой бумаги отмечено некоторое конечное множество узлов (точек
пересечения линий сетки). Докажите, что всегда можно окрасить некоторые точки
этого множества в белый цвет, а остальные — в красный так, чтобы на каждой
линии сетки количество белых узлов отличалось от количества красных узлов
не более чем на 1. А.П. Савин. Решение — в №4–1987
1020.
∗ На сфере радиуса 1 проведена а) кривая, длина которой меньше π; б) замкнутая
кривая, длина которой меньше 2π. Докажите существование плоскости, проходящей через центр сферы и не пересекающей проведённой кривой. (Можете считать,
что кривая состоит из нескольких дуг больших кругов.)
1021. Альпинист хочет подняться на скалу высотой 1000 м. После ночёвки в лагере
у подножия скалы он может подниматься, навешивая верёвку, со скоростью 40 метров в час, а после холодной ночёвки на скале — 30 метров в час. По готовой
верёвке он поднимается со скоростью 400 метров в час. За сколько дней он может
достичь вершины, если будет работать на скале (включая подъём по верёвке) 6 часов в день? (Временем спуска и других операций пренебрегите.)
1040.
∗ Числа 1, 2, 3, ... , 3n произвольным образом разбиты на три группы по n чисел
в каждой. Докажите, что можно выбрать по одному числу из каждой группы так,
чтобы одно из них равнялось сумме двух других.
В.Е. Алексеев и С. Савчев (Болгария). Решение — в №8–1987
1041. На плоскости заданы а) четыре; б) три вершины правильного пятиугольника. С помощью двусторонней линейки восстановите его остальные вершины. (Двусторонней
линейкой можно делать то же, что и обычной линейкой без делений, а также проводить
прямую, параллельную данной, на расстоянии, равном ширине линейки.)
М.И. Гринчук. 50-я московская городская олимпиада. Решение — в №9–1987
1042. В классе проходит турнир по перетягиванию каната. В турнире ровно по одному
разу должны участвовать всевозможные команды, которые можно составить из
учеников этого класса (из одного, двух, трёх и так далее человек, кроме команды
всего класса). Докажите, что каждая команда будет соревноваться с командой,
состоящей из всех остальных учеников класса.
И.Н. Сергеев. 50-я московская городская олимпиада. Решение — в №9–1987
1043. Можно ли разбить множество всех целых чисел на три подмножества так, чтобы
для любого целого n числа n, n − 50 и n + 1987 принадлежали трём разным
подмножествам? С.В. Конягин. 50-я московская городская олимпиада. Решение — в №9–1987
1044. Из любых четырёх чисел всегда можно выбрать два таких числа x и y, что
отношение числа x − y к числу 1 + xy принадлежит отрезку [0; 1] .
И.Н. Сергеев. 50-я московская городская олимпиада. Решение — в №9–1987
1045.
∗ В некотором царстве, некотором государстве, территория которого имеет форму
квадрата со стороной 2 км, царь решил созвать всех подданных к 7 часам вечера
к себе во дворец на бал. Для этого он в полдень послал с поручением гонца,
который может передать любое указание любому жителю, который в свою очередь
может передавать любое указание любому другому жителю, и так далее. Каждый
житель до поступления указания находится у себя дома (в известном месте) и
может передвигаться со скоростью 3 км/час в любом направлении. Докажите,
что царь может организовать оповещение так, чтобы все жители успели прийти
к началу бала. С.В. Конягин. 50-я московская городская олимпиада. Решение — в №9–1987
1046. Величина угла A остроугольного треугольника ABC равна 60◦ . Докажите, что
одна из биссектрис угла, образованного высотами, проведёнными из вершин В
и C, проходит через центр описанной окружности этого треугольника.
Десятиклассник
В. Погребняк (Винница) и В.Н. Дубровский. Восьмой весенний Турнир городов. Решение — в №10–1987
1047. В шахматном турнире, проводимом в один круг, не менее 3/4 всех сыгранных
к этому моменту партий закончились вничью. Докажите, что в этот момент
некоторые два участника набрали одинаковое число очков.
М. Бона, ученик гимназии, Венгрия.
Восьмой весенний Турнир городов. Решение — в №10–1987, поправка к условию — на странице 42 двенадцатого номера 1987 года
1048.
∗ Один из двух играющих (<начинающий>) ставит коня на некоторую клетку шахматной доски размером а) 8 × 8 ; б) m × n, где m   n > 2 . Затем игроки по очереди
передвигают коня по обычным правилам (буквой <Г>); нельзя ставить коня на поле,
где конь уже побывал. Проигрывает тот, кому некуда ходить. У кого из игроков
есть выигрышная стратегия — у начинающего или у его партнёра?
Десятиклассник В. Зудилин (Бельцы). Восьмой весенний Турнир городов. Решение — в №10–1987
1049. Будем говорить, что в цилиндр Ц1 вписан боком другой цилиндр Ц2 , если две
образующие второго лежат на основаниях первого, а четыре точки окружностей
основания второго — на боковой поверхности первого. Взяв цилиндр Ц1 , у которого
138
отношение диаметра к высоте равно k, впишем в него боком (если это возможно),
цилиндр Ц2 , в него впишем Ц3 , в него — Ц4 и так далее. При каких значениях k
а) можно вписать Ц2 , но нельзя вписать Ц3 ;
б*) можно вписать Т10 , но нельзя Ц11 ;
в*) можно вписать бесконечную последовательность Ц1 , Ц2 , Ц3 , ... ?
Одинннадцатиклассник В. Столин (Вильнюс). Решение — в №10–1987
1050. На отрезке [−1; 1] выбрано k различных точек, для каждой из которых посчитано
произведение расстояний до остальных k − 1 точек и через S обозначена сумма
обратных величин этих k произведений. Докажите, что а) S   2 при k = 3;
б*) S   4 при k = 4. Л.Д. Курляндчик. Решение — в №10–1987
1051. В левый нижний угол шахматной доски поставлено в форме квадрата 3 × 3 девять
фишек. Фишка может перепрыгнуть через любую другую фишку, симметрично
отразившись от неё, если соответствующее поле свободно. Можно ли несколькими
такими ходами собрать все фишки в виде квадрата 3 × 3 в а) левом; б) правом
верхнем углу доски? Я.Е. Брискин. Восьмой весенний Турнир городов. Решение — в №11–1987
1052. Из n четырёхугольников, отсекаемых от выпуклого n-угольника диагоналями,
не более n/2 могут оказаться описанными около окружности. а) Докажите это.
б) Приведите пример восьмиугольника, у которого таких четырёхугольников четыре. Н.М. Седракян. Восьмой весенний Турнир городов. Решение — в №11–1987
1053. В последовательности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , где каждое число
равно сумме двух предыдущих, для любого m > 3 не менее четырёх и не более
пяти m-значных чисел. Докажите это. Н.Б. Васильев. Решение — в №11–1987
1054. Шесть точек попарного касания четырёх сфер всегда лежат на одной сфере или
в одной плоскости. Докажите это. Ю.К. Коба и В.Н. Дубровский. Решение — в №11–1987
1055. На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг с концами в этих
точках не менее 100 дуг, не превосходящих 120◦ .
А.Ф. Сидоренко и В.Н. Дубровский. Восьмой весенний Турнир городов. Решение — в №11–1987
1056. В каждой клетке квадратной таблицы 1987 × 1987 написано число, не превосходящее по модулю 1. В любом квадрате размером 2 × 2 сумма чисел равна 0.
Докажите, что сумма всех чисел таблицы не превосходит 1987.
А.С.Меркурьев и С. Иванов. Решение — в №12–1987
1057. Два игрока поочередно выписывают на доске натуральные числа, не превосходящие p. Правилами игры запрещено писать делители уже выписанных чисел.
Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход.
а) Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для p = 10 , и укажите
её.
б) Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для p = 1000 .
Д.В. Фомин и Д. Иванов. Решение — в №12–1987
1058. На целочисленной решетке отмечено непустое множество узлов. Кроме того, задан
конечный набор векторов с целыми координатами. Известно, что если от любого
отмеченного узла отложить все заданные векторы, то среди их концов будет больше
отмеченных узлов, чем неотмеченных. Докажите, что отмеченных узлов бесконечно
много. Д.Г. Флаас и Д. Румынин. Решение — в №12–1987
139
1059. График функции y = f(x) , определённой на всей числовой прямой, переходит
в себя при повороте на 90◦ вокруг начала координат.
а) Докажите, что уравнение f(x) = x имеет ровно одно решение.
б) Приведите пример такой функции. А.В. Клюшин и А. Каринский. Решение — в №12–1987
1060.
∗ На плоскости даны две замкнутые ломаные, каждая с нечётным числом звеньев.
Все прямые, содержащие звенья этих ломаных, различны, и никакие три из них
не пересекаются в одной точке. Докажите, что из каждой ломаной можно выбрать
по одному звену так, чтобы они были противоположными сторонами некоторого
выпуклого четырёхугольника. Ю. Хозлов, А. Сердюков и Д.Г. Флаас. Решение — в №12–1987
1061. В стране, где больше двух городов, некоторые пары городов соединены непересекающимися дорогами. Для любых трёх городов А, В и C по этой сети дорог можно
проехать из А в B, не заезжая в C. Докажите, что на всех дорогах можно установить одностороннее движение так, что из каждого города можно будет проехать
в любой другой, двигаясь по установленным направлениям.
В.Е. Колосов и Н.Б. Васильев. Решение — в №1–1988
1062. а) На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки D и E. Прямые BD и
CE пересекаются в точке M, AM и BC — в точке P, AM и DE — в точке N.
Докажите равенство PN
NA = 2 • PM
MA .
б) На рёбрах SA, SB и SC тетраэдра ABCS взяты точки D, E и F соответственно.
Плоскости ABE, BCD и CAF пересекаются в точке M; прямая SM пересекает
плоскости ABC и DEF в точках P и N соответственно. Докажите равенство PN
NS =
= 3 • PM
MS . Т.А. Джортменадзе, Е.Я. Глейбман и В.Н. Дубровский. Решение — в №1–1988
1063. Сколько существует целых чисел, представимых в виде разности a − a˜, где a —
число, записываемое в десятичной системе счисления n цифрами (то есть 10n−1
 a < 10n ), а a˜ — число, получаемое при записи цифр числа a в обратном
порядке? (Например, если a = 1917 , то a − a˜= 1917 − 7191 = −5724 .) Найдите ответ
для а) n = 4 ; б) n = 5 ; в) любого натурального n. Г.О. Эльстинг. Решение — в №1–1988
1064. Какое максимальное количество точек самопересечения может иметь замкнутая nзвенная плоская ломаная, если число n а) нечётно; б) чётно? (Предполагаем, что
никакие три вершины не лежат на одной прямой и никакие три звена не пересекаются в одной точке.) Д.Б. Фукс. Решение — в статье <Самопересечения замкнутой ломаной> первого номера 1988 года
1065.
∗ Рассмотрим векторы (x; y) с целыми неотрицательными координатами. Назовём
такой вектор образующим, если |x − y| = 1.
а) Рассматриваемый вектор (x; y) представим в виде суммы нескольких различных
образующих (или сам является образующим) тогда и только тогда, когда величина
k(x, y) = x + y − (x − y)2 неотрицательна. Докажите это.
б) Количество n(x, y) различных (с точностью до порядка слагаемых) представлений вектора (x; y) в виде суммы различных образующих (быть может, состоящей
из единственного слагаемого) зависит только от k(x, y) . Докажите это; найдите
n(13, 18) . Ф.В. Вайнштейн. Статья <Разбиение чисел> последнего номера 1988 года
1066. Шесть точек расположены на плоскости так, что все пятнадцать расстояний между
ними не больше 1. Докажите, что из них можно выбрать три точки, все расстояния
между которыми меньше 1. С
1097. Координаты вершин равнобедренного треугольника — целые числа. Докажите, что
квадрат длины основания — чётное число. В.В. Произволов. Решение — в №8–1988
1098. На окружности расставлены n точек, занумерованных подряд числами 1, 2, ... , n. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит хорду, соединяющую
две точки с номерами одной чётности. Никакая хорда не должна иметь общих
точек (даже концов) с проведёнными ранее. Побеждает тот, кто делает последний
ход. При каждом n = 4 , 5, 6, ... выясните, кто из игроков имеет выигрышную
стратегию: начинающий или его партнёр. В.Г. Чванов. Решение — в №8–1988
1099.
∗ В отряде, ведущем подготовку к полёту на Марс, 6 783 космонавта, причём известно, что среди любых четырёх из них можно выбрать троих, составляющих
слаженный экипаж для посадочного модуля. Докажите, что можно выбрать 5 космонавтов, любые трое из которых составляют слаженный экипаж.
Н.Н. Силкин и М.В. Волков. Решение —
в статье <Кого послать на Марс?> восьмого номера 1988 года. Комментарий — в статье М. Гарднера <Рамсеевская теория графов> четвёртого номера 1988 года
1100.
∗ На берегу прямолинейной реки лежат брёвна (то есть не пересекающие друг друга
отрезки; их конечное число). Каждое бревно составляет с линией берега угол,
величина которого меньше 45◦ . Докажите, что для любого расположения брёвен
существует бревно, которое можно закатить в реку, не задевая остальных. (Поворачивать бревно при качении нельзя.) В.Г. Ильичёв. Решение — в №8–1988
1101. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC нашлись такие
точки D и E соответственно, что AD = BC = EC и треугольник ADE равнобедренный. Каким может быть угол при вершине A? В. Кириак (Румыния). Решение — в №9–1988
1102. Существуют n различных натуральных чисел, сумма кубов которых равна кубу
натурального числа, если а) n = 3 ; б) n = 4 ; в) n — любое натуральное число,
большее 2. Докажите это. Л.Д. Курляндчик. Решение — в №9–1988
1103. а) На бесконечной разграфлённой на клеточки плоскости несколько — быть может
даже бесконечно много — клетчатых прямоугольников размером 1 × 2 закрашены
так, что никакие два закрашенных прямоугольника не имеют ни одной общей
точки (даже вершины). Докажите, что оставшуюся незакрашенной часть плоскости
можно замостить прямоугольниками размером 1 × 2 .
б*) Пусть на клетчатой плоскости закрашены несколько клетчатых прямоугольников размером m × n, никакие два из которых не имеют ни одной общей точки.
Докажите, что если mn делится на 2, то оставшуюся незакрашенной часть плоскости можно замостить прямоугольниками размером 1 × 2 , а если mn нечётно, то
это не всегда возможно. Десятиклассник М. Хованов. Решение — в №9–1988
1104. Грани ABC и BCD тетраэдра ABCD перпендикулярны, а угол BAC прямой. Докажите, что из отрезков, длины которых равны произведениям длин противоположных рёбер тетраэдра, можно составить прямоугольный треугольник.
В.Н. Дубровский. Решение — в №9–1988
1105. После нескольких прямолинейных разрезов поверхность выпуклого многогранника развернули на плоскости. Получился многоугольник, для которого известно,
какие точки его границы <склеиваются>, то есть отвечают одной и той же точке
на поверхности многогранника. Каким был исходный многогранник, если при разрезании получился а) прямоугольник со сторонами 1 и √
3 ; б) равнобедренный
треугольник с углом величиной 120◦ , причём в обоих случаях склеиваются точки
каждой стороны, симметричные относительно её середины.
Н.П. Долбилин и М.И.Штогрин. Решение — в №9–1988
145
1106. Каждая из трёх прямых, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого шестиугольника, делит его площадь пополам. Докажите, что эти три
прямые пересекаются в одной точке.
1201. В парламент Анчурии нужно избрать по одному депутату от каждого из 999 округов с одинаковым числом избирателей. В Анчурии созданы три партии A, B, C, выдвигающие своих кандидатов. Партию A поддерживает всего 15% избирателей,
B — 30%, C — 55%. Если на первом туре выборов в округе ни один из кандидатов
не набирает 50% голосов, то во второй тур проходят двое, набравшие наибольшее
число голосов. Во втором туре партии A и B договорились поддерживать друг
друга, а сторонники партии C голосуют за кандидата партии A. Какое наибольшее
и какое наименьшее число кандидатов от каждой из партий может попасть в парламент? Н.Б. Васильев. Весенний Турнир городов 1989 года. Решение — в №6–1990
1202. Из вершины A квадрата ABCD внутрь квадрата проведены два луча, на которые
опущены перпендикуляры BK, BL, DM и DN из вершин B и D. Докажите, что
отрезки KL и MN равны и перпендикулярны друг другу.
Д. Нямсурен (Монголия) и В. Дубровский. Весенний Турнир городов 1989 года. Решение — в №6–1990
1203. Можно ли разрезать квадрат со стороной 1 км на а) 31; б*) 30 квадратов так, чтобы
один из них имел сторону не более 1 м?
С.Л. Елисеев. Весенний Турнир городов 1989 года. Решение — в №6–1990
1204.
∗ На плоскости заданы точки A, B, C — центры трёх кругов. Каждый круг равномерно раздувается (радиус увеличивается с одинаковой для всех кругов скоростью).
Как только два круга касаются друг друга, они <лопаются> — их радиусы уменьшаются до 0 — и начинают расти снова. Верно ли, что если длины AB, BC, CA —
целые числа, то этот процесс периодический?
Изучите, как может развиваться этот процесс, если треугольник ABC а) равносторонний; б) равнобедренный; в) прямоугольный со сторонами 3, 4 и 5. Начальное
состояние может быть произвольным (не только <нулевым>).
М. Хованов. Весенний Турнир городов 1989 года. Решение — в №6–1990
1205. Мальчик и девочка играют в такую игру: мальчик рисует на плоскости не налегающие друг на друга многоугольники, а девочка их раскрашивает. Если два
многоугольника имеют общий отрезок стороны, то их следует раскрашивать в разные цвета. Какого наименьшего числа цветов заведомо хватит девочке, чтобы
следовать этим правилам, если мальчик рисует только а) равносторонние треугольники; б) равнобедренные прямоугольные треугольники; в) одинаковые квадраты?
Г.В. Кондаков. Решение — в №6–1990. Сравните с задачей М2098
1206. В круге проведены перпендикулярные диаметры AE и BF. На дуге EF взята
точка C. Хорды CA и CB пересекают диаметры BF и AE соответственно в точках
P и Q. Докажите, что площадь четырёхугольника APQB равна квадрату радиуса
круга.
1244. В сенате, состоящем из 30 сенаторов, каждые двое дружат или враждуют, причём
каждый враждует ровно с 6 другими. Найдите общее количество троек сенаторов,
в которых либо все трое дружат друг с другом, либо все трое враждуют между
собой. Д.В. Фомин. XXIV Всесоюзная олимпиада. Решение — в №2–1991
1245. На плоскости заданы точка O и n векторов, сумма которых равна 0 
. Докажите,
что можно отложить эти векторы, начав в точке O, один за другим в таком
порядке, что полученная замкнутая (быть может, самопересекающаяся) ломаная
будет целиком расположена в некотором угле величиной 60◦ с вершиной в точке O.
С. Августович и С. Севастьянов. XXIV Всесоюзная олимпиада. Решение — в №2–1991
1246. В любой бесконечной арифметической прогрессии, члены которой — натуральные
числа, есть два числа с одинаковой суммой цифр. Докажите это.
С.А. Генкин. Санкт-Петербургская городская олимпиада 1990 года. Решение — в №3–1991
1247. Можно ли плоскость покрыть без наложений квадратами с длинами сторон 1, 2, 4,
8, 16, ... , используя квадрат каждого размера не более а) десяти раз; б) одного
раза? Д.В. Фомин. Санкт-Петербургская городская олимпиада 1990 года. Решение — в №3–1991
1248. Отрезок I покрыт несколькими меньшими отрезками, ни один из которых не выходит за пределы отрезка I. Докажите, что
а) левые половины этих отрезков покрывают не менее половины отрезка I;
б) если у каждого из этих отрезков отбросить какую-либо половину — левую или
правую,— по оставшиеся половины покроют не менее трети длины отрезка I.
1291. В правильном а) 12-угольнике; б) 54-угольнике существуют четыре диагонали,
не проходящие через центр многоугольника и пересекающиеся в одной точке.
Докажите это. С.И. Токарев. Решение — в №1–1992
1292. Совет из 2000 депутатов решил утвердить государственный бюджет, содержащий
200 статей расходов. Каждый депутат подготовил свой проект бюджета, в котором так указал по каждой статье максимально допустимую, по его мнению,
величину расходов, чтобы общая сумма расходов не превысила заранее заданную
величину S. По каждой статье совет утверждает наибольшую величину расходов,
которую согласны выделить не менее k депутатов. При каком наименьшем k можно гарантировать, что общая сумма утверждённых расходов не превысит S?
И.Н. Сергеев. Решение — в №1–1992
1293. В данный угол вписаны два непересекающихся круга. Треугольник ABC расположен между кругами так, что его вершины лежат на сторонах угла, а равные
стороны AB и AC касаются соответствующих кругов. Докажите, что сумма радиусов кругов равна высоте треугольника, опущенной из вершины A. И.Ф.Шарыгин. Решение — в №1–1992
1294. Куб размером 10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном
порядке (кубики, примыкающие один к другому гранями, разного цвета). Из этого
куба вынули 100 кубиков таким образом, чтобы в каждом из 300 рядов размером
1×1×10 , параллельных какому-нибудь ребру куба, стало не хватать одного кубика.
Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.
А.В. Спивак. Решение — в №2–1992
1295. На прямоугольном экране размером m×n, разбитом на единичные клетки, светятся
более (m − 1)(n − 1) клеток. Если в некоторый момент в каком-нибудь квадрате
размером 2 × 2 не светятся три клетки, то через некоторое время погаснет и
четвёртая. Докажите, что тем не менее на экране всегда будет светиться хотя бы
одна клетка. А.А. Часовских. Решение — в №2–1992
1296. Из многоугольника разрешено получать новый следующим образом: разрезав по отрезку на две части, одну из них перевернуть и, если при этом части не будут иметь
общих точек, кроме точек разреза, склеить части по линии разреза. Можно ли
с помощью нескольких таких операций из квадрата получить треугольник?
1300. Следователь придумал план допроса свидетеля, гарантирующий раскрытие преступления. Он собирается задавать вопросы, на которые возможны только ответы <да>
или <нет> (то, какой вопрос будет задан, может зависеть от ответов на предыдущие). Следователь считает, что все ответы будут верные; он подсчитал, что в любом
варианте ответов придётся задать не более 91 вопросов. Покажите, что следователь
может составить план с не более чем 105 вопросами, гарантирующий раскрытие
преступления и в случае, если на один вопрос может быть дан неверный ответ
(но может быть, что все ответы верные).
А.В. Анджанс, И. Соловьёв и В. Слитинский. XXV Всесоюзная олимпиада. Решение — в №2–1992
1301. Обязательно ли тетраэдр правильный, если равны друг другу а) пять двугранных
углов; б) восемь плоских углов?
в) Обязательно ли пирамида ABCD правильная, если её основание ABC — правильный треугольник, а три плоских угла при вершине D равны друг другу?
В.А. Сендеров и Н.Б. Васильев. Решение — в №3–1992
1302. Для любого натурального n произведение многочлена (x+1)n−1 на любой многочлен
ненулевой степени имеет не менее n отличных от нуля коэффициентов. Докажите
это. Г. Карнаух и А.П. Савин. Решение — в №3–1992
1303. Найдите все такие бесконечные последовательности натуральных чисел q1 , q2 , q3 ,
... , что для любого натурального n верно равенство qn+3qn+1 = qn + qn+2 .
О. Алиев, С. Елисеев и У. Нуриев. Решение — в №3–1992
1304. I — центр вписанной окружности треугольника ABC, R — радиус его описанной
окружности. Докажите неравенство R3   IA • IB • IC. А. Соловьёв, Н.Б. Васильев и В.А. Сендеров. Решение — в №3–1992
1305. Д ано 2n различных чисел a1 , a2 , ... , an , b1 , b2 , ... , bn . Таблица размером
n×n заполнена по следующему правилу: на пересечении j-й строки и k-го столбца
написано число aj + bk . Для каждого столбца таблицы подсчитаем произведение
всех n его чисел. Докажите, что если все полученные произведения равны, то,
посчитав для каждой строки произведение всех n её чисел, тоже получим равные
произведения. Д.В. Фомин. XXV Всесоюзная олимпиада. Решение — в №3–1992
1306. Назовём вытянутостью прямоугольника отношение большей стороны к меньшей.
Докажите, что вытянутость прямоугольника G, вписанного в прямоугольник F
(так, что вершины G лежат по одной на сторонах F), не меньше вытянутости F. И.Ф. Акулич. Решение — в №4–1992
 

 

 


Категория: Математика | Добавил: Админ (20.08.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar