Тема №7759 Задачи для проведения олимпиады по математике 5-9 классы 2145 (Часть 4)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи для проведения олимпиады по математике 5-9 классы 2145 (Часть 4) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи для проведения олимпиады по математике 5-9 классы 2145 (Часть 4), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

1307. Для любого натурального n число 22n
+ 22n−1
+ 1 имеет не меньше n различных
простых делителей. Докажите это. Н.Б. Васильев и В.А. Сендеров. Решение — в №4–1992
1308. На плоскости даны три прямые. Найдите множество центров правильных треугольников, вершины которых лежат на данных прямых (по одной на каждой из трёх
прямых). Исследуйте все случаи взаимного расположения данных прямых.
А.П. Савин. Решение — в №4–1992
1309. На плоскости задан треугольник. Для произвольной точки M плоскости определим множество H1(M) середин отрезков, соединяющих точку M с вершинами
треугольника. Каждое следующее множество Hk+1 , где k = 1 , 2, 3, ... , определим
как множество середин отрезков, один из концов каждого из которых принадлежит Hk(M) , а другой является вершиной исходного треугольника. Докажите, что
для любого положительного числа   существует фигура F, площадь которой меньше  , а для любой точки M существует такое натуральное число n, что все фигуры
Hn(M) , Hn+1(M) , Hn+2(M) , ... содержатся в фигуре F.
А.Я. Канель–Белов и Н.Б. Васильев. Решение — в №4–1992
168
1310.
∗ Соревнуются 2k боксёров, где k > 1 . Ежедневно встречаются 2k−1 пары боксёров:
каждый проводит один бой. Все боксёры имеют разную силу, в каждом бою
побеждает сильнейший. Расписание на каждый день составляют накануне вечером
и в течение дня не меняют. Докажите, что за k(k + 1)/2 дня можно определить
место каждого боксёра. Было бы интересно определить места менее чем за k(k + 1)/2
дней; точная оценка неизвестна.
1342. Напишем строку из первых n натуральных чисел. Под ней напишем строку из
n чисел по следующему правилу: сначала — числа, стоящие в первой строке
на нечётных местах (по порядку), а затем числа, стоящие на чётных местах (тоже
по порядку). Далее будем писать следующие строки по тому же правилу до тех пор,
пока на некотором шаге не получится m-я строка, совпадающая с первоначальной.
Докажите, что такая строка встретится, причём m<n. Я. Брискин. Решение — в №11–1992
1343. Три хорды окружности ω попарно пересекаются в точках A, B и C. Построим ещё
три окружности: одна касается сторон угла CAB и (изнутри) окружности ω в точке
A1 , вторая — сторон угла ABC и (изнутри) окружности ω в точке B1 , третья —
сторон угла ACB и (опять-таки изнутри) окружности ω в точке C1 . Докажите, что
отрезки AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. И.Ф.Шарыгин. Решение — в №11–1992
172
1344. Том Сойер красит забор, состоящий из бесконечной последовательности прямоугольных досок разной высоты и ширины. Каждая доска на 1% уже, чем предыдущая,
и выше предыдущей, однако не выше 2 метров. Том начинает с первой доски и
затем, если доска выше предыдущей более чем на 2%, красит её, а в противном
случае — пропускает. Может ли забор быть таким, что Том покрасит не менее
а) 40%; б) 50%; в) 60% площади забора? А.А. Григорян. Решение — в №3/4–1992
1345. На гиперболе, заданной уравнением xy = 1 , взяты две точки M и N, симметричные относительно начала координат. Окружность с центром M, проходящая через
точку N, пересекает гиперболу ещё в трёх точках. Докажите, что эти точки —
вершины равностороннего треугольника. В.А. Сендеров. Решение — в №11–1992
1346. Внутри окружности радиуса 1 расположена замкнутая (самопересекающаяся) 51звенная ломаная, причём длина каждого звена равна √
3 . Для каждого угла этой
ломаной рассмотрим треугольник, двумя сторонами которого служат стороны этого
угла (таких треугольников всего 51). Докажите, что сумма площадей этих треугольников не меньше утроенной площади правильного треугольника, вписанного
в данную окружность. А. Берзиньш и Н. Константинов. Решение — в №12–1992
1347. Имеется 100 серебряных монет, упорядоченных по массе, и 101 золотая монета,
также упорядоченные по массе. Массы всех монет различные. В нашем распоряжении — двухчашечные весы, позволяющие про любые две монеты установить,
какая тяжелее. За наименьшее число взвешиваний найдите монету, занимающую
по массе 101-е место. (Укажите его и докажите, что меньшим число взвешиваний обойтись нельзя.) А.В. Анджанс, Г.В. Кондаков и Н.К. Константинов. Решение — в №12–1992
1348. Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Стороны B 
C  , C 

и A 
B  треугольника A 

C  параллельны, соответственно, отрезкам PA, PB и PC. Через точки A  , B  и C  проведены прямые, параллельные соответственно прямым
BC, CA и AB. Докажите, что эти прямые пересекаются на описанной окружности
треугольника A 

C  . В.В. Прасолов и Н.Б. Васильев. Решение — в №12–1992
1349.
∗ Круг разбит на несколько секторов. В некоторых из них стоят фишки; фишек на 1
больше, чем секторов. Затем позиция подвергается следующим преобразованиям:
берём какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляем в разные
стороны в соседние сектора. Докажите, что после нескольких таких преобразований
не менее половины секторов будет занято фишками.
Д.В. Фомин, Н.К. Константинов и Н.Б. Васильев. Решение — в №12–1992
1350.
∗ Пусть a и b — натуральные числа. Через V(n, b) обозначим количество разложений числа n в произведение одного или нескольких натуральных сомножителей,
каждый из который больше b. (Например, 36 = 6 • 6=4 • 9=3 • 3 • 4=3 • 12 , так что
V(36, 2) = 5 .) Докажите неравенство bV(n, b) < n. Н.Б. Васильев. Решение — в №12–1992
1351. AC и BC — катеты прямоугольного треугольника ABC, причём AC > BC. На
катете AC выбрана точка E, а на гипотенузе AB — точка D так, что BC = CE =
= BD. Докажите, что треугольник CDE прямоугольный в том и только том случае,
когда длины сторон треугольника ABC относятся как 3 : 4 : 5 .
А. Паровян и Н.К. Константинов. Решение — в №12–1992
1352. Назовём числа a1 , a2 , ... , an , где n > 2 , близкими, если каждое из них меньше,
чем сумма остальных, делённая на n−1 . Докажите неравенства а) a1 > 0 ; б) a1 +
+ a2 > a3 ; в) (n − 1)(a1 + a2)  a1 + a2 + ... + an . Ф.Г.Шлейфер и Н.К. Константинов. Решение — в №12–1992
1353. Таблицу размером n × n заполним числами по следующему правилу: в клетке,
стоящей на пересечении k-й строки и j-го столбца, записано число 1/(k + j − 1) .
В таблице отметили n чисел таким образом, что никакие два отмеченных числа
не находятся в одном столбце или в одной строке. Докажите, что сумма отмеченных
чисел не меньше 1. С. Иванов и Г.В. Кондаков. Решение — в №12–1992
173
1354. Центры тяжести (то есть точки пересечения медиан) треугольников A1B1C1 , A2B2C2
и A3B3C3 лежат на одной прямой. Рассмотрим все 27 треугольников вида Aj
BkCm ,
где j, k и m независимо пробегают значения 1, 2 и 3. Докажите, что эти
27 треугольников можно разбить на два множества так, что сумма площадей
первого множества будет равна сумме площадей треугольников второго множества.
А.В. Анджанс и Н.Б. Васильев. Решение — в №12–1992
1355. Если число a = 22k + 2k + 1 не является делителем числа 22k+1 − 1 , то a — составное. Докажите это. Г. Карнаух, Н.Б. Васильев и В.А. Сендеров. Решение — в №1/2–1993
1356. Если abc = 4Rrrc , где a, b, c — длины сторон треугольника ABC, R, r и rc —
радиусы описанной, вписанной и вневписанной окружностей (касающейся стороны
длины AB и продолжений сторон длин CA и CB), то ACB = 90◦ . Д окажите
это. Одиннадцатиклассник В. Турешбаев. Решение — в №1/2–1993
1357. Числа 91! • 1901! − 1 и 92! • 1900! + 1 делятся на 1993. Докажите это.
Ю. Калиниченко. Решение — в №1/2–1993
1358. Назовём кубоидом шестигранник, все грани которого — четырёхугольники. Докажите, что если три из четырёх его диагоналей (не лежащих на его гранях)
пересекаются в одной точке, то и четвёртая проходит через эту точку.
В.Н. Дубровский. Решение — в №1/2–1993
1359. Пусть 0  a0  a1  ...  an . Докажите, что уравнение a0 + a1 cos x + ... +
+an cos nx = 0 на отрезке [0; π] имеет а) хотя бы один корень; б*) ровно n корней.
А.Я. Канель и В.А. Сендеров. Решение — в №1/2–1993
1360.
∗ Обозначим через p(m, n) количество различных покрытий доски размерами m × n
клеток mn/2 костями домино (прямоугольниками 1 × 2 ; разумеется, мы считаем
одно из чисел m и n чётным).
а) p(2, n) =  n — число Фибоначчи. Докажите это.
б) Для любого чётного n докажите неравенства (3/2)n2/2 < p(n, n) < 2n2/2 . А. Китбалян. Решение — в №1/2–1993
1361. Из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена высота CD. В треугольники ACD и BCD вписаны окружности с центрами P и Q.
Общая внешняя касательная к этим окружностям пересекает стороны AC и BC
в точках M и N соответственно, а высоту CD — в точке K. Докажите, что
а) треугольники CMN и ABC подобны;
б) точки C, M, N, P и Q лежат на одной окружности с центром K, радиус которой
равен радиусу вписанной окружности треугольника ABC. Э.Г. Готман. Решение — в №3/4–1993
1362. Если натуральное число a взаимно просто с 10, то для любого натурального M
существует такое n, что сумма цифр десятичной записи числа an больше M. Докажите это. (Другими словами, докажите, что последовательность сумм цифр степеней
числа a не ограничена.) С. Керопян. Решение — в №3/4–1993
1363. Можно ли n раз рассадить 2n + 1 человек за круглым столом так, чтобы никакие
двое не сидели рядом более одного раза, если а) n = 5 ; б) n = 4 ; в) n — произвольное натуральное число?
С.И
1365. Каждая грань выпуклого многогранника — многоугольник с чётным числом сторон.
Обязательно ли его рёбра можно раскрасить в два цвета так, чтобы у любой грани
было поровну рёбер разных цветов?
С.И. Токарев. Московская математическая олимпиада 1992 года. Решение — в №3/4–1993
1366. Точки M и n — середины сторон CD и DE пятиугольника ABCDE, сторона BC
которого параллельна диагонали AD, а сторона AE — диагонали BD. Обозначим
точку пересечения отрезков BN и AM буквой O. Докажите равенство площадей
четырёхугольника MDNO и треугольника ABO.
Б. Кукушкин. Всероссийская олимпиада, 1992 год. Решение — в №9/10–1993
1367. В некоторой стране между городами существует авиационное сообщение. В стране
2k + 1 авиакомпания, причём первая осуществляет один рейс, вторая — два рейса
и так далее (каждый рейс связывает между собой два города). В стране существует
закон, согласно которому ни из какого города ни одна авиакомпания не может
осуществлять более одного рейса. Компании решили перераспределить между собой
рейсы так, чтобы всем досталось поровну рейсов. Докажите, что это можно сделать,
не нарушив закона. Б. Кукушкин. Всероссийская олимпиада, 1992 год. Решение — в №9/10–1993
1368. а) На стороне BC треугольника ABC выбрана точка D. Точки O, O1 и O2 —
центры описанных окружностей треугольников ABC, ABD и ACD соответственно.
Докажите, что точки O, O1 , O2 и A лежат на одной окружности.
б) На стороне BC треугольника ABC выбрана точка D, не являющаяся её серединой. O1 и O2 — центры описанных окружностей треугольников ABD и ACD
соответственно. Докажите, что серединный перпендикуляр к медиане AK треугольника ABC делит отрезок O1O2 пополам
1370. Рассматриваем наборы из n гирек разных масс. Масса каждой гирьки — целое
число граммов, не превосходящее 21. При каком наименьшем n в любом таком
наборе найдутся две пары гирек, уравновешивающие друг друга?
Н.Б. Васильев. Всероссийская олимпиада, 1992 год. Решение — в №9/10–1993
1371. На окружности с центром O расположены точки A и B. Точка P находится
на меньшей из дуг AB, точки Q и R симметричны точке P относительно прямых
OA и OB соответственно, P  — точка пересечения отрезков AR и BQ. Докажите,
что точки P и P  симметричны относительно прямой AB.
В.В. Произволов и Б. Кукушкин. Межреспубликанская олимпиада 1992 года. Решение — в №9/10–1993
1372. Имеется прибор, позволяющий находить все действительные корни любого уравнения третьей степени. Придумайте, как с помощью этого прибора для любого
многочлена P третьей степени решить систему уравнений x = P(y) , y = P(x) .
Д. Туляков. Межреспубликанская олимпиада 1992 года. Решение — в №9/10–1993
1373. Дана плоскость, пересекающая сферу с центром O по окружности. На сфере по разные стороны от плоскости взяты точки A и B, причём радиус OA перпендикулярен
данной плоскости. Через прямую AB проведём произвольную плоскость γ. Она
175
пересечёт окружность в некоторых точках X и Y. Докажите, что произведение
длин отрезков BX и BY не зависит от выбора плоскости γ.
Б. Чиник. Межреспубликанская олимпиада 1992 года. Решение — в №9/10–1993
1374. Найдите все натуральные числа k, отличные от 1, удовлетворяющие следующему
условию: для некоторых не равных одно другому натуральных чисел m и n
десятичная запись числа km + 1 получается из десятичной записи числа kn + 1
перестановкой цифр в обратном порядке.
А.Б. Скопенков. Межреспубликанская олимпиада 1992 года. Решение — в №9/10–1993
1375. В кинотеатре m рядов по n мест в каждом. Рассеянный кассир продал mn билетов,
не следя за тем, чтобы они были на разные места. Оказалось, что зрителей можно
так рассадить в зале, чтобы у каждого в билете был правильно указан хотя бы
один из номеров — ряда или места.
а) Докажите, что зрителей можно рассадить так, чтобы хотя бы у одного из них
были правильно указаны оба номера, а для остальных выполнялось прежнее условие.
б) Какое наибольшее число зрителей можно заведомо рассадить на свои места
с сохранением условия для всех остальных?
Е.Малинникова. Межреспубликанская олимпиада 1992 года. Решение — в №9/10–1993
1376. В пространстве даны 9 точек, никакие четыре из которых не лежат в одной
плоскости. Все эти точки попарно соединены отрезками. Отрезок может быть
окрашен в синий или красный цвет, а может остаться незакрашенным. Найдите
такое наименьшее n, что при любом закрашивании любых n отрезков найдётся
треугольник, все стороны которого одного цвета.
Б. Кукушкин. XXXIII международная олимпиада, 1992 год. Решение — в №9/10–1993
1377. На плоскости даны: окружность, касающаяся её прямая l и точка M на прямой l. Найдите множество всех точек P, удовлетворяющих следующему условию: существуют такие две точки Q и R на прямой l, что M — середина отрезка QR, а
исходная окружность вписана в треугольник PQR.
1406. На доске написано n выражений вида ∗x2 + ∗x = ∗, причём n — нечётное число.
Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешено заменить одну
из звёздочек числом, не равным нулю. Через 2n ходов получится n квадратных
уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число
этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее
число уравнений, не имеющих корней, может гарантировать себе получить первый
игрок? И.С. Рубанов. Всероссийская олимпиада. Решение — в №3–1994
1407. В семейном альбоме есть а) десять; б) n фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре — мужчина, слева от мужчины — его сын, а справа —
его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено
на этих фотографиях, если все десять (соответственно, n) мужчин, стоящих в центре, различны? С.В. Конягин и Н.Б. Васильев. Всероссийская олимпиада. Решение — в №3–1994
1408. За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо
лжец, либо честный. Всех сидящих спрашивают: <Кто ваш сосед справа — лжец
или честный?> В ответ честный говорит правду, а лжец может сказать как правду,
так и ложь. Количество лжецов не превосходит F. При каком наибольшем
значении F всегда можно, зная эти ответы, указать на хотя бы одного честного
человека в этой компании? О. Ляшко. Всероссийская олимпиада. Решение — в №3–1994
1409. Существует такое натуральное числа n, что если правильный треугольник со стороной длины n разбить прямыми, параллельными его сторонам, на n2 правильных
треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать 1993n точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного
треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного
треугольника). Докажите это.
С. Августинович и Д. Ван-дер-Флаасс. Всероссийская олимпиада. Решение — в №3–1994
179
1410. а) Любые ли два прямоугольника равной площади можно расположить на плоскости так, что любая горизонтальная прямая, пересекающая один из них, будет
пересекать и второй по отрезку той же длины?
б) Если два прямоугольных параллелепипеда имеют равные объёмы, то их можно
так расположить в пространстве, что любая горизонтальная плоскость, пересекающая один из них, будет пересекать и второй по многоугольнику той же площади.
Докажите это.
1411. Каждый житель острова Невезения либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт,
причём правдивых — не менее четверти всех жителей. На выборах президента,
в которых участвовали все невезенцы, было только два кандидата: Ёлкин и Палкин.
На вопрос наблюдателя ООН <за кого Вы голосовали?> большинство невезенцев
ответило: <За Палкина>,— а на вопрос <кто победил?> большинство ответило:
<Ёлкин>.
а) Кто победил на выборах?
б) Можно ли это наверняка определить, если правдивых на острове — лишь одна
пятая всех жителей?
1415. Даны два правильных 10-угольника. В каждой вершине того и другого написано натуральное число, причём сумма чисел на каждом 10-угольнике равна 99.
Докажите, что можно отметить на том и другом 10-угольнике несколько подряд
стоящих вершин (может быть, одну, но не все) так, что суммы отмеченных чисел
будут одинаковы. С. Берлов. Решение — в №4–1994
1416. Среди бесконечного количества гангстеров каждый охотится за каким-то одним
из остальных. Докажите, что существует бесконечное подмножество этих гангстеров, в котором никто ни за кем не охотится. В.А. Уфнаровский. Решение — в №4—1994
1417. На сторонах AC и BC треугольника ABC выбраны точки D и E. Отношение
величины угла CDE к величине угла BDE равно отношению величины угла CED
к величине угла AFD. Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если
отрезки AE и BD являются а) медианами; б) высотами; в) биссектрисами этого
треугольника?
1443. Бесконечная последовательность x1 , x2 , x3 , ... задана первым членом x1 ∈ [0; 1]
и рекуррентной формулой xn+1 = 1−|1−2xn|. а) Докажите, что последовательность
периодическая тогда и только тогда, когда число x1 рациональное.
б*) Сколько существует для данного натурального числа t таких значений x1 , что
длина наименьшего периода последовательности x1 , x2 , x3 , ... равна t?
Г.Шабат и Н.Б. Васильев. Московская олимпиада 1994 года. Решение — в №1–1995
1444. Существует ли многочлен P, один из коэффициентов которого отрицателен, а все
коэффициенты многочленов P2 , P3 , P4 , ... положительны?
О. Крыжановский. Московская олимпиада 1994 года. Решение — в №1–1995
1445. Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулём, которое при
вычёркивании некоторой его цифры (не первой) уменьшается в целое число раз.
А.И. Галочкин и Н.Н. Константинов. Московская олимпиада 1994 года. Решение — в №1–1995
1446. Из выпуклого многогранника с 9 вершинами, одна из которых A, параллельными
переносами, переводящими A в каждую из остальных вершин, образованы 8 конгруэнтных многогранников. Докажите, что хотя бы два из этих многогранников
имеют общую внутреннюю точку.
Г.А. Гальперин и В.А. Сендеров. Московская олимпиада 1994 года. Решение — в №1–1995
1447. В квадрате размером 10 × 10 нужно расставить один корабль 1 × 4 , два — 1 × 3 ,
три — 1 × 2 и четыре — 1 × 1 . Корабли не должны иметь общих точек (даже
вершин) друг с другом, но могут прилегать к границам квадрата. Докажите, что
если расставлять их в
а) указанном порядке (то есть начиная с больших), то этот процесс всегда удастся
довести до конца, даже если в каждый момент заботиться только об очередном
корабле, не думая о будущих;
б) если расставлять их в обратном порядке, то может возникнуть ситуация, когда
очередной корабль поставить нельзя.
К. Игнатьев. Московская олимпиада 1994 года. Решение — в №1–1995
1448. а) В любом ли многоугольнике можно провести хорду, которая делит его на две
части равной площади?
б) Любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь
каждой из которых не меньше 1/3 площади многоугольника. Докажите это.
(Хордой многоугольника называем отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а все остальные точки отрезка являются внутренними точками многоугольника.) В.В. Произволов и Н.Б. Васильев. Московская олимпиада 1994 года. Решение — в №1–1995
1449. Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются
в точке P, а продолжения сторон BC и AD — в точке Q. Докажите, что если
каждая из трёх пар биссектрис: внешних углов при вершинах A и C, внешних
углов при вершинах B и D, а также внешних углов при вершинах Q и P
(треугольников QAB и PBC соответственно) имеет точку пересечения, то эти три
точки лежат на одной прямой.
С.В.Маркелов и Н.Б. Васильев. Московская олимпиада 1994 года. Решение — в №1–1995
1450. Для любого натурального k > 1 есть такая степень числа 2, что среди k последних
цифр её десятичной записи не менее половины составляют девятки. (Например,
212 = ... 96 , 253 = ... 992 .)
1455. В вершинах выпуклого n-угольника расставлены более чем n фишек. За один
ход разрешено передвинуть две фишки, стоящие в одной вершине, в соседние
вершины: одну вправо, другую влево. После N ходов в каждой вершине n-угольника оказалось столько же фишек, сколько было вначале. Докажите, что N
кратно n. И.С. Рубанов. XX Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1995
1456. В классе 30 учеников, и у каждого из них одинаковое число друзей среди одноклассников. Каково наибольшее возможное число учеников, которые учатся лучше
большинства своих друзей? (Про любых двух учеников в классе можно сказать,
кто из них учится лучше другого. Если первый учится лучше второго, а второй
лучше третьего, то первый учится лучше третьего.)
С.И. Токарев. XX Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1995
1457.
∗ Если высоты AA  , BB  , CC  и DD  тетраэдра ABCD пересекаются в центре H
вписанной сферы тетраэдра A 


D  , то тетраэдр ABCD правильный. Докажите
это. Д.А. Терёшин и В.Н. Дубровский. XX Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1995
1458. В правильном (6n + 1) -угольнике k вершин покрашены в красный цвет, а остальные — в синий. Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.
Д. Тамаркин. XX Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1995
1459.
∗ Петя и Витя по очереди ходят конём на доске размером 1994 × 1994 . Петя
может делать только <горизонтальные> ходы, то есть такие, при которых конь
перемещается на соседнюю горизонталь. Вите разрешены только <вертикальные>
ходы, то есть такие, при которых конь перемещается на соседнюю вертикаль. Петя
ставит коня на поле, с которого начинается игра, и делает первый ход. И Вите,
и Пете запрещено ставить коня на поле, где конь уже побывал в данной игре.
Проигравшим считают игрока, который не может сделать ход. Докажите, что для
Пети существует выигрышная стратегия.
А. Перлин. XX Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1995
1460.
∗ В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны вещественные числа.
Рассматриваем две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток.
Фигуры можно перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток.
Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел, записанных
185
в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение
второй фигуры, для которого сумма чисел в накрытых ею клетках положительна.
Б.Д. Гинзбург, И. Соловьёв и Н.Б. Васильев. XX Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1995
1461. Профессор Тарантого в статье о сепульках дал n определений сепуляции. Аспиранты профессора постепенно доказали равносильность всех этих определений. Каждый из аспирантов защитил диссертацию на тему: <Сепуляция в смысле j-го
определения является сепулением в смысле k-го определения.> Какое максимальное количество аспирантов могло быть у Тарантоги, если диссертации защищали
последовательно и основной результат никакой очередной диссертации не следовал
из ранее защищённых? К.Мишачёв. Решение — в №3—1995
1462. Для любого натурального n   2 квадрат корня n-й степени из n! не меньше
произведения корня (n + 1) -й степени из (n − 1)! на корень (n − 1) -й степени из
(n + 1)! . Докажите это. Л.Д. Курляндчик и В.А. Сендеров. Решение — в №3—1995
1463. Существуют ли такие натуральные числа x и y, что каждое из чисел а) x + y, 2x + y и x + 2y; б) x + y, 2x + y и 3x + y является квадратом натурального
числа? Девятиклассник А. Грибалко и В.А. Сендеров. Решение — в №3—1995
1464. R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника; ρ — радиус
окружности, вписанной в треугольник с вершинами в точках касания вписанной
окружности со сторонами треугольника. Докажите неравенства 2ρ  r
√ρR.
В.А. Сендеров. Решение — в №3—1995
1465. P, Q, R — многочлены, причём степени многочленов P и Q различны и положительны. а) Докажите, что для любого натурального числа k существует
не более одного многочлена f степени k со старшим коэффициентом 1 такого, что
f(P(x))f(Q(x)) = f(R(x)) .
б) Найдите хотя бы один такой непостоянный многочлен f , что f(x)f(2x2) = f(2x3+
+ x) .
в) Найдите все такие многочлены. М. Тройников и В.А. Сендеров. Решение — в №3—1995
1466.
∗ Играют два художника. Первый рисует на плоскости (первоначально пустой)
один за другим многоугольники, не имеющие общих внутренних точек, а второй
последовательно красит их так, чтобы многоугольники, имеющие хотя бы один
общий отрезок, были разного цвета. Может ли первый художник заставить второго
использовать более а) пяти; б) десяти цветов? В
1470.
∗ Докажите существование такого множества A натуральных чисел, что для любого
бесконечного множества S простых чисел существует такое k   2 , что в виде
произведения k различных элементов множества S представим как некоторый
элемент множества A, так и некоторый элемент множества N \ A.
1473. Обозначим через cn первую цифру десятичной записи числа 2n . а) Сколько единиц
среди первых 1000 членов этой последовательности? б) Докажите, что в последовательности c1 = 2, c2 = 4, c3 = 8, c4 = 1, c5 = 3, ... встречается ровно
57 различных подпоследовательностей ckck+1 ...ck+12 длины 13.
А.Я. Канель и Н.Б. Васильев. Решение — в №4–1995
1474. На плоскости дан вектор v 
длины 1. Можно провести любую прямую и построить
ортогональную проекцию вектора v 
на эту прямую. Полученный вектор можно
ортогонально спроецировать на вторую прямую, полученный вектор — на третью,
и так далее. Можно ли таким образом получить перпендикулярный вектору v 
вектор, длина которого не меньше 0,99 ? Б.Д. Гинзбург и Н.Б. Васильев. Решение — в №4–1995
1475. Полоска бумаги размера 1 × n разбита на n единичных квадратов. В квадраты
записывают числа 1, 2, ... , n следующим образом. Сначала в некоторый квадрат
пишут число 1, затем число 2 пишут в один из соседних квадратов, число 3 —
в один из соседних с одним из уже занятых квадратов и так далее. (Произвол —
в выборе первого квадрата и выбор соседа на каждом шаге.) Сколькими способами
это можно сделать? А.Х.Шень, Н.Б. Васильев и С.В. Конягин. Решение — в №4–1995
1476. Не существуют такие простые числа p и q, что p  = q, но 2p + 1 делится на q и
2q + 1 делится на p. Д окажите это. С. Керопян и В.А. Сендеров. Решение — в №4–1995
1477. Существует ли выпуклый а) 5-угольник; б) n-угольник, от которого можно отрезать
подобный ему многоугольник? С.И. Токарев. Решение — в №4–1995
1478. Существует ли такой многочлен P(x) = x4 + bx2 + c, что b > 0 , c > 0 и а) уравнение P(x) = x2 не имеет вещественных корней, а уравнение P(P(x)) = x2 имеет
хотя бы один вещественный корень; б) уравнение P(x) = x2 имеет хотя бы один
вещественный корень, а уравнение P(P(x)) = x2 не имеет ни одного вещественного
корня. В.А. Сендеров. Решение — в №4–1995
1479.
∗ Число 26 можно тремя способами разложить в сумму четырёх натуральных чисел
так, что все 12 чисел различны: 26 = 1+ 6+ 8+ 11 = 2+ 5+ 9+ 10 = 3+ 4+ 7+
+ 12 . Для каждого натурального n обозначим через K(n) наибольшее количество
четвёрок натуральных чисел, сумма чисел каждой из которых равна n, а все 4K(n)
чисел различны. Докажите равенство K(n) =  
 n−2
8


 . Л.Д. Курляндчик. Решение — в №4–1995
188
1480.
∗ Назовём ежом тело, составленное из куба и шести приклеенных к нему (в точности
по граням) кубов того же размера. Кнопкой назовём тело, полученное из ежа
отбрасыванием одного из кубиков (не центрального). Назовём 2-ежом состоящее
из 13 кубиков тело, полученное приклеиванием к одному (центральному) кубу по
2 куба в каждом из 6 направлений. Разбейте пространство на а) ежи; б) кнопки;
в) 2-ежи. г) Придумайте ещё фигуры из кубов, на которые можно разбить пространство.
1505. Вершины A, B и B, C треугольника ABC являются соответственными вершинами
двух подобных параллелограммов ABDE и BCFG, построенных на сторонах AB
и BC вне треугольника. Докажите, что медиана BM треугольника ABC при
продолжении образует с прямой DG углы, равные углам параллелограммов.
В.Н. Дубровский. Решение — в №1–1996
1506. Любой отрезок числовой оси можно разбить на несколько чёрных и белых отрезков
так, чтобы сумма интегралов по белым отрезкам от а) любого квадратного трёхчлена; б) любого многочлена степени не выше данной была равна сумме интегралов
по чёрным отрезкам. Докажите это. Г.В. Кондаков. Решение — в №1–1996
1507. M — основание перпендикуляра, опущенного из центра O вписанной окружности
четырёхугольника ABCD на прямую AC. Докажите, что точка O равноудалена
от прямых BM и DM. С.В.Маркелов и Н.Б. Васильев. Решение — в №1–1996
1508. Судьям принесли собой 80 банок денег. Массы всех банок различны и известны
(имеется список). Этикетки потерялись, и только принесший банки адвокат помнит, где что. Он хочет доказать это судьям, используя только список и чашечные
весы со стрелкой, показывающей разность весов грузов на чашках. Докажите, что
он а) может это сделать за четыре взвешивания; б) не может за три.
Н.Н. Константинов и А.К. Толпыго. Решение — в №1–1996
191
1509. На плоскости расположено несколько точек, соединённых непересекающимися дугами. На каждой дуге написано одно из чисел 1, 2, 3. В каждой точке сходятся
три дуги, занумерованных разными числами. Припишем каждой точке знак +
или − в зависимости от того, в каком порядке (по часовой стрелке или против неё)
встречаются номера 1, 2, 3 входящих в неё дуг. Докажите, что разность количеств
положительных и отрицательных точек делится на 4.
С. Дужин и Н.Б. Васильев. Решение — в №1–1996
1510.
∗ Существует а) хотя бы одно составное число n, что 3n−1 −2n−1 кратно n; б) бесконечно много таких натуральных n. Д окажите это. В.А. Сендеров. Решение — в №1–1996
1511. Через точку A провели две окружности и в каждой из них — диаметр, параллельный касательной, проведённой в точке A к другой окружности, причём эти
диаметры не пересекаются. Докажите, что концы этих диаметров лежат на одной
окружности. С. Берлов. Санкт-Петербургская олимпиада. Решение — в №2—1996
1512. а) f(x) — многочлен чётной степени, отличный от 0. Докажите, что существует
такое натуральное число k, что многочлен f(x) + f(x + 1) + ... + f(x + k) не имеет
вещественных корней.
б) f(x) — многочлен нечётной степени. Докажите, что существует такое натуральное число k, что многочлен f(x) + f(x + 1) + ... + f(x + k) имеет ровно один
вещественный корень.
С. Берлов, К.П. Кохась и В.А. Сендеров. Санкт-Петербургская олимпиада. Решение — в №2—1996
1513.
∗ Докажите равенство tg 3π
7 − 4 sin π
7 = √
7 .
Из задач олимпиады Дж. Сороса. Статья Н.Б. Васильева и В.А. Сендерова <Про угол π/7 и √
7 второго номера 1996 года>
1514.
∗ Прямоугольник разбит на доминошки (то есть прямоугольники 1 × 2 ). Докажите,
что его клетки можно так раскрасить в два цвета, чтобы любая доминошка в данном
разбиении содержала клетки разных цветов, но в любом другом разбиении этого
прямоугольника на доминошки нашлась бы доминошка, содержащая две клетки
одного цвета. Д. Карпов. Санкт-Петербургская олимпиада. Решение — в №2—1996
1515. f(x) , g(x) и h(x) — квадратные трёхчлены. Может ли уравнение f(g(h(x))) = 0
иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8? С.И. Токарев. Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1996
1516. Имеются три кучи камней. Сизиф таскает по одному камню из кучи в кучу. За каждое перетаскивание он получает от Зевса количество монет, равное разности числа
камней в куче, в которую он кладёт камень, и числа камней в куче, из которой он
берёт камень (сам перетаскиваемый камень при этом не учитывается). Если указанная разность отрицательна, то Сизиф возвращает Зевсу соответствующую сумму
денег (если Сизиф не может расплатиться, то Зевс великодушно позволяет ему
совершить перетаскивание в долг). В некоторый момент оказалось, что все камни
лежат в тех же кучах, в которых они лежали первоначально. Каков наибольший
суммарный заработок Сизифа на этот момент?
И. Изместьев, Д. Кузнецов и И. Рубанов. Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1996
1517. Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается единожды и при этом для любого натурального числа k
сумма первых k членов последовательности делится на k?
А.В.Шаповалов и О. Ляшко. Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1996
1518. Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите, что эта точка, основание
одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2 : 1 , считая
от вершин, лежат на одной сфере. Д.А. Терёшин. Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1996
192
1519.
∗ На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешено, измерив циркулем
расстояние между любыми двумя отмеченными точками, провести окружность
с этим радиусом и центром в любой отмеченной точке. Линейкой разрешено
провести прямую через любые две отмеченные точки. При каждом построении
отмечаем все точки пересечения проведённых линий. Пусть Ц(n) — наименьшее
количество линий, которые позволяют только циркулем построить две отмеченные
точки на расстоянии n одна от другой, где n — натуральное число; ЛЦ(n) —
то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность Ц(n)/ЛЦ(n)
не ограничена. А.Я. Канель-Белов. Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1996
1520.
∗ Старшие коэффициенты многочленов P(x) и Q(x) равны 1. Докажите, что сумма
квадратов многочленов P(x)Q(x) не меньше суммы квадратов свободных членов P(x)
и Q(x) . М.Миньотт, А.И. Галочкин и Н.Б. Васильев. Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1996
1521. Каждый из 256 депутатов парламента ответил на каждый 8 вопросов <да> или
<нет>. Любые два из них ответили по разному хотя бы на один из вопросов. Можно
ли их так рассадить на 256 стульев, расставленных в виде квадрата размером
16 × 16 , чтобы ответы каждого отличались от ответа любого из его соседей справа,
слева, спереди или сзади ровно по а) одному вопросу; б) семи вопросам?
1531. На плоскости нарисован квадрат и отмечена невидимая точка P. Разрешено
провести любую прямую и спросить, по какую сторону от неё (или на самой
прямой) лежит точка P. За какое наименьшее число вопросов можно выяснить,
лежит ли точка P внутри квадрата? А.Я. Канель и Н.Б. Васильев. Решение — в №4–1996
1532. Существуют ли а) 4 различных натуральных числа; б) 5 различных натуральных
чисел; в) 5 различных целых чисел; г) 6 различных целых чисел таких, что сумма
любых трёх из них — простое число? П. Филевич и В.А. Сендеров. Решение — в №4–1996
1533. На плоскости даны точки A, B и C. Проведите через точку C прямую, произведение расстояний до которой от точек A и B наибольшее. Всегда ли такая прямая
единственна? Н.Б. Васильев. Решение — в №4–1996
1534. Для любых n положительных чисел разность между их суммой и умноженным
на n корнем n-й степени из произведения рассматриваемых n чисел не меньше
квадрата разности квадратных корней из наибольшего и наименьшего этих чисел.
Докажите это. Л.Д. Курляндчик. Решение — в №4–1996
1535. Куб с ребром 1 надо обшить (в один слой) куском ткани. а) Докажите, что если
узелки, где сходятся по крайней мере три шва, могут лежать только в вершинах,
то сумма длин швов не меньше 7. б) Может ли эта длина быть меньше 6,5?
Н.Б. Васильев и А.В.Шаповалов. Решение — в №4–1996
1536. Существуют ли а) два; б) три конгруэнтных семиугольника, все вершины которых
совпадают, но никакие стороны не совпадают? (Многоугольник — это часть плоскости,
ограниченная замкнутой несамопересекающейся ломаной.) В.В. Произволов. Решение — в №5–1996
1537. Про n чисел, произведение которых равно p, известно, что разность между числом p и каждым из этих чисел — нечётное целое число. Докажите, что все эти
числа иррациональны. Н.Б. Васильев и Г.А. Гальперин. Решение — в №5–1996
1538. Прямоугольник размером a×b, где a>b, разбит на прямоугольные треугольники,
граничащие между собой только по сторонам целой длины, так что общая сторона
любых двух треугольников является катетом одного и гипотенузой другого. Докажите неравенство a   2b. Н.Н. Константинов и А.В.Шаповалов. Решение — в №5–1996
1539. Капитан нашёл Остров Сокровищ, имеющий форму круга. На его берегу растут
шесть пальм. Капитан знает, что клад закопан в середине отрезка, соединяющего
ортоцентры (точки пересечения высот) треугольников ABC и DEF, где A, B, C, D, E, F — эти шесть пальм, но он не знает, какой буквой обозначена каждая
пальма. Докажите, что тем не менее он может найти клад с первой же попытки.
С.В.Маркелов. Решение — в №5–1996
1540. В компанию, состоящую из n человек, пришёл журналист. Ему известно, что в
этой компании есть человек Z, который знает всех остальных членов компании,
а его не знает никто. Журналист может к каждому члену компании обратиться
с вопросом: <Знаете ли Вы такого-то?>
а) Может ли журналист установить, кто в компании — Z, задав менее n вопросов?
б) Найдите наименьшее количество вопросов, достаточное для того, чтобы наверняка найти Z; докажите, что меньшим числом вопросов обойтись нельзя. (Все
отвечают на вопросы правдиво. Одному человеку можно задавать несколько вопросов.) Г.А. Гальперин. Решение — в №5–1996
195
1541. Вдоль лыжной трассы расставлено в ряд бесконечное число кресел, занумерованных
по порядку натуральными числами. Кассир продала билеты на первые m мест,
но на некоторые места она продала не один билет, и общее количество проданных
билетов больше m. Зрители входят на трассу по одному. Каждый, подходя
к месту, указанному на его билете, занимает это место, если оно свободно, а
если место занято, говорит <Ох!> и идёт к следующему по номеру месту. Если
оно свободно, то занимает его, а если не занято, снова говорит <Ох!> и движется
дальше — до свободного места. Докажите, что общее количество <охов> не зависит
от того, в каком порядке зрители выходят на трассу.
А.Х.Шень и Н.Б. Васильев. Решение — в №5–1996
1542. а) К любому ли шестизначному числу, начинающемуся с цифры 5, можно приписать справа ещё 6 цифр так, чтобы полученное число было квадратом натурального
числа?
б) Тот же вопрос про число, начинающееся на 1.
в) Найдите для каждого натурального n такое наименьшее число k, что к любому
n-значному числу можно так приписать справа k цифр, чтобы полученное (n + k) значное число было квадратом натурального числа.
М. Бронштейн и А.К. Толпыго. Решение — в №5–1996
1543. В плоскости выпуклого четырёхугольника ABCD расположена точка P. Построены биссектрисы PK, PL, PM и PN треугольников APB, BPC, CPD и DPA.
а) Найдите хотя бы одну такую точку P, для которой точки K, L, M и N,
лежащие соответственно на отрезках AB, BC, CD и DA, являются вершинами
параллелограмма.
б) Найдите все такие точки P. С.И. Токарев. Решение — в №5–1996
1544. Существует ли такая возрастающая арифметическая прогрессия из а) 11; б) 1000;
в) бесконечного множества натуральных чисел, что суммы цифр десятичных записей её членов также составляют арифметическую прогрессию?
А.В.Шаповалов и С.А. Дориченко. Решение — в №5–1996
1545. Имеются доска размером 1 × 1000 и n фишек. Играют двое. Ходят по очереди.
Первый своим ходом выставляет на доску не более 17 фишек, по одной на любое
свободное поле (можно все 17 взять из кучи, а можно только часть, скажем k < 17
штук — из кучи, а остальные, не более 17 − k, переставить на доске). Второй
снимает с доски любую серию фишек, то есть несколько фишек, стоящих подряд
(без пробелов между ними), и кладёт их обратно в кучу. Первый выигрывает, если
ему удастся выставить все n фишек в одну серию. Докажите, что первый игрок
при а) n = 98 может выиграть; б) n > 98 — нет. А.В.Шаповалов. Решение — в №5–1996
1546. На боковой стороне AB равнобедренного треугольника ABC с углом α при вершине A взята точка D так, что AD = AB/n. Найдите сумму n − 1 углов, под
которыми виден отрезок AD из точек, делящих основание BC на n равных частей,
если а) n = 3 ; б) n — любое натуральное число.
В.В. Произволов. LIX московская олимпиада и весенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №6–
1996
1547. а) 8 школьников решали 8 задач. Каждую задачу решили 5 школьников. Докажите, что существуют такие два ученика, что каждую задачу решил хотя бы один
из них.
б) А если каждую задачу решили 4 ученика?
1576. а) Можно ли отметить на плоскости 4 красные и 4 чёрные точки так, чтобы для
любых трёх точек одного цвета нашлась точка другого цвета, являющаяся вместе с
тремя рассматриваемыми точками вершиной параллелограмма?
б) Можно ли 4 вершины куба покрасить красной краской, а 4 — чёрной так, чтобы
в любой плоскости, проходящей через три вершины одного цвета, лежала хотя бы
одна вершина другого цвета?
Н.Б. Васильев и И.Ф.Шарыгин. Осенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №4–1997
1577. В треугольнике отношение синуса некоторого угла к косинусу другого равно тангенсу третьего. Докажите, что высота, проведённая из вершины первого угла,
медиана, проведённая из вершины второго, и биссектриса третьего угла пересекаются в одной точке.
1581.
∗ а) Существует ли такое шестизначное число a, что ни одно из чисел a, 2a, ... ,
500 000a не оканчивается шестью одинаковыми цифрами?
б*) Для любого натурального числа k, не равного 1, найдите такое наименьшее
натуральное число n, что для любого натурального a хотя бы одно из чисел a, 2a,
... , na оканчивается k одинаковыми цифрами.
С.И. Токарев. Осенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №4–1997
1582. По кругу выложены n карточек оборотной стороной вверх. На карточках написаны
неизвестные различные числа. Разрешено переворачивать карточки по одной, всего
не более k штук. Научитесь находить такую карточку, что написанное на ней
число больше чисел обеих её соседок, если а) n =5 и k = 4 ; б) n = 76 и k = 10 ;
в) n = 199 и k = 12 . В.Ю. Протасов. Решение — в №4–1997
1583. а) Длина медианы тетраэдра (то есть длина отрезка, соединяющего вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани) не превосходит среднего арифметического длин рёбер, выходящих из той же вершины. Докажите это.
б) Длина биссектрисы тетраэдра (то есть длина отрезка, идущего от вершины к
противоположной грани и равнонаклонённого к содержащим эту вершину граням)
меньше половины суммы длин рёбер, выходящих из той же вершины?
в) Верно ли для биссектрисы неравенство пункта а)? В.А. Сендеров. Решение — в №4–1997
1584. Бесконечная последовательность получается почленным сложением двух геометрических прогрессий. Может ли такая последовательность начинаться с чисел а) 1,
1, 3 и 5; б) 1, 2, 3 и 5; в) 1, 2, 3 и 4; г) 1, 2, 3 и 2?
д) Если первые четыре члена такой последовательности — рациональные числа, то
и все другие члены этой последовательности — рациональные числа. Докажите
это. Н.Б. Васильев. Заочный тур Соросовской олимпиады. Решение — в №4–1997
200
1585. В новой лотерее на карточке размером 6 × 6 надо отметить 6 клеток. При розыгрыше лотереи называют 6 <чёрных> (проигрышных) клеток. Билет считаем
выигрышным, если на нём не отмечено ни одной чёрной клетки. Какое наименьшее число билетов нужно купить, чтобы наверняка среди них был хоть один
выигравший?
Решите эту задачу для карточки размером k × k, из которых надо отмечать k, при
чётном k. С.И. Токарев. Осенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №4–1997
1586. Из некоторого прямоугольника вырезан равносторонний треугольник так, что одна
из его вершин находится в вершине прямоугольника, а две другие лежат на сторонах прямоугольника, не содержащих эту вершину. Докажите, что площадь одного
из оставшихся прямоугольных треугольников равна сумме площадей двух других.
1615. В прямоугольную коробку размером m × n, где m и n нечётны, уложены кости
домино размерами 1 × 2 так, что остался не покрытым только квадрат 1 × 1
(дырка) в углу коробки. Если доминошка прилегает к дырке короткой стороной,
то эту доминошку разрешено сдвинуть вдоль себя на одну клетку, закрыв дырку
(при этом откроется новая дырка). Докажите, что с помощью таких операций
можно перегнать дырку в любой другой угол.
А.В.Шаповалов и Н.Б. Васильев. Решение — в №2–1998
1616. Дана правильная пирамида ABCD с плоскими углами α при вершине D. Плоскость, параллельная основанию, пересекает рёбра DA, DB и DC в точках A1 , B1
и C1 соответственно. Поверхность многогранника ABCA1B1C1 разрезали по пяти
рёбрам A1B1 , B1C1 , C1C, CA и AB. Полученную развёртку уложили на плоскость.
При каких α развёртка будет (частично) накрывать сама себя?
Н.П. Долбилин. Соросовская олимпиада 1997 года. Решение — в №3–1998
1617.
∗ Дан правильный шестиугольник со стороной 100. Каждая его сторона разделена на 100 равных частей, и через точки деления проведены всевозможные прямые линии, параллельные сторонам шестиугольника (образующие сетку единичных
правильных треугольников). Рассмотрим произвольное покрытие шестиугольника
единичными ромбами, каждый из которых состоит из двух соседних треугольников
сетки. Сколько существует линий сетки, разрезающих пополам (на два треугольника) а) 17; б) k ромбов (для каждого натурального k)? Зависит ли ответ от покрытия?
В.Б. Алексеев и Н.Б. Васильев. Соросовская олимпиада 1997 года. Решение — в №3–1998
1618.
∗ В вершины правильного n-угольника из его центра проведены n векторов и из них
выбраны несколько (не все), сумма которых равна нулю. Докажите, что концы
некоторой части выбранной совокупности векторов образуют правильный многоугольник (два вектора, симметричных относительно центра, считаем правильным
<двуугольником>), если n равно а) 6; б) 8; в) 9; г) 12.
д) Для любого ли натурального n верно аналогичное утверждение?
В.А. Сендеров. Решение — в №3–1998. Статья <Многочлены деления круга> первого номера 1998 года
204
1619.
∗ Числа x, y и z удовлетворяют равенствам x2 + xy + y2 =3 и y2 + yz + z2 = 16 .
Найдите наибольшее возможное значение величины xy + yz + zx.
М.А. Волчкевич и В.А. Сендеров. Решение — в №3–1998
1620.
∗ Через точку O плоскости проведены n прямых, делящих плоскость на 2n углов.
В каждый из них вписана окружность, касающаяся сторон на расстоянии 1 от
точки O. Лучи занумерованы по порядку, начиная с луча OA1 . Для произвольно
выбранной на луче OA1 точки M1 строится ломаная M1M2M3 ...M2nM2n+1 , вершина Mk которой при любом k = 1 , 2, ... , 2n лежит на луче OAk , вершина
M2n+1 — снова на луче OA1 , а звено MkMk+1 касается той из рассматриваемых
окружностей, что вписана в угол AkOAk+1 . Докажите для а) n = 3 ; б) любого
натурального n, что если для некоторой точки M1 ломаная оказалась замкнутой
(то есть M2n+1 = M1 ), то она получится замкнутой при любом выборе точки M1 .
1637. Квадрат разрезали на прямоугольники. Докажите, что сумма длин наименьших
сторон всех этих прямоугольников не меньше длины стороны квадрата.
В.В. Произволов. LXI московская олимпиада. Решение — в №6–1998
1638. Красный квадрат покрыт более чем 100 равными ему белыми квадратами. Стороны
всех белых квадратов параллельны сторонам красного. Можно ли удалить один
белый квадрат так, чтобы оставшиеся всё ещё покрывали красный квадрат?
С. Агеев и В.В. Произволов. LXI московская олимпиада. Решение — в №6–1998
1639. Путешественник посетил селение, в котором каждый человек либо всегда говорит
правду, либо всегда лжёт. Жители селения встали в круг, и каждый сказал
путешественнику про соседа слева, правдив тот или лжив. На основании этих
сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю всех жителей
составляют правдивые. Определите, чему она равна.
Б.Р. Френкин. LXI московская олимпиада. Решение — в №6–1998
1640. Внутри четырёхугольника ABCD существует такая точка M, что AMB и CMD —
равнобедренные треугольники с углом величиной 120◦ при вершине M. Д окажите
существование такой точки N, что треугольники BNC и DNA равносторонние.
И.Ф.Шарыгин. Решение — в №6–1998
1641. Есть n камней и полубесконечная полоска бумаги, разделённая на клетки с номерами 1, 2, 3, ... На первой клетке камень лежит всегда. Разрешено положить
в клетку камень или убрать камень из клетки, если на предыдущей клетке лежит
камень. Как далеко от начала полоски можно положить камень, действуя в соответствии с этим правилом? Докажите, например, что на клетку с номером 2n − 1
камень положить можно.
А.Х.Шень и М.Н. Вялый. LXI московская олимпиада. Решение — в №1–1999
1642. Некоторые стороны клеток шахматной доски 8 × 8 объявлены перегородками. Расстановку перегородок назовём хорошей, если доска остаётся связной (ладья может
пройти с любого поля на любое другое, не перепрыгивая через перегородки), и
плохой — в противном случае. Каких расстановок больше — хороших или плохих? А.В.Шаповалов. Решение — в №6–1998
 

 

 


Категория: Математика | Добавил: Админ (20.08.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar