Тема №7760 Задачи для проведения олимпиады по математике 5-9 классы 2145 (Часть 5)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи для проведения олимпиады по математике 5-9 классы 2145 (Часть 5) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи для проведения олимпиады по математике 5-9 классы 2145 (Часть 5), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

1643. а) Существуют ли такие целое ненулевое число a и целое число b, что для любого
натурального n число a • n! + b является квадратом целого числа?
б) Существуют ли такие целые ненулевые числа a и b и такое целое число c, что
для любого натурального n существует такое целое число x, что n! = ax2 + bx +
+ c? А.А. Егоров. Решение — в №6–1998
1644. Двое показывают следующий фокус. Один из перетасованной колоды, состоящей из
52 карт, вытаскивает 5 карт произвольным образом и выкладывает четыре из них
в ряд картинкой вверх, а пятую а) выкладывает среди остальных четырёх, но
картинкой вниз; б*) берёт себе. Второй, глядя на лежащие перед ним карты,
называет пятую карту. Научите их это делать! Г.А. Гальперин. Решение — в №6–1998
1645. Количество способов, которыми можно расставить n чисел, где n > 9 , в последовательность без убывающих подпоследовательностей длиной 10, не превосходит 81n . Докажите это. А.Я. Канель. LXI московская олимпиада. Решение — в №6–1998
208
1646. У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у кого-то оказалось не менее половины
всех овец, остальные сговариваются и раскулачивают его: каждый берёт себе
столько овец, сколько у него уже есть. Если у двоих по 64 овцы, то один из них
раскулачивает другого. Произошло 7 раскулачиваний. Докажите, что все овцы
собрались у одного крестьянина.
А.В.Шаповалов. Зональный тур Всероссийской олимпиады 1998 года. Решение — в №1–1999
1647. Из любого конечного множества точек плоскости можно так удалить одну точку,
что оставшееся множество можно разбить на два множества, диаметры которых
меньше диаметра первоначального множества. Докажите это. (Диаметр — это
максимальное расстояние между точками множества.)
В. Дольников. Зональный тур Всероссийской олимпиады 1998 года. Решение — в №1–1999
1648.
∗ Из центра правильного многоугольника, вписанного в окружность радиуса 1, в некоторые вершины этого многоугольника проведены векторы. Может ли длина
суммы этих векторов равняться а) 1998; б*) √
1998?
В.А. Сендеров и А.В. Спивак. Отборочный
тур московской олимпиады 1998 года на Всероссийскую олимпиаду. Решение — в статье <Гауссовы суммы> 1999 год
1649.
∗ На конференцию приехали 300 участников. Каждый участник знает три языка
из пяти, официально принятые на конференции. Докажите, что всех участников
можно разбить на три группы по 100 человек так, чтобы для каждой группы
нашёлся язык, общий для её членов. А.А. Берзиньш, А.В. Спивак и Г.Р Челноков.
Отборочный тур московской олимпиады 1998 года на Всероссийскую олимпиаду. Решение — в №1–1999
1650.
∗ На плоскости нарисовано дерево (то есть граф без циклов) Г. Граф Г  , полученный
из Г параллельным переносом на некоторый вектор длины 1, не пересекается с Г. На графе Г отмечены две точки A и B, в которых в начальный момент времени
сидело по жуку. Ползая по графу, жуки через некоторое время снова оказались
в точках A и B, но при этом поменялись местами. Докажите, что в некоторый
момент расстояние между жуками было меньше 1. А.Б. Скопенков и Г.Р. Челноков.
Отборочный тур московской олимпиады 1998 года на Всероссийскую олимпиаду. Решение — в №1–1999
1651. Найдите а) наименьшую; б) наибольшую возможную площадь выпуклой фигуры,
все проекции которой на оси Ox, Oy и биссектрису первого и третьего квадрантов
суть отрезки единичной длины. В. Тиморин. Решение — в №2–1999
1652. Внутри параболы y = x2 расположены окружности ω1 , ω2 , ω3 , ... так, что каждая
окружность ωn+1 касается ветвей параболы и внешним образом — окружности ωn .
Найдите радиус окружности ω1998 , если диаметр окружности ω1 равен 1 и она
касается параболы в начале координат.
М.А. Евдокимов. Всероссийская олимпиада 1998 года. Решение — в №2–1999
1653. На столе лежат 5 часов со стрелками. Разрешено любые три из них перевести
вперёд. Для каждых часов время, на которое их перевели, назовём временем
перевода. Требуется все часы установить так, чтобы они показали одинаковое
время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно
сделать? О. Подлипский. Всероссийская олимпиада 1998 года. Решение — в №2–1999
1654. Через основания L и M биссектрисы BL и медианы BM неравнобедренного треугольника ABC провели прямые параллельно, соответственно, сторонам BC и BA
до пересечения с прямыми BM и BL в точках D и E. Докажите, что угол BDE
прямой.
М. Сонкин, А. Акопян и В.А. Сендеров. Всероссийская олимпиада 1998 года. Решение — в №2–1999
1655. Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение любых двух
из которых делится на квадрат их разности?
Г.А. Гальперин. Всероссийская олимпиада 1998 года. Решение — в №2–1999
209
1656. Даны два выпуклых многоугольника. Расстояние между любыми двумя вершинами
первого не больше 1, расстояние между любыми двумя вершинами второго также
не больше 1, а квадрат расстояния между любыми двумя вершинами разных
многоугольников больше 1/2. Докажите, что многоугольники не пересекаются.
В. Дольников. Всероссийская олимпиада 1998 года. Решение — в №2–1999
1657. Назовём лабиринтом шахматную доску, на которой между некоторыми полями
поставлены перегородки. По команде НАПРАВО ладья смещается на одно поле
направо или, если справа находится край доски или перегородка, стоит на месте;
аналогично определим команды НАЛЕВО, ВВЕРХ и ВНИЗ. Мария Ивановна пишет
программу — конечную последовательность команд — и даёт её Вовочке, после
чего Вовочка выбирает лабиринт и ставит ладью на любое поле. Может ли Мария
Ивановна сочинить такую программу, что ладья обойдёт все доступные поля лабиринта при любом выборе Вовочки?
1666. Три плоскости разрезали куб с ребром 1 на 8 параллелепипедов. Докажите,
что среди них есть хотя бы 4 параллелепипеда, объём каждого из которых не
превосходит 1/4. Д.Ю. Кузнецов. Решение — в №4–1999
1667. Натуральный ряд разбит на два бесконечных множества чисел. Докажите, что
сумма некоторых 100 чисел одного из этих множеств равна сумме некоторых
100 чисел другого множества. В.В. Произволов. Решение — в №4–1999
1668. Имеется n бочек, содержащих 1, 2, ... , n литров воды соответственно. Разрешено
доливать в бочку столько воды, сколько в ней уже есть, из любой другой бочки,
в которой воды достаточно для такой операции. Какое наибольшее количество
воды можно собрать в одной бочке, если а) n = 10 ; б) n — любое натуральное
число?
1681. Квадрат целого числа оканчивается так: ... 21. Может ли третья справа цифра
этого квадрата быть чётной? В.А. Сендеров. Решение — в №6–1999
1682. Из некоторой точки плоскости опущены перпендикуляры на высоты треугольника
(или на их продолжения). Докажите, что основания перпендикуляров являются
вершинами треугольника, подобного исходному. Р. Кудимов. Решение — в №6–1999
1683. Имеется 20 бусинок десяти цветов, по две каждого цвета. Их как-то разложили в
10 коробок. Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что
все цвета будут представлены. Докажите, что количество способов такого выбора
есть ненулевая степень двойки. А. Гришин. Турнир городов 1998 года. Решение — в №6–1999
1684.
∗ Круг разделён радиусами на 2n конгруэнтных секторов, n из которых синие, а
остальные — красные. В синие сектора, начиная с некоторого, по ходу часовой
стрелки последовательно вписаны натуральные числа от 1 до n. В красные сектора,
начиная с некоторого, против хода часовой стрелки тоже последовательно вписаны
числа от 1 до n. Докажите существование полукруга, в сектора которого вписаны
все числа от 1 до n. В.В. Произволов. Московская олимпиада 1999 года. Решение — в №6–1999
1685. В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Докажите, что окружности, проведённые через середины сторон треугольников ABC, BCD, CDA и DAB, имеют
общую точку, а их центры лежат на одной окружности.
1748. На плоскости выбраны 1000 точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой). Рассмотрим всевозможные раскраски этих точек в два цвета. Назовём
раскраску неразделимой, если не существует такой прямой, что точки разных цветов лежат в разных полуплоскостях. Докажите, что количество неразделимых
раскрасок не зависит от выбора точек на плоскости.
1756. Среди любых трёх из нескольких данных натуральных чисел можно выбрать два,
одно из которых делится на другое. Докажите, что все числа можно так покрасить
двумя красками, что из любых чисел одного цвета одно делится на другое.
Е. Черепанов. Решение — в №4–2001
1757.
∗ Если выпуклый многоугольник можно разрезать на 20 параллелограммов, то его
можно разрезать и на 15 параллелограммов. В.В. Произволов. Решение — в №4–2001
1758. Всякий депутат имеет свой абсолютный рейтинг — некоторое присвоенное ему
компетентными органами положительное число. Сразу после избрания депутатов
распределили по фракциям и каждый из них вычислил свой относительный рейтинг — частное от деления абсолютного рейтинга на сумму абсолютных рейтингов
всех (включая его самого) депутатов его фракции. Депутат может перейти из фракции в другую, если его относительный рейтинг при этом увеличивается. Ни в какой
момент времени не может произойти более одного такого перехода. Докажите, что
спустя конечное время переходы прекратятся. В.Г.Ильичёв. Решение — в №4–2001
1759. Если остроугольный треугольник можно разбить на две фигуры, диаметр каждой
из которых не превосходит длины наименьшей стороны этого треугольника, то
величины всех его углов не меньше 36◦ . Д окажите это.
1780.
∗ Каждая точка сферы окрашена в красный или синий цвет. Докажите существование трёх одноцветных точек, являющихся вершинами равностороннего треугольника. В.В. Произволов. Решение — в №6–2001
1781. Начальник охраны приказал расставить часовых вокруг лагеря так, чтобы ни
к лагерю, ни к часовым нельзя было незаметно подкрасться. У каждого часового
есть прожектор, который освещает отрезок длиной 100 метров. Исполним ли ´ приказ? В. Клепцын. LXIV московская олимпиада, 2001 год. Решение — в №1–2002
1782. Для любого натурального числа n множество решений неравенства |x! − yy| < n в
натуральных числах x и y конечно. Докажите это.
С. Злобин. LXIV московская олимпиада, 2001 год. Решение — в №1–2002
1783. В треугольнике ABC проведены высота AH, биссектриса BL и медиана CM. Оказалось, что треугольник HML равносторонний. Докажите, что треугольник
ABC равносторонний. Р.Г.Женодаров. LXIV московская олимпиада, 2001 год. Решение — в №1–2002
1784.
∗ На доске записаны все целые числа от 1 до 2000. а) Наугад стирают 998 чисел.
Докажите, что среди оставшихся чисел можно указать несколько (не менее двух)
так, что их сумма тоже имеется на доске.
б*) Наугад стирают 89 чисел. Докажите, что среди оставшихся можно указать
20 чисел так, что их сумма тоже имеется на доске. Останутся ли справедливы
утверждения, если стереть ещё одно число? Ф.Г.Шлейфер. Решение — в №1–2002
1785. Остров разделён на княжества. Раскраску называем правильной, если всякие два
княжества, имеющие общий участок границы, окрашены в разные цвета. Докажите
следующие утверждения.
а) Если каждое княжество представлено на карте острова равносторонним треугольником, то для правильной раскраски карты достаточно двух красок.
б*) Если каждое княжество представлено на карте равнобедренным прямоугольным
треугольником, то для правильной раскраски карты достаточно четырёх красок.
В.В. Произволов. Решение — в №1–2002
1786. На плоскости отмечены шесть точек, никакие три из которых не лежат на одной
прямой, причём все расстояния между ними различны. Докажите, что среди
треугольников с вершинами в этих точках есть два треугольника с общей стороной,
которая в одном из них является наибольшей, а в другом — наименьшей.
С. Рукшин. Московский отбор на Всероссийскую XXVII олимпиаду. Решение — в №2–2002
1787.
∗ Пусть p и q — натуральные числа, не равные 1. Докажите, что если q3−1 делится
на p, а p − 1 делится на q, то p = q2 + q + 1 или (p − 1)2 = q3 .
Н.Н. Осипов. Решение — в №2–2002
1788. В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, A  , B  и C  —
точки её касания со сторонами BC, CA и AB соответственно. Прямые AA  и BB 
пересекаются в точке P, прямые AC и A 
C  — в точке M, а BC и B 
C  — в
точке N. Докажите перпендикулярность прямых IP и MN. А.А. Заславский. Решение — в №2–2002
1789. а) Из ста гирек массами 1 г, 2 г, 3 г, ... , 100 г выбраны 50 гирь, сумма масс
которых равна сумме масс оставшихся гирь. Массы никаких двух выбранных гирь
не отличаются на 50 г. Докажите, что в наборе есть две гири, сумма масс которых
равна 101 г.
б) Из двухсот гирек массами 1 г, 2 г, 3 г, ... , 200 г выбраны 100 гирь, сумма
масс которых равна сумме масс оставшихся гирь. Массы никаких двух выбранных
гирь не отличаются на 100 г и не дают в сумме 201 г. Докажите, что сумма масс
50 самых лёгких выбранных гирек равна 2525 г. В.В. Произволов. Решение — в №2–2002
225
1790. Имеется несколько равносторонних треугольников, у каждого из которых одна сторона жёлтая, другая красная, а третья синяя. Можно прикладывать треугольники
друг к другу одноцветными сторонами или участками одноцветных сторон. Таким
образом составлен большой равносторонний треугольник. Докажите, что сумма
длин жёлтых участков границы полученного равностороннего треугольника равна
сумме длин красных участков его границы.
С.Г. Волчёнков и В.В. Произволов. Решение — в №2–2002
1791. а) На плоскости расположены 5 окружностей, любые четыре из которых имеют
общую касательную. Обязательно ли все 5 окружностей имеют общую касательную?
б) На плоскости расположены несколько окружностей, любые 5 из которых имеют
общую касательную. Докажите, что все данные окружности имеют общую касательную. В.В. Произволов. Решение — в №2–2002
1792. В компании из 2n+1 человек для любых n человек есть отличный от них человек,
знакомый со всеми ними. Докажите, что в этой компании есть человек, знакомый
со всеми остальными. С. Берлов. XXVII Всероссийская олимпиада, 2001 год. Решение — в №2–2002
1793.
∗ В магическом квадрате размером n × n, составленном из первых n2 чисел, центры
любых двух его клеток соединили вектором в направлении от большего числа
к меньшему. Докажите, что сумма полученных векторов равна нулю. (Магическим
называем квадрат, заполненный числами таким образом, что сумма чисел любой его строки
равна сумме чисел любого его столбца.)
И. Богданов. XXVII Всероссийская олимпиада, 2001 год. Решение — в №2–2002
1794. На прямой выбрано 100 множеств, каждое из которых является объединением
100 отрезков. Докажите, что пересечение этих 100 множеств является объединением не более чем 9 901 отрезков. (Точку также считаем отрезком.)
Р. Карасёв. XXVII Всероссийская олимпиада, 2001 год. Решение — в №2–2002
1795. На сфере определена непрерывная функция. Докажите, что некоторое своё значение
эта функция принимает на каждой из больших окружностей сферы. (Окружность на
сфере называют большой, если её центр совпадает с центром сферы.)
В.В. Произволов. Решение — в №2–2002
1796. Король обошёл шахматную доску, побывав на каждом поле по одному разу, и последним ходом вернулся на исходное поле. Когда соединили центры полей, которые
он последовательно проходил, получилась замкнутая 64-звенная ломаная. Никакие
два её соседних звена не лежат на одной прямой. Докажите, что наименьшее
возможное количество диагональных ходов равно 8. И.Ф. Акулич. Решение — в №3–2002
1797. Красные и синие точки, чередуясь, делят окружность на 2n дуг. Длины любых
двух смежных дуг отличаются на 1. Докажите, что периметр n-угольника с
красными вершинами равен периметру n-угольника с синими вершинами.
В.В. Произволов. Решение — в №3–2002
1798. В некотором городе живут 1000 человек. Из них 300 честные, 700 — хитрые.
Хитрые на некоторые вопросы отвечают правдиво, а на некоторые лгут по собственному желанию. Честные всегда говорят правду. Сколько хитрецов можно
гарантированно выявить при помощи сколь угодно длинного допроса, если жители
знают друг о друге всё? Н.Б. Васильев и Б.Д. Гинзбург. Решение — в №3–2002
1799.
∗ Натуральные числа x и y таковы, что число x + y + xy является квадратом
натурального числа. Докажите существование такого натурального числа z, что
каждая из семи сумм xy + z, yz + x, xz + y, x + z + xz, y + z + yz, xy + yz + zx
и xy + yz + zx + x + y + z является квадратом натурального числа.
В.В. Произволов. Решение — в №3–2002
1800. Сумма квадратов площадей граней любого тетраэдра равна учетверённой сумме
квадратов площадей трёх его сечений, каждое из которых проходит через середины
рёбер рассматриваемого тетраэдра. Докажите это.
1978. Биссектрисы углов BAD и BCD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются
в точке K диагонали BC. Точка M — середина отрезка BD. Прямая, параллельная
AD и проходящая через C, пересекает луч AM в точке P, лежащей вне четырёхугольника. Докажите равенство DP = DC. Девятиклассник В.Шмаров. Решение — в №3–2006
1979. На прямолинейной дороге стоят несколько светофоров. На каждом светофоре красный свет и зелёный свет горят по одинаковому целому числу минут (для разных
светофоров эти количества могут различаться). Автогонщик в каждый момент
времени либо едет с фиксированной скоростью, либо стоит на красный свет у светофора. Он изучил режим работы светофоров и утверждает, что он может проехать
от начала до конца за 30 или 32 минуты, но не может доехать за 31 минуту. Могут
ли его слова оказаться правдой? (Если гонщик подъезжает к светофору в момент
переключения света, то он считает, что свет уже переключился.)
И. Богданов. 5-й турнир матбоёв памяти А.Н. Колмогорова. Решение — в №3–2006
1980. Любой выпуклый центрально-симметричный многоугольник площади 1 можно поместить в центрально-симметричный шестиугольник площади 4/3. Докажите это.
2017. Квадрат размером 3000 × 3000 разбит на доминошки — прямоугольники размером
1 × 2 . Доминошки называем соседними, если они граничат хотя бы по одной
из сторон одной из клеток. Докажите, что доминошки можно раскрасить а) в три
цвета так, чтобы доминошек всех цветов было поровну и у каждой доминошки
было не более двух соседей её цвета; б) в четыре цвета так, чтобы доминошек всех
цветов было поровну и никакие две одноцветные доминошки не были соседними.
М. Пастор и П.А. Кожевников. XXXII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2007
2018. Если натуральное число n представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел,
каждое из которых кратно 3, то n представимо и в виде суммы квадратов трёх
целых чисел ни одно из которых не кратно числу 3. Докажите это.
П. Козлов. Зональный этап XXXII Всероссийской олимпиады. Решение — в №2–2007
2019. Окружность ω касается равных сторон AB и AC равнобедренного треугольника
ABC и пересекает сторону BC в точках K и L. Отрезок AK пересекает ω второй
раз в точке M. Точки P и Q симметричны точке K относительно точек B и C
соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника PMQ касается
окружности ω. В. Филимонов. XXXII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2007
2020.
∗ Многочлен (x + 1)n − 1 делится на многочлен степени k, все коэффициенты которого — целые нечётные числа. Докажите, что n делится на k + 1.
А. Гарбер и И. Богданов. XXXII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2007
2021. Граф на а) 99; б) 100 вершинах таков, что любые 98 его вершин можно разбить
на 49 таких пар, что в каждой паре вершины соединены между собой. Каково
наименьшее возможное число рёбер такого графа?
С. Берлов и П.А. Кожевников. XXVI Уральский турнир юных математиков. Решение — в №3–2007
2022. Даны окружность, точка A на ней и точка M внутри неё. Рассмотрим хорды
BC, проходящие через точку M. Докажите, что окружности, проходящие через
середины сторон всевозможных треугольников ABC, касаются фиксированной окружности.
2055. Клетки бесконечной вправо клетчатой полоски последовательно пронумерованы
целыми неотрицательными числами. На некоторых клетках лежат камни. Если
на n-й клетке лежат ровно n камней, разрешено снять их с неё и разложить по
одному на клетки с номерами, меньшими n. Алексей распределил 2006! камней
по клеткам, начиная с первой, так, что все камни можно собрать в нулевой клетке,
сделав несколько операций. Найдите минимально возможный номер клетки, на
которую он мог положить камень.
Ф. Бахарев и И. Богданов. X кубок памяти А.Н. Колмогорова. Решение — в №1–2008
2056. Найдите наименьшее натуральное число, все цифры которого равны 1, являющееся
разностью между некоторым натуральным числом и числом, полученным из него
перестановкой цифр. Н.Х. Агаханов. XXXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2008
2057. 25 мальчиков и несколько девочек собрались на вечеринке и обнаружили следующую закономерность. Если к любому множеству мальчиков, состоящего не менее
чем из 10 элементов, добавить всех девочек, знакомых хотя бы с одним из этих
мальчиков, то в полученном множестве мальчиков на одного меньше, чем девочек.
Докажите, что некоторая девочка знакома не менее чем с 16 мальчиками.
С.Г. Волчёнков. XXXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2008
2058. Длины пяти из восьми отрезков, соединяющих вершины выпуклого четырёхугольника с серединами сторон, которым не принадлежат эти вершины, равны. Докажите равенство длин всех восьми отрезков. Н.Х. Агаханов и В.А. Сендеров. Решение — в №2–2008
2059. Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных
чисел, содержит куб некоторого натурального числа. Докажите, что она содержит
и некоторый куб, не являющийся квадратом.
И. Богданов и В.А. Сендеров. XXXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2008
2060. Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA и AB в точках
A  , B  и C  соответственно. Отрезок AA  вторично пересекает вписанную окружность в точке Q. Прямая l параллельна стороне BC и проходит через точку A. Прямые A 
C  и A 
B  пересекает прямую l в точках P и R соответственно. Докажите равенство углов PQR и B 
QC  . А. Полянский. XXXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2008
2061. В таблице размером 10 × 10 расставлены числа от 1 до 100 следующим образом:
в верхней строке числа от 1 до 10 слева направо, во второй сверху — от 11 до
20 слева направо, и так далее. Андрей хочет разрезать таблицу на двухклеточные прямоугольники, перемножить числа в каждом прямоугольнике и сложить
полученные 50 произведений. Как следует разрезать квадрат, чтобы получить как
можно меньшую сумму? А. Бадзян. XXXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2008
255
2062. Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус.
На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 разных точек,
затем Амаяк стирает одну из них. После этого фокусник впервые входит в комнату,
смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стёртая точка.
Докажите, что Арутюн может так договориться с Амаяком, что фокус гарантированно удастся. А. Акопян и И. Богданов. XXXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2008
2063. Назовём многогранник хорошим, если его объём, измеренный в кубометрах, численно равен площади его поверхности, измеренной в квадратных метрах. Существует
ли хороший тетраэдр, размещённый внутри некоторого хорошего параллелепипеда?
М.Мурашкин. XXXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2008
2064. Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает
стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Отрезки CD и BE пересекаются
в точке O. Докажите, что середина меньшей из дуг DE лежит на прямой,
проходящей через центры вписанных окружностей треугольников ADE и ODE. М. Исаев. XXXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2008
2065. Если x1 — рациональное число, причём x1 > 1 , то хотя бы один член последовательности, заданной рекуррентной формулой xn+1 = xn + 1
[xn] , где n = 1 , 2, 3, ... ,
является целым числом. Докажите это. А. Голованов. Решение — в №2–2008
2066. Квадрат со стороной 1 разрезан на 100 прямоугольников одинакового периметра p. Найдите наибольшее возможное значение величины p. А.В.Шаповалов и С. Берлов. Решение — в №3–2008
2067. Если число, десятичная запись которого состоит из n единиц, делится на n, то n
делится на 3. Докажите это. Р. Ковалёв. Решение — в №3–2008
2068. В футбольном турнире участвуют mn команд, где m   2 и n   2 . Командам
присвоены номера 1, 2, ... , mn в соответствии с результатами предварительного
этапа. Организаторы собираются разбить команды на m групп по n команд так,
чтобы для любых двух команд сумма номеров согруппниц той из этих двух команд,
номер которой меньше, была больше. При каких m и n желание организаторов
осуществимо? И.Ф. Акулич и П.А. Кожевников. Решение — в №3–2008
2069. Обозначим через y расстояние от действительного числа y до ближайшего целого
числа. Определим для иррационального числа x последовательность натуральных
чисел q1 , q2 , q3 ... рекуррентно: q1 = 1 , а для любого натурального числа k
число qk+1 — это такое наименьшее натуральное число, для которого выполнено
неравенство qk+1x < qkx. Докажите для любого натурального k неравенство
qk+2   qk + qk+1 . В. Быковский. Решение — в №3–2008
2070. ABCDEF — выпуклый шестиугольник. Докажите, что главные диагонали шестиугольника, являющегося пересечением треугольников ACE и BDF, пересекаются в
одной точке тогда и только тогда, когда
SaScSe
SACE
= SbSdSf
SBDF
,
где SACE и SBDF — площади треугольников ACE и BDF соответственно, а Sa , Sb ,
Sc , Sd , Se и Sf — площади закрашенных на рисунке треугольников, примыкающих
к точкам A, B, C, D, E и F соответственно.
С.А. Дориченко. Статья <Вокруг шестиугольника> четвёртого номера 2008 года
256
2008 год
2071. Универсальным числом U(n) назовём минимальное натуральное число, из десятичной записи которого вычёркиванием цифр можно получить десятичную запись
любого натурального числа, не превосходящего n. Сколько цифр в десятичной
записи числа U(2008) ? С.Г. Волчёнков и П.А. Кожевников. Решение — в №4–2008
2072. Найдите (n+ 1) -ю цифру после запятой в десятичной записи квадратного корня из
числа 102n − 1 . Я. Алиев и П.А. Кожевников. Решение — в №4–2008
2073. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Точка C — произвольная точка
одной из этих окружностей, отличная и от P, и от Q. Точки A и B — вторые
точки пересечения прямых CP и CQ с другой окружностью. Найдите множество
центров описанных окружностей треугольников ABC. А.А. Заславский и
П.А. Кожевников. III Всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф.Шарыгина. Решение — в №4–2008
2074. Посетитель обходит залы музея по следующему правилу. Находясь в некотором
зале, он выбирает из всех соседних залов тот, который до этого был посещён им
меньшее число раз, и переходит в него (если таких залов несколько, то переходит
в любой из них). Из любого зала музея можно пройти в любой другой. Верно ли,
что посетитель через некоторое время обойдёт все залы?
С.Г. Волчёнков и П.А. Кожевников. Решение — в №4–2008
2075. Каждое из рёбер выпуклого многогранника параллельно перенесено так, что рёбра
образовали каркас нового выпуклого многогранника. Обязательно ли он конгруэнтен исходному?
А.А. Заславский. III Всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф.Шарыгина. Решение — в №4–2008
2076. Найдите все функции f , определённые на всей вещественной оси и удовлетворяющей для любого ненулевого числа x и для любого числа y равенству xf(y)−yf(x) = = f(y/x) . Э. Туркевич. Решение — в №4–2008
2077. Для каждого натурального n найдите такое наименьшее натуральное число k, что
в любой таблице размером n × n, заполненной действительными числами, можно
так увеличить не более k чисел, чтобы сумма чисел любого столбца стала равна
сумме чисел любой строки. П.А. Кожевников. Решение — в №4–2008
2078. A  , B  и C  — основания высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с
центром B и радиусом BB  пересекает прямую A 
C  в точках K и L, расположенных по одну сторону от прямой BB  . Докажите, что точка пересечения прямых AK
и CL лежит на прямой BO, где O — центр вписанной окружности треугольника
ABC.
В.Ю. Протасов. III Всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф.Шарыгина. Решение — в №4–2008
2079. Существует ли такая тройка попарно взаимно простых чисел a, b и c, больших ´
1010 , что a8 + b8 + c8 делится на a4 + b4 + c4 ? В.А. Сендеров. Решение — в №4–2008
2080.
∗ Пусть e1 
= (0; 1) , e2 
= (1; 0) и en+2 
= en+1 
+ en 
для любого натурального n.
Отложим от начала координат все векторы, являющиеся суммами нескольких из
векторов этой последовательности (сумма может состоять даже из одного слагаемого
и таком случае совпадает с ним). Докажите, что множество концов отложенных
векторов состоит из всех точек с неотрицательными координатами, лежащих внутри
некоторой полосы, кроме точки (0; 0) . И. Богданов и И. Пушкарёв. Решение — в №4–2008
2081. На доске записаны три положительных числа: x, y и 1. Разрешено дописывать на
доску сумму или разность каких-нибудь уже записанных чисел или записать число,
обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Всегда ли можно получить на
доске число а) x2 ; б) xy? Г.А. Гальперин. XXIX Турнир городов. Решение — в №5–2008
257
2082. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Точки
K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Докажите
равенство радиусов описанных окружностей треугольников PKL, PLM, PMN и
PKN. А.А. Заславский. XXIX Турнир городов. Решение — в №5–2008
2083. Полоса состоит из n клеток. Один игрок ставит крестики, другой — нолики.
Запрещено одинаковым знакам оказываться в соседних клетках. Запрещено и
ставить знак в уже занятую клетку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Кто выиграет при правильной игре, начинающий или его противник?
Б.Р. Френкин. XXIX Турнир городов. Решение — в №5–2008
2084.
∗ Решите уравнение x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x +1= y5 − 1 в целых числах.
А. Ефимов. Решение — в №5–2008
2085.
∗ Среди участников некоторого соревнования некоторые дружат между собой, причём
это отношение симметрично: если Батин дружит с Ватиным, то и Ватин дружит
с Батиным. Множество участников называют кликой, если каждые двое из них
дружат. Пусть наибольшее возможное количество людей в клике, состоящей из
участников соревнования, чётное. Докажите, что всех участников соревнования
можно так рассадить в две комнаты, чтобы наибольшее возможное число людей в
клике одной из этих комнат равнялось наибольшему возможному числу людей в
клике второй из этих комнат.
В. Астахов, М. Илюхина и Д. Фон-Дер-Флаасс. XLVIII международная олимпиада. Решение — в №5–2008
2086. Даны арифметические прогрессии a1 , a2 , a3 , ... и b1 , b2 , b3 , ... , состоящие
из натуральных чисел. Известно, что a1 = b1 и что для каждого натурального n
разность an − bn делится на n. Докажите равенство a2 = b2 .
Н. Калинин. Решение — в №6–2008
2087. Шахматная фигура <прожектор> бьёт один из углов, на которые делят доску проходящие через неё горизонталь и вертикаль, включая примыкающие к углу клетки
горизонтали и вертикали. Например, прожектор в левом нижнем углу может бить
либо одну клетку, либо нижнюю горизонталь, либо левую вертикаль, либо всю доску. Какое наибольшее число прожекторов можно расставить на шахматной доске
так, чтобы они не били друг друга?
2093. Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд n одинаковых монет,
сам выбирая, какие орлом вверх, а какие — решкой. Ассистент фокусника просит
зрителя написать на бумаге любое натуральное число от 1 до n и показать его всем
присутствующим. Увидев число, ассистент указывает на одну из монет и просит
перевернуть её. Затем фокуснику завязывают глаза, он смотрит на ряд монет и
пытается определить написанное зрителем число. Найдите все n, для которых у
фокусника и его ассистента есть способ гарантированно безошибочно отгадывать
число. С. Грибок, Л.Медников и А.В.Шаповалов. XXIX Турнир городов. Решение — в №6–2008
2094. На плоскости нарисованы выпуклые многоугольники P и Q. Для каждой из
сторон многоугольника P рассмотрим ширину h многоугольника Q в соответствующем направлении (которая определяется следующим образом: зажимаем Q между
прямыми, параллельными выбранной стороне многоугольника P, и обозначаем через h расстояние между этими прямыми) и умножим h на длину l выбранной
стороны многоугольника P. Просуммировав все произведения hl по всем сторонам многоугольника P, получим некоторую сумму s(P, Q) . Докажите равенство
s(P, Q) = s(Q, P) . Д. Звонкин. XXIX
Турнир городов. Поправка к условию — на странице 17 шестого номера 2008 года. Решение — в №6–2008
2095. Перед Алёшей — 100 закрытых коробочек, в каждой — либо красный, либо синий
кубик. У Алёши на счёте есть рубль. Алёша подходит к любой закрытой коробочке,
объявляет цвет и ставит любую сумму (можно нецелое число копеек, но не больше,
чем у него на счёте на данный момент). Коробочка открывается, и счёт Алёши
увеличивается или уменьшается на поставленную сумму в зависимости от того,
угадан или не угадан цвет кубика. Игра продолжается до тех пор, пока не будут
вскрыты все коробочки. Какую наибольшую сумму на счёте может гарантировать
себе Алёша, если ему известно, что синих кубиков ровно n?
А. Буфетов, Л.Медников и А.В.Шаповалов. XXIX Турнир городов. Решение — в №6–2008
2096. Депутаты парламента образовали 2008 комиссий, каждая — не более чем из 10 человек. Любые 11 комиссий имеют хотя бы одного общего члена. Докажите, что
существует человек, входящий во все комиссии. Ф. Петров. Решение — в№1–2009
2097. Найдите все такие простые числа p вида a2 + b2 + c2 , что a4 + b4 + c4 делится
на p. В.А. Сендеров. Решение — в №1–2009
2098. Двое играют, делая ходы по очереди: первый рисует на плоскости многоугольник,
не имеющий ни с одним из ранее нарисованных многоугольников общих внутренних
точек, а второй раскрашивает очередной многоугольник в один из 2008 цветов.
Второй игрок хочет, чтобы любые два многоугольника, граничащие по отрезку,
были разных цветов. Может ли первый игрок помешать второму?
Е.Я. Гик и П.А. Кожевников. Решение — в №1–2009
2099. a0 > a1 > a2 > ... > as = 0 — последовательность целых чисел, причём числа
a0 и a1 взаимно просты, а все остальные члены последовательности равны остатку
от деления предыдущего члена последовательности на предпредыдущий. Построим
последовательность b0 = 0, b1 = 1, bk+1 = bk−1+bk
 
  при 1 <k<s. Д окажите
равенство bs = a0 . В. Быковский. Решение — в №1–2009
2100. В угол с вершиной O вписаны две окружности ω1 и ω2 . Луч с началом в точке O
пересекает первую окружность в точках A1 и A2 , а вторую — в точках A2 и B2 .
Окружность γ1 касается внутренним образом окружности ω1 и касательных к ω2 ,
проведённых из A1 . Окружность γ2 касается внутренним образом окружности ω2
и касательных к ω1 , проведённых из B2 . П.А. Кожевников. Решение — в №1–2009
259
2101. Квадратный трёхчлен f(x) = ax2 + bx + c таков, что для любого действительного
числа x существует такое действительное число y, что f(y) = f(x) + y. Найдите
наибольшее возможное значение a. Д.А. Терёшин. IV этап XXXIV Всероссийской олимпиады. Решение — в №2–2009
2102. По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное равно сумме соседей,
а каждое синее — полусумме соседей. Докажите, что сумма красных чисел равна
нулю. И. Богданов. IV этап XXXIV Всероссийской олимпиады. Решение — в №2–2009
2103. Столбцы таблицы размером n × n пронумерованы числами от 1 до n. Клетки
таблицы заполнены натуральными числами, не превосходящими n, таким образом,
что в каждой строке все числа различны и в каждом столбце все числа тоже
различны. Клетка таблицы хорошая, если написанное в ней число больше номера
столбца, в котором эта клетка находится. Для каких n существует расстановка, в
которой во всех строках одно и то же количество хороших клеток?
К. Чувилин. XXXIV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2009
2104. Фокусник угадывает площадь выпуклого 2008-угольника, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители соединяют
эти точки отрезком и сообщают фокуснику меньшую из площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этим отрезком. В качестве точки фокусник может
назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном
фокусником численном отношении. Докажите, что за 2006 таких вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.
Н.Х. Агаханов. XXXIV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2009
2105. Окружность с центром O вписана в угол BAC и касается его сторон в точках B
и C. Внутри угла BAC выбрана точка Q. На прямой AQ лежит такая точка P, что AQ ⊥ OP. Прямая OP пересекает описанные окружности треугольников BPQ
и CPQ вторично в точках M и N. Докажите равенство OM = ON. А. Акопян и П.А. Кожевников. XXXIV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2009
2106. Для каких натуральных чисел n > 1 существуют такие натуральные числа b1 ,
b2 , ... , bn , что не все они равны между собой и для любого натурального k
произведение (b1 + k)(b2 + k)...(bn + k) является степенью натурального числа?
(Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)
В.В. Произволов и В.А. Сендеров. XXXIV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2009
2107. H и M — соответственно, точки пересечения высот и медиан неравнобедренного
треугольника ABC. В вершинах A, B и C восставлены перпендикуляры к прямым AM, BM и CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан
треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH. Л. Емельянов и П.А. Кожевников. XXXIV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2009
2108. Рассмотрим конечное множество P простых чисел. Докажите существование числа,
являющегося суммой p-х степеней натуральных чисел при p ∈ P, и не являющегося суммой p-х степеней натуральных чисел при p /∈ P.
В.А. Сендеров. XXXIV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2009
2109. ABCD — выпуклый четырёхугольник. P — точка пересечения лучей BA и CD;
Q — точка пересечения лучей BC и AD; H — проекция точки D на прямую PQ. Докажите, что четырёхугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда
вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными
углами. В.Шмаров. XXXIV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2009
2110.
∗ В блицтурнире участвовали 2n + 3 шахматиста. Каждый сыграл с каждым ровно
по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились
одна за другой и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее
n игр. Докажите, что хотя бы один из шахматистов, игравших первую партию,
играл и последнюю. А. Грибалко. XXXIV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2009
260
2111. Одна из клеток клетчатой полосы окрашена. Вначале фишка находится на расстоянии n клеток от окрашенной. Бросается игральная кость, и в случае выпадения
k очков, где 1  k  6 , фишка перемещается на k клеток по направлению к
окрашенной клетке. Процесс продолжается, пока фишка не попадает в окрашенную клетку (выигрыш), или пока не проскочит окрашенную клетку (проигрыш).
а) При каком натуральном n вероятность выигрыша наибольшая? б) Найдите эту
наибольшую вероятность. В. Лецко. Решение — в №3–2009
2112. H — точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с
центром в середине стороны BC, проходящую через точку H, пересекает прямую
BC в точках A1 и A2 ; окружность с центром в середине стороны CA, проходящую
через точку H, пересекает прямую CA в точках B1 и B2 ; окружность с центром
в середине стороны AB, проходящую через точку H, пересекает прямую AB в
точках C1 и C2 . Докажите, что точки A1 , A2 , B1 , B2 , C1 и C2 лежат на одной
окружности. А. Гаврилюк. XLIX Международная олимпиада. Решение — в №3–2009
2113. Многочлен степени n, где n > 1 , имеет различные корни x1 , x2 , ... , xn , а его
производная — корни y1 , y2 , ... , yn−1 . Докажите, что среднее арифметическое
квадратов чисел x1 , x2 , ... , xn больше среднего арифметического квадратов чисел
y1 , y2 , ... , yn−1 . М.Мурашкин. XXIX турнир городов. Решение П.А. Кожевникова — в №3–2009
2114. Существует бесконечно много таких натуральных чисел, не делящихся на 10, что
все ненулевые цифры десятичных записей их квадратов нечётны. Докажите это.
В.А. Сендеров. Решение — в №3–2009
2115. ABCD — выпуклый четырёхугольник, причём BA  = BC и существует окружность,
касающаяся продолжения отрезка BA за точку A, продолжения отрезка BC за
точку C и прямых AD и CD. Докажите, что на этой окружности пересекаются
общие внешние окружности к вписанным окружностям треугольников ABC и ADC. В.Шмаров. XLIX Международная олимпиада. Решение И. Богданова — в №3–2009
261
2009 год
2116. Полный набор домино выкладываем на столе в замкнутую цепь, и для всех пар
соседних доминошек вычисляем модуль разности очков на клетках, которыми они
соприкасаются. Каково наибольшее возможное значение суммы всех 28 таких
модулей разностей? А. Грибалко. Решение — в №4–2009
2117. Существует ли арифметическая прогрессия из 2008 различных натуральных чисел,
произведение которых является 2009-й степенью натурального числа?
Г.А. Гальперин. Решение — в №4–2009
2118. Расстояние от центра описанной окружности треугольника ABC, величина угла A
которого равна 120◦ , до ортоцентра (точки пересечения высот) равно AB + AC. Докажите это. В.Ю. Протасов.
IV Всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф.Шарыгина. Решение П.А. Кожевникова — в №4–2009
2119. Первый член бесконечной последовательности a1 , a2 , a3 , ... равен 1. Если n > 1
и наибольший нечётный делитель числа n даёт остаток 1 при делении на 4, то
an = an−1 + 1 ; если же наибольший нечётный делитель числа n даёт остаток 3
при делении на 4, то an = an−1 − 1 . Докажите, что все члены рассматриваемой
последовательности положительны, причём каждое натуральное число встречается
в ней бесконечно много раз. А.А. Заславский. XXX Турнир городов. Решение П.А. Кожевникова — в №4–2009
2120. Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение P(m) +
+ P(n) = 0 имеет бесконечно много решений в целых числах m и n. Докажите,
что график функции y = P(x) имеет центр симметрии.
А.В.Шаповалов. XXX Турнир городов. Решение С.А. Дориченко и П.А. Кожевникова — в №4–2009
2121. Каждые две противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF параллельны. Назовём высотами шестиугольника векторы с концами на прямых,
содержащих противоположные стороны, перпендикулярные им и направленные
от AB к DE, от EF к BC и от CD к AF. Докажите, что вокруг шестиугольника
можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его высот равна
нулевому вектору.
А.А. Заславский. IV Всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф.Шарыгина. Решение — в №4–2009
2122. Любое натуральное число n, большее 17, представимо в виде суммы трёх натуральных попарно взаимно простых слагаемых, каждое из которых больше 1.
б*) Выясните, конечно или бесконечно множество натуральных чисел, не представимых в виде суммы трёх взаимно простых в совокупности натуральных слагаемых,
никакие два из которых не взаимно просты. В. Лецко. Решение В.А. Сендерова — в №4–2009
2123. Тест состоит из 30 вопросов, на каждый из которых есть два варианта ответа (один
верный, другой нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего
ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя вопрошать
так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем после 24-й
попытки, и ответить на все вопросы при 25-й попытке?
В. Клепцын. XXX Турнир городов. Решение С.А. Дориченко — в №4–2009
2124. n — натуральное число; n > 2 ; x1 , x2 , ... , xn — положительные числа, удовлетворяющие равенствам x2
1 − x1x2 + x2
2 = x2
2 − x2x3 + x2
3 = ... = x2
n−1 − xn−1xn +
+ x2
n = x2
n − xnx1 + x2
1 . При каких n непременно x1 = x2 = ... = xn ? В.А. Сендеров
2125. Вписанная в треугольник окружность ω касается сторон CA и AB в точках B 
и C  соответственно. Точка D, отличная от B  и C  , находится на расстоянии AC 
от точки A. Прямые DB  и DC  пересекают второй раз окружность ω в точках
B   и C   . Докажите, что B  C   — диаметр окружности ω, перпендикулярный
отрезку AD. Р.Г.Женодаров
262
2126. На вечеринке компанию из 20 человек требуется усадить за 4 стола. Рассадка
удачная, если любые два человека, оказавшиеся за одним столом, — друзья. Выяснилось, что удачные рассадки существуют, причём при любой удачной рассадке
за каждым столом сидят ровно по 5 человек. Каково наибольшее возможное количество пар друзей в этой компании?
П.А. Кожевников. Региональный этап XXXV Всероссийской олимпиады
2127. Внутри ветви гиперболы, заданной равенством x = 
y2 + 1 , расположены окружности ω1 , ω2 , ω3 , ... так, что при каждом n > 1 окружность ωn касается
гиперболы в двух точках и касается окружности ωn−1 , а окружность ω1 радиуса 1
касается гиперболы в точке (1; 0) . Докажите, что для любого натурального n
радиус окружности ωn — натуральное число. В. Расторгуев
2128. Вася отметил 10 клеток в клетчатой таблице размером 10×10 . Всегда ли Петя может
вырезать из этой таблицы по линиям сетки
19 фигурок, каждая из которых — одного
из четырёх видов, показанных на рисунке, таким образом, чтобы фигурки не содержали ни одной отмеченной клетки? И. Богданов и О. Подлипский
2129. Найдите все такие пары натуральных чисел n и k, что n > 1и1n + 2n + ... +
+ (n − 1)n = nk . В.А. Сендеров. Первая президентская олимпиада Казахстана
2130. ABCDEF — плоский невыпуклый шестиугольник, AB = DE, BC = EF, CD =
= FA, FAB = 3CDE, BCD = 3EFA, DEF = 3ABC (здесь имеются в виду
внутренние углы многоугольника, некоторые из них могут быть больше 180◦ ).
Никакие две стороны стороны шестиугольника не параллельны. Докажите, что
прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.
Н. Белухов (Болгария). Болгарский журнал <Математика>
2131. Пусть a ˆb обозначает ab . Можно ли в выражении 7 ˆ7 ˆ7 ˆ7 ˆ7 ˆ7 ˆ7 двумя разными
способами расставить скобки так, чтобы порядок действий был вполне определён и
результаты были одинаковы? А.К. Толпыго. Весенний тур XXX Турнира городов
2132. На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной
прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Любая прямая, не проходящая
через данные точки, пересекает чётное число отрезков. Докажите, что из каждой
точки выходит чётное число отрезков.
И. Богданов и Г.А. Гальперин. Весенний тур XXX Турнира городов
2133. Замок обнесён круговой стеной с девятью башнями, на которых дежурят рыцари.
По истечении каждого часа все рыцари переходят на соседние башни, причём
каждый рыцарь всё время движется либо по часовой стрелке, либо против. За ночь
каждый рыцарь успевает подежурить на каждой башне. Был час, когда на каждой
башне дежурили хотя бы по два рыцаря, и был час, когда ровно на пяти башня
дежурили по одному рыцарю. Докажите, что был час, когда хотя бы на одной из
башен не было ни одного рыцаря. М.Мурашкин. Весенний тур XXX Турнира городов
2134. Три плоскости разрезают параллелепипед на восемь шестигранников, все грани
которых — четырёхугольники (каждая плоскость пересекает свои две пары противоположных граней параллелепипеда и не пересекает две остальные грани). Докажите, что если вокруг одного из шестигранников можно описать сферы, то и любой
другой шестигранник вписан в сферу.
В.В. Произволов. Весенний тур XXX Турнира городов
2135. Для каких n существует не являющееся квадратом число, которое превращается в
квадрат при приписывании к нему слева числа, оканчивающегося на 2009 нулей?
Н.Х. Агаханов
263
2136. Для любых натуральных чисел k<m<n числа Ck
n и Cm
n имеют отличный от 1
общий делитель. Докажите это. Весенний тур XXX Турнира городов
2137. H, I и O — соответственно, ортоцентр (точка пересечения высот) и центры
вписанной и описанной окружностей остроугольного треугольника ABC. Докажите,
что если точки A, O, I и H лежат на одной окружности, то она проходит и хотя
бы через одну из вершин B и C. П.А. Кожевников
2138. В ячейку памяти компьютера записали число 6. Компьютер на n-м шаге увеличивает число в ячейке на наибольший общий делитель этого числа и n. Таким
образом получаем последовательность чисел 6, 7, 8, 9, 10, 15, 18, 19, 20, 21, 22,
33, ... Докажите, что на каждом шаге число в ячейке увеличивается либо на 1,
либо на простое число. М. Франк. Весенний тур XXX Турнира городов
2139. Можно ли так раскрасить натуральные числа в 2009 цветов, чтобы каждый цвет
встречался бесконечно много раз и не нашлось бы трёх чисел, покрашенных в три
разных цвета и таких, что наибольшее из них равно произведению двух остальных?
Н. Агаханов. XXXV Всероссийская олимпиада
2140. Восемь клеток диагонали a1–h8 назовём забором. Ладья ходит по доске, не оказываясь ни на какой клетке более одного раза и не ходя на клетки забора. Какое
наибольшее <число прыжков через забор> может она совершить?
Р.Женодаров. XXXV Всероссийская олимпиада
2141. Биссектриса угла ABC пересекает отрезок AC в точке D, а описанную окружность Ω треугольника ABC — в точке E. Из точки F окружности Ω отрезок
DE виден под прямым углом. Докажите, что прямая, симметричная прямой BF
относительно прямой BD, пересекает отрезок AC в его середине.
Л. Емельянов. XXXV Всероссийская олимпиада
2142. Сколько раз функция cos x cos x
2 cos x
3 ... cos x
2009 меняет знак на отрезке  
Б. Трушин. XXXV Всероссийская олимпиада
2143. Рассмотрим автоморфизм дерева, то есть такую перестановку его вершин, что
любые две вершины, соединённые ребром, переходят в вершины, тоже соединённые
ребром. Докажите, что если ни одна вершина не остаётся на месте, то существуют
такие две вершины, которые автоморфизм меняет местами.
В. Дольников. XXXV Всероссийская олимпиада
2144. В круговой траншее выкопаны 100 окопов. В одном из окопов спрятался пехотинец. За один залп разрешено выстрелить 4 снарядами в 4 соседних окопа. Если
хотя бы в одном из них был пехотинец, то игра заканчивается. Если же этого
не произошло, то пехотинец сразу после залпа перебегает из своего окопа в один
из двух соседних окопов. За какое наименьшее число залпов можно наверняка
уничтожить пехотинца? Б. Трушин. XXXV Всероссийская олимпиада
2145. Даны натуральные числа x и y из отрезка [2; 100] . Докажите, что хотя бы для
одного натурального числа n число x2n
+ y2n
— составное.

 

 


Категория: Математика | Добавил: Админ (20.08.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar