Тема №6064 Задачи по математике для самостоятельного решения 24 блока
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по математике для самостоятельного решения 24 блока из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по математике для самостоятельного решения 24 блока, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.


Часть 1. Вступление.
1. Можно ли квадрат 1 х 1 обложить со всех сторон квадратами 10 х 10 вплотную к
нему без наложения?
2. В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только весы без стрелки, отмерить 9 кг гвоздей?
3. Червяк ползет по столбу, начав путь от его основания. Каждый день он проползет
вверх на 5 см, а за каждую ночь сползает вниз на 4 см. Когда он достигнет верхушки
столба, если его высота 75 см?
4. В январе некоторого года было четыре пятницы и четыре понедельника. Каким
днем недели было 20-е число этого месяца?
5. На книжной полке рядом слева направо стоят два тома Пушкина: первый и второй.
Страницы каждого тома имеют вместе толщину 2 см, а обложка - каждая - 2 мм. Червь
прогрыз (перпендикулярно страницам) от первой страницы первого тома до последней
страницы второго тома. Какой путь он прогрыз?
6. Петя говорит: позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13.
Может ли такое быть?
7. Пятиклассник выписал в свою тетрадь числа: 58, 59, 60,, 630. Сколько чисел на­
писал пятиклассник?
8. Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 587, а номер последней
записывается теми же цифрами в каком-то другом порядке. Сколько страниц в выпавшем
куске?

Часть 2. Мы начинаем...
1. Назовем натуральное число "симпатичным", если в его записи встречаются только
нечетные цифры. Сколько существует четырехзначных "симпатичных" чисел?
2. Двоечник Игнат плохо занимается в школе. В итоге он знает 22 согласных и 10
гласных букв. Сколько двухбуквенных слов знает Игнат со следующим условием: буквы
должны быть различные и в слове обе буквы либо гласные, либо согласные.
3. Можно ли куб 1 х 1 х 1 обложить со всех сторон кубами 10 х 10 х 10 вплотную к
нему без наложения?
4. На сковородке одновременно можно жарить не более двух котлет. Одна сторона
котлеты жарится минуту. Как быстрее всего обжарить 2007 котлет с обеих сторон?
5. Каких натуральных чисел, меньших 200 000, больше: тех, которые делятся на 8 и
не делятся на 9, или тех, которые делятся на 9 и не делятся на 8?
6. Фигура на рисунке составлена из квадратов. Найдите сторону левого нижнего квад­
рата, если сторона самого маленького квадрата равна 1.
7. Найти наименьшее натуральное число, записанное с помощью двоек и троек, у ко­
торого сумма и произведение цифр делятся на 6.
8. В классе 14 человек занимаются музыкой, 8 рисованием, и 10 танцами. Трое - ри­
сованием и танцами, четверо - рисованием и музыкой, а пятеро музыкой и танцами. Одна
только Юля посещает сразу всё. Сколько человек в классе, если известно, что каждый
ходит хотя бы на один кружок?
Часть 3. Взвешиваем, считаем.
1. Арбуз уравновешивает дыню и свёклу. Дыня уравновешивает капусту и свёклу.
Два арбуза весят столько же, сколько три кочана капусты. Во сколько раз дыня тяжелее
свёклы.
2. Из трех одинаковых по виду колец одно несколько легче других. Как найти его
одним взвешиванием на чашечных весах?
3. Каким образом можно принести из реки 6 литров воды, если имеется только два
ведра: одно - емкостью 4л, другое - 9л?
4. В стране Лимпопо 9 команд, причём между каждыми двумя было сыграно по одному
матчу. Сколько всего было проведено матчей?
5. В магазине "Все для чая" в понедельник было 5 разных чашек и 7 разных кружек.
Сколькими способами можно купить один из этих предметов?
6. К среде в магазине "Все для чая" разобрали все кружки, но привезли 3 разных
блюдца (чашек так и осталось 5). Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?
7. В четверг в магазин "Все для чая" завезли еще и 4 чайные ложки. Сколькими
способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?
8. На доске написаны 10 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две любые
цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разными - единицу. Если
последняя оставшаяся на доске цифра - единица, то выигрывает первый игрок, а если
двойка - то второй. Докажите, что игрок, который ходит вторым, всегда выигрывает.

Часть 4. Считаем и думаем.
1. В олимпийском турнире участвовало 199 команд. Сколько матчей они сыграли?
2. Можно ли устроить такой тренировочный турнир, чтобы в нём участвовало 11 ко­
манд, и каждая в нём сыграла ровно 3 матча?
3. Можно ли устроить такой тренировочный турнир, чтобы в нём участвовало 8 ко­
манд, и каждая в нём сыграла ровно 3 матча?
4. Можно ли на плоскости отметить 7 точек и соединить их отрезками (с концами в
этих точках) так, чтобы из каждой точки выходило ровно по 3 отрезка?
5. Замостите квадрат 6 х 6 прямоугольниками 1 х 4.
6. В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя.
Сколькими способами это можно сделать?
7. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи
так, чтобы они не били друг друга?
8. Из пунктов А и В одновременно вышли два пешехода. В момент встречи одному
из них оставалось идти час, а другому - 4 часа. Сколько времени шел каждый из них до
встречи?


Часть 5. Считаем и думаем — 2.
1. В один день турнира оказалось, что 8 команд сыграли соответственно 7, 6, 5, 4, 3,
2, 1, 0 матчей. Могло ли такое быть?
2. Докажите, что в любой момент турнира среди 11 команд найдутся две команды,
сыгравшие одинаковое число матчей.
3. Четыре команды А, В, С и D провели друг с другом несколько тренировочных
матчей. Известно, что команда А участвовала в 6 матчах, команда В - в 5, С - в 7, D - в
10. Сколько всего состоялось матчей?
4. Три команды А, В, С провели друг с другом несколько тренировочных матчей.
Известно, что команда А участвовала в 6 матчах, команда В - в 7, С - в 11. Сколько
матчей сыграли друг с другом команды А и С?
5. Ученик выполняет тест, состоящий из 20 вопросов, каждый из которых имеет два
варианта ответов - "верно"или "неверно? Сколько может получиться разных вариантов
ответа на весь тест?
6. Из класса в 20 человек выбирают группу тех, кто пойдёт в театр. Число человек
в такой группе может быть любым от 0 до 20 человек. Каким числом способов можно
сделать такой выбор?
7. Докажите, что если a + b дилится на 7, то и число aba также делится на 7.
8. Докажите, что сумма пяти последовательных чисел делится на 5.

Часть 6. Почти все старое.
1. Пятиклассник выписал в свою тетрадь числа: 58, 59, 60,..., 630 (все числа от 58 до
630). Сколько цифр написал пятиклассник?
2. В одной 13-метровой комнате я обнаружил на полу три одинаковых ковра, каждый
площадью в 6 кв.м. Каждый перекрывался с каждым, и общая часть любых двух ковров
была равна 2 кв.м. А площадь той части пола, которая была покрыта всеми тремя коврами,
оказалась равной 1 кв.м. Какая часть площади пола не была покрыта ни одним ковром?
3. Сколькими способами можно поставить на доску две черные ладьи так, чтобы они
не били друг друга?
4. Всегда ли сумма двух последовательных чисел делиться на два? А сумма трех
последовательных чисел может ли не делиться на 3?
5. Каких восьмизначных чисел больше: тех, у которых первые две цифры не пятерки,
или тех, которые не делятся на 5?
6. Несколько (больше одного) шахматистов провели между собой матч-турнир в
несколько кругов (в одном круге каждый с каждым сыграл по одной партии). Во сколько
кругов прошло это соревнование, если всего было сыграно 224 партии?
7. Разрежьте квадрат на треугольники так, чтобы каждый из треугольников граничил
ровно с тремя другими.
8. Имеется 19 каменных глыб весом 1,2 т каждая и 47 глыб весом 1,1 т каждая. На­
чальник станции хочет погрузить их в два вагона так, чтобы общий вес камней в них был
одним и тем же. Сможет ли он сделать это, не дробя камни?

Часть 7. Почти все старое — 2.
1. Можно ли на плоскости отметить б точек и соединить их непересека­
ющимися отрезками (с концами в этих точках) так, чтобы из каждой точки
выходило ровно по 4 отрезка?
2. В одной 13-метровой комнате я обнаружил на полу три одинаковых
ковра, каждый площадью в б кв.м. Каждый перекрывался с каждым, и общая
часть любых двух ковров была равна 2 кв.м. А площадь той части пола,
которая была покрыта всеми тремя коврами, оказалась равной 1 кв.м. Какая
часть площади пола не была покрыта ни одним ковром?
3. В кузнице есть 4 кузнеца. Каждый из них может подковать одну ногу
лошади за 1 минуту. Одну лошадь одновременно могут подковывать не более
одного кузнеца. За какое наименьшее время эти кузнецы подкуют 4 лошади?
а 5 лошадей? а 75?
4. Напишите наименьшее натуральное число, составленное из всех воз­
можных различных цифр.
5. Напишите наименьшее натуральное число, составленное из всех воз­
можных различных цифр, делящееся без остатка на 5.
6. В классе имеется 5 различных ручек и б карандашей. Наташа пришла
раньше всех: Сколькими способами она может выбрать набор из ручки и
карандаша?
7. На вершину горы ведут 5 дорог. Сколькими способами турист может
подняться на гору и спуститься с неё? А если спуск и подъём происходит по
разным путям?
8. В левом нижнем углу шахматной доски 5 х 5 стоит фишка. За один ход
фишку разрешается передвинуть на одну клетку вправо или вверх. В каж­
дой клетке записывается число способов передвинуть фишку из начального
положения в данную клетку. Какое число записано в правом верхнем углу?

Ну, погоди? Не может быть!
1. По мнению одного из нупогодиологов если к возрасту Волка прибавить
возраст Зайца, то получиться 28. Далее он утверждает, что если то же самое
сделать через несколько лет, то получится 51. Может ли этот нупогодиолог
быть правым?
2. По мнению другого нупогодиолога если к возрасту Волка прибавить
возраст Зайца, то получиться 33. Далее этот же нупогодиолог утверждает,
что если то же самое сделать через несколько лет, то получится 88. Может
ли утверждать, что этот нупогодиолог ошибается?
3. Очередной нупогодиолог утверждает, что возраст Волка и Зайца связан
с другим советским персонажем: Чебурашкой. Он утверждает, что если сло­
жить возраста всех трех персонажей, то получиться 52. А если сложить их
возраста через несколько лет, то получиться 101. Прав ли этот нупогодиолог?
4. Ортодоксальный нупогодиолог считает, что заветные возраста надо не
складывать, а умножать. А точнее, он думает, что если умножить возраст
волка на возраст Зайца, то получиться 210. А если это же сделать через
несколько лет, то получиться 345. Прав ли этот нупогодиолог?
5. По мнению другого ортодоксальный нупогодиолога при перемножении
возрастов Волка и Зайца 252. А если это же сделать через несколько лет, то
получиться 327. Прав ли этот нупогодиолог?
6. Другой ортодоксальный нупогодиолог, ученик нупогодиолога из зада­
чи 3 утверждает, что надо перемножить Возраста Волка, Зайца и Чебурашки
и тогда получим 1890. А если это же сделать через несколько лет, то получим
2157. Правильно ли думает этот нупогодиолог?
7. Самый хитрый нупогодиолог считает, что если сложить возраста Волка,
Зайца и Чебурашки, а потом прибавить сумму их попарных произведений, то
получиться 8430. А если сделать то же самое через несколько лет, то получим
в итоге 13133. Прав ли он?

Часть 9. Долгожданно-огромная.
1. Барон Мюнхгаузен говорит, что, как бы ни стояли на шахматной доске
б ладей, не бьющих друг друга, он всегда сможет добавить еще коня так,
чтобы ни одна из фигур не била другую. Прав ли он?
2. Федоту выставили годовые оценки по 12 предметам. Оказалось, что его
средний балл равен 3, 5. По скольким предметам в следующем году он должен
улучшить свою оценку на один балл для того, чтобы средний балл стал равен
4?
3. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых цифры 1,2,
3 встречаются ровно по разу?
4. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий
и зеленый шарики?
5. Сколько различных слов (не обязательно осмысленных) можно полу­
чить, переставляя буквы слова "СПЕКТР".
6. Можно ли на плоскости отметить б точек и соединить их непересека­
ющимися отрезками (с концами в этих точках) так, чтобы из каждой точки
выходило ровно по 4 отрезка?
7. Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников так, чтобы у соседних пря­
моугольников стороны не совпадали.
8. Сумма нескольких чисел равна 1. Может ли сумма их квадратов быть
меньше 0,01?
9. Сколько решений имеет ребус В + 0 + Л + Г + А = 1 3 , если гласные буквы
- цифры одной чётности, а согласные - другой чётности? (разные буквы -
разные цифры)
10. Алеша Попович и Добрыня Никитич воюют с девятиглавым змеем. По
очереди богатыри ходят к его пещере и отрубают 1, 2 или 3 головы. Как на­
чавшему бой Алеше обрести славу победителя змея (т.е. отрубить последнюю
голову)? А если змей двенадцатиглавый?
11. Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли
получиться число 2007?
12. На окружности отмечены 5 красных и 7 синих точек. Рассмотрим
всевозможные отрезки (хорды) с концами в отмеченных точках. У скольких
отрезков концы а) разного цвета; б) одинакового цвета?

Часть 10. Решаем на каникулах!
1. Леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запретили. Тогда
директор леспромхоза всех успокоил, сказав: "В вашем лесу 99% сосен. Мы
будем рубить только сосны. После рубки их останется 96% от всех деревьев".
Какую часть леса вырубит леспромхоз?
2. Яна и Инна выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, на­
чиная со старшего разряда. Начинает Инна. Докажите, что какие бы цифры
она не писала, Яна всегда сможет добиться того, чтобы получившееся число
делилось на 9.
3. Дату последнего дня октября можно записать как 31 * 10 * 2007. Сколь­
кими способами вместо звёздочек можно поставить две цифры так, чтобы
получившееся десятизначное число делилось на 9?
4. Хулиганы Рустем и Нияз порвали стенгазету, причем Рустем рвал каж­
дый кусок на 5 частей, а Нияз на 9. При попытке собрать стенгазету Алина
нашла 2007 обрывка. Докажите, что она нашла не все обрывки.
5. Поднимаясь пешком по лестнице многоэтажного дома Юра на подъём
между первым и вторым этажом потратил 10 секунд, а на каждый следующий
пролёт между этажами тратил на 1 секунду больше, чем на предыдущий.
Между какими этажами будет Юра через 10 минут?
6. Какие значения может принимать периметр шестиклеточного много­
угольника на клетчатой плоскости (сторона клеток равна 1)?
7. Два мудреца написали на карточках числа от 5 до 11 и перемешали
их, после чего первый взял себе три из них, второй - две, а оставшиеся две
мудрецы спрятали в мешок. Первый, посмотрев на свои карточки, восклик­
нул: “Я точно знаю, что сумма чисел на твоих карточках чётна!"Какие числа
написаны на карточках первого?
8. Можно ли из полосок 1 х 17 1 х 2 ... ,1 х 13 сложить прямоугольник
со сторонами больше 1?

Часть 11. Оценка+пример.
1. Какое наибольшее число прямоугольников 1 х 5 можно вырезать из
квадрата 8 х 8?
2. На клетчатой доске 100 х 100 закрасили n доминошек. Оказалось, что
в каждой строке и в каждом столбце есть хотя бы одна закрашенная клетка.
При каком наименьшем n это возможно?
3. На какое наибольшее количество кусочков можно разрезать три корочки
хлеба тремя прямолинейными разрезами, если кусочки можно складывать
друг на друга?
4. Квадрат 10 х 10 хотят покрыть квадратами 3 х 3 со сторонами, парал­
лельными сторонам большого квадрата. Каким наименьшим числом квадра­
тов 3 х 3 можно обойтись?
5. У каждого из 7 членов команды не более двух близких приятелей. Ока­
завшись в одном помещении, два близких приятеля начинают непрерывно
болтать, и всякая работа в этом помещении прекращается. Сколько комнат
наверняка хватит капитану чтобы обеспечить бесперебойную работу всей ко­
манды.
6. Какое наибольшее количество кораблей 1 х 2 можно уложить на доске
10 х 10 без нарушения правил "морского боя"?
7. Какое наибольшее число клеточек на доске 8 х 8 можно закрасить в
черный цвет так, чтобы в любом уголке из трех клеточек было хотя бы одна
незакрашенная клетка?
8. 20 школьников решали задачи. Один решил 18 задач, а остальные мень­
ше. Доказать, что какие-то 2 школьника решили поровну задач.

Часть 12. С мира по нитке.
1. В стране Семерка 15 городов, каждый из которых соединен дорогами
не менее, чем с семью другими. Докажите, что из любого города можно до­
браться до любого другого (возможно, проезжая через другие города).
2. Числа 0,1, 2, . . . , 9 записаны по кругу. За один ход разрешается при­
бавить к двум соседним числам одно и то же целое число. Можно ли за
несколько ходов получить десять нулей?
3. У Динары 4 книги по математике, а у Леши - 5 (на удивление все книги
разные!).
а) Сколькими способами Динара может отдать три книги Леше, что бы
тот подготовил очередное занятие?
б) Сколькими способами они могут обменяться тремя книгами?
4. Если к некоторому двузначному числу прибавить сумму его цифр, его
цифры поменяются местами. Что это за число?
5. Леша принес с напушки очередную партию бутявок. Алина взяла себе
1/3 всех бутявок и еще 1/3 бутявки. После этого пришел Вадим и тоже взял
1/3 всех бутявок и еще 1/3 бутявки. Затем пришел Паша и поступил точно
так же. Маша взяла себе половину оставшихся бутявок и еще полбутявки.
Наконец, Мила тоже взяла половину всех бутявок и еще полбутявки. За­
поздавшему Руслану досталась всего одна бутявка. Сколько бутявок принес
Ирек с напушки?
6. Дано шестизначное число abcdef причем abc — def делится на 7. До­
кажите, что и само число делится на 7.
7. Ладья стоит в правом верхнем углу доски 9 х 12. За один ход разре­
шается сдвинуть ее на любое число клеток влево или на любое число клеток
вниз. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто из двух игроков выиграет
при правильной игре?
8. Десятичная запись числа 5 • A состоит из 1000 нулей и 1000 единиц.
Найдите сумму цифр числа A.

Часть 13. И старость, и радость.
1. а) Дано шестизначное число abcdef, причем abc — def делится на 11.
Докажите, что и само число делится на 13.
б) 2. Дано шестизначное число abcdef, причем abc — def делится на 13.
Докажите, что и само число делится на 13.
3. На плоскости нарисованы точки, пронумерованные числами от 2 до 30.
При этом две точки с номерами a и b соединены ребром только в том случае,
если одно из чисел a или b делится на другое. На сколько несвязанных частей
разбивается данный рисунок?
4. В трёх вершинах правильного пятиугольника расположили по фишке.
Разрешается двигать их по диагонали на свободное место. Можно ли такими
действиями добиться, чтобы одна из фишек вернулась на первоначальное
место, а две другие поменялись местами?
5. 2000 шашек выставлены в ряд. Любые две шашки, стоящие через одну
можно поменять местами. Можно ли переставить шашки в обратном порядке?
6. (Пять братьев) Один из пяти братьев испек маме пирог. Андрей сказал:
“Это Витя или Толя”. Витя сказал: “Это сделал не я и не Юра”. Толя сказал:
“Вы оба шутите”. Дима сказал: “Нет, один из них сказал правду, а другой -
нет”. Юра сказал: “Нет, Дима, ты не прав.” Мама знает, что трое из ее сыновей
всегда говорят правду. Кто испек пирог?
7. (Евро-2008) В финал чемпионата Европы выходили две команды. До
соревнований пять болельщиков высказали прогнозы, что в финал выйдут
команды: 1) Франции и Голландии; 2) Бельгии и Италии; 3) Бельгии и Фран­
ции; 4) Россия и Голландии; 5) Голландии и Италии. Один прогноз оказался
полностью неверным, а в остальных была правильно названа только одна из
команд-финалисток. Какие команды вышли в финал?
8. Сумма пяти последовательных целых чисел равна 875. Найдите эти
числа.
Часть 14. Всяко-разно.
1. Пулеметчик - ладья, бьющая только в одну из четырёх сторон. Какое
наибольшее количество пулеметчиков можно поставить на шахматную доску,
чтобы они не били друг друга?
2. В 10 мешках лежат 1000 орехов, причём во всех мешках количество оре­
хов разное. Далее многократно выполняется следующая операция: из мешка,
в котором больше всего орехов, вынимается 9 орехов, которые раскладывают­
ся по одному ореху в каждый из остальных мешков. Докажите, что наступит
момент, когда в каких-то двух мешках орехов станет поровну.
3. Семь хоббитов ростом 1, 2, 3, 4, 5, б, 7 дециметров встали в хоровод.
Гэндальф измерил разности роста всех пар соседних хоббитов и сложил семь
получившихся чисел. Какое наибольшее значение может иметь эта сумма?
4. Два игрока играют, делая ходы по очереди. В свой ход каждый игрок
пишет не делящееся ни на 2, ни на 5 натуральное число, в записи которого
не более двух цифр. Проигрывает тот игрок, после хода которого сумма всех
выписанных чисел в первый раз превысит 1000. Кто выиграет при правильной
игре?
5. Еж и Заяц били в комнате комаров. Еж бил комаров дверью, причем
каждым своим ударом он убивал 500 комаров, однако в это время в откры­
тую дверь залетало 925 комаров. Заяц же бил комаров фумигатором, убивая
одним ударом 323 комара. Известно, что они легли спать, убив всех комаров.
Могло ли первоначально в комнате находиться ровно 2004 живых комара?
6. Семиклассник разрезал бумажный квадрат на прямоугольники пери­
метра 7 см, а восьмиклассник - точно такой же квадрат на прямоугольники
периметра 8 см. Может ли у восьмиклассника получиться больше прямо­
угольников, чем у семиклассника?
7. На кружке физики учитель поставил следующий эксперимент. Он раз­
ложил на чашечные весы 16 гирек массами 1, 2, 3, ..., 16 граммов так, что
одна из чашек перевесила. Пятнадцать учеников класса по очереди выходи­
ли из класса и забирали с собой одну гирьку, причем после выхода каждого
ученика перевешивала противоположная чашка весов. Какая гирька осталась
на весах?
8. Леша, Камиль, Вадим, Степан и Александр Сергеевич ели конфеты
(причем не деля их на части). Когда все конфеты кончились, их спросили:
"Кто сколько съел конфет?"На что они ответили: Леша: "Я и Вадим съели
13 конфет"; Камиль: "Я и Степан съели 566 конфет"; Вадим: "Я, Камиль и
Александр Сергеевич съели 21 конфету"; Максим: "Я, Александр Сергеевич
и Леша съели 579 конфет". После этого Александр Сергеевич сказал, что так
быть не могло. Почему он пришел к такому выводу?


Часть 15. Раскраски и еще немного.
1. Фигура "верблюд"ходит по шахматной доске ходом типа (1, 3). Можно
ли пройти ходом "верблюда"с произвольного поля на соседнее?
2. Можно доску 8 х 8 с вырезанной угловой клеткой разрезать а) на оди­
наковые уголки, каждый из которых состоит из трех клеток; б) на "трими-
ношки" (прямоугольники 1 х 3)?
3. Сколько различных фигур (с точностью до поворота) из четырех клеток
существует в игре "Тетрис"? Для каждой фигуры ответьте на следующий во­
прос: можно ли квадрат 10 х 10 разрезать на 25 одинаковых фигурок данного
4. Фигура "заяц"ходит либо на одну клетку вниз, либо на одну клетку по
диагонали вверх-вправо или вверх-влево. За какое минимальное число ходов
она обойдет доску 7 х 7 и вернется на исходное поле?
5. Запишите трехзначное число. Допишите к нему справа такое же число.
Полученное число разделите на 13. Частное разделите на 11. Новое частное
разделите на задуманное число. Что у Вас получилось? Повторите опыт. По­
чему результат не зависит от задуманного числа?
6. Составьте из доминошек размером 1 х 2 без пропусков и наложений
прямоугольник размером 5 х 6 так, чтобы этот прямоугольник нельзя было
разрезать на два прямоугольника по линиям сетки, не повредив ни одной
доминошки.
7. По длинному узкому каналу один за другим идут три парохода. На­
встречу им - еще три парохода. Канал такой узкий, что два парохода в нем
разъехаться не могут, но в нем есть залив, где может поместиться один па­
роход. Могут ли они разъехаться?
8. Сколько детей в семье, если 7 из них любят капусту, б - морковь, 5-
горох, 4 - капусту и морковь, 3 - капусту и горох, 2 - морковь и горох, а 1
любит и капусту, и горох, и морковь?

Часть 16. Всего понемногу - 2.
1. Три человека играют в теннис. Проигравший уступает свое место иг­
року, наблюдавшему за игрой. Сколько партий сыграл каждый, если первый
выиграл 6, второй - 8, а третий - 10 партий?
2. Учитель задал на уроке сложную задачу. В результате число мальчиков,
решивших эту задачу, оказалось равным числу девочек, её не решивших. Кого
в классе больше: учеников, решивших задачу или девочек?
3. Руслан продавал раков: крупных по 5 рублей за штуку, мелких по 3
рубля. До полудня выручка составила 23 рубля. После полудня он продал
больше раков, а выручил только 21 рубль. Сколько всего раков было продано?
4. В вазочке лежат конфеты трех сортов. Известно, что можно взять 5
конфет так, чтобы конфет каждого сорта стало поровну. Докажите, что в
исходную вазочку можно добавить 10 конфет так, чтобы конфет каждого
сорта стало поровну.
5. Каждый из трех игроков записывает 100 слов, после чего записи срав­
нивают. Если слово встретилось хотя бы у двоих, то его вычеркивают из всех
списков. Могло ли случиться так, что у первого игрока осталось 61 слово, у
второго - 80 слов, а у третьего - 82 слова?
6. Два карандаша и ластик стоят столько же, сколько один карандаш и
четыре ластика. Во сколько раз карандаш дороже ластика?
7. В лесу на Мюнхгаузена напала стая волков. Когда он проскочил на
лошади мимо двух волков, они бросились на него, промахнулись и загрызли
друг друга. Мюнхгаузен повторял этот маневр еще раз, и еще, до тех пор,
пока все волки не загрызли друг друга. Могло ли в стае быть 97 волков?
8. У шахматной доски выпилены а) угловая клетка; б) две противополож­
ные угловые клетки; в) две клетки разного цвета. Можно ли такую испор­
ченную доску распилить на двуклеточные прямоугольники?

Часть-17. Логика-1. Остров рыцарей и лжецов.
Существует множество хитроумных задач об острове, населенном
"рыцарями”, всегда говорящими только правду, и лжецами, изрекающими
только ложь. Предполагается, что каждый обитатель острова либо ры­
царь, либо лжец.
1. Может ли уроженец острова рыцарей и лжецов произнести фразу: "Я
лжец"?
2. Если человек произносит фразу: "Я рыцарь", то можно ли определить
кто он?
3. За круглым столом сидят 12 человек (лжецы и рыцари).
а) Каждый сидящий за столом произнес два высказывания: 1) слева от
меня сидит рыцарь; 2) справа от меня сидит лжец. Могло ли такое быть?
б) Каждый из сидящих за столом произнес: "Напротив меня сидит лжец".
Сколько лжецов за столом?
4. По дороге в город я натолкнулся на двух островитян А и В. "Мы оба
лжецы! бодро сообщил А. Кто они?
5. Трое жителей острова (А, В и С) разговаривали между собой в саду.
Проходивший мимо незнакомец спросил у А: "Вы рыцарь или лжец?"Тот
ответил, но так неразборчиво, что незнакомец не смог ничего понять. Тогда
незнакомец спросил у В: "Что сказал А?А сказал, что он лжец",-ответил
В. "Не верьте В! Он лжет! вмешался в разговор островитянин С. Кто из
островитян В и С рыцарь и кто лжец?
6. В этой задаче два. персонажа: А и В. Каждый из них либо рыцарь,
либо лжец. А высказывает следующее утверждение: "По крайней мере один
из нас лжец". Кто из двух персонажей А и В рыцарь и кто лжец?
7. Предположим, что А говорит: "Или я лжец, или В рыцарь". Кто из
двух персонажей А и В рыцарь и кто лжец?
8. Предположим, что А говорит: "Или я лжец, или два плюс два-пять". К
какому заключению можно прийти на основании этого утверждения?
9. Перед нами снова три островитянина А, В и С, о каждом из которых
известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Двое из них (А и В) высказывают
следующие утверждения:
А: Мы все лжецы.
В: Один из нас рыцарь.
Кто из трех островитян А, В и С рыцарь и кто лжец?
10. Предположим, что А высказывает утверждение: "Я лжец, а В не
лжец". Кто из островитян А и В рыцарь и кто лжец?

Моек н и что . Числа всё. Часть-18 — не дай мозгу засохнуть!
1. Все костяшки домино выложили в цепь по правилам. На одном конце
оказалось 5 очков. Сколько очков оказалось на другом?
2. Из набора домино выбросили все кости с “пустышками". Можно ли
оставшиеся кости выложить в ряд по правилам?
3. Можно ли разменять 25 тугриков десятью купюрами достоинством в 1,
3 и 5 тугриков?
4. 98 спичек разложили в 19 коробков и на каждом написали количество
спичек в этом коробке. Может ли произведение этих чисел быть нечётным
числом?
5. Парламент состоит из двух равных по численности палат. На совмест­
ном заседании присутствовали все, и никто не воздержался при голосовании.
Когда было объявлено, что некоторое решение было принято большинством
в 23 голоса, оппозиция закричала “Это обман!". Почему?
6. Произведение 10 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна
нулю.
7. Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?
8. a) а + 2 делится на 5, докажите, что 7 а + 4 делится на 5;
б) 2004 + а и 1003 — & делятся на 11, докажите, что а + b делится на 11.
Задачи для самостоятельного решения.
9. Доказать:
а) если сумма любых двух из трёх чисел делится на 3, то и сумма всех
трёх чисел делится на 3;
б) если сумма любых трёх из четырёх чисел делится на 4, то и каждое
число делится на 4;
в) сформулируйте и докажите утверждение б) для n чисел.
10. Докажите, что число, составленное из пятидесяти пяти единиц, явля­
ется составным.

Часть 19. Спорт в нашей жизни.
1. В футбольном турнире участвовало n команд (за победу 2 очка, за
ничью 1, за поражение 0). Каждая команда сыграла n — 2 матча. Первая
набрала 1 очко, вторая 2 очко, ... , n-ая набрала n очко. Для каких n это
возможно?
2. В футбольном турнире участвовало 8 команд: каждая команда сыграла
со всеми (за победу 3 очка, за ничью 1, за поражение 0). Оказалось, что
сумма очков, набранных всеми командами равна 81. Сколько было ничьих в
турнире?
3. (Спортсмены) Петр, Геннадий, Алексей и Владимир занимаются в дет­
ской спортивной школе в разных секциях: гимнастики, легкой атлетики, во­
лейбола и баскетбола. Петр, Алексей и волейболист учатся в одном классе.
Петр и Геннадий на тренировки ходят пешком вместе, а гимнаст ездит на ав­
тобусе. Легкоатлет не знаком ни с волейболистом, ни с баскетболистом. Кто
в какой секции занимается?
4. На окружности расставлены 20 точек. За ход разрешается соединить
любые две из них отрезком, не пересекающим отрезков, проведённых ранее.
Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков выиграет при
правильной игре?
5. Какое наибольшее число не бьющих друг друга коней можно поставить
на доску 8 х 8?
6. Прямоугольник можно разбить без остатка на уголки из трех клеток.
Докажите, что его можно разбить на прямоугольники 1 х 3.
7. Найти 10 натуральных чисел, сумма которых равна их произведению.
8. Натуральное число можно умножать на 2 и любым образом перестав­
лять его цифры. (Нельзя ставить 0 на первое место) Можно ли превратить
число 1 в 811?

Часть 20. Практика после чек 4.
1. Великий бизнесмен Вася уже 11 лет ведет свой бизнес. Оказалось, что
за любые два соседних года его деятельности он, что-то зарабатывал. Может
ли так оказаться, что за все 11 лет Вася потерял некоторую сумму?
2. Встретились два математика: Леонард и Андрей. Андрей спрашивает
Леонарда:
- Сколько лет двум твоим сыновьям?
- Они дошкольники. И произведение их возрастов равно количеству голу­
бей, сидящих во дворе.
После раздумий Андрей ответил:
- Этих данных недостаточно.
- Старший из них похож на мать.
- А, ну тогда понятно.
Сколько лет сыновьям Леонарда?
3. Хулиган Вася решал пример: 1 • 2 • 3 + 2 • 3 • 4 + . . . +98 • 99 • 100 и получил
ответ 16738922. Докажите, что он ошибся.
4. Докажите, что число 12345678926 не является полным квадратом.
5. Выясните, может ли число и! оканчиваться на 7 нулей.
6. Найдите наименьшее натуральное и такое, что и! делится на 990.
7. Обозначим сумму трех последовательных натуральных чисел через а
, а сумму трех следующих за ними натуральных чисел - через Ь. Может ли
произведение ab равняться 111111111?
8. Докажите, что натуральное число, десятичная запись которого состоит
из одной единицы, двух двоек, трех троек, ..., девяти девяток, не может быть
точным квадратом.
Для самостоятельного решения.
9. Имеется таблица 2008 х 2008, в которой стоит 2007 единиц, а осталь­
ные — нули. С ней разрешается проделывать следующую операцию: выбрать
клетку, вычесть из числа, стоящего в этой клетке единицу, а ко всем осталь­
ным числам, стоящим или в одной строке, или в одном столбце с выбранной
клеткой, прибавить единицу. Можно ли из этой таблицы с помощью указан­
ных операций получить таблицу, в которой все числа равны?
10. Имеется таблица 2008 х 2008, в которой стоит 2007 единиц, а осталь­
ные — нули. С ней разрешается проделывать следующую операцию: выбрать
клетку, вычесть из числа, стоящего в этой клетке единицу, а ко всем осталь­
ным числам, стоящим в одной строке, или в одном столбце с выбранной клет­
кой, прибавить единицу. Можно ли из этой таблицы с помощью указанных
операций получить таблицу, в которой все числа равны?
Намек. Попробуйте найти квадрат 2 х 2, в котором всего одна единица.

Часть 21. Очевидная:-)
Во всем листочке латинскими буквами обозначены числа.
Равенства, которые нужно знать.
1. a = a.
2. a + (—b) = a — b.
3. (следствие из 1. и 2.) a — a = 0.
4. a + a = 2a.
5. a + b = b + a.
6. a — b = —b + a.
7. a — (a + b) = —b.
8. ab = ba.
9. a(b + c) = ab + ac.
10. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
11. (ab)n = anbn.
12. an • am = an+m.
13. (an)m = anm.
Задачи.
1. Вынесите за скобки числовой множитель:
а) (7x + 7y)2; б) (5g — 30)3; в) (2a — 8)4;
2. Докажите, что если b + c = 10, то (10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc.
3. Докажите, что если ab + c2 = 0, то (a + c)(b + c) + (a — c)(b — c) = 0.
4. Докажите, что если a + b = 9, то (a + 1)(b + 1) — (a — 1)(b — 1) = 18.
5. Докажите тождество:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
6. Раскройте скобки:
а) ((a + b)2)2;
б) (a — b)4.
7. Упростите:
а) (a — 3)(a2 — 8a + 5) — (a — 8)(a2 — 3a + 5);
б) (x2 — 3x + 2)(2x + 5) — (2x2 + 7x + 17)(x — 4).
8. Докажите, что:
(b + c — 2a)(c — b) + (c + a — 2b)(a — c) — (a + b — 2c)(a — b) = 0.
9. Докажите тождества:
a) (ax — 2(a + 2))(a(x — 1) + 2) + 2(4 — a2) + 3a2x = ax(ax — 2);
6Д3 — b(c — 1))(bc + 4(b + 1)) + bc(bc + 3b + 1) = 4b(b + 4) + 12;
b) (a2 + b2 )(a4 — a2b2 + b4) — (a3 — b3)(a3 + b3) = 2b6.
10. [Тождество Диофанта (III в.)]
(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad — bc)2.
11. [Тождество Эйлера (XVIII в.)]
(p2 + cq2)(r2 + cs2) = (pr + cq s) + c(ps — qr)2.
Часть 22. Смаллиановщина.
1. Предположим, что незнакомец задал А другой вопрос: "Сколько рыца­
рей среди вас?"И на этот вопрос А ответил неразборчиво. Поэтому незнаком­
цу пришлось спросить у В: "Что сказал А?"В ответил: "А сказал, что среди
нас один рыцарь". И тогда С закричал: "Не верьте В! Он лжет!"Кто из двух
персонажей В и С рыцарь и кто лжец?
2. Перед нами в очередной раз три островитянина А, В и С, о каждом из
которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Условимся называть двух
островитян однотипными, если они оба рыцари или оба лжецы. Пусть А и
В высказывают следующие утверждения: А: В - лжец. В: А и С однотипны.
Кто такой С: рыцарь или лжец?
3. Перед нами снова трое островитян А, В и С. А высказывает утвержде­
ние: "В и С однотипны". Кто-то спрашивает у С: "А и В однотипны?"Что
ответит островитянин С?
Как вести себя в лесу, где водятся оборотни.
Предположим, что Вы находитесь в лесу, каждый обитатель которого
либо рыцарь, либо лжец (Напомним, что рыцари всегда говорят правду, а
лжецы всегда врут). Кроме того, в лесу водятся оборотни, имеющие на ред­
кость неприятную привычку иногда превращаться в волков и пожирать лю­
дей. Оборотень может быть либо рыцарем, либо лжецом.
4. Вы берете интервью у трёх о обитателей леса А,В,С. Известно, что
ровно один из них оборотень. В беседе с Вами они заявляют: А: С-оборотень.
В: Я не оборотень. С: По крайней мере двое из нас лжецы. Наша задача
состоит из двух частей, а) Кто оборотень: рыцарь или лжец? б) Если бы Вам
предстояло выбрать одного из трёх обитателей леса в попутчики и Вам бы
хотелось становиться оборотнем меньше, чем стать обманутым, то на ком из
трёх Вы бы остановили свой выбор.
5. Вы снова берете интервью у трёх обитателей леса А,В,С. Известно, что
каждый из них, либо рыцарь,либо лжец и среди них имеется ровно один обо­
ротень. В беседе с Вами они заявляют: А: Я - оборотень. В: Я - оборотень. С:
Не более чем один из нас рыцарь. Проведите полную классификацию А,В,С.
6. В этой и в двух следующих задачах мы снова встречаем трёх обитателей
леса А,В,С, каждый из которых либо лжец, либо рыцарь. Заявления делают
только двое из них: А и В. В их высказываниях слово "нас"относится ко всем
трем героям (к А,В и С), а не только к А и В. Предположим, что А и В
заявили следующие: А: По крайней мере один из нас рыцарь. В: По крайней
мере один из нас лжец. Известно, что по крайней мере один из них оборотень
и ни один не является одновременно рыцарем и оборотнем. Кто оборотень?

7. На этот раз А и В сделали следующие заявления: А: По крайней мере
один из нас лжец. В: С рыцарь. Известно, что ровно один из них оборотень
и что он рыцарь. Кто оборотень?
8. В этой задаче А и В заявили следующее: А: По крайней мере один из
нас лжец. В: С оборотень. И в этой задаче известно, что ровно один из них
оборотень и что он рыцарь. Кто оборотень?
9. В этой задаче известно, что из трёх обитателей леса ровно один оборо­
тень, что он рыцарь, а два остальных - лжецы. Заявление сделал только В:
"С - оборотень". Кто оборотень?
10. В этой задаче, отличающейся изящной простотой, лишь два действу­
ющих лица: А и В. Лишь одно из них оборотень. А и В заявили следующее:
А: Оборотень - рыцарь. В: Оборотень - лжец. Кого из них вы выбрали бы
себе в попутчики?
Как выбрать или завоевать невесту.
11. Вы полюбили девушку и хотите женится на ней. Но у Вашей избранни­
цы странные вкусы: она желает выйти замуж только за лжеца. При этом ей
подавай не бедного, а непременно богатого лжеца. Как одной-единственной
фразой убедить вашу возлюбленную, что вы богатый лжец?
12. Предположим теперь, что ваша девушка мечтает выйти замуж только
за богатого рыцаря. Как одной-единственной фразой убедить вашу возлюб­
ленную, что вы богатый рыцарь?
13. Теперь предположим, что на острове действует табу запрещавшие раз­
говоры между мужчиной и женщиной, если они не муж и жена. Но Вам хо­
чется узнать кто Ваша возлюбленная (Вы ведь не хотите жениться на лже­
це?!). Вам разрешается задать только один вопрос ее брату (он тоже либо
рыцарь, либо лжец), на который можно ответить либо "да",либо "нет". Ка­
кой вопрос Вы бы задали, чтобы с уверенностью можно было сказать кто
Ваша возлюбленная?
14. Вам надлежит выбрать себе в невесту одну из трёх сестер А,В и С.
Известно, что одна из них рыцарь, одна - лжец и одна нормальный человек.
Известно также, что нормальная сестра - оборотень, а две другие нет. Пред­
положим, что жениться на оборотне даже для такого покладистого человека,
как Давлетшин Самат, - это уж слишком!!! Вам разрешается задать толь­
ко один вопрос , на который можно ответить либо "да",либо "нет". Какой
вопрос Вы бы задали?
Часть 23. И старость, и радость 2.
1. Дан квадрат 6 х 6 разбитый на доминошки. Докажите, что найдется
прямая, проходящая по линиям сетки, такая, что весь прямоугольник разбит
ею на два не пустых прямоугольника и нет ни одной разрезанной доминошки.
2. Все гангстеры мира собрались на слет, на котором все переругались. В
итоге каждый гангстер выстрелил в одного гангстера, и в каждого попало
по одной пули. Докажите, что все гангстеры разбили на циклы, в которых
каждый следующий гангстер выстрелил в следующего.
3. Мальчик по четвергам и пятницам всегда говорит правду, а по втор­
никам всегда лжет. Однажды его 7 дней подряд спрашивали, как его зовут.
Шесть первых дней он давал такие ответы: Василий, Борис, Василий, Борис,
Андрей, Борис. Какой ответ он дал на седьмой день?
4. Саша взял несколько пустых карточек и написал на них разные нату­
ральные числа, не большие 1000. Оказалось, что для любых двух карточек
число на одной из них делится на число на другой. Какое наибольшее коли­
чество карточек мог заполнить Саша?
5. Хулиган Самат и шесть его друзей кидались бумажками. Каждый кинул
бумажку в трех других хулиганов. Могло ли не оказаться ни одной пары
хулиганов, кинувших бумажки друг в друга?
6. В сенате Продажного королевства 100 сенаторов. Известно, что среди
любых пяти сенаторов найдется по крайней мере один продажный. Сколь­
ко продажных сенаторов может быть в сенате? Укажите все возможности и
докажите, что других возможностей нет.
7. В одном приходе графства Липшир живут 15 джентльменов. Некоторые
из них поссорились друг с другом. Могло ли быть так, что каждый поссорился
ровно с одним из остальных?
8. Среди 5 джентльменов любые двое имеют ровно одного общего знако­
мого. Докажите, что хотя бы один из них знаком со всеми остальными.

Часть 24. И старость, и радость против почти все старое.
1. Могут ли произведения всех ненулевых цифр двух последовательных
натуральных чисел отличаться ровно в 72 раза?
2. Чтобы от театра доехать до цирка, можно сесть на остановке на авто­
бус N1 или на автобус N2. Они ходят с постоянными интервалами, причем
автобус N1 в 2 раза реже, чем N2. За последние 20 минут автобус прошел
16 минут назад, 10 минут назад и 2 минуты назад. Когда будет следующий
автобус?
3. В клубе "Милсисум'Ч' каждого члена ровно один друг и ровно один враг,
а) Докажите, что в этом клубе четное число джентльменов, б) Докажите, что
этот клуб можно распустить, составив из его членов два клуба так, чтобы
внутри новых клубов не было ни друзей, ни врагов.
4. Замените буквы в слове ТРАНСПОРТИРОВКА цифрами (разные бук­
вы - разными цифрами, одинаковые - одинаковыми) так, чтобы выполня­
лись неравенства: Т Р А II С П О Р Т И Р О В К А. Найдите
все ответы и докажите, что других нет.
5. На прошлой неделе Вася был в школе 4 раза и получил 17 двоек. До­
кажите, что в один из дней он получил не менее 5 двоек.
6. В коробке лежат красные, желтые и зеленые карандаши трёх разме­
ров: короткие, средние и длинные. Известно, что имеются карандаши всех
трёх цветов и всех трёх размеров. Верно ли, что обязательно найдутся три
карандаша, попарно различающиеся одновременно и по цвету, и по размеру?
7. Лягушонок, сидящий в одном из узлов бесконечного клетчатого болота,
одним прыжком может перескочить на любую соседнюю по диагонали кочку.
Может ли он отправиться из дома на прогулку и вернуться домой, сделав
ровно 25 прыжков?
8. Васин лягушонок подрос и теперь одним прыжком может переместиться
по диагонали любого прямоугольника 1x2. Может ли он отправиться из дома
на прогулку и вернуться домой, сделав ровно 25 прыжков?
9. В коробке лежат 5 мандаринов. Известно, что любые три из них весят
в сумме больше 300 г, но меньше 600 г. Докажите, что найдется мандарин,
весящий от 100 до 200 г.
10. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каж­
дом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Докажите, что ящиков
какого-то сорта не меньше девяти.
11. На шахматной доске стоят 8 ладей, причем ни одна из них не бьет ни
одну из других. Хулиган Вася взял острый ножик и разрезал доску на четыре
квадрата 4x4. Докажите, что в левый верхний квадрат 4x4 попало столько
же ладей, сколько в правый нижний квадрат 4x4.
12. Найдите наименьшее натуральное число, кратное 4, в записи которого
встречаются все цифры от 0 до 9.
13. В клетках таблицы 100 х 100 расставлены попарно различные числа.
Каждую минуту каждое из чисел меняется на наибольшее из чисел, стоящих
в соседних с ним по стороне клетках. Могут ли через 4 часа все числа в
таблице оказаться одинаковыми?


Категория: Математика | Добавил: Админ (18.04.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar