Тема №5696 Задачи по математике ЕГЭ 2016 86
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по математике ЕГЭ 2016 86 из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по математике ЕГЭ 2016 86, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

1. (ЕГЭ, 2015 ) В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 5. На его ребре BB1 отмечена точка K
так, что KB = 3. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : P B1 = 1 : 2, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
б) 1075
9
2. (МИОО, 2015 ) На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точ-
ка E так, что A1E : EA = 5 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : F B = 5 : 11, а точка
T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 6√
2, AD = 10, AA1 = 16.
а) Докажите, что плоскость EF T проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EF T.
б) 97,5
3. (МИОО, 2015 ) На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точ-
ка E так, что A1E : EA = 3 : 4. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 9, AD = 6,
AA1 = 14.
а) В каком отношении плоскость ET D1 делит ребро BB1?
б) Найдите угол между плоскостью ET D1 и плоскостью AA1B1.
arctg ; б) 3 : 11 а)

10
3
4. (МИОО, 2015 ) На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точ-
ка E так, что A1E = 6EA. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 4√
2, AD = 12,
AA1 = 14.
а) Докажите, что плоскость ET D1 делит ребро BB1 в отношении 4 : 3.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ET D1.
б) 90
5. (МИОО, 2015 ) В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треуголь-
ник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A1C1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.
б) Найдите периметр этого сечения.
б) 19
6. (ЕГЭ, 2014 ) В правильной треугольной пирамиде MABC стороны основания ABC равны 6,
а боковые рёбра равны 8. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E,
а на ребре AM — точка L. Известно, что CD = BE = LM = 2. Найдите площадь сечения
пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
2

30
1
7. (ЕГЭ, 2014 ) В треугольной пирамиде MABC основанием является правильный треуголь-
ник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а
ребро MA равно 6. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на
ребре AM — точка L. Известно, что AD = AL = 2 и BE = 1. Найдите угол между плоскостью
основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
arctg 2
8. (ЕГЭ, 2014 ) В треугольной пирамиде MABC основанием является правильный треуголь-
ник ABC, ребро MA перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а
ребро MB равно 5. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на
ребре AM — точка L. Известно, что AD = 2 и BE = ML = 1. Найдите площадь сечения
пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
2

3
9. (ЕГЭ, 2014 ) Высота цилиндра равна 3. Равнобедренный треугольник ABC с боковой сторо-
ной 10 углом ∠A = 120◦ расположен так, что его вершина A лежит на окружности нижнего
основания цилиндра, а вершины B и C — на окружности верхнего основания. Найдите угол
между плоскостью ABC и плоскостью основания цилиндра.
arcsin 3
5
10. (ЕГЭ, 2014 ) В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M сторона основания
AB равна 6. На ребре AB отмечена точка K так, что AK : KB = 5 : 1. Сечение MKC является
равнобедренным треугольником с основанием MK. Найдите угол между боковыми гранями
пирамиды.
2 arcsin

682
44
11. (ЕГЭ, 2014 ) Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной
пирамиды равен √
3/4. Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.
arccos 7
32
12. (ЕГЭ, 2014 ) Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей
равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две
дуги, длины которых относятся как 1 : 3. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.
9

14
13. (МИОО, 2014 ) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое
ребро равно 5, а сторона основания равна 6. Найдите расстояние от вершины A до плоскости
SBC.
3

39
4
2
14. (Санкт-Петербург, пробный ЕГЭ, 2014 ) Отрезок AC — диаметр основания конуса, отрезок
AP — образующая этого конуса и AP = AC. Хорда основания BC составляет с прямой AC
угол 60◦
. Через AP проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой BC. Найдите
расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения, если радиус основания конуса
равен 1.

15
5
15. (МИОО, 2014 ) Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC составляет 5/7 от
высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её
боковым ребром.
arctg 5
4

6
16. (МИОО, 2014 ) Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания
которой равны 5

2. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен √
2, L — середина ребра
MB. Найдите высоту данной пирамиды.
5
17. (МИОО, 2013 ) Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды
SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144. Найдите пло-
щадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.
36
18. (МИОО, 2013 ) Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра основания
которой равны 2

7. Сечение, проходящее через боковое ребро AA1 и середину M ребра B1C1,
является квадратом. Найдите расстояние между прямыми A1B и AM.

6
2
19. (МИОО, 2013 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB =
= 5, AD = 4, AA1 = 9. Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 4 : 5, считая от
вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через
точки A, O и C1.

1281
20. (ЕГЭ, 2013 ) В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 3,
а боковые рёбра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей
через середины сторон AB и AC параллельно прямой MA.
27
2
21. (ЕГЭ, 2013 ) В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно √
5,
а высота равна 1, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь
этой сферы.
12 
4 −7

3

π
3
22. (ЕГЭ, 2013 ) Радиус основания конуса равен 8, а его высота равна 15. Плоскость сечения
содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 14. Найдите расстояние от
центра основания конуса до плоскости сечения.
15
4
23. (ЕГЭ, 2013 ) В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания
равна 6, а боковое ребро AA1 = 1. Точка F принадлежит ребру C1D1 и делит его в отношении
2 : 1, считая от вершины C1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей
через точки A, C и F.
12√
2
24. (ЕГЭ, 2013 ) В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны
основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.
5

2
25. (ЕГЭ, 2013 ) Две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно 2, пересекают
шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими
плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.
5
26. (ЕГЭ, 2013 ) Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения
меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается
меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь
сечения большего шара плоскостью α.
12
27. (МИОО, 2013 ) Правильные треугольники ABC и BCM лежат в перпендикулярных плоско-
стях, BC = 8. Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 1 : 3.
Вычислите объём пирамиды MP T A.
24
28. (МИОО, 2013 ) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно 8

3,
а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB1. Найдите объём пятигранника
ABCA1D.
3
29. (ФЦТ, 2013 ) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC проведено
сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если
боковое ребро пирамиды равно 7, а сторона основания равна 8.
2

29
4
30. (МИОО, 2013 ) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S — вершина. Точ-
ка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SC. Найдите угол между плоскостями
BMK и ABC, если AB = 10, SC = 8.
arctg

7
10
31. (МИОО, 2013 ) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC сторона ос-
нования равна 8, а угол ASB равен 36◦
. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса
угла SAC. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B.
16√
3
32. (МИОО, 2012 ) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 8,
а боковые рёбра равны √
13. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, C и середину
ребра A1B1. Найдите его площадь.
30
33. (МИОО, 2012 ) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD про-
ведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения,
если все рёбра пирамиды равны 8.
8

5
34. (ЕГЭ, 2012 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 2, AD = AA1 = 1.
Найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1.
arcsin 1 √
10
35. (ЕГЭ, 2012 ) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2,
боковые рёбра равны 3, точка D — середина ребра CC1. Найдите расстояние от вершины C до
плоскости ADB1.
3 √
13
36. (ЕГЭ, 2012 ) В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания
равны 2, а боковые рёбра равны 5. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 3 : 2.
Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
arctg

13
2
37. (ЕГЭ, 2012 ) Точка E — середина ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите площадь
сечения куба плоскостью C1DE, если рёбра куба равны 2.
9/2
38. (ЕГЭ, 2012 ) На ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE : EC1 =
= 1 : 2. Найдите угол между прямыми BE и AC1.
arccos 2

30
15
5
39. (ЕГЭ, 2012 ) Точка E — середина ребра DD1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между
прямыми CE и AC1.
arccos 1 √
15
40. (Репетиционный ЕГЭ, 2012 ) В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 со
стороной основания 4 и высотой 7 на ребре AA1 взята точка M так, что AM = 2. На ребре
BB1 взята точка K так, что B1K = 2. Найдите угол между плоскостью D1MK и плоскостью
CC1D1.
45◦
41. (Репетиционный ЕГЭ, 2012 ) Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 яв-
ляется ромб ABCD, сторона которого равна 4

3, а угол BAD равен 60◦
. Найдите расстояние
от точки A до прямой C1D1, если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.
10
42. (ФЦТ, 2012 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 2, AD = 4, AA1 = 3
и точка E — середина ребра AB. Найдите угол между прямыми A1C1 и B1E.
arccos 1 √
50
43. (Юг, пробный ЕГЭ, 2012 ) В пирамиде DABC известны длины рёбер: AB = AC = DB =
= DC = 13 см, DA = 6 см, BC = 24 см. Найдите расстояние между прямыми DA и BC.
4 см
44. (МИОО, 2012 ) В правильной треугольной пирамиде SABC точка S — вершина. Точка M —
середина ребра SA, точка K — середина ребра SB. Найдите угол между плоскостями CMK и
ABC, если SC = 6, AB = 4.
arctg

23
5
45. (МИОО, 2012 ) Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Боковое ребро SA =
=

5, сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM, где M —
середина ребра SC.
1
46. (МИОО, 2011 ) В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания
равна √
2, а высота равна 1. M — середина ребра AA1. Найдите расстояние от точки M до
плоскости DA1C1.

2
4
47. (МИОО, 2011 ) Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный тре-
угольник ABC, AB = AC = 5, BC = 8. Высота призмы равна 3. Найдите угол между прямой
A1B и плоскостью BCC1.
arctg 3
5
6
48. (МИОО, 2011 ) Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямо-
угольник ABCD, в котором AB = 12, AD = 5. Найдите угол между плоскостью основания
призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1,
если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 13.
45◦
49. (ЕГЭ, 2011 ) В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1, стороны основания
которой равны 3, а боковые рёбра равны 4, найдите угол между прямой AB1 и плоскостью
BDD1.
arcsin 3

2
10
50. (ЕГЭ, 2011 ) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1,
точка E — середина ребра SB. Найдите угол между прямой CE и плоскостью SBD.
arctg √
2
51. (ЕГЭ, 2011 ) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1,
найдите расстояние между прямыми AA1 и BC1.

3
2
52. (ЕГЭ, 2011 ) В правильной шестиугольной призме ABCDEF A1B1C1D1E1F1, стороны ос-
нования которой равны 3, а боковые рёбра равны 4, найдите расстояние от точки C до пря-
мой D1E1.

91
2
53. (ЕГЭ, 2011 ) В правильной шестиугольной призме ABCDEF A1B1C1D1E1F1, стороны ос-
нования которой равны 4, а боковые рёбра равны 1, найдите расстояние от точки B до пря-
мой F1E1.
7
54. (ЕГЭ, 2011 ) В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1, стороны основания
которой равны 3, а боковые рёбра равны 4, найдите угол между прямыми AC и BC1.
arccos 3

2
10
55. (Репетиционный ЕГЭ, 2011 ) В правильной треугольной пирамиде сторона основания рав-
на 12. Найдите расстояние от центра основания до боковой грани, если двугранный угол при
ребре основания равен π/3.
3
56. (Репетиционный ЕГЭ, 2011 ) Длины всех рёбер правильной четырёхугольной пирамиды
P ABCD с вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью
BDP, если точка M — середина бокового ребра пирамиды AP.
arctg 1√
5
7
57. (МИОО, 2011 ) Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, у ко-
торого AB = 10, BD = 12. Высота призмы равна 6. Найдите расстояние от центра грани
A1B1C1D1 до плоскости BDC1.
24
5
58. (МИОО, 2011 ) В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедрен-
ный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной 2

10; высота призмы равна
2

5. Найдите расстояние от точки C1 до плоскости BCM, где M — середина ребра A1C1.
2
59. (МИОО, 2011 ) Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 1. Найдите расстояние от верши-
ны B до плоскости ACD1.
1√
3
60. (МИОО, 2011 ) Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Найдите расстояние от вершины A
до плоскости A1BT, где T — середина ребра AD.
1√
6
61. (МИОО, 2011 ) Дан правильный тетраэдр MABC с ребром 1. Найдите расстояние между
прямыми AL и MO, где L — середина ребра MC, O — центр грани ABC.

7
14
62. (МИОО, 2010 ) Дан куб ABCDA1B1C1D1. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние
от середины отрезка BC1 до плоскости AB1D1.
1√
3
63. (МИОО, 2010 ) В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями AB1D1 и ACD1.
arccos 1
3
64. (МИОО, 2010 ) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 известны рёбра: AB = 3√
3,
BB1 = 6. Точка M — середина ребра B1C1, а точка T — середина A1M. Найдите угол между
плоскостью BCT и прямой AT.
2 arctg 3
8
65. (МИОО, 2010 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AA1 = 3,
AD = 8, AB = 6, найдите угол между плоскостью ADD1 и прямой EF, проходящей через
середины рёбер AB и B1C1.
arctg 3
5
66. (МИОО, 2010 ) Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 8

6. Найдите расстояние от середины
ребра B1C1 до прямой MT, где точки M и T — середины рёбер CD и A1B1 соответственно.
12
8
67. (ЕГЭ, 2010 ) Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AB1C и
DCC1.

2
68. (ЕГЭ, 2010 ) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра:
AB = 6√
3, SC = 10. Точка N — середина ребра BC. Найдите угол, образованный плоскостью
основания и прямой AT, где T — середина отрезка SN.
arctg 8
15
69. (ЕГЭ, 2010 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра: AB = 8,
AD = 6, CC1 = 6. Найдите угол между плоскостями CD1B1 и AD1B1.
arccos 9
41
70. (ЕГЭ, 2010 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра: AB = 8,
AD = 6, CC1 = 5. Найдите угол между плоскостями BDD1 и AD1B1.
arctg 24
25
71. (ЕГЭ, 2010 ) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра:
AB = 8√
3, SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей
через середины рёбер AS и BC.
arctg 15
16
72. (ЕГЭ, 2010 ) В правильной шестиугольной призме ABCDEF A1B1C1D1E1F1 сторона осно-
вания равна 7, а высота равна 1. Найдите угол между прямой F1B1 и плоскостью AF1C1.
arcsin 1 √
151
73. (МИОО, 2010 ) В правильной шестиугольной призме ABCDEF A1B1C1D1E1F1, все рёбра
которой равны 1, найдите расстояние от точки C до прямой F1E1.
2
74. (МИОО, 2010 ) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания
которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите расстояние от точки C до прямой SA.

39
4
75. (МИОО, 2010 ) В тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 1, найдите расстояние от
точки A до прямой, проходящей через точку B и середину E ребра CD.

6
3
76. (Репетиционный ЕГЭ, 2010 ) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с осно-
ванием ABCD сторона основания равна 3

2, а боковое ребро равно 5. Найдите угол между
плоскостями ABC и ACM, где точка M делит ребро BS так, что BM : MS = 2 : 1.
arctg 8
3
9
77. (МИОО, 2010 ) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания рав-
на 1, а боковое ребро равно √
3/2. Найдите расстояние от точки C до прямой SA.
q2
3
78. (МИОО, 2010 ) В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки C
до прямой BD1.

6
3
79. (МИОО, 2010 ) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 2, сторона
основания равна 1. Найдите расстояние от точки B1 до прямой AC1.

95
10
80. (МИОО, 2010 ) Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 8.
Высота этой призмы равна 6. Найдите угол между прямыми CA1 и AB1.
arccos 1
25
81. (МИОО, 2010 ) В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямо-
угольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной 8

2. Высота призмы равна 6. Найдите
угол между прямыми AC1 и CB1.
arccos 9
25
82. (МИОО, 2009 ) В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треуголь-
ник ABC, у которого угол C равен 90◦
, угол A равен 30◦
, AC = 10√
3. Диагональ боковой грани
B1C составляет угол 30◦
с плоскостью AA1B1. Найдите высоту призмы.
10√
2
83. (МИОО, 2009 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 6,
BC = 6, CC1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями ACD1 и A1B1C1.
2

2
3
84. (МИОО, 2009 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4,
BC = 6, CC1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостью ABC и прямой EF, проходящей
через середины рёбер AA1 и C1D1.
1 √
10
85. (МИОО, 2009 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между
плоскостью A1BC и прямой BC1, если AA1 = 8, AB = 6, BC = 15.
arcsin 24
85
86. (МИОО, 2009 ) В правильной шестиугольной призме ABCDEF A1B1C1D1E1F1, все рёбра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
3

 


Категория: Математика | Добавил: Админ (12.03.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar