Главная » Статьи » Полезные материалы » Математика

Задачи по математике на тему "Доказательства от противного"

Доказательства от противного
Теорема 1 (принцип Дирихле). Если по n клеткам рассадить n + 1 кроликов, то найдется
клетка, в которой сидит больше одного кролика.
Теорема 2 (обобщенный принцип Дирихле). Если по n клеткам рассадить
более k · n кроликов, то найдется клетка, где сидит больше k кроликов.
1. a) В классе 35 учеников. Докажите, что среди них найдутся хотя бы двое, у
которых фамилия начинается с одной буквы.
б) При каком наименьшем количестве учеников в школе среди них обязательно
найдутся двое, у которых день и месяц рождения совпадают?
2. На 25 страницах книги 102 опечатки. Докажите, что на одной из них не менее 5
опечаток.
3. В мешке лежат 4 красных и 2 синих шара. Какое наименьшее число шаров надо
вытащить не глядя, чтобы среди них точно были такие шары:
a) 1 красный;
б) 1 синий;
в) 1 красный и 1 синий;
г) два одноцветных?
4. У человека на голове не более 1 000 000 волос, а в Москве более 8 000 000 жителей.
Докажите, что найдутся 8 москвичей с одинаковым числом волос.
5. В школе 65 девятиклассников, и все они сдают по три экзамена, за каждый из
которых можно получить оценку 2, 3, 4 или 5. Верно ли, что найдутся два
школьника, получившие одинаковые оценки за все экзамены?
6. 34 пассажира едут в автобусе, который делает 9 остановок, и на этих остановках
новые пассажиры не заходят. Докажите, что на каких-то двух остановках выйдет
одинаковое число пассажиров (может быть, ни одного).
7. За 5 лет обучения студент сдал 31 экзамен, причем на каждом курсе он сдавал
экзаменов больше, чем на предыдущем. На V курсе экзаменов было втрое больше,
чем на I курсе. А сколько экзаменов было на IV курсе?
8. Дано 7 отрезков с длинами от 1/10 до 1. Докажите, что среди этих отрезков
найдутся три, из которых можно составить треугольник.
9. Никита разрезал лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из
получившихся кусков, потом один из трех получившихся кусков, и т. д. Докажите,
что через несколько разрезаний среди полученных многоугольников найдется 100
штук с одинаковым числом вершин.

Категория: Математика | Добавил: Админ (07.02.2017)
Просмотров: 24 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
avatar