Тема №5921 Задачи по теория вероятности 154
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по теория вероятности 154 из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по теория вероятности 154, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

1.1. Из города А в город В ведут 5 дорог, а из города В в город С
‒ 7 дорог. Сколькими способами можно из города А проехать в город
С через город В?
1.2. В финале конкурса должны выступить 6 пианистов. Порядок их
выступления решили определить жребием. Сколько существует вари-
антов жеребьевки?
1.3. Код цифрового замка на портфеле содержит три набора по 10
цифр каждый (от 0 до 9). Рассеянный профессор забыл установлен-
ный им ранее код замка. Какое максимальное время придется потра-
тить ученому, чтобы открыть портфель, если на проверку каждого
кода уходит 5 секунд?
1.4. В чемпионате России по футболу приняли участие 16 команд.
Сколькими способами они могут поделить призовые места?
1.5. В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Две по-
следние по итогам сезона переходят во вторую лигу. Сколькими спо-
собами команды могут перейти во вторую лигу?
1.6. В симпозиуме приняли участие 16 ученых. При встрече они все
обменялись рукопожатиями. Сколько всего состоялось рукопожатий?
1.7. Каждый из 72 студентов первого курса, присутствующих на
лекции, поговорил по мобильному телефону с двумя своими товари-
щами, находящимися в той же аудитории. Какую сумму при этом за-
работали компании сотовой связи, если каждый разговор стоил 10
рублей? 
9
1.8. Сколькими способами из колоды в 32 карты, можно отобрать 8
карт так, чтобы среди них оказалось ровно три туза?
1.9. После окончания первого курса 23 студента призывного возрас-
та c факультета экономики и менеджмента имеют более двух акаде-
мических задолженностей и подлежат отчислению. Военкомат дол-
жен призвать на военную службу 9 человек. Сколькими способами
это можно сделать?
1.10. Полководец Суворов перед походом через Альпы решил женить
10 своих холостых солдат. В деревне, через которую шла армия, ока-
залось 15 подходящих по возрасту девушек. Сколькими способами
Суворов может осуществить задуманное?
1.11. В автомобильных номерах каждого региона России должно быть
три цифры и три буквы. Каково максимальное число номеров для ка-
ждого региона? (В номерах используются лишь те буквы, которые
имеются в латинском алфавите).
1.12. На стоянке такси стоят 9 машин. Сколькими способами их могут
занять четыре пассажира? Сколько существует способов рассадки,
если пассажиры должны сидеть в разных автомобилях?
1.13. Для игры в лотерее «Спортлото» необходимо отметить в кар-
точке 5 чисел из 36. Сколькими способами можно заполнить карточку
лотереи?
1.14. Сколько различных трехбуквенных слов можно составить из
слова «КАРАКАТИЦА»?
10
1.15. Сколькими способами можно рассадить 8 кроликов в четыре
разные клетки? Рассмотреть случаи: а) все кролики одинаковы (т.е
имеет значение лишь их количество, попавшее в каждую из клеток);
б) кролики различаются по именам.
1.16. В буфете университета продаются пирожные 4 видов: «Наполе-
он», «Эклер», «Песочное» и «Корзиночка». Студенка решила вместо
обеда купить 7 пирожных. Сколькими способами она может это сде-
лать?
1.17. Сколько нужно словарей, чтобы переводить с любого из пяти
языков на любой другой из них?
1.18. Какой коэффициент окажется перед слагаемым, содержащим
множитель
16 4 a b
, если раскрыть скобки в выражении
20 (2 ) a b 
?
1.19. В урне лежит 3 красных, 6 черных и 7 белых шаров. Сколькими
способами можно вынуть 5 шара. (Способы отличаются количеством
выбранных шаров того, или иного цвета).
1.20. Группа из 25 студентов сдает экзамен по математике. Сколько
существует исходов экзамена. (Рассмотреть задачу с точки зрения де-
каната, для которого нет различия между студентами, и с точки зре-
ния группы).
1.21. Студент решил позвать одну из своих 5 подруг на концерт и по-
слал каждой из них по письму с приглашением? Сколько вариантов
похода на концерт есть у студента?

2.1. В семье четверо детей. Совместны ли события: A ‒ в семье не ме-
нее двух сыновей; B ‒ в семье не менее двух дочерей? Образуют ли
эти события полную группу?
2.2. Монета бросается пять раз. Будут ли несовместными события:
A ‒ не менее трех раз выпал орел;
B ‒ решка выпала, по крайней мере, два раза?
Образуют ли эти события полную группу?
(3)
(1)
(2)
(6)
(4) (5)
(7)
(8)
16
2.3. Бросаются две игральные кости. Будут ли несовместными собы-
тия:
A ‒ хотя бы на одной кости выпало не более четырех очков.
B ‒ сумма выпавших очков не менее одиннадцати.
Образуют ли события полную группу?
2.4. Какие из написанных ниже утверждений верны для призвольных
событий A, B, C:
а) ABC  AB + AC + BC, б)
ABC
 A + B,
в) AB + AC + BC  A + B + C, г)
( ) A B C A BC    ,
д)
A B A B    , е)
A B C ABC    ,
ж)
AB A B   , з)
( ) A B C AC BC    .
2.5. Судно имеет одно рулевое устройство, 4 котла и 2 турбины. Со-
бытие А означает исправность рулевого устройства, Вk  исправность
k-го котла (k = 1, 2, 3, 4), событие Сi  исправность i-той турбины
(i = 1, 2). Событие D  судно управляемо  обеспечивается при ис-
правности рулевого управления, хотя бы одного из котлов и хотя бы
одной турбины. Выразить событие D через события А, Вk и Сi
.
2.6. На уборку картошки поехали 92 студента. Большинство из них
для дневного перекуса взяло с собой бутерброды, но мамы некоторых
(самых счастливых) студентов вместо бутербродов испекли им пи-
рожки с мясом. Известно, что у 47 человек были с собой бутерброды
с колбасой, у 38 – с сыром, у 42 – с ветчиной. Бутерброды и с сыром,
и с колбасой взяли 28 студентов; с колбасой и с ветчиной – 31 сту-
дент; с сыром и с ветчиной – 26 студентов. Все три вида бутербро-
17
дов взяли 25 человек. Сколько было чадолюбивых мам, которые ис-
пекли своим детям пирожки?
2.7. В группе аспирантов каждый знает хотя бы один иностранный
язык. Шестеро знают английский, шестеро – немецкий, семеро –
французский. Четыре аспиранта знают английский и немецкий языки,
трое – немецкий и французский, двое ‒ английский и французский.
Один человек знает все три языка. Сколько аспирантов в группе?
Сколько из них знают только английский язык; только французский?
2.8. Электрические цепи составлены по схемам, изображенным на
рис. 4 а), б), в), г). Событие Аk (k = 1, 2)  элемент ak исправен, собы-
тие Вi (i = 1, 2)  элемент bi исправен, событие С  исправен элемент
c. Для каждой из схем записать событие Е  по цепи проходит ток, а
также противоположное событиеE (цепь разорвана).
Рис. 4. К задаче 2.8
A2
b1
b2
b1
b2
с
a) a1 б)
a2
A1
A2
a1
a2
A1
A2
с b1
с
b1
b2
A1
A2
в) г)
a1
a2
a1
a2
18
2.9. Деканат решил проконтролировать посещение лекции по высшей
математике четырьмя нерадивыми студентами. Каждый из них на
выбранной для контроля лекции может либо присутствовать, либо не
нет. Рассматриваются события:
A  на лекции был ровно один из 4-x студентов;
B  на лекции был хотя бы один из этих студентов;
C  на лекции было не менее 2-х студентов;
D  на лекции было ровно 2 студента;
E  на лекции было ровно 3 студента;
F  на лекции были все 4 студента.
Описать события:
1) A + B; 2) AB; 3) B + C; 4) BC; 5) D + E + F; 6) BF.
Совпадают ли события BF и CF ; BC и D ?
2.10. Нефтеналивной порт имеет 5 причалов. События: A  занято
четное число причалов, В  занят хотя бы один причал. Описать со-
бытия A + B и AB.
2.11. Что представляют собой события ABС и A + B + С, если
а) A  B и A  C, б) B  C и A  B, в) B  C и A  C?
2.12. При каких условиях справедливы соотношения:
а) A + B = AB, б) A +A = A,
в) A A = A, г) (A + B) – B = A ?
2.13. Событие A состоит в том, что при сдаче экзамена по математике
хотя бы один из трех студентов получил положительную оценку. Что
представляет собой событиеA ?
19
2.14. Связь между вычислительным центром и управлением магист-
ральных трубопроводов осуществляется по трем каналам. По каждо-
му каналу может быть передан сигнал
, ( 1,2,3) A i i 
о нормальной ра-
боте или
Ai ‒ об отказе. При передаче сигнал может быть искажен,
поэтому информация считается верной только в том случае, если хотя
бы два канала передали одинаковый сигнал. Выразить события: B ‒
принят сигнал о нормальной работе объекта; C ‒ принят сигнал об
отказе.
2.15. Бросается игральная кость. Рассматриваются события: A – выпа-
ло четное число очков; B – выпало нечетное число очков; C – выпало
число очков, большее трех. Описать события: (A + B)C, AC + + B,
BC + A, (A + C)B.
2.16. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Определены собы-
тия: А – вынута дама; В – вынута карта черной масти; С – вынута да-
ма пик. Дать описание событий: (A+B)C, AC +B, BC + A, (A +C)B.
2.17. У студента в тумбочке вперемешку лежат серые и черные носки.
Утром, собираясь в темноте на первую пару, он наудачу берет два
носка. Пусть определены события: А – вынуты носки разных цветов,
В – ровно один из вынутых носков черный, С – вынуты носки одного
цвета, D ‒ оба вынутых носка серые, E ‒ хотя бы один из вынутых
носков серый, F ‒ не вынуто ни одного черного носка. Описать со-
бытия: (A + B)E, AC + F, BF ‒ D + A, A + BE, (B + F)C, (B ‒ D)
 (E ‒ F). В каких из перечисленных случаев студент сможет поехать
учиться? (В носках различного цвета на занятиях в университете по-
являться не принято).

3.1. В урне лежат 7 белых и 8 черных шаров. Вынули один шар, кото-
рый оказался белым. Затем из урны взяли еще один шар. Какова ве-
роятность, что он также белый? Решить эту же задачу при условии,
что цвет первого вынутого шара неизвестен.
3.2. Брошена игральная кость. Какова вероятность выпадения «шес-
терки»? Какова вероятность выпадения числа, большего четырех?
3.3. Из слова «НАУГАД» выбирается наугад одна буква. Какова ве-
роятность, что это буква «А»? Какова вероятность, что это гласная?
Рис.6. К примеру 4
0 2
y
2
1
x
g
G
mes( ) 1
.
mes( ) 3
g
P
G
 
26
3.4. Брошены три монеты. Какова вероятность, что выпадут два «гер-
ба»? Какова вероятность, что выпадут две «решки»? Объяснить, по-
чему полученные вероятности равны.
3.5. На 6 карточках написаны буквы А, В, К, М, О, С. Карточки нау-
дачу раскладываются в ряд. Какова вероятность, что получится слово
МОСКВА?
3.6. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад выбираются три
буквы и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероят-
ность, что получится слово «ДВА»?
3.7. Среди 25 экзаменационных билетов только 5 «хороших». Сту-
денты Иванов и Петров по очереди берут по одному билету. Найти
вероятности событий:
A – Иванов взял хороший билет;
B – Петров взял хороший билет;
C – оба студента взяли хорошие билеты.
3.8. Зимние шины автомобиля должны иметь определенное направ-
ление вращения, поэтому полный их комплект состоит из двух левых
и двух правых шин. При монтаже автолюбитель забыл об этом об-
стоятельстве и поставил колеса случайным образом. Какова вероят-
ность, что все колеса будут стоять правильно? Какова вероятность,
что только два колеса поставлены на нужную сторону автомобиля?
3.9. Среди 100 изготовленных деталей 4 имеют брак. Детали от-
правлены двум потребителям в соотношении 3:2. Какова вероятность,
что бракованные детали достанутся: 1) двум потребителям поровну;
2) только первому потребителю?
27
3.10. В ЕГЭ по математике для каждой из 10 задач раздела А нужно
было выбрать один правильный ответ из 4-х предложенных вариан-
тов. Сколькими способами можно было ответить на вопросы раздела
А? Какова вероятность ответить правильно на 9 вопросов из 10, если
ответы выбирать случайным образом?
3.11. Ваня и Маша стоят в очереди в столовую. Кроме них в очереди
еще 8 человек. Какова вероятность, что 1) Ваня и Маша стоят рядом;
2) между ними стоят три человека?
3.12. В ящике лежат 2 черных, 3 красных и 5 белых шаров. Наудачу
выбирают 4 шара. Какова вероятность, что среди них будет 1 черный
и 3 белых шара?
3.13. В ящике лежат 2 черных, 3 красных и 5 белых шаров. Наудачу
выбирают 4 шара. Какова вероятность, что среди них будет 1 черный,
2 белых и 1 красный шар?
3.14. В ящике для обуви лежат 10 разных пар ботинок. Наудачу взяты
два ботинка. Какая вероятность, что они образуют пару?
3.15. У студента в тумбочке вперемешку лежат 3 серых и 5 черных
носков. Утром, собираясь в темноте на занятия, он, не глядя, берет
два носка. Какая вероятность, что они окажутся одного цвета?
3.16. У студента в шкафу лежат 4 серых, 6 черных и 5 коричневых
носков. Он наугад берет три носка. Какая вероятность, что среди них
будет пара одного цвета?
28
3.17. В лифт семиэтажного дома вошли три человека. Каждый из них
с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со
второго. Найти вероятности событий:
A – все пассажиры выйдут на 4 этаже;
B – все пассажиры выйдут на одном и том же этаже;
C – все пассажиры выйдут на разных этажах.
3.18. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Ка-
кова вероятность, что это число будет кратно 5?
3.19. Телевизионный канал в течение каждого часа показывает четы-
ре блока рекламы по 5 минут каждый. Время показа блока назначает-
ся случайным образом. Какова вероятность, что включив телевизор,
придется смотреть рекламу? Какая вероятность, что рекламу придет-
ся смотреть не более 2 минут?
3.20. После землетрясения на участке между 40-м и 90-м километра-
ми магистрального нефтепровода произошло повреждение. Какова
вероятность, что повреждение расположено между 65-м и 70-м кило-
метрами магистрали?
3.21. В квадрат с вершинами О(0,0), А(0,1), B(1,1), С(1,0) наудачу
брошена точка M (x, y). Какова вероятность, что ее координаты удов-
летворяют условию y < 2x ?
3.22. На отрезок AB длиной 12 наудачу брошена точка M. Найти ве-
роятность, что площадь квадрата, построенного на отрезке AM, будет
заключена между значениями 36 и 81.
3.23. Монета имеет диаметр 20 мм, а толщину 2 мм. Какова вероят-
ность, что при падении она встанет на ребро?
29
3.24. Стержень длины 1 метр сломали на три части, выбирая места
разлома случайным образом. Какова вероятность, что из получив-
шихся частей можно составить треугольник?
3.25. Два танкера должны подойти на разгрузку к причалу 1 сентября,
причем прибытие каждого равновозможно в течение этих суток.
Первому танкеру на разгрузку нужен 1 час, а второму  2 часа. Како-
ва вероятность, что ни одному из танкеров не придется ждать осво-
бождения причала?
3.26. (Задача о встрече). Студент договорился встретиться со своей
подругой в вестибюле университета между тремя и четырьмя часами
дня. Первый пришедший на встречу ждет товарища 10 минут, а по-
том уходит. Какова вероятность встречи друзей, если каждый из них
может прийти в любое время в течение указанного часа?
3.27. На клавиатуру компьютера капнула капля кетчупа радиуса r см.
Найти вероятность, что она не протекла между клавишами, если кла-
виши имеют форму квадрата со стороной a см, а капля после паде-
ния не растекается.

4.1. В урне лежат 3 черных и 5 белых шаров. Из урны по очереди вы-
нимают три шара. Событие A ‒ первые два шара белые, а 3-й черный;
событие B ‒ среди вынутых шаров два белых, а один черный? Какова
вероятность этих событий? Какая из вероятностей больше и почему?
4.2. В ящике шкафа лежат 10 красных и 6 синих носков. Студент, не
глядя, вынимает из ящика два носка. Какова вероятность, что выну-
тые носки окажутся одного цвета и студент сможет поехать на заня-
тия в институт?
4.3. Решить ту же задачу, если носки лежат в двух ящиках, причем в
первом 5 белых, 11 черных и 8 красных носков, а во втором, соответ-
ственно, 10, 8 и 6. Студент один носок берет из первого ящика, а дру-
гой из второго.
4.4. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,8 , а вто-
рым стрелком – 0,6. Стрелки выстрелили одновременно. Какова веро-
ятность событий: а) только один из них попадет в цель; б) хотя бы
один из стрелков промахнулся?
4.5. В условиях задачи 4.4 стрелки делают по два выстрела. Какова
вероятность хотя бы одного попадания в цель?
4.6. Найти вероятность, что наудачу выбранное двузначное число
окажется кратным: а) 2 или 5, б) 2 и 5 ? 
38
4.7. В лабораторию для анализа поступило 7 канистр с бензином. Из
сопроводительных документов известно, что три из них содержат
бензин типа А, две – типа В и две – типа С. Наугад вскрыли три боч-
ки. Какова вероятность обнаружить в них бензин всех трех типов?
4.8. Первый пресс штампует стандартные болты с вероятностью 0,9, а
второй – с вероятностью 0,95. На первом прессе изготовили 3 болта, а
на втором – два. Какова вероятность, что все 5 болтов стандартные?
4.9. Вероятность появления неисправности в автомобиле «Лада При-
ора» в течение одного дня равна 0,05. Какова вероятность, что в ав-
томобиле не возникнет ни одной неисправности в течение трех дней?
4.10. Глубинный манометр испытывают на герметизацию. Проводят
не более 5 испытаний, при каждом из которых манометр выходит из
строя с вероятностью 0,05. После первой поломки манометр ремон-
тируется, а после второй – признается испорченным. Какова вероят-
ность, что после пяти испытаний манометр будет признан негодным?
4.11. В нефтеносном районе бурят одновременно 6 скважин. Каждая
из скважин вскрывает месторождение независимо от других с веро-
ятностью 0,1. Какова вероятность вскрытия месторождения? Изме-
нится ли эта вероятность, если работает одна буровая установка, ко-
торая прекращает бурение при вскрытии месторождения? Сколько
нужно пробурить скважин, чтобы вероятность вскрытия месторожде-
ния превысила 0,7?
4.12. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Студент Кара-
пузов может ответить на первый вопрос с вероятностью 0,9; на вто-
рой ‒ 0,6; на третий вопрос – с вероятностью 0,8. Какова вероят-
39
ность, что студент Карапузов сдаст экзамен, если для этого надо: а)
ответить на все вопросы; б) ответить хотя бы на два вопроса?
4.13. Студент успел подготовить к экзамену 20 вопросов из 25. Како-
ва вероятность, что из трех заданных вопросов студент будет знать не
менее 2?
4.14. Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероят-
ность попадания первого стрелка равна 0,6; второго – 0,7. Найти ве-
роятности событий:
A – только один стрелок попал в мишень;
B – хотя бы один из стрелков попал в мишень;
C – ни один из стрелков не попал;
D – по крайней мере один из стрелков не попал в мишень.
4.15. Электрические цепи составлены по схемам, изображенным на
рис. 8 а), б), в), г), д), е). Вероятность работоспособности элемента ak
равна pk . Элементы работают независимо друг от друга. Для каждой
из схем найти вероятность прохождения тока по цепи.
a3
a6
a3
a4
a) a1 б)
a2
A1
A2
a1
a4
a2
a5
a3
a4
a5
г)
A1
A2
a1
a2
в)
a5
a3
a4
a1
a2
40
Рис. 8. К задаче 4.15
4.16. Гардеробщица выдала номерки четырем джентльменам, сдав-
шим свои цилиндры, но затем перепутала головные уборы и повесила
их наугад. Найти вероятности событий:
A – каждый джентльмен получит свой цилиндр;
B – ровно три джентльмена получат свой цилиндр;
C – ровно два человека получат свой головной убор;
D – ровно один получит свой цилиндр;
E – никто не получит своего цилиндра.
4.17. Какое из двух событий более вероятно: событие А – при одно-
временном бросании 4 игральных костей появится хотя бы одна
«единица» или событие В – при 24 бросаниях двух костей хотя бы
один раз выпадут две «единицы»?
4.18. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого
раньше выпадет «орел». Определить вероятности выигрыша для каж-
дого игрока.
4.19. Три человека по очереди подбрасывают монету. Тот, у кого
раньше выпадет «решка», выигрывает. Какова вероятность выигрыша
каждого из игроков?
a1
a2
a3
a4 a2
a3
д) е) a1
41
4.20. Двое поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у
кого раньше выпадет «шестерка». Определить вероятности выигрыша
для первого и для второго игроков.
4.21. Вероятность получения студентом Н.Ч. положительной оценки
на экзамене равна 0,2. Сколько пересдач потребуется студенту Н.Ч.
для того, чтобы сдать экзамен с вероятностью, большей 0,8?
4.22. Студент может сдать экзамен по математике с вероятностью 0,5.
Если он воспользуется шпаргалкой, то его шансы повысятся до 0,7.
Однако с вероятностью 0,3 шпаргалка будет обнаружена, и студента с
экзамена удалят. Звонок другу повысит вероятность сдачи до 0,8. Од-
нако в этом случае с вероятностью 0,25 он будет застигнут за этим
неблаговидным занятием, а на пересдаче его шансы понизятся в два
раза. Как лучше поступить студенту?
4.23. В целях экономии государственных средств Иван-царевич ре-
шил, что он должен жениться на девушке, день рождения которой
совпадает с его днем рождения. Сколько девушек ему придется опро-
сить, чтобы среди них оказалась хотя бы одна потенциальная невеста
с вероятностью не менее 0,5? 
5.1. Имеются два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 бе-
лых и 1 черный шар, во втором – 1 белый и 4 черных. Наудачу выби-
рают ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность, что выну-
тый шар окажется белым?
5.2. Приборы зафиксировали утечку газа на участке газопровода, 40%
которого расположено под землей и 60% – под водой. Вероятность в
течение суток обнаружить утечку на подземном участке равна 0,7, а
на подводном – 0,8. Какова вероятность, что утечка газа будет обна-
ружена не позже, чем через сутки?
5.3. В воскресенье рано утром Петя решил пригласить одну из своих
подруг покататься на лыжах. Маша и Вера согласятся на раннюю
прогулку с вероятностью 0,1, а Лена – с вероятностью 0,05. Петя слу-
чайным образом набрал номер одной из трех своих подруг, и получил
резкий отказ. Какова вероятность, что он позвонил Лене?
5.4. В семье три дочери – Маша, Люба и Наташа – договорились, что
каждый вечер одна из них будет мыть посуду. Старшая дочь, Маша, 
48
моет посуду 3 раза в неделю, а остальные девочки – по два раза. Ве-
роятность, что Маша разобьет тарелку, равна 0,02. Для Любы и На-
таши эти вероятности соответственно равны 0,03 и 0,04. Родители не
знают, кто мыл посуду вечером, но услышали звон разбитой тарелки.
Помогите родителям выяснить, какая из дочерей с наибольшей веро-
ятностью мыла посуду в тот вечер.
5.5. Два завода поставляют трубы для скважин. Завод А поставляет
30% общего количества труб, и из них 95% стандартных. Завод В по-
ставляет 70% труб, а стандартных среди них 90%. Взятая наудачу
труба оказалась нестандартной. Какова вероятность, что она изготов-
лена на заводе А?
5.6. Участок нефтепровода состоит из линейной части и резервуарно-
го парка. Каждая из составляющих необходима для работы всего уча-
стка. Вероятность безотказной работы в течение времени T линейной
части равна 0,9, а резервуарного парка – 0,8. Отказы в двух состав-
ляющих участка: а) несовместны; б) независимы. Произошла авария.
Какова вероятность, что она возникла только из-за неисправности
линейной части?
5.7. Из 20 студентов, сдающих экзамен, 8 подготовлены отлично
(знают все 40 вопросов), 6 – хорошо (знают 35 вопросов из 40), 4 –
средне (знают 25 вопросов) и 2 – плохо (10 вопросов). Вызванный
наугад студент ответил на все три вопроса билета. Найти вероят-
ность, что он подготовлен: а) хорошо, б) плохо.
5.8. Из 18-ти стрелков пятеро попадают в мишень с вероятностью 0,8;
семеро – с вероятностью 0,7; четверо – с вероятностью 0,6 и двое – с 
49
вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок не попал в мишень. К
какой группе вероятнее всего принадлежит этот стрелок?
5.9. Страховая компания разделяет водителей по трем классам: класс
Н1 – низкого риска, класс Н2 – среднего риска, класс Н3 – высокого
риска. 30% водителей попадает в первый класс, 50% – во второй
класс и 20% – в третий класс. Вероятность в течение года попасть в
аварию для водителя класса Н1 равна 0,01; для водителя класса Н2
равна 0,02, а для водителя класса Н3 равна 0,08. Водитель Иванов в
течение года попал в аварию. Какова вероятность, что он относится к
классу Н1; к классу Н2; к классу Н3?
5.10. В одной урне лежат 5 белых и 3 черных шара, в другой – 2 бе-
лых и 7 черных. Из 1-й урны наудачу переложили один шар во 2-ую
урну, после перемешивания из 2-ой урны также наудачу вынули один
шар. Какова вероятность, что вынут белый шар? Если известно, что
из 2-й урны вынут белый шар, то какова вероятность, что: а) из 1-ой
урны во 2-ую был переложен белый шар; б) вынутый белый шар пер-
воначально лежал в 1-ой урне?
5.11. У людей бывают четыре группы крови. При переливании крови
больному необходимо учитывать совместимость по этому параметру.
Человеку с IV-й группой можно перелить кровь донора любой груп-
пы; больным с III-й или II-й группой можно переливать либо кровь
той же группы, либо I-й группы. А человеку с группой I подойдет
лишь кровь той же группы. 40% населения страны имеют I группу, II
и III группы имеют по 25% населения, а 10% людей имеют IV группу.
Найти вероятность, что: а) случайно взятому больному можно пере-
50
лить кровь одного случайно взятого донора; б) случайно взятому
больному можно провести переливание крови, если имеются два слу-
чайных донора.
5.12. На экзамен пришли 16 успевающих студента и 8 двоечников.
Двоечник в среднем использует шпаргалку в 80% случаев, а успе-
вающий студент только в 40%. После экзамена преподаватель нашел
в аудитории шпаргалку. Какова вероятность, что ее уронил двоечник?
5.13. Один стрелок поражает цель с вероятностью 0,8, другой – с ве-
роятностью 0,6 и третий – с вероятностью 0,5. После залпа всех трех
стрелков в мишени оказалось 2 пробоины. Какова вероятность, что
промахнулся третий стрелок?
5.14. В условиях предыдущей задачи после залпа трех стрелков в
мишени оказалась только одна пробоина. Какова вероятность, что
промахнулись 1-й и 3-й стрелки?
5.15. Студент во время экзамена для решения сложной задачи решил
воспользоваться мобильным телефоном, в котором записаны номера
десяти его друзей. Пятеро адресатов могут решить задачу с вероятно-
стью 0,3, четверо с вероятностью 0,5 и лишь один (обучающийся по
специальности «прикладная математика») с вероятностью 1. Первый
же звонок другу позволил студенту правильно решить задачу. Какова
вероятность, что он дозвонился до друга-математика?
5.16. 20% проблем с загрузкой компьютера связаны с ошибками, до-
пущенными компанией Microsoft, и в одном случае из пятидесяти при
этом приходится заново переустанавливать систему. 35% проблем
связаны с наличием вируса (переустановка требуется в одном случае 
51
из 20). В остальных случаях проблемы возникают из-за действий
пользователя, и переустановка требуется в одном случае из 30. Ваш
компьютер вышел из строя. Какова вероятность, что в этом виновата
компания Microsoft, и Билл Гейтс принесет вам свои извинения?
5.17. В первой урне лежат 3 белых и 8 черных шаров, во второй – 4
белых и 5 черных. Из первой урны наудачу переложили два шара во
вторую урну, после чего из второй урны наудачу достают один шар, и
он оказывается белым.
1) Какова вероятность, что из первой урны во вторую переложили
два белых шара?
2) Какова вероятность, что вынутый из второй урны шар первона-
чально находился в первой урне?
5.18. Из двух монет одна имеет брак, и поэтому вероятность выпаде-
ния орла для нее равна 0,6. Наудачу взятая монета была подброшена
два раза, и каждый раз выпадал орел. Какова вероятность, что была
взята бракованная монета?
5.19. Решить задачу 5.18, если известно, что монета подбрасывалась:
а) три раза; б) n раз.
5.20. В первой корзине лежат 4 белых и 2 подосиновика, во второй –
1 белый и 3 подосиновика. Ребенок переложил из первой корзины во
вторую два гриба, после чего из второй наудачу достал два гриба,
оказавшихся белыми. Какова вероятность, что при этом же условии
из первой урны во вторую переложили белый и подосиновик; два по-
досиновика? 
52
5.21. В первой урне лежат 9 белых и 1 черных шаров, во второй – 2
белых и 7 черных, в третьей, соответственно, 6 и 3. Из первой урны
наудачу переложили один шар во вторую, а после перемешивания из
второй урны переложили один шар в третью. Из третьей урны науда-
чу достали один шар, оказавшийся белым. Какова вероятность, что
при этом из первой урны во вторую переложили белый, а из второй в
третью – черный шар? Какова вероятность, что вынутый шар перво-
начально находился в первой урне; во второй?
5.22. Имеются три партии деталей по 20 штук в каждой. Число стан-
дартных деталей в 1-й, 2-й и 3-й партиях равно соответственно 20, 15
и 10. Из наудачу выбранной партии извлечена деталь, оказавшаяся
стандартной. Деталь возвратили в ту же партию и после перемешива-
ния вторично извлекли из нее еще одну деталь, которая тоже оказа-
лась стандартной. Найти вероятность того, что детали извлекались из
третьей партии.
5.23. Экзаменатор решил помочь нерадивому студенту сдать экзамен
по теории вероятностей. Вместе с двумя обычными билетами, ответы
на которые студент не знает, он заготовил еще два билета с таблицей
умножения на 2. Студент должен любым способом распределить эти
4 билета по двум кучкам. После чего, преподаватель наугад выбирает
одну кучку, из нее случайным образом вынимает один билет и дает
студенту. Как студент должен распределить билеты по кучкам, чтобы
вероятность сдать экзамен была для него максимальной (таблицу ум-
ножения на 2 он знает)?
53
5.24. Из двух близнецов первым на свет появился мальчик. Какова
вероятность, что следующим тоже появится мальчик, если среди всех
близнецов вероятность рождения двух мальчиков и двух девочек со-
ответственно равна p и q, а для разнополых близнецов вероятность
рождения первым мальчика или девочки одинакова?
5.25. На шоссе одна за другой расположены две автозаправочные
станции: сначала компании «ВР», а затем – компании «Лукойл». 60%
всех проезжающих шоферов принимают решение воспользоваться
заправкой «ВР». При этом вероятность, что им это удастся сделать,
равна 80% (остальные из-за большой очереди или отсутствия требуе-
мого сорта бензина едут дальше). 15% из проехавших мимо автоза-
правочной станции «ВР» и 80% из тех, кому не удалось заправить на
ней автомобиль, останавливаются затем на станции «Лукойл». Веро-
ятность заправить автомобиль на АЗС «Лукойл» равна 85%. Останов-
ленный инспектором ГАИ после двух автозаправочных станций ав-
томобиль оказался заправленным. Какова вероятность, что его владе-
лец воспользовался услугами «ВР»?
5.26. У студента Вовы мобильный телефон звонит в среднем 5 раз в
час. Декан вызвал студента с объяснениями по поводу академической
неуспеваемости и в течение 6 минут проводит с ним разъяснитель-
ную беседу. Если мобильный телефон студента Вовы за это время не
зазвонит, то декан примет решение об отчислении студента с вероят-
ностью 0,2, а если зазвонит, то с вероятностью 0,4. Какова вероят-
ность, что после разговора с деканом студент будет отчислен?
54
5.27. В передаче «Поле чудес» игроку показывают три шкатулки, в
одной из которых лежит приз. Игрок указывает на одну из шкатулок,
после чего Якубович открывает одну из оставшихся, оказавшуюся
пустой. Что лучше для игрока: сохранить прежний выбор, или вы-
брать третью шкатулку?
5.28. Трое царских сыновей выпустили по одной стреле из лука. Для
Бориса-царевича вероятность попасть стрелой в пруд с Царевной-
лягушкой равна 0,2, а в обычный пруд 0,6. Для Василия-царевича эти
вероятности, соответственно, равны 0,4 и 0,3. Для Ивана-царевича
эти вероятности равны 0,8 и 0,1. После испытания одна из стрел ока-
залась в пруду с Царевной-лягушкой. Какова вероятность, что это
была стрела Ивана-царевича?

 

 

 

 

 


Категория: Математика | Добавил: Админ (05.04.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar