Задача №4935

Задания B15 по информатике с решением

Поиск задачи:

Здесь представлено решение задачи по информатике. Если у вас возникли сложности в решении то вы можете воспользоваться ответами которые размещены на данной странице. Вы конечно можете не согласиться с ответами, но данная информация размещена с целью ознакомления. Списывать с ответов или решать самому выбирать вам. Данная задача по теме B15
Решение задачи:

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Условие задачи:

B15 Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выраж ение
(K → M) ∨ (L ∧ K) ∨ ¬N
ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в
указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.
Пояснение.
Логическое "ИЛИ" ложно тогда и только тогда, когда ложны оба утверждения.
(K → M) = 0, (L ∧ K) ∨ ¬N = 0.
Применим преобразование импликации для первого выраж ения:
¬K ∨ M = 0 => K = 1, M = 0.
Рассмотрим второе выраж ение:
(L ∧ K) ∨ ¬N = 0 (см. результат первого выраж ения) => L ∨ ¬N = 0 => L = 0, N = 1.
О т в е т : 1001
B15 Сколько различных решений имеет уравнение
(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0
где X, Y, Z, P – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы
значений, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать
только количество таких наборов.
Пояснение.
Применим преобразование импликации:
(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0 =>
¬(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;
(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;
Логическое ИЛИ ложно только в одном случае: когда оба выраж ения ложны.
Следовательно,
(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.
¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>
¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; Y = 1.
Следовательно, существует только одно решение уравнения.
О т в е т : 1
B15 Сколько различных решений имеет уравнение
((A → B)∧ C) ∨ (D ∧ ¬D)= 1,
где A, B, C, D – логические переменные?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений A, B, C, D, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов.
Пояснение.
Логическое "ИЛИ" истинно , когда истинно хотя бы одно из утверждений.
(D ∧ ¬D)= 0 при любых D.
Следовательно,
(A → B)∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, что дает нам 3 варианта решений при каждом
D.
(D ∧ ¬ D)= 0 при любых D, что дает нам два варианта решений (при D = 1, D = 0).
Следовательно: всего решений 2*3 = 6.
Итого 6 решений.
О т в е т : 6

B15 Укажите значения логических переменных Р, Q, S, Т, при которых логическое выраж ение
(Р ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ Т)) ложно.
Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных Р, Q, S, T (в указанном
порядке).
Пояснение.
Логическое "ИЛИ" ложно тогда и только тогда, когда ложны оба утверждения.
(1) (Р ∨ ¬Q) = 0
(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0
(1) (Р ∨ ¬Q) = 0 => P = 0, Q = 1.
(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 Применим преобразование импликации:
¬Q ∨ S ∨ Т = 0 => S = 0, T = 0.
О т в е т : 0100
B15 Сколько различных решений имеет уравнение
(K ∧ L) ∨ (M ∧ N) = 1
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы
значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно
указать только количество таких наборов.
Пояснение.
Выраж ение истинно в трех случаях, когда (K ∧ L) и (M ∧ N) равны соответственно 01, 11, 10.
1) "01" K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N равны 1, а K и L любые, кроме как одновременно 1.
Следовательно 3 решения.
2) "11" K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 решение.
3) "10" K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 решения.
О т в е т : 7
B15 Сколько различных решений имеет уравнение
(K ∨ L) ∧ (M ∨ N) = 1
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы
значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно
указать только количество таких наборов.
Пояснение.
Логическое И истинно только в одном случае: когда все выраж ения истинны.
K ∨ L = 1, M ∨ N = 1.
Каждое из уравнений дает по 3 решения.
Рассмотрим уравнение А ∧ В = 1 если и А и В принимают истинные значения в трех случаях
каждое, то в целом уравнение имеет 9 решений.
Следовательно ответ 9.
О т в е т : 9
B15 A, B и С — целые числа, для которых истинно высказывание
¬ (А = B) ∧ ((A > B)→(B > C)) ∧ ((B > A)→(С > B)).
Чему равно В, если A = 45 и C = 43?
Пояснение.
Обратим внимание, что это сложное высказывание состоит из трех простых
1) ¬(А = B); (A > B)→(B > C); (B > A)→(С > B)
2) эти простые высказывания связаны операцией ∧ (И, конъюнкция), то есть, они должны

выполняться одновременно
3) из ¬(А = B)=1 сразу следует, что А B
4) предположим, что A > B, тогда из второго условия получаем 1→(B > C)=1; это выраж ение
мож ет быть истинно тогда и только тогда, когда B > C = 1
5) поэтому имеем A > B > C, этому условию соответствует только число 44
6) на всякий случай проверим и вариант A < B, тогда из второго условия получаем
0 →(B > C)=1;
это выраж ение истинно при любом B; теперь смотрим третье условие получаем
1→(С > B)=1;
это выраж ение мож ет быть истинно тогда и только тогда, когда C > B, и тут мы получили
противоречие, потому что нет такого числа B, для которого C > B > A.
О т в е т : 44
B15 Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выраж ение
(K → M) ∧ (K → ¬M) ∧ (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N))
истинно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в
указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.
Пояснение.
Логическое "И" истинно тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения.
1) (K → M) = 1 Применим преобразование импликации: ¬K ∨ M = 1
2) (K → ¬M) = 1 Применим преобразование импликации: ¬K ∨ ¬M = 1
Отсюда следует, что K = 0.
3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 Применим преобразование импликации: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 из того
что K = 0 получаем:
M ∧ ¬L ∧ N = 1 => M = 1, L = 0, N = 1.
О т в е т : 0011
B15 Сколько различных решений имеет уравнение
(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы
значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно
указать только количество таких наборов.
Пояснение.
Применим отрицание к обеим частям уравнения:
(K ∧ L ∧ M) ∨ (¬L ∧ M ∧ N) = 1
Логическое ИЛИ истинно в трех случаях.
Вариант 1.
K ∧ L ∧ M = 1, тогда K, L, M = 1, а ¬L ∧ M ∧ N = 0. N любое, то есть 2 решения.
Вариант 2.
¬L ∧ M ∧ N = 1, тогда N, M = 1; L = 0, K любое, то есть 2 решения.
Следовательно, ответ 4.
О т в е т : 4

B15 Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5,
y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1
x1 → y1 = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1,
y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно
указать количество таких наборов.
Пояснение.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта - x1=1, y1=1; x1=0,
y1=1; x1=0, y1=0.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна
только в случае, если из истинного следует ложное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5}. Так как из переменной с более
низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого
ряда приравнять 1, то все следующие должны такж е быть равны 1. Для уравнения (2) существует
то ж е самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x (или y) в порядке возрастания
их номеров, справа будут единицы, а слева — нули.
4) Рассмотрим вариант x1=1, y1=1. Так как первые числа каждого ряда равны 1, то все
следующие тож е равны 1. Существует только одна комбинация для этого варианта.
5) Рассмотрим вариант x1=0, y1=1. Для y-ряда все переменные равны 1, для x ж е существует 5
комбинаций, так как в ряде x мож ет быть от 1 до 5 нолей включительно.
6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущему. Там существует всего 25
комбинаций.
Правильный ответ: 25+5+1=31 комбинация.
О т в е т : 31
B15 Каково наибольшее целое положительное число X, при котором ложно высказывание:
(X•(X + 1)> 55) → (X•X > 50)
Пояснение.
Импликация ложна только тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно.
(X•(X + 1)> 55); X•X < 50.
Для решения первого неравенства необходимо решить квадратное уравнение:
X
2
 + X - 55 = 0 его корни примерно равны: 6.9 и -7.9. Воспользовавшись методом интервалов,
выясняем, что нам подходят все целые числа, большие 6.9.
Из X•X < 50 следует, что Х < 7,1 (приблизительно).
Х долж ен удовлетворять и тому и тому неравенству, следовательно, ответ 7.
О т в е т : 7
B15 Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5,
x6, x7, x8 которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1≡x2)—>(x2≡x3) = 1
(x2≡x3)—>(x3≡x4) = 1
...
(x6≡x7)—>(x7≡x8) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5,
x6, x7, x8 при которых выполнена данная система равенств.
В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Пояснение.

Применим преобразование импликации:
¬(x1≡x2)∨(x2≡x3) = 1
¬(x2≡x3)∨(x3≡x4) = 1
...
¬(x6≡x7)∨(x7≡x8) = 1
Рассмотрим первое уравнение.
¬(x1≡x2)∨(x2≡x3) = 1
Логическое "ИЛИ" истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из выраж ений. Эквивалентность
истинна тогда, когда обе переменные имеют одно и то ж е значение.
Проверим, в каких случаях уравнение ЛОЖНО.
Это будет тогда, ко гда x1 ≡ x2, а x3 не равно этому значению, то есть в двух случаях: (x1,x2,x3)=
(1,1,0) и (x1,x2,x3)=(0,0,1).
Заметим, что логическое уравнение с тремя переменными мож ет иметь не более 23
 = 8 решений.
Следовательно, наше уравнение имеет 8 − 2 = 6 решений.
Рассмотрим второе уравнение.
¬(x2≡x3)∨(x3≡x4) = 1
Из шести решений первого уравнения в четырех ¬(x2≡x3) = 0 и в двух ¬(x2≡x3) = 1.
Для тех решений, в которых ¬(x2≡x3) = 0 во втором уравнении не остается свободных
переменных: требуется, чтобы (x3≡x4) = 1, а переменная х3 фиксирована.
Для тех решений, в которых ¬(x2≡x3) = 1 во втором уравнении остается одна свободная
переменная — х4.
В таком случае (x2≡x3)∨(x3≡x4) = 1. (вывод1)
Таким образом, система из двух уравнений имеет [4·1] + [2·2] = 4 + 4 = 8 решений.
Рассмотрим третье уравнение.
¬(x3≡x4)∨(x4≡x5) = 1
Из (вывод 1) следует, что ¬(x3≡x4) = 0. Переменная x4 фиксирована, следовательно, х5 тож е
фиксирована.
Для тех решений, в которых ¬(x3≡x4) = 1 во втором третьем уравнении остается одна свободная
переменная — х5.
Таким образом, система из трех уравнений имеет [4·1·1] + [2·2]·2 = 4 + 8 = 12 решений.
Исходная система состоит из шести уравнений.
Продолжим рассуждения аналогично, приходим к выводу, что для системы из 4-х уравнений будет
4 + 16 = 20 решений.
Для системы из пяти уравнений 36 решений. Для системы из шести уравнений 68 решения.
Следовательно, ответ 68.
О т в е т : 68
B15 Составьте таблицу истинности для логической функции
X = (А ↔ B) ∨ ¬(A → (B ∨ C))
в которой столбец значений аргумента А представляет собой двоичную запись числа 27, столбец
значений аргумента В — числа 77, столбец значений аргумента С — числа 120. Число в столбце
записывается сверху вниз от старшего разряда к младшему. Переведите полученную двоичную
запись значений функции X в десятичную систему счисления.
Пояснение.
Запишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

1) это выраж ение с тремя переменными, поэтому в таблице истинности будет строчек;
следовательно, двоичная запись чисел, по которым строятся столбцы таблицы А, В и С, должна
состоять из 8 цифр
2) переведем числа 27, 77 и 120 в двоичную систему, сразу дополняя запись до 8 знаков нулями в
начале чисел
3) вряд ли вы смож ете сразу написать значения функции Х для каждой комбинации, поэтому
удобно добавить в таблицу дополнительные столбцы для расчета промеж уточных результатов
(см. таблицу ниж е)
А В С X
0 0 0
0 1 1
0 0 1
1 0 1
1 1 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
4) заполняем столбцы таблицы:
А В С X
0 0 0 1 0 1 0 1
0 1 1 0 1 1 0 0
0 0 1 1 1 1 0 1
1 0 1 0 1 1 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1
0 1 0 0 1 1 0 0
1 0 0 0 0 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
значение равно 1 только в тех строчках, где А = В
значение равно 1 в тех строчках, где либо В либо С = 1
значение равно 0 только в тех строчках, где А = 1 и В + С = 0
значение — это инверсия предыдущего столбца (0 заменяется на 1, а 1 – на 0)
результат Х (последний столбец) — это логическая сумма двух столбцов, выделенных фиолетовым
фоном

5) чтобы получить ответ, выписываем биты из столбца Х сверху вниз:
6) переводим это число в десятичную систему:
О т в е т : 171
B15 A, B и С – целые числа, для которых истинно высказывание
¬(А = B) ∧ ((B < A)→(2C > A)) ∧ ((A < B)→(A > 2C))
Чему равно A, если C = 8 и B = 18?.
Пояснение.
Логическое "И" истинно тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения.
1) ¬(А = B) = 1, то есть А ≠ 18 = 1.
2) ((B < A)→(2C > A)) Применим преобразование импликации: (18 > A) ∨ (16 > A) = 1
3) (A < B)→(A > 2C) Применим преобразование импликации: (A > 18) ∨ (A > 16) = 1
Из 2) и 3) следует, что (18 > A) и (A > 16), так как в противном случае возникает противоречие А
= 17.
О т в е т : 17
B15 Известно, что для чисел X, Y и Z истинно высказывание (Z < X ∨ Z < Y) ∧ ¬(Z+1 < X) ∧ ¬(Z+1 <
Y).
Чему равно Z, если X=25 и Y=48?
Пояснение.
Выполнив подстановку чисел получаем что Z = 47.
Обратим внимание, что это сложное высказывание состоит из трех простых
1) (Z < X ∨ Z < Y); ¬(Z+1 < X); ¬(Z+1 < Y)
2) эти простые высказывания связаны операцией ∧ (И, конъюнкция), то есть, они должны
выполняться одновременно
3) из ¬(Z+1 < X) = 1 сразу следует, что Z > 24, а из ¬(Z+1 < Y), что Z > 47
4) из (Z < X ∨ Z < Y) получаем два варианта:
Z < 25 либо Z < 47.
Z < 25 не подходит, в силу пункта 3, следовательно ответ 47.
О т в е т : 47
B15 Сколько различных решений имеет уравнение
(X ∨ Y ∨ Z) → (X ∧ P) = 1
где X, Y, Z, P – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы
значений, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать
только количество таких наборов.
Пояснение.
Применим преобразование импликации:
(X ∨ Y ∨ Z) → (X ∧ P) = 1;
¬(X ∨ Y ∨ Z) ∨ (X ∧ P) = 1;
(¬X ∧ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (X ∧ P) = 1; (1)
Логическое "ИЛИ" ложно , когда ложны оба утверждения.
Логическое "И" истинно только тогда, когда истинны оба утверждения.
Вариант 1.
(¬X ∧ ¬Y ∧ ¬Z) = 1 тогда X = 0, Y = 0, Z = 0.
Тогда из (1) следует, что P мож ет быть как 1, так и 0, то есть 2 набора решений.

Вариант 2.
(¬X ∧ ¬Y ∧ ¬Z) = 0, (X ∧ P) = 1.
Тогда P = 1, X = 1.
(0 ∧ ¬Y ∧ ¬Z) = 0 => есть 4 решения.
В итоге 6 решений.
О т в е т : 6
B15 Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5,
y1, у2, уЗ, у4, у5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 → х2) ∧ (х2 → хЗ) ∧ (хЗ → х4) ∧ (х4 → х5 ) = 1
(y1 → y2) ∧ (у2 → уЗ) ∧ (уЗ → у4) ∧ (у4 → у5 ) = 1
x1 ∨ y1 = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, y1,
у2, уЗ, у4, у5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно
указать количество таких наборов.
Пояснение.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта - x1=1, y1=1; x1=0,
y1=1; x1=1, y1=0.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна
только в случае, если из истинного следует ложное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5}. Так как из переменной с более
низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого
ряда приравнять 1, то все следующие должны такж е быть равны 1. Для уравнения (2) существует
то ж е самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x (или y) в порядке возрастания
их номеров, справа будут нули, а слева - единицы.
4) Рассмотрим вариант x1=1, y1=1. Так как первые числа каждого ряда равны 1, то все
следующие тож е равны 1. Существует только одна комбинация для этого варианта.
5) Рассмотрим вариант x1=0, y1=1. Для y-ряда все переменные равны 1, для x ж е существует 5
комбинаций, так как в ряде x мож ет быть от 1 до 5 нолей включительно.
6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущему. Там существует всего 5 комбинаций.
Правильный ответ: 5+5+1=11 комбинаций.
О т в е т : 11
B15 Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5,
y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1
x5 → y5 = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1,
y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно
указать количество таких наборов.
Пояснение.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта: x5=1, y5=1; x5=0,
y5=0; x5=0, y5=1.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна
только в случае, если из истинного следует ложное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5}. Так как из переменной с более
низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого
ряда приравнять 1, то все следующие должны такж е быть равны 1. Для уравнения (2) существует
то ж е самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x в порядке возрастания их
номеров, справа будут нули, а слева — единицы, в y — так ж е.
4) Рассмотрим вариант x5=1, y5=1. Тогда остальные переменные могут принимать любые
значения: всего таких комбинаций 25.
5) Рассмотрим вариант х5=0, у5=0. Тогда все переменные равны 0, следовательно, 1 комбинация.
6) Рассмотрим вариант х5=0, у5=1. Тогда все переменные х равны 0, а переменные у могут

принимать любые значения. Всего таких комбинаций 5.
Ответ: 31.
О т в е т : 31
B15 Сколько существует целых значений X, при которых ложно высказывание:
(|X| ≥ 5) ∨ (|X| < 1)
Пояснение.
Логическое ИЛИ ложно только в одном случае: когда оба выраж ения ложны.
|X| ≥ 5 = 0 и |X| < 1 = 0.
Решение первого неравенства: интервал [-∞;-5] и [5;+∞]
Второго: (-1;1).
Нам нужно чтобы они оба были ложны, следовательно считаем количество целых значений X на
интервалах [-5;-1] и [1;5].
Таких чисел 10.
Учтем, что числа 5 и −5 обращают исходное выраж ение в верное равенство. Следовательно,
ответ 8.
О т в е т : 8
B15 A, B и С – целые числа, для которых истинно высказывание
¬(А = B) ∧ ((A > B) → (C = B)) ∧ ((B > A) → (C = A))
Чему равно B, если A = 45 и C = 18?
Пояснение.
Логическое "И" истинно только тогда, когда истинны все высказывания.
Следовательно,
¬(А = B) = 1, (A > B)→(C = B) = 1, (B > A)→(C = A) = 1.
Из первого выясняем, что А ≠ B.
Применим преобразование импликации ко второму и третьему:
¬(A > B) ∨ (C = B) = 1, ¬(B > A) ∨ (C = A) = 1.
Обратим внимание на третье высказывание: (C = A) = 0, так как 45 ≠ 18. Следовательно, чтобы
оно было истинным необходимо, чтобы ¬(B > A) = 1, то есть чтобы число B было не больше A.
Теперь рассмотрим ¬(A > B) ∨ (C = B) = 1. Возможны два случая:
1) ¬(A > B) = 1. Это что означает, что число А не больше В. Вместе с предыдущим это означает,
что А = В = 40. Однако это противоречит тому, что А ≠ B.
2) (C = B) = 1, откуда В = 18.
О т в е т : 18
B15 Сколько существует целых значений X, при которых истинно высказывание:
¬(|X| > 5) ∧ (|X| > 1) ∧ (|X| > 10)
Пояснение.
Логическое "И" истинно, когда истинны все утверждения.
¬ (|X| > 5) = (|X| < 5) решение неравенства: (-5;5).
|X| > 1 решение неравенства: (-∞;-1) и (1;+∞).
|X| > 10 решение неравенства: (-∞;-10) и (10;+∞).
Найдем пересечение всех интервалов и посчитаем количество целых значений X.

Их будет 0.
О т в е т : 0
B15 Сколько различных решений имеет уравнение
((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0
где K, L, M, N – логические переменные? В Ответе не нужно перечислять все различные наборы
значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве Ответа Вам нужно
указать количество таких наборов.
Пояснение.
перепишем уравнение, используя более простые обозначения операций:
((K + L) → (L · M · N)) = 0
1) из таблицы истинности операции «импликация» (см. первую задачу) следует, что это
равенство верно тогда и только тогда, когда одновременно
K + L = 1 и L · M · N = 0
2) из первого уравнения следует, что хотя бы одна из переменных, K или L, равна 1 (или обе
вместе); поэтому рассмотрим три случая
3) если K = 1 и L = 0, то второе равенство выполняется при любых М и N; поскольку существует 4
комбинации двух логических переменных (00, 01, 10 и 11), имеем 4 разных решения
4) если K = 1 и L = 1, то второе равенство выполняется при М · N = 0; существует 3 таких
комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения
5) если K = 0, то обязательно L = 1 (из первого уравнения); при этом второе равенство
выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения
6) всего получаем 4 + 3 + 3 = 10 решений.
Ответ: 10
О т в е т : 10
B15 Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание
(50 < X·X) → (50 > (X+1)·(X+1))
Пояснение.
Это операция импликации между двумя отношениями и и
1) попробуем сначала решить неравенства
,
2) вспомним таблицу истинности операции «импликация»:
A B A → B
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
согласно таблице, заданное выраж ение истинно везде, кроме областей, где и ,
поэтому наибольшее целое число, удовлетворяющее условию – это первое целое число,
меньшее , то есть, 7 (для лучшего понимания полезно рисовать числовые оси).
О т в е т : 7

B15 Сколько различных решений имеет уравнение J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, где J, K, L, M,
N — логические переменные?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Пояснение.
Выраж ение (N ∨ ¬N) истинно при любом N, поэтому
J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.
Применим отрицание к обеим частям логического уравнения и используем закон де Моргана
¬ (А ∧ В) = ¬ А ∨ ¬ В . Получим
¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1.
Логическая сумма равна 1, если хотя бы одно из составляющих ее высказываний равно 1. Поэтому
полученному уравнению удовлетворяют любые комбинации логических переменных кроме
случая, когда все входящие в уравнение величины равны 0. Каждая из 4 переменных мож ет быть
равна либо 1, либо 0, поэтому всевозможных комбинаций 2·2·2·2 = 16. Следовательно, уравнение
имеет 16 −1 = 15 решений.
Осталось заметить, что найденные 15 решений соответствуют любому из двух возможных
значений значений логической переменной N, поэтому исходное уравнение имеет 30 решений.
О т в е т : 30
B15 колько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, хб,
х7, х8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 —> х2) —> (хЗ—> х4) = 1
(хЗ —> х4) —> (х5 —> хб) = 1
(х5 —> хб) —> (х7 —> х8) = 1
(х7 —> х8) —> (х9 —> х10) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, хб,
х7, х8, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать
количество таких наборов.
Пояснение.
Сделаем замену переменных:
(x1 —> х2) = y1; (хЗ—> х4) = y2; (х5 —> хб) = y3; (х7 —> х8) = y4; (х9 —> х10) = y5.
Тогда можно записать систему в виде одного уравнения.
(y1 —> y2) ∧ (y2 —> y3) ∧ (y3 —> y4) ∧ (y4 —> y5) = 1.
Для того, чтобы это равенство было выполнено, ни одна из импликаций не должна быть ложной
Вот все возможные варианты значений "y"(ключевым является тот факт, что переменные y
независимы):
y1 y2 y3 y4 y5
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 1 1 1 1
Импликация x1 —> х2 дает "0" при одном наборе переменных и "1" при трех наборах
переменных.
Поскольку каждая из переменных "y" независима от другой, для каждой строки полученной
таблицы перемножаем количество вариантов комбинаций исходных переменных:
y1 y2 y3 y4 y5 вариантов
0 0 0 0 0 1·1·1·1·1 = 1
0 0 0 0 1 1·1·1·1·3 = 3

0 0 0 1 1 1·1·1·3·3 = 9
0 0 1 1 1 1·1·3·3·3 = 27
0 1 1 1 1 1·3·3·3·3 = 81
1 1 1 1 1 3·3·3·3·3 = 243
Сложим количество вариантов: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364.
О т в е т : 364
B15 Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5,
y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1
(y5 → y4) ∧ (y4 → y3) ∧ (y3 → y2) ∧ (y2 → y1 ) = 1
x3 ∧ y3 = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5,
y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно
указать количество таких наборов.
Пояснение.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем x3=1, y3=1.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна
только в случае, если из истинного следует ложное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5}. Так как из переменной с более
низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого
ряда приравнять 1, то все следующие должны такж е быть равны 1. Для уравнения (2) существует
то ж е самое правило, только наоборот: из переменной с более высоким номером всегда следует
переменная с более низким. Иначе говоря, если записать переменные x в порядке возрастания их
номеров, справа будут нули, а слева - единицы, в y - напротив, слева единицы, справа - нули.
4) Рассмотрим вариант x3=1, y3=1. Тогда все следующие: x4, x5, y2, y1 тож е равны 1. Остаются
переменные x1, x2, y4, y5. Так как x2 следует из x1, для них мы имеем 3 варианта, аналогично для
y4 и y5. 3 3=9.
Ответ — 9.
О т в е т : 9
B15 Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5,
y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1
x1 ∨ y1 = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1,
y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно
указать количество таких наборов.
Пояснение.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта - x1=1, y1=1; x1=0,
y1=1; x1=1, y1=0.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна
только в случае, если из истинного следует ложное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5}. Так как из переменной с более
низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого
ряда приравнять 1, то все следующие должны такж е быть равны 1. Для уравнения (2) существует
то ж е самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x (или y) в порядке возрастания
их номеров, слева будут нули, а справа - единицы.
4) Рассмотрим вариант x1=1, y1=1. Так как первые числа каждого ряда равны 1, то все
следующие тож е равны 1. Существует только одна комбинация для этого варианта.
5) Рассмотрим вариант x1=0, y1=1. Для y-ряда все переменные равны 1, для x ж е существует 5
комбинаций, так как в ряде x мож ет быть от 1 до 5 нолей включительно.
6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущему. Там существует всего 5 комбинаций.
Правильный ответ: 5+5+1=11 комбинаций.
О т в е т : 11

B15 Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5,
x6, x7, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1≡x2)—>(x2≡x3) = 1
(x2≡x3)—>(x3≡x4) = 1
...
(x5≡x6)—>(x6≡x7) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, x6,
x7, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать
количество таких наборов.
Пояснение.
Применим преобразование импликации:
¬(x1≡x2)∨(x2≡x3) = 1
¬(x2≡x3)∨(x3≡x4) = 1
...
¬(x5≡x6)∨(x6≡x7) = 1
Рассмотрим первое уравнение.
¬(x1≡x2)∨(x2≡x3) = 1
Логическое "ИЛИ" истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из выраж ений. Эквивалентность
истинна тогда, когда обе переменные имеют одно и то ж е значение.
Проверим, в каких случаях уравнение ЛОЖНО.
Это будет тогда, ко гда x1 ≡ x2, а x3 не равно этому значению, то есть в двух случаях: (x1,x2,x3)=
(1,1,0) и (x1,x2,x3)=(0,0,1).
Заметим, что логическое уравнение с тремя переменными мож ет иметь не более 23
 = 8 решений.
Следовательно, наше уравнение имеет 8 − 2 = 6 решений.
Рассмотрим второе уравнение.
¬(x2≡x3)∨(x3≡x4) = 1
Из шести решений первого уравнения в четырех ¬(x2≡x3) = 0 и в двух ¬(x2≡x3) = 1.
Для тех решений, в которых ¬(x2≡x3) = 0 во втором уравнении не остается свободных
переменных: требуется, чтобы (x3≡x4) = 1, а переменная х3 фиксирована.
Для тех решений, в которых ¬(x2≡x3) = 1 во втором уравнении остается одна свободная
переменная — х4.
В таком случае (x2≡x3)∨(x3≡x4) = 1. (вывод1)
Таким образом, система из двух уравнений имеет [4·1] + [2·2] = 4 + 4 = 8 решений.
Рассмотрим третье уравнение.
¬(x3≡x4)∨(x4≡x5) = 1
Из (вывод 1) следует, что ¬(x3≡x4) = 0. Переменная x4 фиксирована, следовательно, х5 тож е
фиксирована.
Для тех решений, в которых ¬(x3≡x4) = 1 во втором третьем уравнении остается одна свободная
переменная — х5.
Таким образом, система из трех уравнений имеет [4·1·1] + [2·2]·2 = 4 + 8 = 12 решений.
Исходная система состоит из пяти уравнений.
Продолжим рассуждения аналогично, приходим к выводу, что для системы из 4-х уравнений будет
4 + 16 = 20 решений.
Для системы из пяти уравнений 36 решений.
Следовательно, ответ 36.
О т в е т : 36

B15 Сколько различных решений имеет уравнение:
¬((J → K) → (L ∧ M ∧ N)) ∨ ¬((L ∧ M ∧ N) → (¬J ∨ K)) ∨ (M ∧ J) = 0
Пояснение.
Используем формулу A → B = ¬A ∨ B
Рассмотрим первую подформулу:
¬((¬J ∨ K) → (M ∧ N ∧ L)) = ¬(¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)) = ¬((J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)) =
Учитывая, что ¬(А ∨ В) = ¬А ∧ ¬В,
= (¬J ∨ K) ∧ (¬M ∨ ¬N ∨ ¬L)
Рассмотрим вторую подформулу
¬((L ∧ M ∧ N) → (¬J ∨ K)) = ¬(¬(L ∧ M ∧ N) ∨ (¬J ∨ K)) = L ∧ M ∧ N ∧ J ∧ ¬K
Применим отрицание к левой и правой части уравнения, получится
[(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)] ∧ [¬L ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬J ∨ K] ∧ [¬M ∨ ¬J] = 1
1) (¬M ∨ ¬J) = 1, следовательно,
а) M = 0 J = 0
0 ∧ ¬K ∧ ¬L ∨ ¬N ∨ K, следовательно, 0 решений.
б) M = 1 J = 0
[(0 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L)] ∧ [¬L ∨ 0 ∨ ¬N ∨ 1 ∨ K] ∧ [¬M ∨ 1] = N ∧ L ∧ ¬L ∨ ¬N ∨ 1 ∨ K = 1 =>
L=N=1, следовательно, 2 решения.
в) M = 0 J = 1
[(1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L)] ∧ [¬L ∨ ¬0 ∨ ¬N ∨ ¬1∨ K] ∧ [¬0 ∨ ¬1] = 1, следовательно, 4 решения.
Ответ: 2 + 4 = 6.
О т в е т : 6
B15 Известно, что для целых чисел X, Y и Z истинно высказывание
(Z < X ∨ Z < Y) ∧ ¬(Z+1 < X) ∧ ¬(Z+1 < Y)
Чему равно Z, если X=25 и Y=48?
Пояснение.
(Z < X ∨ Z < Y) ∧ ¬(Z+1 < X) ∧ ¬(Z+1 < Y) = 1.
Логическое "И" истинно тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения.
Подставим значения чисел в выраж ение:
1) (Z < X ∨ Z < Y) = (Z < 25 ∨ Z < 48) = 1.
2) ¬(Z+1 < X) = ¬(Z+1 < 25) = (Z => 24) = 1
3) ¬(Z+1 < Y) = (Z => 47) = 1.
Посмотрим на 1): если Z < 25 = 1, то неверно Z => 47, следовательно из 1) => Z < 48.
Из 3) и 1) следует, что Z = 47.
О т в е т : 47
B15 Каково наибольшее целое положительное число X, при котором истинно высказывание:
(X•X - 1 > 100) → (X•(X-1)< 100)
Пояснение.
Применим преобразование импликации:
¬(X•X - 1 > 100) ∨ (X•(X-1)< 100) => X•X - 1 < 100 ∨ (X•(X-1)< 100) =>
X•X < 101 ∨ (X•(X-1)< 100)

Если X•X < 101 = 1, то т. к. чуть больше 10 (меньше чем на 1), ответ 10.
Если X•(X-1)< 100, то нам необходимо решить неравенство: X•X - X - 100 < 0.
Корни этого квадратного уравнения:
Воспользовавшись методом интервалов, получаем, что наибольшее целое положительное число,
удовлетворяющее неравенству, это 10.
В качестве ответа берем наибольшее из решений.
О т в е т : 10
B15 Укажите значения переменных К, L, M, N, при которых логическое выраж ение
(¬(М ∨ L) ∧ К) → (¬К ∧ ¬М ∨ N)
ложно. Ответ запишите в виде строки из 4 символов: значений переменных К, L, М и N (в
указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что К=1, L=1, M=0, N=1.
Пояснение.
Запишем уравнение, используя более простые обозначения операций (условие «выраж ение
ложно» означает, что оно равно логическому нулю):
1) из формулировки условия следует, что выраж ение должно быть ложно только для одного
набора переменных
2) из таблицы истинности операции «импликация» следует, что это выраж ение ложно тогда и
только тогда, когда одновременно
 и
3) первое равенство (логическое произведение равно 1) выполняется тогда и только тогда, когда
 и ; отсюда следует (логическая сумма равна нулю), что мож ет быть
только при ; таким образом, три переменных мы уж е определили
4) из второго условия, , при и получаем .
О т в е т : 1000
B15 Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, y1,
y2 y3, y4, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) = 1
(¬y1 ∨ y2) ∧ (¬y2 ∨ y3) ∧ (¬y3 ∨ y4) = 1
(y1 → x1) ∧ (y2 → x2) ∧ (y3 → x3) ∧ (y4 → x4) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, y1, y2
y3, y4, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать
количество таких наборов.
Пояснение.
Конъюнкция истина тогда и только тогда, когда каждое высказывание истинно.
Для первого выраж ения это означает, что, если х1 равен 1, то х2, х3 и х4 такж е равны 1, т. е. для
х1...х4 решения существуют только в виде "1111", "0111", "0011", "0001" и "0000".
Применив преобразование импликации ко второму выраж ению, увидим, что оно аналогично
первому.
В третьем выраж ении из "y" следует соответствующее ему "x", это означает, что если y = 1, то и
x = 1.
Следовательно, первому набору для x "1111" соответствует 5 наборов y. Второму — 4, третьему

— 3, и. т. д.
Следовательно, ответ: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.
О т в е т : 15
B15 A, B и C – целые числа, для которых истинно высказывание:
(C < A ∨ C < B) ∧ ¬(C+1 < A) ∧ ¬(C+1 < B)
Чему равно C, если A=45 и B=18?
Пояснение.
Логическое "И" истинно тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения.
Подставим значения чисел в выраж ение:
1) (C < A ∨ C < B) = 1 => (C < 45 ∨ C < 18).
2) ¬(C+1 < A) =>, C ≥ 44.
3) ¬(C+1 < B) =>, C ≥ 17.
Из 2) и 1) следует , что C < 45 = 1, а это, вкупе с 2,) значит, что C = 44.
О т в е т : 44
B15 колько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, хб,
х7, х8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 —> х2) —> (хЗ—> х4) = 1
(хЗ —> х4) —> (х5 —> хб) = 1
(х5 —> хб) —> (х7 —> х8) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, хб,
х7, х8, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать
количество таких наборов.
Пояснение.
Сделаем замену переменных:
(x1 —> х2) = y1; (хЗ—> х4) = y2; (х5 —> хб) = y3; (х7 —> х8) = y4.
Тогда можно записать систему в виде одного уравнения.
(y1 —> y2) ∧ (y2 —> y3) ∧ (y3 —> y4) = 1.
Для того, чтобы это равенство было выполнено, ни одна из импликаций не должна быть ложной
Вот все возможные варианты значений "y" (ключевым является тот факт, что переменные y
независимы):
y1 y2 y3 y4
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 1
Импликация x1 —> х2 дает "0" при одном наборе переменных и "1" при трех наборах
переменных.
Поскольку каждая из переменных "y" независима от другой, для каждой строки полученной
таблицы перемножаем количество вариантов комбинаций исходных переменных:
y1 y2 y3 y4 вариантов
0 0 0 0 1·1·1·1 = 1
0 0 0 1 1·1·1·3 = 3
0 0 1 1 1·1·3·3 = 9
0 1 1 1 1·3·3·3 = 27
1 1 1 1 3·3·3·3 = 81

Сложим количество вариантов: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121.
О т в е т : 121
B15 Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5,
y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1
y5 → x5 = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1,
y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно
указать количество таких наборов.
Пояснение.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта: x5=1, y5=1; x5=0,
y5=0; x5=0, y5=1.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна
только в случае, если из истинного следует ложное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5}. Так как из переменной с более
низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого
ряда приравнять 1, то все следующие должны такж е быть равны 1. Для уравнения (2) существует
то ж е самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x в порядке возрастания их
номеров, справа будут нули, а слева — единицы, в y — так ж е.
4) Рассмотрим вариант x5=1, y5=1. Тогда остальные переменные могут принимать любые
значения: всего таких комбинаций 25.
5) Рассмотрим вариант х5=0, у5=0. Тогда все переменные равны 0, следовательно, 1 комбинация.
6) Рассмотрим вариант х5=0, у5=1. Тогда все переменные х равны 0, а переменные у могут
принимать любые значения. Всего таких комбинаций 5.
Ответ: 31.
О т в е т : 31
B15 Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5,
хб, y1, у2, уЗ, у4, у5, у6 которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 → х2) ∧ (х2 → хЗ) ∧ (хЗ → х4) ∧ (х4 → х5) ∧ (х5 → х6) = 1
(y1 → y2) ∧ (у2 → уЗ) ∧ (уЗ → у4) ∧ (у4 → у5) ∧ (у5 → у6) = 1
x1 ∨ y1 = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, y1,
у2, уЗ, у4, у5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно
указать количество таких наборов.
Пояснение.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта - x1=1, y1=1; x1=0,
y1=1; x1=1, y1=0.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна
только в случае, если из истинного следует ложное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5, x6}. Так как из переменной с
более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из
этого ряда приравнять 1, то все следующие должны такж е быть равны 1. Для уравнения (2)
существует то ж е самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x (или y) в порядке
возрастания их номеров, справа будут нули, а слева - единицы.
4) Рассмотрим вариант x1=1, y1=1. Так как первые числа каждого ряда равны 1, то все
следующие тож е равны 1. Существует только одна комбинация для этого варианта.
5) Рассмотрим вариант x1=0, y1=1. Для y-ряда все переменные равны 1, для x ж е существует 6
комбинаций, так как в ряде x мож ет быть от 1 до 6 нолей включительно.
6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущему. Там существует всего 6 комбинаций.
Правильный ответ: 6+6+1=13 комбинаций.
О т в е т : 13

B15 Каково наибольшее целое положительное число X, при котором ложно высказывание:
(8•X - 6 < 75) → (X•(X-1)> 65)
Пояснение.
Применим преобразование импликации:
(8•X - 6 > 75) ∨ (X•(X-1)> 65) = 0
Логическое "ИЛИ" ложно, когда ложны оба утверждения.
X•(X-1) -65 < 0
Корни квадратного уравнения примерно: 8.57 и -7.57.
8•X - 81 < 0
X < 10.125
Учитывая это и решение первого неравенства методом интервалом, получаем, что это число 8.
О т в е т : 8
B15 Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выраж ение
(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)
ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в
указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.
Пояснение.
Применим преобразование импликации:
(K ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0
Применим отрицание к обоим частям уравнения:
(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1
Преобразуем:
(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1
Логическое "И" истинно тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения.
Следовательно, M = 0, N = 0, рассмотрим теперь (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):
из того, что M = 0, N = 0 следует, что M ∧ L = 0, тогда ¬K ∧ L = 1, то есть K = 0, L = 1.
О т в е т : 0100
B15 Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание (10 < X·(X+1)) → (10 >
(X+1)·(X+2))?
Пояснение.
Уравнение является операцией импликации между двумя отношениями:
 и .
1) конечно, здесь можно применить тот ж е способ, что и в примере 2208, однако при этом
понадобится решать квадратные уравнения (не хочется…);
2) заметим, что по условию нас интересуют только целые числа, поэтому можно попытаться
как─то преобразовать исходное выраж ение, получив равносильное высказывание (точные
значения корней нас совершенно не интересуют!);
3) рассмотрим неравенство : очевидно, что мож ет быть как
положительным, так и отрицательным числом;
4) легко проверить, что в области высказывание истинно при всех целых , а в
области — при всех целых (чтобы не запутаться, удобнее использовать нестрогие

неравенства, и , вместо и );
5) поэтому для целых можно заменить на равносильное выраж ение
;
6) область истинности выраж ения — объединение двух бесконечных интервалов;
7) теперь рассмотрим второе неравенство : очевидно, что так
ж е мож ет быть как положительным, так и отрицательным числом;
8) в области высказывание истинно при всех целых , а в области — при
всех целых , поэтому для целых можно заменить на равносильное выраж ение
;
9) область истинности выраж ения — закрытый интервал;
10) заданное выраж ение истинно везде, кроме областей, где и ;
11) обратите внимание, что значение уж е не подходит, потому что там и , то
есть импликация дает 0;
12) максимальное целое число 2.
О т в е т : 2
B15 Сколько различных решений имеет уравнение
((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1
где J, K, L, M, N – логические переменные?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Пояснение.
Используем формулы A → B = ¬A ∨ B и ¬(А ∨ В) = ¬А ∧ ¬В
Рассмотрим первую подформулу:
(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)
Рассмотрим вторую подформулу
(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L
Рассмотрим третью подформулу
1) M → J = 1 следовательно,
а) M = 1 J = 1
(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L;
(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;
Объединим:
¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 следовательно, 4 решения.
б) M = 0 J = 1
(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K;
(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L

Объединим:
K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L следовательно, 4 решения.
Ответ: 4 + 4 = 8.
О т в е т : 8
B15 Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выраж ение
(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)
ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в
указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.
Пояснение.
Применим преобразование импликации:
¬((¬(M ∨ L) ∧ K)) ∨ ((¬K ∧ ¬M) ∨ N) <=> ¬((¬M ∧ ¬L) ∧ K)) ∨ ((¬K ∧ ¬M) ∨ N) <=>
¬((¬M ∧ ¬L) ∧ K)) ∨ ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)
Логическое "ИЛИ" ложно тогда и только тогда, когда ложны оба утверждения.
¬((¬M ∧ ¬L) ∧ K)) = 0 и ((¬K ∧ ¬M) ∨ N) = 0.
1) ¬((¬M ∧ ¬L) ∧ K)) = ¬(¬M ∧ ¬L) ∨ ¬K) = M ∨ L ∨ ¬K = 0, => K = 1, L = 0, M = 0.
2) (¬K ∧ ¬M) ∨ N = 0, => N = 0.
О т в е т : 1000
 

 


Категория: по информатике | Добавил: Админ (03.01.2016)
Просмотров: | Теги: B15 | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar