Задача №5404

Ответы к сборнику задач по математике Моденов (Часть 1)

Поиск задачи:

Здесь представлено решение задачи по математике. Если у вас возникли сложности в решении то вы можете воспользоваться ответами которые размещены на данной странице. Вы конечно можете не согласиться с ответами, но данная информация размещена с целью ознакомления. Списывать с ответов или решать самому выбирать вам. Данная задача по теме
Решение задачи:

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Условие задачи:

Ответы в самом низу встроенного документа

1. Найти четырехзначное число по следующим условиям
сумма квадратов крайних цифр равна 13, сумма квад
ратов средних цифр равна 85; если же из искомого числа
вычесть 1089, то получится число, записываемое теми
же цифрами, что искомое, но в обратном порядке.
2 . Показать, что единственным решением системы
2 х + у + г = 0 , уг + гх + ху — у 2 = 0 , ху + гг = 0
является решение
х = у = г = 0 .
3# Решить уравнение
4х — 3 2 = 3 2
4. Найти коэффициент при хт в разложении по степеням
выражения
(1 + х)к + (1 + х)*+1 + . . . + (1 + х ) \
Разобрать при этом случаи:
т < ^к, т>к.
Вариант 2
5. Сочинение по русскому языку писало НЮ человек
Глава I
Им было роздано 480 листов бумаги, причем каждая
девочка получила на два листа больше мальчика,
а в се мальчики получили столько же листов, сколько
все девочки. Сколько было мальчиков и сколько девочек?
6. Решить систему
х -(- у + г = а, х2 + у2 + г% = а 2, х8 + у3 + г* = а8.
Указание: полезно использовать тождество
(•* + У + г) (У* + гх + ху) = 3 хуг + х* у +
+ лс2 г+ У 2'* + У* 2 + г2-* + г2У-
7. Решить систему
1§*у = | - , у = 16.
8 . В разложении ^х У~х— ^ коэффициент третьего
члена на 44 больше абсолютной величины коэффици­
ента второго члена. Найти свободный член.
Вариант 3
9. Некоторое количество равных шаров расположено
в виде правильной четырехугольной пирамиды. Дока­
зать, что из всех этих шаров можно составить фи-'
гуру, имеющую вид двух правильных тетраэдров, при­
ставленных друг к другу своими основаниями. Любое
ребро этой фигуры будет содержать столько же шаров,
сколько содержит их ребро первоначальной пирамиды.
Указание: на плоскости аналогичным свойством обладаю т
квадрат и ромб.
1 0 . Пусть XI, х2, х8 — корни уравнения х8 — 2 х2+ х + 1= 0 .
Составить новое уравнение, корнями которого были
бы. числа
У1 = Х2 Хз, У 2 = Хз Х ь Уз = XI х2.
Указание: ■ полезно найти зависимость м еж ду корнями урав­
нения и его коэффициентами.
П. Решить систему
а2х а2У = 2 Ь, ах+у = с.
Каким условиям должны удовлетворять а, Ь, с, чтобы
решение было возможно?
б
12. Решить неравенство
!& * + ! & ( * + ! ) < ! & , ( 2 * -г 6), а > 1.
Вариант 4
13. Бак объемом 425 м3 наполнился водой из двух кранов,
причем первый кран был открыт на 5 час. дольше
второго. Сколько времени был открыт второй кран,
если известно: 1) что, если первый кран был бы открыт
столько времени, сколько на самом деле был открыт
второй, а второй кран был бы открыт столько времени,
сколько был открыт первый, то из первого крана выте­
кло бы вдвое меньше воды, чем из второго; 2 ) что,
если одновременно открыть сба крана, то бак напол­
нится через 17 час.
14. Показать, что сумма решений х + у системы
* + У + /* У + _-7 = = а, х* + у* + ху — ^ — 2 = Ь
у ху ху
всегда вещественна, при любых вещественных а и Ь.
15. Решить систему
х + 3 1е*у = 7, = 5 12.
16. Ряд чисел 1, 4, 10, 19, ... обладает тем свойством,
что разности двух соседних чисел образуют арифме­
тическую прогрессию. Найти п-ый член и сумму п
членов этой последовательности чисел.
Указание: воспользоваться формулой
I2 + 2* + З2 + ... + л2= — -*д(2'г + .
Вариант 5
17. В двух одинаковых сосудах объемом по 30 л каждый1
содержится всего 30 л спирта. Первый сосуд доли­
вают доверху водой и полученной смесью дополняют
второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в пер­
вый 12 л новой смеси. Сколько спирта было перво­
начально в каждом сосуде, если во втором сосуде
оказалось на 2 л спирта меньше, чем в первом?
18. Пусть х и х г, х3 — корни уравнения х3 — х3 — 1 =
6
Составить новое уравнение, корнями которого были бы
У \ — Х 2 + Хз, у2 = Хз + Х \ у Уз == Х \ + *2-
Указание: полезно найти зависимость м еж ду коэффициентами
уравнения и его корнями.
19. Решить систему
х*+у=:ух-у, х2 у 1 .
2 0 . Доказать, что можно найти такую бесконечно убы­
вающую геометрическую прогрессию, первый член
которой равен 1 и каждый член которой в к раз
больше суммы всех следующих за ним членов. При
каких к задача возможна?
Вариант 6
2 1 . Шестизначное число начинается цифрой 1. Если эту
цифру перенести с первого места на последнее, сохра­
нив порядок остальных пяти цифр, то вновь получен­
ное число будет втрое больше первоначального. Найти
первоначальное число.
2 2 . Найти вещественные решения системы
(х + у) (х2 — у2) - 9, (х - у) (х2 + у2) = 5.
23. Решить уравнение
Ы 9 * " 1 +7)=*2 + 1& (Э*-' + 1).
24. Решить неравенство
х 1*а*+1> а * х , а > 1.
Вариант 7
25. Плоты шли из пункта А до устья реки вниз по тече­
нию. У устья реки их взял на буксир пароход и через
17г/8 суток после выхода плотов из Л доставил их по
озеру в пункт В . Сколько времени пароход вел плоты
от устья реки по озеру до В, если известно, что
пароход тратит на рейс (без буксировки) от А до В
61 час и от В до Л — 79 час., а его скорость во время
буксировки уменьшается вдвое?
26. Найти все решения уравнения
( ] / х — 4 ,5 ) 4 + ( ! /* — 5 ,5 ) 4 = 1.
27. Решить уравнение
2 = Ц * 2 .
16 64
7
28. При каком значении к член Т к+Х разложения по
формуле бинома Ньютона
(1 + 1 / 3 ) 100
будет одновременно больше как предшествующего, так
и последующего членов этого разложения?
Вариант 8
29. От пристани А одновременно отправились вниз по
течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению
на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А
через Н час. Найти скорость катера в стоячей воде
и скорость течения, если известно, что катер встретил
плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А.
39. Решить систему
х — У = у (У х ^у — 13/ *у2), у'К— У у = 3.
31. Решить систему
* - у ’ 1§с у - | & у -
32. В вещевой лотерее разыгрываются 8 предметов. Пер­
вый подошедший к урне вынимает из нее 5 билетов.
Каким числом способов он может их вынуть, чтобы:
1) ровно два из них оказались выигрышными? 2 ) чтобы
по крайней мере два из них оказались выигрышными?
Всего в урне 50 билетов.
Вариант 9
^3. Через точку, взятую произвольно на основании тре­
угольника А ВС, провести прямую, делящую площадь
треугольника на две равновеликие части.
34. Доказать, что из равенства соз г = соз х соз у выте­
кает равенство
, г + х , г — х . „ у
<в — — «**■$••
35. Доказать, что любой плоский угол произвольного
Четырехгранного угла меньше суммы трех других
Плоских углов.
8
Вариант 10
36. Найти отношение площади треугольника к площади
другого треугольника, стороны которого равны медиа­
нам данного треугольника.
37. Показать, что если х удовлетворяет уравнению
со з а: — с о з а _ 5 1 п 2 а с о з р
СОЗ X — СОЗ Р ~ 51П2 Р СОЗ а ’
то
. х , , а . р
38. Найти отношение объема конуса к объему вписанного
в него шара, если известно, что плоскость, касаю­
щаяся шара и перпендикулярная к одной из образую­
щих конуса, отсекает на этой образующей, считая от
вершины, отрезок в к раз больший радиуса шара.
Вариант И
39. В треугольник со сторонами а, Ь, с вписан полукруг
с диаметром, лежащим на стороне с. Найти радиус
полукруга.
40. Доказать тождество
2а (30° - а) + 2а (60° - а) +
+ (60° — а) (30° — а) = 1.
41. На одной и той же образующей конуса взяты две
точки А и В на расстоянии а друг от друга. На по­
верхности конуса взяты еще две точки С и О такие,
что АВСО — правильный тетраэдр. Найти расстояние
от вершины конуса до ребра СГ) этого тетраэдра, если
известно, что угол при вершине осевого сечения
конуса определяется условиями:
зш а = , <* < 9 0 ° .
Вариант 12
42. Доказать, что сумма квадратов расстояний какой-
нибудь точки окружности до вершин правильного
вписанного треугольнйка есть величина постоянная,
не зависящая от положения точки на окружности.
43. Доказать, что из равенств
соз (у — г) — соз (х — у) _ соз (г — л:) — соз (у — г) _
соз (у + г) — соз (х + у) — соз (г + х) — соз (у + г) ~
— 0 0 5 (х — у} — 0 0 5 (г *)
~~ соз (х-\-у ) — соз (г х)
вытекают равенства
*§* _
, у + г . г + х , х + у ' *8н г
44. Найти высоту правильной четырехугольной пирамиды,
если известно, что объем описанного вокруг пирамиды
шара равен о, а перпендикуляр, опущенный из центра
шара на ее боковую грань, образует с высотой пира­
миды угол а.
Вариант 13
45. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника,
проведены три прямые, соответственно параллельные
сторонам треугольника. Эти прямые разделяют пло­
щадь треугольника на шесть частей, из которых три —
треугольники с площадями равными, 5 х, 52, 53. Найти
площадь данного треугольника.
46. Доказать, что при п целом и а -{- [3 + т = те имеет
место тождество
51П 2 т - \- ЗШ 2 «Р + 51П 2 щ ~
= (— 1)'!+1 4зш пазтпрзт щ .
47. Все 4 стороны равнобочной трапеции касаются ци­
линдра, ось которого перпендикулярна к параллель­
ным сторонам трапеции. Найти угол, образуемый
плоскостью трапеции с осью цилиндра, если длины
оснований трапеции равны а и Ь, а высота трапеции
равна к.
Вариант 14
48. Из всех треугольников с одинаковым основанием
и одним и тем же углом при вершине найти треуголь­
ник с наибольшим периметром.
ю
49* Доказать, что
2тг 4тг бтс 1
С05 у + СО 5 у + СОЗ у — 2 " .
50. Площади параллельных сечений шара, расположенных
по одну сторону от его центра, равны 51 и 52, а рас­
стояние между этими сечениями равно й. Найти пло­
щадь сечения шара, параллельного сечениям 5х и 52
и делящего пополам расстояние между ними.
Вариант 15
51. Через точку А , лежащую внутри угла, проведена
прямая, отсекающая от этого угла наименьший по
площади треугольник. Доказать, что отрезок этой
прямой, заключенный между сторонами угла, делитсц
в точке А пополам.
52. Решить уравнение
, ч соз х соз (2х — а)
(1 + к ) 7-^ г— - = 1 + к соз2 х.
4 7 соз (х — а)
53. В правильной треугольной пирамиде плоский угол
при вершине равен а, а кратчайшее расстояние между
боковым ребром и противоположной стороной осно­
вания равно й . Найти объем этой пирамиды.
Вариант 16
54. Через точку М , лежащую на основании АС треуголь­
ника, провести прямую МЫ, отсекающую от треуголь­
ника к-ую часть его площади. Сколько решений имеет
задача?
55. Решить уравнение
СОЗ Зх СОЗ3 X + 51П Зх 51П3 X = 0.
56. Шар вписан в прямую призму, в основании которой
лежит прямоугольный треугольник. В этом треуголь­
нике перпендикуляр й, опущенный из вершины пря­
мого угла на гипотенузу, составляет с одним из
катетов угол а. Найти объем призмы.
11
57. Может ли выражение
г = х2 + 2 ху + Зу2 + 2* + 6 у + 4
принимать отрицательные значения при вещественных
х и у?
58. Упростить выражение а .
Все логарифмы взяты по одному и тому же основанию.
59. Доказать, что если все двугранные углы некоторой
пирамиды равны, то и все ребра этой пирамиды также
равны.
60. Доказать неравенство:
Вариант 17
Вариант 18
61. Упростить выражения:
а) (х + а) (х2 + а2) . . . (х2" - 1 + а2"-1);
б) (х2 — ах+ а2) (х4 — а'- х2+ а 4) ... (х2" — а2" - 1 х2" - 1 + а2").
62. Решить неравенство:
х 2-ч1х-1е2*2_ 1_\0
X
63. В равнобедренном треугольнике с основанием а
и боковой стороной Ь угол при вершине равен 20°.
Доказать, что
а® 4- Ь3 = 3 аЬ3.
64. Решить уравнение
с1§ х — 2 $ш 2 х = 1 .
Вариант 19
65. Доказать неравенство:
1 1 1 9
4 - + -г + - > : а Ь с а + Ь + с
(а, Ь, с — положительны).
12
6 6 . Показать, что уравнение
2
— 1§?2 л: + 1|?2 х = 1
имеет лишь один корень, удовлетворяющий неравен­
ству * > 1 и найти этот корень.
67. На двух параллельных плоскостях расположены от­
резки АВ и СИ. Концы этих отрезков являются вер­
шинами некоторой треугольной пирамиды. Доказать,
что объем пирамиды сохраняется, если отрезки пере­
мещать в этих плоскостях параллельно самим себе.
6 8 . Решить уравнение:
2 $ес х созес х + 2 (созес х — зес х) — 5 = 0.
Вариант 20
69. Две железные дороги АА' и В В' перпендикулярны
друг другу и пересекаются в пункте С, причем рас­
стояния АС и ВС равны соответственно а и Ь. Из
пунктов А и В по направлению к С одновременно
выходят два поезда со скоростями соответственно щ
и 0 2- Через сколько времени после отправления рас­
стояние между поездами будет наименьшим? Чему
равно это наименьшее расстояние?
70. Найти все значения X, при которых два уравнения:
Хх8— х2— х — (X + 1) = 0,
Хх2 — х — (X -|- 1) = 0
имеют общий корень и найти этот корень.
71. Доказать, что прямая, пересекающая две грани дву­
гранного угла, образует с ними равные углы тогда
и только тогда, когда точки пересечения одинаково
удалены от ребра.
72. Рассматривается функция
\ (х) = А соз х + В зш х,
где А и В некоторые постоянные.
Доказать, что если Д х) обращается в нуль при двух
значениях аргумента XI и х2 таких, что Ху— х2фкк
(к — целое число), то / (х) тождественно равна нулю.
Вариант 21
73. В треугольнике АВС из вершины А проведена высота
А > 1, пересекающая основание ВС треугольника
и делящая его на отрезки длиной а и Ь.
13
Выяснить, можно ли по величине суммы
■ + 1
1баА 1ёьн
сделать заключение о том, является ли угол А ост­
рым, прямым или тупым.
74. Найти все вещественные решения уравнения
х2 + 4х соз (ху) + 4 = 0.
75. Дана прямая СО и две точки Л и В, не лежащие на
ней. Найти на прямой точку М такую, что
^ АМС = 2 ^ ВМО.
76. Решить уравнение
2 Х
зес2 ~2
1 + 2 созес х = ~— •
Вариант 22
77. В колбе имеется раствор поваренной соли. Из колбы
в пробирку отливают “ Ую часть раствора и выпа­
ривают до тех пор, пока процентное содержание соли
в пробирке не повысится вдвое. После этого выпарен­
ный раствор выливают обратно в колбу. В результате
содержание соли в колбе повышается на р процентов.
Определить исходное процентное содержание соли.
78. Показать, что при любом натуральном п^> 1
1 , 1 , , 1 / « - 1 2 ? + 35 + --* + ^ < - 7Г- •
79. В треугольнике АВС проведены высоты, основания
которых соединены между собой. Определить отноше­
ние площади получившегося треугольника к площади
треугольника АВС, если углы треугольника АВС из­
вестны. Рассмотреть случаи остроугольного, тупо­
угольного и прямоугольного треугольников.
7С 80. Доказать, что при 0 < ср < —
СОЗ 31П <р > 51П СОЗ ф.
Остается ли справедливым это неравенство при всех ср?
14
Вариант 23
81. На участке реки от Л до В течение так слабо, что
им можно пренебречь; на участке от В до С течение
уже достаточно сильное.
Лодка покрывает расстояние вниз по течению от А
до С за б час., а от С до А вверх против течения за
7 час. Если бы на участке от Л до В течение было
таким же, как на участке от В до С, то весь путь от
Л до С занял бы 5,5 час.
Сколько времени в этом случае понадобилось бы на
то, чтобы подняться вверх от С до Л?
82. Решить систему:
83. На плоскости даны два отрезка АВ и С#. Найти-
геометрическое место точек М , обладающих тем свой­
ством, что сумма площадей треугольника АМ В и СМО
равна некоторой постоянной а.
Указание: Подобрать сперва такой частный случай распол о­
ж ения отрезков, при котором задача реш ается легко; затем
реш ение распространить на общий случай.
84. Решить уравнение
85. Трое Л, В и С переправляются через водохранилище
шириною в 5 км, Л — вплавь, со средней скоростью
. V км/час, В и С пользуются для этой цели моторной
ЛОДКОЙ, скорость которой VI км/час.
Через некоторое время после начала переправы С
решает оставшийся участок пути преодолеть вплавь (но
плывет с той же скоростью, что и Л). В тем временем
поворачивает назад, чтобы взять с собою Л; Л садится
в лодку и продолжает путь вместе с В. На противопо­
ложном берегу все трое оказываются одновременно.
Определить продолжительность переправы.
8 6 . Решить уравнение
х + У + ху = 9 .
(соз 4 х — соз 2а:)2 = з т Зх + 5.
Вариант 24
15
87. В пространстве рассматриваются два отрезка АВ
и С й, не лежащие в одной плоскости. Пусть М И —
отрезок, соединяющий их середины.
Доказать, что
№ + *!! > м ы .
8 8 . Доказать, что
я 2 л 1
С05_ _ С05 _ = _
Вариант 25
89. Решить систему
х2х3. . . х п
Х1Х3 . . . Х„
 --------— а2,
Л2
Х1 Х2 . . . Хп-1 _ „
" а П9
П
предполагая, что
«1> 0 , а 2 > 0 ,...,а я > 0 и ^ > 0 , *2 > 0 , ..., х „ > 0 .
90. Доказать, что при л > 2
(п\)2> п п .
91. Одна из двух треугольных пирамид с общим основа­
нием расположена внутри другой. Доказать, что сумма
плоских углов при вершине внутренней пирамиды
больше, чем сумма плоских углов при вершине
внешней.
92. Решить уравнение
со$7 * — 8ш5х = ]/3(соз5л:— 81п7л:).
Вариант 26
93. Рассматривается дробь (отношение двух целых чисел),
знаменатель которой меньше квадрата числителя на
единицу. Если к числителю и знаменателю прибавить
по 2 , то значение дроби будет больше, чем —, если
з
же от числителя и знаменателя отнять по 3 , то дробь
останется положительной, но будет меньше 0 , 1 . Найти
эту дробь. _
64. Доказать, что функция соз х не является периоди­
ческой (т. е. не существует такого постоянного числа
Т Ф О, чтобы при всех х было с о з ] / х + Т = соз]/*).
95. Через середины двух параллельных ребер куба, не
лежащих на одной грани, проведена прямая. Куб
повернут вокруг нее на 90°. Определить объем общей
части исходного куба и повернутого.
96. Найти соотношение между
агс 51П соз агс зш х
и
агссозз1П агс соз х.
Вариант 27
97. Найти все вещественные решения системы
х3 + у3 = 1, х2 у + 2 ху2 + у3 = 2 .
98. Найти наименьшее значение функции
<р(х) = |х — а\ + \х — 6 | + |х — сI -ь Iл: — с?|,
где а < ^Ь < ^с< ^й — фиксированные вещественные чис­
ла, а х принимает произвольные вещественные зна­
чения.
Указание: рассуж дения удобно проводить на числовой оси.
99. В правильной четырехугольной призме проведены два
параллельных сечения: одно проходит через середины
двух смежных сторон' основания и середину оси, дру­
гое делит ось в отношении 1 :3. Зная, что площадь
первого сечения равна 5, найти площадь второго.
100. В равнобедренном треугольнике АВС угол при вер­
шине В равен 20°. На боковых сторонах АВ и СВ
взяты соответственно точки ф и Р так, что фСЛ =
= 60°, а ^ / М С = 50°. Доказать, что ^ ф Р Л = 80°.

Вариант 28
101. Выразить свободный член с кубического уравнения
х3 + ах2 + Ьх + с = 0 через коэффициенты а и Ь,
если известно, что корни уравнения образуют ариф­
метическую прогрессию.
Указание: можно воспользоваться выражениями коэффициен­
тов многочлена через его корни.
17
102. Среди комплексных чисел г, удовлетворяющих
условию
\г — 2 5 * |< 15
найти число, имеющее наименьший аргумент. Сделать
чертеж.
103. Данный выпуклый четырехгранный угол пересечь
плоскостью так, чтобы в сечении получился паралле­
лограмм.
104. Доказать справедливость неравенства:
(с!:§2 л: — 1) (3 с*§2 х — 1) (с1§ Зх 2х — 1) < — 1
для всех значений я, при которых левая часть имеет
смысл.
Вариант 29
105. При каких значениях а система неравенств
0 ^ х * + ах — 2
Х2 — Х + 1 <
удовлетворяется при всех значениях х?
106. Пусть р и р2,--->Рь — различные простые числа.
Сколько делителей имеет число д — рхр*. •. рк9 вклю­
чая 1 и 9 ?
107. Показать, что площадь любого треугольного сечения
произвольной треугольной пирамиды не превосходит
площади хотя бы одной из ее граней.
108. Решить систему:
4 х =
51П X — СОЗ 2у.
Вариант 30
109. Решить уравнение
V у - 2 + 1 / 2 ^ 5 + У у + 2 + З У 2 у — 5 = 7 У 2 .
(берутся арифметические значения корней).
1 1 0 . Пусть Р(х) — многочлен, дающий при делении на
х — а остаток А , при делении на х — Ь — остаток В ,
при делении на х — с — остаток С. Найти многочлен,
получающийся в остатке при делении Р (х) на
(х — а) (х — Ь) (х — с). Предполагается, что среди чисел
а, Ь и с нет равных.
18
111 . На одной из сторон острого угла взяты две точки
Л и б. Найти на другой стороне угла точку С такую,
чтобы угол АСВ был наибольшим. Построить точку С
с помощью циркуля и линейки.
1 1 2 . Решить уравнение
а$\пх+Ь __асо$х+Ь
Ьсо$х + а Ь$\пх + а
(а и Ь — вещественные числа, отличные от нуля).
Вариант 31
113. Решить уравнение
У (Т + 'х )* ~ У ( Г - х)* =
114. Доказать, что
У 111 ... 1 — 222... 2 = 333... 3.
2п цифр п цифр п цифр
115. В треугольной пирамиде проводятся сечения, парал­
лельные двум ее непересекающимся ребрам. Найти се­
чение с наибольшей площадью.
116. Определить, в каких пределах можно изменять пара­
метр X так, чтобы уравнение
$ес х + созес х = X
имело корень х , удовлетворяющий неравенству
° < *< у
Вариант 32
117. Доказать, что многочлен
х8 — х 5 + х 2 — х + 1
положителен при всех вещественных х .
118. Найти все вещественные корни уравнения
р ' х — 1 + т /х + I = * ^ 2 .
119. В данный треугольник вписать с помощью, циркуля
и линейки прямоугольник, имеющий заданную диа­
гональ.
120. Решить уравнение
б 1§ х + 5 с!§ Зх = 2х.
19
121. Пусть при любом положительном X все корни урав­
нения
ах^ -|- Ьх -|- с -I- X = О
вещественны и положительны. Доказать, что тогда
а = О (коэффициенты а, Ь и с предполагаются веще­
ственными).
122. Упростить выражение
(1§4а — 1&, Ь) * + (1§6 1_о— 1 § а2 Ь)*+ ... + (1&, 1 м — 1§в2"&)*
123. Из двух точек прямой проведены по две касатель­
ные к окружности. В образованные углы с вершинами
в этих точках вписаны окружности равного радиуса.
Доказать, что их линия центров параллельна данной
прямой.
124. Доказать, что уравнение
(зш X + СОЗ х) 51П 4х = 2
не имеет решений.
Вариант 34
125. Найти наибольшее значение выражения
1§2 х -(- 1 2 х 1§г — , Л
если х изменяется между 1 и 64.
124. Доказать, что
2 3 4 ^ ^ 199 200
_ _! | 1 1_
~ 101 ^ 1 0 2 + + 2 0 0 '
127. Трехгранный угол пересекается плоскостью по тре­
угольнику АВС. Найти геометрическое место центров
тяжести треугольников АВС, если:
а) вершины А и В закреплены;
б) вершина А закреплена.
128. Решить систему
5Ш X -(- 51П у = ЗШ (х у), | X | | У | = 1.
Вариант 33
20
Вариант 35
129. Найти комплексное число г, если
2 — 12 5 2 — 4 00
1
“ з и 2 — 8
130. Найти значения а, при которых смешанная система
х2 + У2 + 2 * < 1,
х — У + а = 0
имеет единственное решение. Найти соответствующие
решения.
131. Рассматриваются два треугольника АВС и А1В1Си
которые лежат в непараллельных плоскостях и имеют
попарно непараллельные стороны. При этом прямые,
соединяющие соответственные вершины, пересекаются
в одной точке О.
Доказать, что соответствующие стороны треуголь­
ника попарно пересекаются и точки их пересечения
лежат на одной прямой.
132. В точке А плоскости Р расположен источник света.
Над плоскостью помещено полусферическое зеркало
радиуса 1, обращенное внутренней зеркальной поверх­
ностью к плоскости, причем так, что ось симметрии
зеркала перпендикулярна к плоскости Р в точке Л.
Зная, что наименьший угол между лучами, отражен­
ными зеркалом и плоскостью Р равен 15°, определить
расстояние от зеркала до плоскости и радиус осве­
щенного на плоскости Р круга.

Вариант 36
133. Решить систему
х + у + г = 9,
1 + 1 + * = 1
х ^ у ^ г
ху + хг + уг = 27.
134. Пункты А и В расположены на прямолинейной
магистрали, идущей с запада на восток. Пункт В
в 9 км восточнее Л. Из пункта Л на восток выходит
автомашина, движущаяся равномерно со скоростью
40 км/час. Одновременно из В в тоМ же направлении
21
с постоянным ускорением 32 км/час2 выходит мото­
цикл. Определить наибольшее расстояние между авто­
машиной и мотоциклом в течение первых двух часов
движения.
Указание: полезно начертить график зависимости расстояния
м еж ду автомашиной и мотоциклом от времени.
135. Показать, что отрезки, соединяющие вершины не­
которой трехгранной пирамиды с центрами тяжести
противолежащих граней, пересекаются в одной точке.
136. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
9 (X) = 31П6 х + соз6 х .
Вариант 37
137. Велосипедист выехал из пункта А в пункт В и ехал
с постоянной скоростью 20 км/час. Когда он проехал
8 ~ км, его догнал автомобиль, вышедший из А на
15 мин. позднее и шедший тоже с постоянной скоро­
стью, После того, как велосипедист проехал еще
25 км, он встретил автомобиль уже возвращавшийся
из В 9 где он простоял полчаса. Найти расстояние
между А и В.
138. Найти все решения системы:
3
31П2 Х + 51П2 у = ,
X + у = 75°.
139. Доказать, что если ах^> а2^> а3^>0, то
I 1 > 3.
«2 Оз О)
140. Из концов данной дуги окружности проведены каса­
тельные до взаимного пересечения и в полученную
фигуру вписан круг. Найти радиус вписанного круга,
если заданная дуга равна а и ее хорда равна а.
141. Два шара радиуса Г\ и два шара радиуса г2 лежат
на плоскости так, что каждый шар касается трех
других. Найти отношение гх :г2.
22
Вариант 38
142. Два пешехода направились одновременно из пункта
А в пункт В. Первый шел половину времени со ско­
ростью а км/час, а вторую половину со скоростью
Ь км/час, второй шел первую половину пути со
скоростью Ь км/час, а вторую — со скоростью а км/час.
Который из них пришел скорее к месту назначения?
143. Найти действительные корни уравнения:
У х — У а — х + У Ь— х у
где а > Ь > 0.
144. Найти все значения х, для которых
1б*+2 *2 > 1 -
145. Найти сторону квадрата, вписанного в сегмент, дуга
которого равна а, а хорда равна а .
146. Найти радиус шара, описанного около треугольной
пирамиды, в основании которой лежит треугольник со
сторонами 13, 14 и 15, а боковые ребра наклонены
к плоскости основания под углом 15°.
Вариант 39
147. Отец предполагал распределить некоторую сумму
денег между своими тремя сыновьями в отношении
7:6:5. Затем он изменил свое решение и эту же сумму
разделил в отношении 6:5:4. Кто из сыновей полу­
чит больше в результате второго деления? Кто меньше?
Известно, что один из сыновей в результате второго
деления получил на 12 руб. больше другого. Сколько
получил каждый?
148. Решить уравнение
зес Л + созес х = 2 2 а.
149. Найти сумму всех четырехзначных чисел, которые
можно написать данными цифрами а9 Ь, г, ни одна
из которых не есть нуль, причем все четыре цифры
различны.
150. Найти сторону а треугольника и его площадь 5, если
даны его углы А н В и полупериметр р.
151. Ребро кубд равно а. Найти радиус цилиндрической
поверхности, осью которой служит диагональ куба,
если известно, что эта цилиндрическая поверхность
касается ребра куба.
23
Вариант 40
152. Из пункта А на берегу озера в пункт В, располо­
женный на берегу реки, впадающей в это озеро, вы­
шел катер; он прибыл к месту назначения через 1 час.,
пройдя по озеру а км, а по реке половину этого рас­
стояния. Скорость течения реки Ь км/час. Найти соб­
ственную скорость катера.
153. Составляется таблица умножения целых чисел, в пер­
вой колонне которой произведения числа 1 на числа
1 , 2 , 3,...«, во второй — произведения числа 2 на те
же числа 1, 2 , 3,..., п, в последней — произведения
числа п на числа 1,2, 3,.... п. Найти сумму всех чисел
таблицы. Найти сумму всех печатных чисел таблицы.
154. Найти все значения к, при которых корни уравнения
кхг — (к + 1) х +.2 = О
будут действительны и оба по абсолютной величине
меньше 1 .
155. Найти угол А треугольника, если заданы длины его
сторон Ъ и с и длина / биссектрисы внутреннего угла А.
156. На плоскости Р стоит равносторонний конус (осевое
сечение — равносторонний треугольник), высота кото­
рого 10 см. Каждый из трех равных между собою
шаров, лежащих на плоскости Р внутри конуса, ка­
сается двух других шаров и боковой поверхности ко­
нуса. Найти радиус шаров.
Вариант 41
157. В два сосуда Л и В одинакового веса налита вода,
л » 4 причем вес сосуда А с водой составляет веса со­
суда В с водой. Если содержимое сосуда В перелить
в сосуд А, то вес последнего с водой превзойдет вес
сосуда В в 8 раз. Найти вес каждого сосуда и коли­
чество воды в каждом из них, зная, что в сосуде В
содержится на 50 г больше воды, чем в сосуде А.
158. При каких значениях к корни уравнения
кхг кх — 2 = 0
будут действительны и один корень по абсолютной
величине будет больше 1, а другой по абсолютной
величине будет меньше 1?
159. Решить уравнение
(1§ х)3'п* = (с1б * ) с08 *.
160. Из внешней точки А проведены две взаимно перпен­
дикулярные секущие А В й и АСЕ круга. Площади
треугольников АВС и ЛПВ относятся как т : п. Опре-
делить величину дуг ВС и ИЕ.
161. Каждый плоский угол при вершине трехгранного
угла равен 60°. В этот трехгранный угол вписаны два
касательных друг к другу шара. Найти отношение их
радиусов.

Вариант 42
162. Велосипедист совершил поездку из Л в В и обратно.
Путь состоял из горизонтальных участков, подъемов
и спусков. На горизонтальных участках он ехал со
скоростью 1 2 км/час, на подъемах — 8 км/час., а на
спусках — 15 км/час. Из Л в В велосипедист ехал 5 час.,
а из В в Л — 4 час. 39 мин. Определить общую длину,
подъемов и общую длину спусков, если горизонталь­
ная часть пути составляет 28 км.
163. Найти все значения х, для которых
1& (х* — х — 1)
2
есть действительное число.
164. Решить уравнение
. , 1 — соз х
165. В треугольнике ЛВС дана длина а стороны ВС и
угол Л. Найти стороны бис, если известно, что
с =26. Исследовать, при каких а и Л задача имеет
решение.
166. В пирамиде ЗАВС дано: АВ = АС — Ъ, ВС = 6 ; вы­
сота пирамиды проходит через середину ВС и равна 1 .
Найти радиус шара, вписанного в эту пирамиду.
Вариант 43
167. Перевозка одной тонны груза от пункта М до пункта N
по железной дороге обходится на 6 коп. дороже, чем
■водным путем. Сколько тонн груза можно перевезти
по железной дороге из М в N на сумму 5 руб., если
25
водным путем на ту же сумму можно перевезти на
к Т больше, чем по железной доррге.
168. Выразить х, через г, если
1 1
у = Ю1- ^ * , г = Ю'-Ъу.
169. Найти все значения х, для которых
агс У~х > агс соз (1 — х).
170. Вычислить длину / биссектрисы внешнего угла А
треугольника, если даны его стороны Ь и с и угол А
между ними.
171. На плоскости Р стоит равносторонний конус (осевое
сечение — равносторонний треугольник), высота кото­
рого 10 см. Каждый из трех равных между собою
шаров, лежащих на плоскости Р вне конуса, касается
двух других шаров и боковой поверхности конуса.
Найти радиусы шаров.
Вариант 44
172. Букинистический магазин продал книгу со скид­
кой 1 0 % с назначенной цены и получил при этом 8 %
прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально
полагал получить магазин?
173. Упростить выражение:
где а > 2 . '
174. Найти все значения а, при которых уравнение
зш® х — (а2 2а) зш х + а9 + а2 = 0
имеет решения.
175. Внутри окружности пересекаются в точке Е хорды
АВ и СО. Площади треугольников ЛЕС и ВЕО отно­
сятся, как т '.п, а угол между этими хордами ра-
вен 30°. Определить дуги АС и ВО.
176. В параллелепипеде длины трех ребер, выходящих
из общей вершины, равны а, Ь и с. Ребра а и Ь вза­
имно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым
из них угол а. Определить объем параллелепипеда и
угол 9 между ребром с и плоскостью прямоугольника.
26
177. Из А в В и из В в А одновременно вышли два
пешехода. Когда первый прошел половину пути, вто­
рому осталось пройти 24 км, а когда второй прошел
половину пути, первому осталось пройти 15 о*. Сколько
километров останется пройти второму пешеходу после
того, как первый закончит переход?
178. Решить систему уравнений
соз2 х + соз2 у = а,
х + У = Ъ.
179. Найти 1^2 и 1^5, если 1§676 = а и 1§104 = 6 .
180. В данный треугольник вписана окружность, и точки
касания соединены между собой. Определить стороны
полученного треугольника, зная стороны а, Ь, с дан­
ного треугольника.
181. Цилиндрическая поверхность, ось которой перпенди­
кулярна к диагонали квадрата и образует с его пло­
скостью угол а, касается всех сторон квадрата; зная,
что сторона квадрата равна а, найти радиус цилинд­
рической поверхности.
Вариант 46
182. Из города А в город В отправляются одновременно
две автомашины, причем скорость первой на а км
в час больше скорости второй. Первая автомашина
приходит в город б на / час. раньше второй. Опре­
делить скорости автомашин, если расстояние между А
и В равно 5 км.
183. Дан квадратный трехчлен
ах2 + Ьх + с
с действительными коэффициентами, причем а Ф 0 и
Ь ф О. Доказать, что существует такое действительное
значёние для к, при котором
ах2 -{- Ьх -{“ с -{- к (х2 1)
будет полным квадратом некоторого выражения пер­
вой степени ^относительно х.
184. Решить уравнение
31П3 X — СОЗ3 X = 31П2 X — СОЗ2 X.
Вариант 45
27
185. Даны стороны а, Ь, с треугольника АВС. Найти
длины та и ть его медиан, проведенных к сторонам
а и Ь. При каком условии возможно равенство
та = ть?
186. Все двугранные углы между боковыми гранями пра-
вильной треугольной пирамиды равны а. Найти дву­
гранный угол, образуемый боковой гранью с осно­
ванием.
Вариант 47
187. Найти знаменатель геометрической прогрессии, зная,
что сумма первых пяти членов прогрессии равна ее
первому члену.
188. Найти все значения а, при которых корни уравнения
х 2 + 4ах + 2 а 2 + 3 а — 1 = 0
будут действительны.
189. Решить уравнение
31пх + зтЭх = 2 .
190. Даны стороны а, Ь, с треугольника АВС. Пусть
О — центр окружности, описанной около этого тре­
угольника. Выразить через стороны треугольника рас­
стояние от точки О до стороны ВС.
191. АВСБ — квадрат. Через стороны А В, ВС, С А и й А
этого квадрата проведены четыре плоскости, перпен­
дикулярные к плоскости квадрата, которые образуют
призматическую поверхность. Проводится плоскость,
пересекающая указанную поверхность по ромбу с ост­
рым углом а. Найти угол наклона этой плоскости
к п л о с к о с т и квадрата АВСЭ.
Вариант 48
192. Расстояние от точки А до точки В равно 5. Точка М
проходит это расстояние (двигаясь равномерно) за
некоторое время. Если бы расстояние 5 было на 1 м
больше, а скорость на 1 м/сек меньше, то затрачен­
ное время было бы в два раза больше, а если бы рас­
стояние 5 было на 1 м меньше, а скорость на 1 м/сек
больше, то путь был бы пройден в два раза скорее.
Найти расстояние 5 и скорость движения точки М.
193. При каких значениях а оба корня уравнения
х2 + (1 — а) х + а = 0
будут положительны?
28
194. Решить систему уравнений
Х + У = ~ 2 ,
1§х + ^ у = 2.
195. Даны стороны а, Ь и с треугольника АВС. Пусть О
центр окружности, вписанной в этот треугольник.
Выразить длину отрезка АО через стороны треуголь­
ника.
196. В треугольной пирамиде все боковые ребра и две
стороны основания равны Ь. Угол между указанными
сторонами основания равен а. Вычислить объем пира­
миды.
Вариант 49
197. Один сплав металлов А и В содержит эти металлы
в отношении 2 :3, другой сплав содержит те же ме­
таллы в отношении 4 : 3. Сколько килограммов второго
сплава надо взять на 1 кг первого сплава, чтобы после
сплавления этих сплавов в один, содержания метал­
лов А и В были бы равны между собой?
198. Доказать, что
х2 + У2 + ?2 — Уг — ?х — ху > О
при всех действительных значениях х, у и г . При
каком условии имеет место знак равенства?
199. Решить систему уравнений
1
51П X СО3 у = 51П у СОЗ X = -у •
2 0 0 . Даны стороны а, 6 , с треугольника АВС. Пусть Н —
точка пересечения его высот. Выразить через а, Ь, с
длину отрезка АН.
2 0 1 . Углы треугольника равны А, В и С. Определить,
как относятся между собой объемы тел вращения,
полученных при вращении этого треугольника последо­
вательна вокруг его сторон.
Вариант 50
2 0 2 . Двое рабочих затрачивают на выполнение некоторой
работы 25 час.г причем первую половину работы сна­
чала выполняет первый рабочий, а затем вторую поло­
вину работы выполняет второй рабочий. Если же они
29
будут работать вместе, то они затратят на эту же
работу 12 час. Найти за сколько часов каждый из них
в отдельности может выполнить всю работу.
203. Найти все значения рад, при которых х4 + 1 де­
лится на х 2 + рх + д.
204. Решить систему уравнений
*8 * + *8 У = 2 1 б*, *8 **8 У = *8 г» * + У + г = ^ .
205. АВС — равносторонний треугольник со стороной,
равной УИ9. Найти радиус окружности, проходящей
через точки А и В и делящей пополам окружность,
вписанную в треугольник АВС.
206. В треугольной пирамиде два плоских угла при вер­
шине равны а, а третий плоский угол при той же
вершине равен |3. Боковое ребро, служащее боковой
стороной равных плоских углов, перпендикулярно
плоскости основания и длина его равна а. Определить
объем пирамиды.
Вариант 51
207. Два крана, работая одновременно, наполняют сосуд
за 18 час. В какое время наполняет сосуд каждый
кран в отдельности, если известно, что один первый
кран наполняет сосуд на 27 час. дольше, чем один
второй?
208. Доказать, что если р 1р2 = 2 (<71 + <72), то по крайней
мере одно из уравнений:
х* -{■* р1 х х^ -}- Р2 X Я 2 ~ 0
имеет действительные корни (ри р2, Яг— действи­
тельные числа).
209. Вычислить без таблиц: соз 55° • соз 65° • соз 175°.
2 1 0 . Радиус окружности, вписанной в прямоугольный
треугольник, равен г, а радиус окружности, касаю­
щейся гипотенузы и продолжений катетов, равен /?.
Вычислить площадь этого прямоугольного треуголь­
ника.
211. В шар радиуса Н вписана правильная треугольная
пирамида, у которой двугранный угол при основании
равен а. Найти сторону основания и боковое ребро
этой пирамиды.

30
2 1 2 . Сумма т первых членов арифметической прогрессии
равна п, а сумма п первых членов той же прогрессии
равна т . Найти сумму т + п первых членов.
213. Доказать, что если х + у + г = 3, то х % + у2 + г 2;>3.
214. Решить уравнение
ЗШ X + СОЗ X 31П 2х = 1.
215. В треугольнике АВС дано: а = 14, На = 1 2 , Ь + с =
= 28. Вычислить бис.
216. На плоскости лежат вокруг общей вершины п рав­
ных последовательно касающихся друг друга конусов.
Определить угол а при вершине в их осевом сечении.
Вариант 53
217. Сколько различных четырехзначных чисел, деля­
щихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
218. При каком условии уравнение х 3 + р х + (7 = 0 имеет
два равных корня? Предполагая это условие выполнен­
ным, найти этот корень.
219. Решить уравнение:
ЗШ4 X + СОЗ4 X + 51П 2х + й = 0.
220. В треугольнике АВС проведены высоты ССг и А А Л.
Вычислить площадь треугольника ВСгА и если АВ = 13,
ВС = 14, СА = 15.
2 2 1 . В правильной четырехугольной пирамиде двугранный
угол при основании равен а. Через ребро основания
проведена внутри пирамиды плоскость, составляющая
с основанием угол р. В каком отношении она делит
площади тех боковых граней, которые она рассекает
на два треугольника?
Вариант 54
2 2 2 . Найти три числа, образующие геометрическую про­
грессию, зная, что их сумма равна 7, а сумма их
квадратов равна 2 1 .
223. При каком состоянии между а, б, с корни уравне­
ния х3 + я* 2 + Ьх + с = 0 образуют геометрическую
прогрессию?
224. Вычислить без таблиц: соз у ^ С0 5 уд-
Вариант 52
31
225. По двум сторонам Ь и с треугольника АВС и бис­
сектрисе I внутреннего угла А вычислить третью сто­
рону а.
226. Из точки 5 сферы радиуса # проведены равные
между собою хорды: 5Л = 8В — 8С — 5 /) так, что
^ Ю8В = / В 8 С = /С 8 А = ^Б8А = а. Вычислить
длину 5.4.
Вариант 55
227. Двое рабочих заработали — один 80 руб., другой
45 руб.; первый работал на 5 час. больше второго.
Если бы первый работал столько часов, сколько вто­
рой, а второй столько часов, сколько первый, то они
заработали бы поровну. Сколько часов работал каждый
и сколько он получал в час?
228. Найти коэффициент при хк в выражении:
1 + (1 + х) + (1 + х)« + . . . + (1 + х)п.
Вычислить значение этого коэффициента также при
к = 9, п = 14.
229. Доказать, что
1 — х
т —— — агс соз х.
1 + х
230. По данным двум сторонам а п Ь треугольника найти
третью сторону, зная что медианы та и ть пересе­
каются под прямым углом.
231. Прямоугольник вращается вокруг оси, которая про­
ходит через его вершину параллельно диагонали. Вы­
числить объем тела вращения, если площадь прямо­
угольника равна «, а острый угол между диагона­
лями равен а.
Вариант 56
232. Через два крана бассейн наполняется при совмест­
ном действии за р час. Если бы половину бассейна
наполнить сначала через один кран, а вторую поло­
вину через второй, то для наполнения бассейна по­
требуется <7 час. Во сколько часов наполняется бассейн
через каждый кран в отдельности. При каком условии
задача имеет решение?
233. Вычислить
}/" х + 2 У х — 1 + | / х — 2 ] / л — 1 .
1) при 1 < х < 2 ; 2 ) при * > 2 .
32
234. Решить уравнение:
соз (тс )/"*) соз (тс у "х — 4) = 1.
235. Стороны треугольника связаны соотношением: о2 =
= с (Ь + с). Доказать, что угол А вдвое больше угла С.
236. Основанием пирамиды служит прямоугольный тре­
угольник, площадь которого равна а; боковые ребра
равны между собой; двугранные углы при катетах
основания равны аир. Вычислить объем пирамиды.
Вариант 57
237. Из города А в город В выезжают одновременно два
велосипедиста, а навстречу им в тот же момент из
города В в город А выезжает третий велосипедист.
Через /1 час. от начала движения первый велосипе­
дист находится посередине расстояния между двумя
другими. Через / 2 час. от" начала движения третий вело­
сипедист находится посередине расстояния между двумя
другими. Через сколько часов от начала движения
второй велосипедист будет находиться посередине рас­
стояния между первым и третьим? При каком условии
задача имеет решение?
238. Дана последовательность чисел аи а,2, а3, . . . , ап, ...,
таких, что
ап+1 ~
найти «1 + о.ъ + 0 » + 013 + ап + 0 21 + 025, считая аг
данным (причем «1 ф 0 , 01 Ф 1, аг ф — 1).
X X 239. Решить уравнение созлт + со з-^ + соз -^- = 3. Сколько
корней имеет это уравнение в промежутке
0 < х < 10000?
240. В треугольнике АВС угол А вдвое более угла С.
Найти зависимость между сторонами.
241. Вычислить объем треугольной пирамиды, у которой
два скрещивающиеся ребра, длины которых равны а
и Ь, образуют угол а, а кратчайшее расстояние между
ними равно с.
2 З ак . 3478 33
Вариант 58
242. Сколько понадобится цифр, чтобы выписать все целые
числа от 1 до 10 я включительно (м — целое положи­
тельное число)?
2 4 3 . Найти все значения х, для которых
244. Дано, что углы А, В и С треугольника АВС связаны
соотношением А = 2 (с!§В + с!§С). Вычислить сто­
роны Ь и с этого треугольника, если задан угол А и
сторона ВС — а.
245. Доказать, что если |х | < 1 , то
246. В правильную четырехугольную пирамиду вписан
цилиндр, осевое сечение которого квадрат, причем ось
цилиндра параллельна диагонали основания пирамиды.
Найти радиус цилиндра, если боковое ребро пирамиды
равно 5, а высота пирамиды равна 3.
247. Две материальные частицы А к В, находящиеся друг
от друга на расстоянии 1 м, движутся с постоянной
скоростью 1 м/сек по одной и той же прямой, накло­
ненной к упругой стенке под углом 45° и после отра­
жения от стенки (по закону оптики) продолжают дви­
жение с той же скоростью. Частица В движется
впереди частицы А. Через какой промежуток времени,
считая от того момента, когда от стенки отражается
частица В, расстояние между А н В будет наименьшим?
Чему будет равно это наименьшее расстояние?
248. Решить систему уравнений: соз (я ху) — 1§ 3 (х2 + у2) =
249. В треугольнике АВС три угла, расположенные в по­
рядке возрастания А < / В <С. С, образуют арифметиче­
скую прогрессию с разностью <р. Найти углы и сто­
роны треугольника АВС, зная его периметр 2р и вели­
чину ср. При каком условии задача возможна?
250. Найти радиус сферы, описанной около пирами­
ды 8АВС, если АВ — АС = 30, ВС = 48, 5^4 — перпен­
дикулярно плоскости основания и равно 1 2 0 .
Вариант 59
= 1.
34
п х п -*■ *
1 + 2х + 3*2 + ... + Л*»-' - (Т - ^ - = о.
251. Решить уравнение
Вариант 60
2 5 2 . По окружности радиуса В в одном направлении из
одной и той же точки выходят три точки со скоро­
стями Ух, у2, у3. При каком условии эти точки через
некоторый промежуток времени совпадут все три
с одной и той же точкой окружности? Предполагая
это условие выполненным, найти промежутки времени,
через которые будут происходить совпадения всех трех
точек.
253. Найти все значения х, при которых
 ! 1 < 1.
5 — 1+1&10*
254. Решить систему уравнений
I « • 1 31П X - |- СОЗ у = 1, 51П У + С О З* = — .
255. В вершинах треугольника АВС проведены касатель­
ные к его описанной окружности. Зная углы А, В, С
треугольника АВС, вычислить углы треугольника,
образованного этими касательными.
256. Параллелограмм, имеющий стороны а и Ь и острый
угол а, вращается около перпендикуляра к большей
диагонали, проведенного через ее конец (в плоскости
параллелограмма). Определить объем тела вращения.
Вариант 61
257. Из города А в город В и из города В в город А
одновременно вышли два пешехода. Когда первый
прошел половину пути, второму осталось пройти 24 км,
а когда второй прошел половину пути, первому оста­
лось пройти 15 км. Сколько километров останется
пройти второму пешеходу после того, как первый
закончит переход?
258. Исходя из равенств
(х 1)” = хп -\-СпХп~ 1 -}- Сл хп~ 2 Сп х + 1,
(х — 1)я = х" — С 1п хп~ г + Сп хп~ 2— ... +
а* зз
вычислить
I 2 - (СА) 2 + ( с 2) 2 - ( С 1 У + 1)» (с")2.
259. Выразить созбх через созх, а затем, исходя из
равенства соз (5 • 18°) = 0 , вычислить соз 18°.
260. Треугольник АВС вписан в окружность с центром О.
Сторона ВС проходит через середину О радиуса ОА.
Угол ЛОВ равен <р. Вычислить углы треугольника АВС.
261. Ребро куба равно 1. Вычислить радиус круглой ци­
линдрической поверхности, проходящей через 6 вер­
шин куба, если ось цилиндра параллельна диагонали
грани куба.
Вариант 62
262. Две суммы денег, всего 50 000 руб. положены в сбер­
кассу по 3% годовых. Каждая из них дала 600 руб.
дохода, причем первая сумма находилась в сберкассе
на 4 месяца дольше, чем вторая. Как велика каждая
сумма и за какие сроки получены указанные доходы
(по 600 руб.), если известно, что ни один из этих сро­
ков не превышает одного года?
263. Разложить на множители первой степени относи­
тельно х, у, г следующее выражение
хг + у2 + г2 — у г — гх — ху
(употребление комплексных коэффициентов допу­
скается).
264. Для треугольника АВС задан периметр 2р, радиус г
вписанной окружности и высота На (опущенная на сто­
рону ВС). Найти стороны.
265. Найти радиус круглой цилиндрической поверхности,
проходящей через одно ребро и через все вершины
правильного тетраэдра. Ребро тетраэдра равно а.
266. Доказать, что если
0 < Л < | - , 0 < В < | - , 0 < С < | и
А + В + С = % ,
то
№ А + \ & В + Ч * С > \ .
При каком условии имеет место знак равенства?
267. Типографский шрифт готовится из сплава трех метал­
лов А, В и С с процентным содержанием р% , <7%,
г% (р + Я + г = ЮО). После износа шрифта его пере­
плавляют и при этом после переплавки процентное
содержание металлов А, В , С меняется и становится
р'%, ?'%, г'%, (р' + + г' = 100). Доказать, что
для восстановления начального процентного содержа­
ния металлов в сплаве достаточно к переплавленному
сплаву добавить только два металла из трех. В каких
количествах это следует сделать и каких металлов
нужно добавить на 5 кг переплавленного сплава,
содержащего металлы Л, В, С в количествах р'%,
<7'%, г'% для восстановления начального процентного
содержания этих металлов.
268. Найти все действительные значения х, при которых
существует дуга
агс 51П (2х2 + + 1).
269. На прямой, проходящей через вершину Л параллело­
грамма, перпендикулярно к его диагонали, выходящей
из этой вершины, взята произвольная точка М. Найти
отношение проекций отрезка АМ на стороны паралле­
лограмма, если стороны параллелограмма равны а и Ь.
270. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды
равно 6 , и оно образует с плоскостью основания угол а.
В эту пирамиду вписан цилиндр с квадратным осевым
сечением так, что основание цилиндра лежит в пло­
скости основания пирамиды. Определить высоту ци­
линдра.
271. Решить уравнение
х _ 35
* + У * ! г у - Т 2 -
Вариант 64
272. Производительности машин Лг, Л2, . . . , А п таковы,
что машины А\, Аг, . . . , А^-^ (г — произвольно и
меньше « + 1) выполняют вместе в один день такую
работу, которую машина Аг выполняет в р дней. Ма­
шина Ап выполняет некоторую работу в 1 день. Сколько
времени нужно для выполнения этой работы маши­
ной Л ь сколько времени нужно для выполнения этой
работы машиной Аг, где г > 1 ?
 

 

Категория: по математике | Добавил: Админ (16.02.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar