Задача №5405

Ответы к сборнику задач по математике Моденов (Часть 2)

Поиск задачи:

Здесь представлено решение задачи по математике. Если у вас возникли сложности в решении то вы можете воспользоваться ответами которые размещены на данной странице. Вы конечно можете не согласиться с ответами, но данная информация размещена с целью ознакомления. Списывать с ответов или решать самому выбирать вам. Данная задача по теме
Решение задачи:

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Условие задачи:

Ответы в самом низу встроенного документа

273. Решить систему уравнений:
* , 1 + 1/3 агс зш * + агс соз у = , х + у = — — .
274. Даны два луча, выходящие из одной и той же точки О
и образующие между собой угол а. На первом луче
отложены отрезки ОА = а и О А ' — а', на втором ОВ =
= Ь, ОВ' = Ь'\ на отрезках О А и ОВ построен парал­
лелограмм ОАСВ, на отрезках О А' и ОВ' также по­
строен параллелограмм О Л 'С 'В '. Вычислить косинус
угла СОС между их диагоналями.
275. Круговой сегмент, стягиваемый хордой длины а,
вращается вокруг диаметра, параллельного этой хорде.
Вычислить объем тела вращения.
276. Доказать, что если То
а + 6
2 1 / ....а,.... А .
_ 2~ \ 1 + <зг +
+ \ 2 )
Вариант 65
277. Найти все значения х, для которых
1ё*(2 х ) > 1е 2*л:.
278. Велосипедист и пешеход отправляются из одного и
того же пункта А в пункт В. Велосипедист, прибыв
в В на 50 мин. раньше пешехода, тотчас же отправ­
ляется обратно в Л и встречается с пешеходом на
расстоянии 2 км от В. На весь путь от Л до В и об­
ратно велосипедист тратит 1 час. 40 мин. Найти рас­
стояние АВ и скорости (в м/мин) велосипедиста и
пешехода.
279. Найти все значения а из интервала 0<а<2гс, для
которых корни уравнения
зес2 х — 2 с1§ а х — 0
действительны и все лежат в пределах
йя < х < + кк.
38
280. Внутри треугольника АВС берется точка О такая,
что ^ С АО — ^ АВО = ^ ВСО = а. Зная углы А, В,
С треугольника АВС, найти угол а.
281. В пространстве дана точка М, равноудаленная от
всех трех вершин некоторого прямоугольного треуголь­
ника на расстояние Ь. Гипотенуза этого треугольника
равна а. Найти расстояние от точки М до плоскости
треугольника.
Вариант 66
282. Дано квадратное уравнение:
х 2 — 2 (к — 1) х + 2к + 1 = 0 , где к < 0 .
Доказать, что корни этого уравнения действительны,
и исследовать их знак в зависимости от значений к < 0 .
283. Расстояние между городами А н В равно 900 км.
Два поезда отправляются одновременно один из А
в В, другой — из В в Л. Они встречаются в пункте М.
Первый прибывает в В через 4 час. после встречи,
второй прибывает в А через 16 час. после встречи.
Найти расстояние АМ и скорости поездов.
284. Найти все положительные корни уравнения:
3
$1 п2 а* — С052 ах — со5 -у- ах
( а > 0 , а ф 1).
285. Вне окружности радиуса г = 5 взята точка О и через
нее проведена секущая ОАВ, причем О А = 2 , ОВ = 8 .
Вычислить угол, который образует эта секущая с ка­
сательной, проведенной из точки О к данной окруж­
ности; берется та касательная ОС, для которой центр
окружности лежит внутри угла СОА.
286. В одной из вершин прямоугольника восставлен перпен­
дикуляр к плоскости этого прямоугольника. Конец
этого перпендикуляра отстоит от трех других вершин
прямоугольника на расстоянии а, Ь н е. Найти длину
этого перпендикуляра.
Вариант 67
287. Найти все значения х от О до 2 л, для которых
1§?0 51П х — 2 1§ю 2 1§ю 51П X — 31§1о 2 > 0.
39
288. Пешеход и велосипедист отправляются одновремен­
но — первый из Л в В, второй — из В в Л. Через
3 час. после отправления они встречаются в пункте М,
отстоящем от Л на четверть расстояния АВ. Зная, что
велосипедист делает в час на 10 км больше пешехода,
определить скорости пешехода и велосипедиста и длину
пути АВ.
289. Доказать, что если Х\ и х 2 суть корни уравнения
1§2 х — 2 вес а 1§ х + 1 = 0
и Ф 1§х2, то сумма Х1 + х2 кратна • При каких а
оба эти корня лежат в первой, либо в третьей чет­
верти?
290. Даны углы Л, В, С треугольника ЛВС; ЛО — меди­
ана, проведенная к стороне ВС. Вычислить угол С АО.
291. АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом
при вершине Л. Около него описана окружность,
радиус которой Вычислить катеты АВ и АС, зная,
что при вращении этого треугольника вокруг каса­
тельной, проведенной к описанной окружности в точ-
2
ке Л, получается тело, объем которого равен я/?3.
Вариант 68
292. Найти все значения х, для которых
— 4х + 3 ) > 1 .
293. Два лица, находящиеся друг от друга на расстоя­
нии 27 км, отправляются одновременно из пунктов Л
и В, двигаясь по прямой АВ. Они встретятся через
3 час., если будут идти навстречу друг другу и через
9 час., если будут идти в одном направлении. Найти
скорость каждого.
294. Найти значение т, при котором для корней XI и х2
тригонометрического уравнения
З т 1§2 х — 2 т х + т — 1 = 0 ,
удовлетворяющих условиям
0 < х а О , Х 1 ф х %,
40
выполняется равенство
I
+ Хъ = -0 - .
295. Острый угол между касательными, проведенными
к двум окружностям радиусов г у и г2 в точке их пере­
сечения, равен а. Определить радиус окружности,
касающейся обеих данных окружностей и их общей
касательной.
296. На расстоянии а от вершины трехгранного угла и
на равных расстояниях от его граней взята точка М.
Все плоские углы трехгранного угла равны а. Найти
радиус сферы с центром в точке М, которая касается
всех ребер этого трехгранного угла.
Вариант 69
297. Найти все значения к, для которых один из корней
уравнения
2кх* — 2х — Ък — 2 = 0
будет больше 1 , а другой—меньше 1 .
298. Грузовик должен был пройти из А в В со скоро­
стью 64 км/час. В течение 3 час. он шел с этой
скоростью. После 3 час. пути снежный занос заставил
его простоять 50 мин. и затем отправиться по другой
дороге, в результате чего путь удлинился на 31 км.
С другой стороны, скорость его на этом участке была
увеличена на 6 км/час. Опоздание составило 1 час 5 мин.
Найти расстояние АВ.
289. Решить систему уравнений
з т х + = 1/ 2 , 2 созхсозу = 1.
300. Вычислить углы треугольника, зная, что А = 60° и
Ь = с (2 4 - У Ъ ) (А — угол, заключенный между сто­
ронами Ь и с).
301. Все плоские угдр трехгранного угла равны а. Точка М,
находящаяся внутри этого трехгранного угла, отстоит
от его граней на расстояниях равных а. Найти рас­
стояние от точки М до вершины трехгранного угла.
41
302. Найти все значения л; от 0 до 27г, для которых вы­
ражение
1§ 1о *§ х
есть действительное число.
303. Пешеход и велосипедист отправляются из А в В.
Скорость пешехода V км/час. После того, как он про­
шел расстояние АС = а км,* его догоняет велосипедист,
выехавший через час. после него. Новая встреча
происходит тогда, когда пешеход прошел расстояние
СО — Ь, а велосипедист, доехав до В, после получасо­
вой остановки возвращается из В в А. Требуется
узнать скорость V' велосипедиста и расстояние АВ = х .
304. 1) Найти все значения а из промежутка 0 < ; а < 2 тс,
для которых уравнение
х 2 — 2х (соз а + з т а) + 1 = 0
имеет действительные и различные корни. 2 ) При
каких а один из корней этого уравнения равен 2 ] / з т 2 а?
Найти при этом условии оба корня.
305. Две окружности радиусов /?1 и / ? 2 с центрами Ох
и 0 2 касаются друг друга внешним образом. На от­
резке 0 1 0 2, как на диаметре, строится, окружность.
Найти радиус окружности, которая касается внешним
образом данных окружностей и внутренним образом
окружности, построенной на О1О2, как на диаметре.
306. Из некоторой точки М опущен на плоскость Р пер­
пендикуляр к и проведены две наклонные, углы которых
с перпендикуляром равны 30°. Угол же между нак­
лонными равен 60°. Найти расстояние между основа­
ниями наклонных.
Вариант 71
307. Доказать, что
51П4 X — 6 51П2 X + 8 > 0
при всех х.
308. Велосипедист отправляется с некоторой скоростью
из города А в город В , отстоящий от А на 60 км.
Затем он выезжает обратно из В в А с той же ско­
ростью, но через час после выезда делает остановку
Вариант 70
на 2 0 мин. После этого он продолжает путь, увеличив
скорость на 4 км/час. Какова была первоначальная
скорость велосипедиста, если известно, что на обрат­
ный путь от В до А он употребил столько же времени,
сколько на путь от А до В.
309. Пусть Хг и х% — острые положительные углы, удов­
летворяющие уравнению:
Найти Х\ + Хц.
310. На плоскости заданы две точки В и С на расстоянии
6 см друг от друга. Переменная точка А перемещается
по плоскости так, что все время АВ + АС = 10 см.
Доказать, что произведение
тангенсов половин углов В и С треугольника АВС
остается постоянным, и найти величину этой посто­
янной.
311. Плоские углы трехгранного угла соответственно
равны 45°; 45° и 60°. Найти величину двугранного
угла между гранями плоских углов по 45°.
Вариант 72
312. Найти все значения а из промежутка от 0 до 2к,
для которых уравнение
5* 4 - 5~* ^ ----- = зеса
имеет решение, и найти эти решения.
313. Пешеход отправляется из города А в город В; рас­
стояние АВ = 13 км 200 м. В тоже время из б в Л
выезжает велосипедист. Встреча происходит через
44 мин., после чего велосипедист прибывает в Л на
1 час. 45 мин. раньше, чем пешеход прибывает в В.
Каковы скорости пешехода и велосипедиста (в метрах
в минуту).
314. Доказать, что если = и а > 0 , то
3
у ) < - 4д1)8
При каком условии имеет место знак равенства?
13
315- А В С— треугольник, М — середина его стороны ВС.
Пусть прямая, проходящая через точку М , перпенди­
кулярна ВС, пересекает сторону АС или ее продолже­
ние в точке О, а сторону АВ или ее продолжение —
в точке N. Пусть О — середина отрезка МЫ. Доказать,
что углы В и С треугольника — острые, и найти соот­
ношение между ними.
316. 8 АВС — тетраэдр., в котором основание АВС — прямо­
угольный треугольник с гипотенузой ВС = 2а. Ребро 8В
перпендикулярно плоскости основания и его длина
также равна 2а. Доказать, что все грани этого тетра­
эдра — прямоугольные треугольники. Определить поло­
жение центра и радиус сферы, описанной около 8 АВС.
Вариант 73
317. При каких положительных х выражение
,а > 0 .а ф \
представляет собой действительное число.
318. В начале в поселке было 15000 человек. В течение
некоторого количества лет прирост населения соста­
вил 4% в год по отношению к этому первоначальному
количеству. После этого прирост населения стал рав­
ным 5% в год по отношению к числу жителей, имев­
шихся в городе в результате первого прироста. Узнать
продолжительность первого периода, если известно,
что второй промежуток времени, когда прирост состав­
лял 5%, длился на полгода дольше первого и за это
время прирост населения составил 2475 человек.
319. Доказать, что корни уравнения
— 2 хсозср + ( 2 — / з ) (1 — 4 51П2ф = 0
всегда действительны. Исследовать знаки корней,
л и когда 9 изменяется от 0 до •
320. Полуокружность ограничена диаметром А В = 2/?.
К этой полуокружности проведены в точках А и В две
касательные и еще третья касательная, пересекающая
эти две касательные соответственно в точках С и Д
и наклоненная к АВ под углом а. Вычислить длины
отрезков АС и ВЭ.
44
321. Шаровой слой имеет основаниями окружности радиу­
сов а и Ь. Поверхность пояса, ограничивающего слой,
равна сумме площадей его оснований. Вычислить
высоту пояса и радиус шара.
Вариант 74
322. При каких значениях к корни квадратного трехчлена
(2 — к)х* — Зкх + 2к
действительны и оба больше ?
323. Тело, взвешенное на неравноплечных весах, уравно­
вешивается при взвешивании на одной чашке грузом р г,
на другой — грузом ц г. Каков истинный вес тела?

324. Найти все значения х из промежутка О ^ х ^ - ^ ,
для которых
1§со5 * 5Ш X > 1ёз1п хСОЗХ.
325. Даны две концентрические окружности радиусов г
и /?, причем Определить сторону квадрата,
две вершины которого лежат на одной окружности,
а две — на другой. При каких условиях решение воз­
можно?
326. Пирамида с равными боковыми ребрами имеет в осно­
вании прямоугольник, стороны которого а и Ь. Соот­
ветствующие этим сторонам плоские углы при вер­
шине пирамиды относятся как 3:1. Определить объем
пирамиды.
Вариант 75
327. Решить неравенство
— 1___________1 1
Ы а Х - 1 1ёах*— 1
( а > 0 , а ф 1).
328. Два автомобиля выезжают одновременно из А в В.
Первый проходит на т км в час больше, чем второй,
а потому приходит в В на п час. раньше. Расстоя­
ние АВ равно а км. Определить скорости автомобилей.
329. Решить уравнение:
У~2> . , , 1 г . _ _
•г~2 — 81П ах + 2 " соз ах = з т 5 ах.
45
Исследовать знак корней в зависимости от а ( а > 0, афО).
330. Две окружности касаются друг друга внутренним
образом. Радиус меньшей окружности равен г. Хорда
большей окружности, касающаяся меньшей, делится
в точке касания на части а и Ь. Найти радиус боль­
шей окружности.
331. ЗАВС — тетраэдр, ребро 8 А которого перпендику­
лярно плоскости АВС. Грани 8 ВС и 8В А взаимно­
перпендикулярны. Доказать, что центр сферы, описан­
ной вокруг этого тетраэдра, является серединой от­
резка 5 С.
Вариант 76
332. При каких значениях к корни квадратного трех­
члена
4* - | , * + А - з
действительны и сба меньше 2 .
333. Несколько человек должны были уплатить поровну
сумму 10800 руб. Но эту сумму уплатили не все,
а на два человека меньше и потому доля каждого уве­
личилась на 900 руб. Сколько человек участвовало
в платеже фактически.
334. Решить уравнение:
1о§з1п хСОВХ • 1о§5,п* * (51П XСОВ х) = 1.
335. Из точки вне окружности радиуса г проведены под
углом а две секущие, отстоящие от центра на одина­
ковом расстоянии а. Определить площадь трапеции,
боковыми сторонами которой служат внутренние части
секущих.
336. Определить радиус шара, описанного около правиль­
ной треугольной пирамиды, у которой каждое боковое
ребро равно Ь, а сторона основания — а.
Вариант 77
337. Решить неравенство
2 а*— 1 > о2* — -§-«* — 2 ( а > 0 , а Ф 1).
338. Двое рабочих, работая равномерно, но с разной про­
изводительностью, окончили работу за 20 час. Если бы
46
сначала первый сделал часть работы, а потом один
о
второй остальную часть, то общее затраченное ими
время было бы 50 час. Во сколько времени каждый
из них в отдельности мог бы окончить работу?
339. Решить уравнение:
51П4 X + С054 X = а 51П 2х + ^ (а > 0).
При каких (больших нуля) а решение существует?
340. Даны стороны а, Ьу с треугольника АВС. Вычислить
угол Л8 В, где 5 — точка пересечения медиан.
341. Найти радиус сферы, касающейся всех ребер пра­
вильной пирамиды, у которой в основании треугольник
со стороной а, а боковое ребро равно 6 . Сколько ре­
шений имеет задача?
Вариант 78
342. При каких значениях р корни квадратного трехчлена
(2 + 1о§_^/>) дс2 + 5х 1о§ 2 р — 6 1о§2 _ Р
2 2 2
действительны и оба больше единицы?
343. Поезд был задержан на 16 мин. и нагнал опоздание
на перегоне 80 к м , увеличив скорость на 10 км/час
по сравнению с обычной. Найти обычную скорость
поезда, считая, что она всегда постоянна.
344. Решить уравнение
11п соз 51П X • 1о§з|п соз С05 X = .
345. Даны две концентрические окружности радиусов г
и /?, причем Определить сторону равносторон­
него треугольника, у которого вершина А лежит на
окружности радиуса г, а В и С — на окружности
радиуса /?.
346. Из точки 5 выходят три луча 8 Л, 8 В, 8 С, причем
^ В8С — ^ С 8 А = ^ А 8В = а. Луч 8М образует со
всеми тремя лучами 8 Л, 8В и 5С равные углы. Опре­
делить этот угол.
47
347. Решить неравенство
1обв *М - 1 ~ \оёа х - \ > ~ 1 (а> 0 ’ аф1)-
348. Некто, проезжая на равномерно движущемся трам­
вае, заметил своего знакомого, идущего в противо­
положную сторону. Через 8 сек. он сошел на оста­
новке* и пошел пешком за знакомым. Через сколько
времени он его догнал, если скорость его вдвое больше
скорости знакомого и в 5 раз меньше скорости трам­
вая?
349. Найти все значения х в промежутке 0 < х < 2тс, для
которых
2 соз2 х — 7 сое х + 3 > 0.
350. Вычислить острые углы прямоугольного треугольни­
ка, зная острый угол а между медианами, проведен­
ными к катетам.
351. Даны две концентрические сферы радиусов г и /?,
причем г<Д. Определить ребро правильного тетраэдра,
у которого одна вершина лежит на большей сфере,
а три других — на меньшей.
Вариант 80
352. При каких значениях а корни квадратного трехчле­
на 2 х2 — Зах + 2 — а действительны и оба < 1 .
353. Лодка спускается вниз по течению на расстояние
281/ г км, затем поднимается на 22*/г км. Вся поездка
продолжается 8 час. Какова собственная скорость
лодки, если известно, что скорость течения равна
2Ч2 км/час.
354. Найти все значения х, для которых справедливо
неравенство
1о§а ^соз х -{- у з т х | < 0 .
Рассмотреть два случая: 1) 0 < а < 1 ; 2) а > 1 .
Вариант 79
* Считать, что трамвай остановился мгновенно (без зам едле­
ния).
48
355. Внутри угла а с вершиной О взята точка М на рас­
стояниях М Р — а и М(/ = Ь от сторон угла. Вычислить
отрезки ОР, 0(2, ОМ.
356. В пространстве даны две скрещивающиеся взаимно­
перпендикулярные прямые р и <7; АВ — их общий пер­
пендикуляр, причем А лежит на р, В — на <7. На
прямой р перемещается точка М, на прямой <7 — точ­
ка N. Доказать, что сфера с диаметром ММ проходит
через точки Л и В. Доказать, что если АМ = ВИ, то
геометрическое место центров этих сфер есть две бис­
сектрисы углов между проекциями р и <7 на плоскость,
им параллельную и равноудаленную от них.
Вариант 81
357. Решить неравенство
+ Ь>0, Ъ ф 1.
358. Две прямолинейные железные дороги пересекаются
в пункте С. Из пункта А на одной железной дороге
и из пункта В на другой — одновременно в сторону С
отправляются два поезда, движущихся равномерно,
первый со скоростью 2 0 км/час, второй 30 км/час.
АС = 50 км, ВС = 40 км, /_ АСВ = 60°. Через сколь­
ко времени расстояние между поездами (по прямой)
будет равно длине отрезка АВ?
359. Найти все I в промежутке 0 < / <12тг, для которых
2 соз21 + 9 з т 1 + 3 > 0.
360. Найти геометрическое место точек пересечения высот
остроугольных треугольников, имеющих постоянную
и неподвижную сторону а и заданный противолежащий
угол А.
361. Даны две концентрические сферы радиусов г и /?,
причем г <1 Р. Четыре вершины куба лежат на сфере
радиуса Р , а противоположная грань касается сферы
радиуса г. Определить ребро куба.
Вариант 82
362- 1 т т т ‘+ 1-----------о - > 1 . Ь > 0, ЪФ\.
При каких значениях х имеет место это неравенство?
49
363. Число свободных нейтронов в реакторе, увеличив­
шись на некоторое число процентов, стало равным
31,25 • 10". Найти первоначальное число нейтронов,
если известно, что его отношение к 10я равно указан­
ному выше числу процентов.
364. Решить уравнение зш2 сх + з т 2 20х — з!п2 Зс*. Иссле­
довать знак его корней в зависимости от с(с > 0 , с Ф 1).
365. В треугольнике угол А равен 60°. В каких границах
Ь с
может меняться отношение. .
а
366. Ребро 5/4 пирамиды 8 АВС перпендикулярно к плос­
кости основания АВС;
5Л = 1, Л В = Л , ЛС = у | , =
Вычислить площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через А перпендикулярно ребру ВС.
Вариант 83
367. Температура воздуха за день поднялась на 10%,
а за ночь упала на 1 0 % (считая от последнего, более
высокого показания температуры). Каков процент из­
менения температуры в целом?
368. Найти все действительные значения к, при которых
корни уравнения
х2 -}- 2 х *4“ к -{- 0
будут действительны и различны и оба будут заклю­
чены между — 1 и + 1?
369. Решить уравнение 1о§ з т х + 1о§ з т Ьх — 1о§ зес 4х.
370. Дана длина а гипотенузы прямоугольного треуголь­
ника АВС {/_ А = 90°) и произведение / 2 длин биссек­
трис углов В и С. Найти эти углы В и С.
371. Определить радиус сферы, касающейся трех каких-
нибудь ребер правильного тетраэдра (все ребра кото­
рого равны а) и продолжений трех других его ребер.
Вариант 84
372. Найти все значения к, при которых корни уравне­
ния (2 + к) х2 — 2 кх + Зк — 0 действительны и поло­
жительны.

373. Найти все корни уравнения
$т2Ьх $тЗЬх = $\п5Ьх 0, Ь ф 1).
Исследовать знак корней в зависимости от Ь.
374. В каком отношении делит площадь правильного тре­
угольника прямая, пересекающая продолжение его
основания под углом р и делящая высоту от вершины
к основанию в отношении 3: 5?
375. Плоский угол при вершине правильной /г-угольной
пирамиды равен 0. Определить двугранный угол между
двумя смежными боковыми гранями пирамиды.
376. В одном из 2 растворов отношение веса растворен­
ного вещества к весу растворителя равно р, в дру­
гом <7. При смешивании некоторых количеств этих
растворов в одном сосуде отношение веса растворен­
ного вещества к весу растворителя оказывается рав­
ным г.
В каком отношении взяты веса смешанных частей
растворов? При каких условиях решение возможно?
Вариант 85
377. Найти все значения х , при которых
1 .+ , - т т зг 0 < а < 1 . 5 — 1о§а х 1 + 1о§а х
378. Решить уравнение $т® х + соз® х = а. При каких а
решение существует?
379. Через точку М , лежащую внутри круга радиуса г,
проведены диаметр АВ и хорда СО, составляющая
угол а с диаметром и угол р с хордой ВО. Найти
площадь треугольника М В Э .
380. Доказать, что отношение объемов 2 трехгранных
пирамид, из которых одна отсекается от другой плос­
костью, пересекающей ребра и не проходящей через
вершины, равно отношению произведений их ребер,
выходящих из общей вершины. Найти это отношение,
если большая пирамида является правильным тетраэд­
ром, а секущая плоскость перпендикулярна к одному
из ребер и проходит через середину высоты противо­
положной грани.
381. .Два сплава серебра и меди имеют одинаковую пробу
(пробой называется отношение веса серебра к весу
51
всего сплава). Если сплавить каждый из них с таким
количеством меди, которое содержится в другом, то
отношение проб новых сплавов будет равно т. Какова
первоначальная проба, если соответствующее отноше­
ние весов вновь полученных сплавов равно п. При
каких условиях задача разрешима.
Вариант 86
382. Найти все значения р, при которых корни уравне­
ния (р — 3) х 2 — 2 рх + Ър = 0 действительны и поло­
жительны.
383. Найти все корни уравнения $\пах $\п8ах —
— 51 п зш 5ах = 0. Исследовать знак корней в зави­
симости от а.
384. Угол при основании равнобедренного треугольника
равен а. В каком отношении делит площадь этого тре­
угольника прямая, делящая его основание в отношении
2 :3 и составляющая с большим отрезком основания
угол р (0 <С1 Р <С а)-
385. Определить плоский угол при вершине правильной
п-угольной пирамиды, если боковые ребра наклонены
к плоскости ее основания под углом а.
386. Имеется 4 сосуда. В одном сосуде находится р кг
водного раствора соли, в другом <7 кг. 3-й и 4-й со­
суды пусты. В первом сосуде весовое отношение соли
к воде равно а, во втором р. Из первого сосуда отли­
вают в третий, а из второго — в четвертый равные по
весу количества раствора. Затем содержимое 3-го со­
суда выливают во второй, а содержимое 4-го — в пер­
вый. После этого весовое отношение соли к воде
оказывается одинаковым в обоих сосудах. Сколько
раствора было отлито из каждого сосуда?
Вариант 87
387. Найти все значения х 9 при которых
5—-— < . ------1------г — 4 -. 0 < в < 1.
1о§л * 1 °ё а х — 1 2
388. Решить уравнение 2 §1п*дс + соз4* = Ь. При каких Ь
решение существует?
62
389; Из точки А, лежащей вне круга радиуса г, прове­
дены к окружности касательная АВ и секущая АС,
составляющая угол а с касательной и угол (3— с хордой
ВС. Определить площадь треугольника АВС (С— бли­
жайшая к А точка пересечения секущей с окруж­
ностью).
390. В пирамиде АВСБ грани ВСО и АВС — равнобед­
ренные треугольники (АВ = АС, ИВ = ОС). Плоскость,
проходящая через АВ перпендикулярно ВС, образует
треугольник с углами а и р (при вершинах А и Б —
соответственно). Какую часть объема пирамиды отсе­
кает плоскость, параллельная ВС и пересекающая А Б
под углом 7 , отсекая отрезок Б Е — ^ АВЪ
391. В одной’руде отношение веса железа к весу породы
равно р. Каково весовое отношение железа к породе
в другой руде, если смесь первой руды со второй
в отношении а (а — отношение веса первой руды к весу
второй) имеет весовое отношение железа к породе
равное г? Какому условию должно удовлетворять р,
чтобы задача была разрешима при а = 1, г < 1?
Вариант 8 8
392. Расстояние между городами А и В пароход прохо­
дит по течению реки на 1 час быстрее, чем против
течения; катер проходит то же расстояние по течению
на 1-^ час. быстрее, чем против течения. Катер про­
ходит от Л до В за то же время, за которое пароход
проходит от В до А. Найти отношение собственной
скорости парохода к собственной скорости катера.
393. На поверхности земли взяты два пункта А и В,
лежащие на одной широте 6 и имеющие долготы срх
и ф2* На сколько расстояние между пунктами А и В,
измеряемое по параллели, превышает кратчайшее рас­
стояние между этими пунктами, измеряемое по дуге
большого круга. Землю считать шарообразной, длину
окружности ее большого круга равной 40000 км. Рас­
смотреть частный случай А (45° с. ш., 10° в. д.),
В (45° с. ш., 100° в. д.).
394. В произвольном выпуклом шестиугольнике соединены
через одну середины сторон. Доказать, что точки пере-
53
сечения медиан двух образовавшихся треугольников
совпадают.
395. Решить систему
х2 у + 2у — у2 — 2 ху — О,
1о& ,у4-21обУх = 3.
Вариант 89
396. Из Л в В одновременно выехали 2 автомобиля
с одинаковой скоростью. Первый повернул обратно,
как только он встретился с пешеходом, вышедшим из
В в 8 час. утра, а второй, доехав до В в 9 час. утра,
вернулся в .-1 через 10 мин. после возвращения в А
первого автомобиля. Во сколько раз скорость автомо­
биля больше скорости пешехода?
397. В треугольной пирамиде ОАВС все плоские углы
при вершине О—прямые, а перпендикуляр, опущенный
из вершины на грань АВС образует с ребрами ОА,
ОВ и ОС углы а, р, т и по длине равен Л.
Определить радиус шара, вписанного в эту пирамиду.
398**. На касательной к окружности дандо две точки В
и С, симметрично расположенные относительно точки
касания А {В А = С А). Через точки В и С проводятся
две произвольные секущие ВВ2 и СС2, пересекающие
окружность соответственно в точках В 1 и Сг. Через
В2 и Сг и С2, В г проводятся прямые, пересекающие
касательную в точках О и В. Доказать, что ОА = АЕ.
399. Решить систему
у2 (х2 — 3) + у х + 1 = 0,
у2 (Зх2 — 6 ) + ух + 2 = 0 .
Вариант 90
400. Трое рабочих должны выкопать канаву определенной
длины. Если канаву разделить на 3 равные части, то
первый кончит свою часть работы на час раньше вто­
рого и на два часа раньше третьего. Если же первый,
закончив свою треть работы, станет помогать третьему,
то третий (вместе с первым) закончит свою часть
работы на 12 мин. раньше, чем второй закончит свою
треть. За сколько часов все трое закончат работу,
работая вместе?
64
401. В треугольной пирамиде ОАВС все плоские углы
при вершине О—прямые, а перпендикуляр, опущенный
из вершины О на грань АВС, образует с ребрами ОА,
ОВ и ОС углы а, р, у и по длине равен к. Опреде­
лить радиус шара, описанного около этой пирамиды.
402. Доказать, что если у выпуклого шестиугольника
противоположные стороны параллельны и три диаго­
нали, соединяющие противоположные вершины, равны
между собой, то вокруг этого шестиугольника можно
описать окружность.
403. Решить систему
2 х2 у2 — 4 у2 — ху + 2 = 0,
З х 2 у2 _ 8 у2 + 3л:у — 2 = 0 .
Вариант 91
404. Три трактора разной производительности вспахивают
два поля разной величины. Один третий трактор мо­
жет вспахать второе поле на 3 час. быстрее, чем
первый вспашет первое поле, но на 2 час. медленнее,
чем второй может вспахать первое поле. Первый и
второй тракторы вместе могут вспахать первое поле
на 6 час. быстрее, чем третий вспашет второе поле.
За сколько часов третий трактор вспашет второе поле?
405. В треугольной пирамиде ОАВС все плоские углы при
вершине О — прямые. Через центр М сферы, описан­
ной около этой пирамиды, проведена плоскость, парал­
лельная грани АВС и пересекающая ребра ОА, ОВ
и ОС соответственно в точках А ', В', С'. Найти отно­
шение объема пирамиды О А ’ В 'С ' к объему пирами­
ды ОАВС.
406. В прямоугольном треугольнике один из углов 60°.
Доказать, что три точки пересечения биссектрис внеш­
них углов с противоположными сторонами лежат на
одной прямой.
407. Решить систему
х2 (4 — 3у2) — 2 ху + 1 — 0,
х 2 (2 у2 — 2 ) — х у + 1 = 0 .
Вариант 92
408. Со станции А в направлении к станции В в 8 час.
вышел скорый поезд, а в 9 час. — товарный. Со стан-
55
ции В в 9 час. вышел в направлении к А третий поезд,
который в 10 час. встретился со скорым, а в 11 час.—
с товарным. Товарный поезд прибыл в В на 4 час.
позже скорого. Когда третий поезд прибыл в Л?
(Каждый поезд двигался равномерно).
409. Дана пирамида АВСО. Строим новую пирамиду
А ' В' С' следующим образом: точки А \ В ' опреде­
ляем как симметричные точкам А, В относительно
произвольной точки О', лежащей на прямой АВ,
и точки С', О’ определяем как симметричные точкам С,
О относительно произвольной точки О", лежащей на
прямой СО. Доказать, что объемы пирамид равны.
410. Доказать, что если 6 -ый, 1-ый, т-ый и п-ый члены
арифметической прогрессии составляют геометрическую
прогрессию, то разности / — к, т — /, п — т состав­
ляют геометрическую прогрессию.
411. Через вершину В прямого угла прямоугольного
треугольника АВС проведена прямая I, не пересекаю­
щая гипотенузы. Из вершин А, С опущены перпенди­
куляры АА\, СС1 на прямую I; точки Ах и Сх лежат
на прямой I. При каком значении угла <р = СВСх пло­
щадь трапеции АхАССх будет наибольшей?
Вариант 93
412. Два трактора разной мощности начали пахать поле
в 14 га в 7 час и кончили пахать одновременно.
Если бы первый трактор вспахивал в час на 0,1 га
больше, а второй начал бы работу на час раньше, то
работа была бы окончена на 1 час 12 мин. раньше.
Если бы второй трактор вспахивал в час на 0,1 га
больше, а первый начал бы работу на час раньше, то
работа была бы окончена на 1 час 4 мин. раньше.
В котором часу тракторы закончили работу?
413. Рассмотрим треугольную пирамиду АВСО, в которой
даны ребра АВ и СО и кратчайшее расстояние между
ними. При каком значении угла <р (между ребрами АВ
и СО) объем пирамиды будет наибольшим?
414. Дано: аи аг, . . . , ап — арифметическая прогрессия,
Ъ\, Ь2, . . , , Ь„ — возрастающая геометрическая про­
грессия, Ь1> 0 , л > 2 0 . Известно, что 620 = 0 2 0 »
621 = а 2 1. Доказать, что все остальные члены геометри­
ческой прогрессии больше соответствующих членов
т
арифметической прогрессии, т. е. Ьк ^>ак при любом к
(к Ф 2 0 , к Ф 2 1 ).
415. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник
АВС, катет которого равен 1. Прямая I проходит
через вершину прямого угла АВС и не пересекает
гипотенузу треугольника. Из точек А и С опущены
перпендикуляры А Ах и СС{ на прямую I. Фигура
А 1 АСС1 вращается вокруг прямой /. При каком зна­
чении угла <р = СВС1 объем тела вращения будет наи­
большим?
Вариант 94
416. 1-я и 2 -я трубы наполняют бассейн в 260 л, 3-я и
4-я — бассейн в 370 л. 3-я труба подает на 45 л в ми­
нуту больше, чем первая, а четвертая вдвое больше,
чем вторая. Все 4 трубы открываются одновременно;
1-я, 2-я, 4-я закрываются одновременно, но позже
третьей, которая действует 2 мин. При этом оба бас­
сейна оказываются наполненными. Все 4 трубы вместе
подают 200 л в минуту. Сколько времени действовала
1-я труба?
417. В треугольной пирамиде АВСИ даны два ребра
АВ = 8 см, СО = 1 2 см, кратчайшее расстояние
с1 — 6 см между прямыми АВ и СО и объем пирамиды
V = 48 см3. Определить угол между АВ и СО.
418. При каких о уравнение
ах2 + 2 а (а — 1)х + а — 1 = 0
имеет вещественные решения?
419. Построить равносторонний треугольник АВС, если
дана его сторона а и известно, что две стороны АВ,
АС и биссектриса АО проходят соответственно через
три данные точки М, N, Р, лежащие на одной прямой.
Вариант 95
420. На складе было некоторое количество угля. Один
завод начал вывозить уголь со склада с 1/IX по а г
в день, 2-й завод— начал с 10/1Х и вывозил по Ь т
в день. К концухдня 25/1Х на складе осталась поло­
вина первоначального количества угля. Какого числа
весь уголь был вывезен, если оба завода получили
угля поровну?
67
421. В треугольной пирамиде АВСБ даны два ребра
АВ — 6 см, С й = 8 см, угол между ними ф = 60° и
кратчайшее расстояние между ними 5 см. Определить
объем пирамиды.
422. Решить неравенство
423. Построить равнобедренный треугольник ЛВС(4Вг=
= АС), если две его вершины В, С находятся на дан­
ной прямой I, вершина А находится на данной пря­
мой т, параллельной /, и стороны АВ, АС проходят че­
рез данные точки М и N.
Вариант 96
424. Расстояние между городами А и В пароход прохо­
дит по течению реки на час быстрее, чем он проходит
такое же расстояние в стоячей воде, и на 2*/2 час.
быстрее, чем против течения. За какое время пароход
проходит от Л до В по течению?
425. На диаметре круга радиуса Я построены два круг?',
радиусов Я 1 и Яг (Яг + Яз — Я), касающиеся друг
друга внешним образом и данного круга изнутри.
Определить радиус круга, касающегося всех трех дан­
ных кругов.
426. Доказать, что если все двугранные углы треуголь­
ной пирамиды равны между собой, то все ее ребра
также равны между собой.
427. Решить систему
К )1+!в<2*+у) = 2 ,5 ,
У 2 х + у + 2 У 4л? — у2 = 4 + 2у.
Вариант 97
428. В 9 час. утра велосипедист выехал из пункта А
в пункт В. Проехав 1/ 3 пути, он встретил другого
велосипедиста, выехавшего из В в 8 час. 24 мин.
Доехав до В, 1-й велосипедист повернул обратно,
а 2-й, доехав до А, повернул обратно и встретился
с 1-м на полпути между Л и В. Оба ехали без оста­
новок, каждый со своей скоростью. Когда 1-й вер­
нулся в Л?
58
429. Дана окружность у и точка А вне ее. Построить
окружность с центром в точке А, пересекающую
окружность 7 под углом 30°.
430. Через вершину А куба, вписанного в шар, радиуса /?,
проведена плоскость, линии пересечения которой с гра­
нями куба, проходящими через ребро его АВ, состав­
ляют с этим ребром углы, равные а (а < 4 5 °). Найти
площадь поверхности наименьшего шарового сегмента,
отсекаемого данной плоскостью.
431. Решить систему:
| / Т + 2 у = 2 ,
(2х + Ау) 3* = 72.
Вариант 98
432. Из пункта А по реке вышла лодка в сторону пунк­
та В, а через полчаса — катер. Через 10 мин. катер
догнал лодку и перегнал ее. Как только катер прибыл
в В, оттуда вышел пароход, который встретился с лод­
кой на полпути между А а В. Лодка прибыла в В
через 2 час. после прибытия парохода в А. Сколько
часов шла лодка из Л в В?
433. Доказать, что отрезки прямых, соединяющие сере­
дины противоположных ребер треугольной пирамиды,
пересекаются в одной точке.
434. Двугранный угол между боковыми гранями правиль­
ной четырехугольной пирамиды равен у. Найти отно­
шение полной поверхности пирамиды к поверхности
равновеликого ей шара.
435. Решить систему:
(х — у)1в(*+1.5)==о,2; 1г<х_т^2х + 3 = 0,1.
Вариант 99
436. Три печатные машины различной производительности
должны отпечатать некоторое количество книг; 2 -я ма­
шина, работая одна, могла бы выполнить весь заказ
на несколько часов быстрее, чем 1-я, а 3-я — на столь­
ко же часов быстрее, чем 2 -я. 1-я и 2 -я машины
вместе выполнили бы заказ за 24 час., а 1-я и 3-я
вместе — за 15 час. За сколько часов выполнят заказ
все три машины, работая вместе?
437. Правильный треугольник, площадь которого равна в,
повернут вокруг центра на угол а (0 < а < 120°).
Определить площадь общей части начального и конеч­
ного положений треугольника.
438. Доказать, что если противоположные ребра треуголь­
ной пирамиды попарно перпендикулярны, то все высо­
ты ее пересекаются в одной точке.
439. Решить систему
У х + у + У 2 х + 4у = У~2 + 4,
У х + 2у — У 2х + 2у = 2 У ~2— 2 .
Вариант 100
440. За 2,4 м ткани 1-го сорта, 3,6 м 2-го сорта и 4,8 м
3-го сорта заплатили 103 руб. 20 коп.; за 3,2 м
1-го сорта, 4,8 м 2-го сорта и 2,4 м 3-го сорта за­
платили 105 руб. 60 коп. Сколько надо заплатить за
1,8 м 1-го сорта, 2,7 м 2-го сорта и 7 м 3-го сорта?
441. Найти длину приводного ремня, натянутого без
перекрещивания на шкивы радиусов г и Р , лежащие
в одной плоскости, расстояние между центрами кото­
рых равно й(с1^> г + Р).
442. Дана плоскость Р и вне ее отрезок АВ. Каково
геометрическое место точек плоскости Р, из которых
отрезок АВ виден под прямым углом?
443. Решить систему
(х* — у*)'*<*-у> = 0 ,1 ,
(*2 + 2 ху + у г) '8 (хг~у2) = 10000.
Вариант 101
444. Два поезда отправляются одновременно навстречу
ДРуг Другу из Москвы и Тулы и каждый едет с по­
стоянной скоростью. Первый поезд в х час. проезжает
все расстояние от Москвы до Тулы, а второй поезд
за у час. — расстояние от Тулы до Москвы. В пути
они встречаются за т час. до приезда первого поезда
в Тулу и за п час. до приезда второго поезда в Москву.
Доказать, что х : у = У ~т : У п .
445. Решить систему уравнений
агссоз ^ 1 + ^ = 0 , *8 У ^ = 1.
60
446. Найти коэффициент при х8 в разложении
(1 + х + х* + х8)*.
447. В треугольнике АВС дано отношение
1$А-Л%В-Л&С= 1 :2 :3 .
Найти синусы этих углов.
448. Центры четырех шаров находятся в вершинах квад­
рата со стороной а. Радиус каждого шара равен -Ц-.
Найти радиус круглого цилиндра, ось которого пер­
пендикулярна к паре параллельных сторон квадрата
и образует с плоскостью квадрата угол я, если из­
вестно, что этот цилиндр касается всех четырех шаров
и проходит между шарами.
Указание: рассмотреть проекцию в плоскость, перпендикуляр­
ную оси цилиндра.
Вариант 102
449. Некоторая сумма денег была положена в банк. По
истеченцр 8 месяцев за счет начисления процентов
сумма увеличилась на 240 руб., а через 15 месяцев
от начала вклада общий процентный прирост суммы
составил 471 руб. 60 коп. Сколько было положено
денег в банк и сколько процентов платит банк в ме­
сяц, если в течение года проценты начисляются на
вклад, а в следующем году на вклад, увеличенный за
счет процентов, начисленных в конце предыдущего
года?
450. Решить уравнение
51П X + СОЗ X —|— 51П 2х = 1 + У 2 .
451. При каких значениях а и а многочлен х3 + ах-)-1
делится на (х — я)2 нацело?
452. В треугольнике АВС медианы, проведенные из вер­
шин А и 'В , пересекаются в точке О под прямым
углом. Найти отношение площади треугольника АОВ
к площади треугольника АВС.
453. Центры трех шаров расположены в вершинах пра­
вильного треугольника со стороной а. Радиус каждого
шара равен — . Найти радиус круглого цилиндра, ось
61
которого перпендикулярна к одной из сторон треуголь­
ника и образует с его плоскостью угол о, если
известно, что этот цилиндр касается всех трех шаров
и проходит между ними.
Указание: рассмотреть проекцию в плоскость, перпендикуляр­
ную оси цилиндра.
Вариант 103
454. По окружности в одном направлении едут три вело­
сипедиста, каждый со своей скоростью. Они выехали
одновременно из точек А, В , С этой окружности. За
один час первый из них проехал дугу АВС, второй—
дугу ВС А и третий — дугу САВ. Продолжая движение,
первый достиг В через 56 мин., второй достиг С через
50 мин., а третий через час не доехал 8 км до А.
^ о ^
Найти длины дуг АВ, ВС и С А.
455. Внутри треугольника АВС взята произвольная точ­
ка О. Через точку О проведены прямые, параллельные
сторонам треугольника: ЕК параллельна ВС, РМ
параллельна АС, Т Х параллельна А В. Точки Е и Р
лежат на стороне АВ, точки К и Т — на стороне АС,
точки М и X — на стороне ВС. Доказать, что
АР . В Х . СК - 1
АВ + В С + С А ~ Ь
456. Стороны основания треугольной пирамиды равны
10,4 см, 11,2 см, 12 см\ все боковые ребра равны
7,5 см. Найти высоту пирамиды.
457. Найти все решения системы
51П (2х у) — 0,
51 п (х + 2у) = 0,
заключенные между 0Р и 180°.
Вариант 104
458. Два охотника идут навстречу друг другу с одинако­
вой скоростью. От первого охотника ко второму беэйит
собака. Добежав до второго охотника, она поворачи­
вает обратно и бежит к первому, затем опять ко вто­
рому и опять обратно к первому (без остановок и
с постоянной скоростью). Первый раз собака пробежала
62
туда и обратно за 9 мин., второй раз — за 4 мин.
Во сколько раз скорость собаки больше скорости
охотника?

459. Найти радиус шара, описанного около треугольной
пирамиды, одно из ребер которой равно с, а каждое
из пяти остальных равно 2с.
460. Доказать, что проекция куба на плоскость, перпен­
дикулярную одной из его диагоналей, является пра­
вильным шестиугольником.
461. Решить^ систему уравнений
х + у = 4, х4 + у 4 = 4 4 ^ .
Вариант 105
462. От деревни А до станции В—Ю км. Два человека
должны попасть т А в В. Их вызвался подвезти
третий человек, имеющий мотоцикл. Но он может
взять лишь одного пассажира. Ради экономии времени
поступили так: мотоциклист с одним пассажиром
выехал из Л и одновременно с ними пешком отпра­
вился второй человек. Не доезжая станции В, первый
человек слез с мотоцикла и отправился дальше пешком,
а мотоциклист поехал обратно, встретил второго,
посадил его на мотоцикл и поехал с ним на станцию.
Туда он прибыл одновременно с первым. Оба человека
шли с одинаковой скоростью. Скорость мотоцикла
в 10 раз больше скорости человека. Найти, на каком
расстоянии от В мотоциклист высадил первого чело­
века.
463. В основании треугольной пирамида с высотой Н
лежит равнобедренный треугольник со сторонами, рав­
ными а, а в с. Основание высоты пирамида лежит
внутри основания пирамиды. В пирамиду вписан ци­
линдр так, что одно его основание лежит на основа­
нии пирамцды, а окружность другого касается всех
трех боковых граней. Диаметр основания цилиндра
равен его высоте. Найти высоту цилиндра.
464. Правильный тетраэдр спроектирован на плоскость,
параллельную двум его несмежным ребрам. Доказать,
что в проекции получится квадрат.
465. Доказать, что 3 $ т х + 4со$х ни при каких ж не
бывает больше 5.
63
Вариант 106
466. На железной дороге станция В расположена между
станциями Л и С. Со станции В одновременно выхо­
дят два поезда. Первый поезд направляется в С,
а второй — в Л. По прибытии в А второй поезд стоит
5 мин., затем отправляется обратно и без остановок
приходит в С. Скорости обоих поездов одинаковы.
Из пункта /С, находящегося между станциями А и В,
выходит пассажир, которому нужно попасть в С. Он
может дойти пешком до Л и сесть в первый поезд
или дойти до станции А и сесть во второй поезд. Во
втором случае он может выйти на полчаса позже, но
при этом попадет в С на 12 мин. позднее (считается,
что пассажир приходит на станцию к моменту отхода
поезда). От К до А— 10 мин. ходьбы. Определить,
сколько времени нужно потратить на ходьбу от К
до В.
467. В треугольнике АВС сторона ВС равна 48 см, радиус
описанного круга равен 30 см. На сторонах АВ и АС
взяты точки К и Л, расстояние между которыми равно
28 см. Найти радиус круга, описанного вокруг тре­
угольника АКБ.
468. Дана треугольная пирамида КАВС, в которой ребра
К А, КВ и КС попарно перпендикулярны,
АВ = ВС = х , ВК = у.
Найти радиус вписанного в пирамиду шара.
469. Доказать, что
У/ 7 + ]/5 0 — ] / у 5 0 — 7 = 2.
Вариант 107
470. Два конькобежца выбегают одновременно: первый
из Л в Л, второй из Л в Л, и встречаются на рас­
стоянии 300 м от Л. Пробежав дорожку АВ до кон­
ца, каждый из них поворачивает назад и встречает
другого на расстоянии 400 м от Л. Найти длину
дорожки АВ.
471. Решить систему уравнений
1 ё а х + 1ё а * У = С,
— 1 У
х * + а Т = 2а с.
64
472. В треугольной пирамиде 8 АВС ребро ЗА , равное а,
перпендикулярно к основанию АВС; АВ — АС; дву­
гранный угол при ребре 5Л равен а, а при ребре ВС
равен р. Найти радиус вписанного шара.
473. Решить уравнение
2 з ш З х — с о зЗ х = Зсозх.
Вариант 108
474. Автобус курсирует между городами Л и В, расстоя­
ние между которыми равно 40 км. Велосипедист,
выехав из А в В одновременно с автобусом, встретил
этот автобус, возвращающийся из В в Л, через
2
1 час. 36 мин., а через 10 ^ км после встречи автобус
обогнал велосипедиста по пути от Л к В. Найти ско­
рости велосипедиста и автобуса, пренебрегая временем
стоянок последнего.
475. Решить систему уравнений
1&, *!& >?= 1& А
476. В треугольной пирамиде 8АВС ребро ВС равно а;
АВ = АС; ребро З А перпендикулярно к основанию
ЛВС; двугранный угол при ребре.5Л равен а, а при
ребре ВС равен р. Найти радиус описанного шара.
477. Решить уравнение
з т х = 1§2л:.
Вариант 109
478. Из города Л в город В, отстоящий от Л на 300 км,
выезжает автомобиль. Одновременно из В в Л выез­
жает второй автомобиль, который встречается с пер­
вым на расстоянии 120 км от Л. Первый, доехав до В,
сразу выезжает обратно в Л, а второй остается в Л
один час .и затем, выехав в В, встречается с первым
через 3 час. 36 мин. после выезда из Л. Найти ско­
рость каждого автомобиля.
479. Решить систему уравнений
1 &>'Х + Ч Уа = \,
а'е ^ У= х* .
3 Зак. 3478 65
480. В треугольной пирамиде 8АВС ребро 8С равное /
наклонено к основанию АВС под углом а; двугранный
угол при этом ребре равен (3, а при ребре АВ — пря­
мой; 8А = 8В; АС = ВС. Найти радиус вписанного
шара.
481. Решить уравнение:
ЗШ3 X 51П Зх С053 XСОЗ ЗХ — 0.
Вариант. 110
482. Из пункта А в пункт В, находящийся на расстоянии
105 км от А, выходит автобус. Через 1/2 час. вслед
за ним из А выходит автомобиль, который, догнав
автобус, поворачивает обратно и возвращается в А
в тот момент, когда автобус приходит в В. Скорость
автомобиля равна 40 км/час. Найти скорость автобуса
и расстояние от А до места нагона.
483. Решить систему уравнений
1в«* + 1в«*У = 1,
Ь1«У Т'г* + х >==2а.
484. В треугольной пирамиде 8 АВС высота, опущенная
из вершины 5 на основание АВС, равна И; <5/4 = 8В;
АС = ВС; ребро 5С наклонено к грани А8В под уг­
лом а; двугранный угол при ребре 8С' равен р, а при
ребре А В — прямой. Найти радиус описанного шара.
485. Решить уравнение
соз 4х 4 - 51П2 Зх — 1.
Вариант 111
486. Два тела А и В, находясь первоначально друг от
друга на расстоянии 20 м, начали одновременно дви­
гаться в одну и ту же сторону. Скорость тела А
в первую секунду равна 25 м, а в каждую следующую
секунду возрастаёт на 1/ 3 м\ скорость тела В в пер­
вую секунду равна 30 м, а в каждую из следующих
секунд на 1/а м меньше. В начале движения тело А
находилось позади тела В. Через сколько секунй
тело А догонит тело В ?
487. В треугольной пирамиде ОАВС все плоские углы
при вершине О — прямые и длины ребер, выходящие из
этой вершины, ОА — а, ОВ = Ь, ОС — с. Определить
66
высоту к пирамиды, опущенную из вершины О на
грань АВС.
488. Из точки А к окружности с центром О радиуса г
проведены касательные А В и АС, образующие угол а.
Определить площадь фигуры, ограниченной этими ка­
сательными и большей из двух дуг, на которые окруж­
ность разбивается точками касания.
483. Решить систему уравнений
490. Смешали некоторое количество руды, содержащей
72% железа, с некоторым количеством руды, содер­
жащей 58% железа» и получили руду, содержащую
62% железа. Если бы для смеси взяли каждой руды
на 15 кг больше, то получили бы руду, содержащую
63,25% железа. Определить вес каждой из взятых
для смеси руд.
491. В треугольной пирамиде О АВС все плоские углы
при вершине О — прямые и длины ребер, выходящих
из этой вершины, суть О А = а, ОВ = Ь, ОС — с. Опре­
делить радиус шара, описанного около этой пирамиды.
492. Из точки А, лежащей на окружности с центром О
радиуса г, проведены две. равные хорды АВ и АС,
образующие угол а. Определить площадь фигуры,
ограниченной хордами АВ и АС, и той из двух дуг,
определяемых точками В и С на окружности, которая
не содержит точки А.
493. Найти действительные решения системы уравнений
У ^ У + У У3 х = 78,
* > 0 , у > 0 .
Вариант 112
У х + у + У 3 + 7у — у*
16 10 = 1.
У х А-У V 61 — (2 у—7)2
67
Вариант И З
494. Пешеход отправляется из пункта А по направлению
к пункту В. В то же время из пункта В в пункт А
выезжает велосипедист. Через 50 мин. они встрети­
лись, после чего пешеход прибыл в пункт В на 4 час.
позже, чем велосипедист в пункт А. Какова скорость
пешехода и велосипедиста (в км/час), если расстояние
между пунктами Л и В равно 15 км?
495. В правильной треугольной пирамиде ОАВС все пло­
ские углы при вершине О— прямые и длины боковых
ребер О А = ОВ = ОС =?а. Определить радиус шара,
вписанного в эту пирамиду.
496. Середины смежных сторон правильного л-угольника
соединены отрезками. Найти отношение площади по­
лученного л-угольника к площади первоначального.
497. Решить уравнение
2х — 1§ (52* + 4х — 16) = 1§ 4*.
Логарифмы считаются десятичными.
Вариант 114
498. Курьер, выезжающий из города А, должен успеть
в город В через 5 час. В то же время другой курьер
выезжает из города С и, чтобы успеть в город В
в одно время с первым курьером, должен проезжать
каждый километр на I1/* мин. скорее, чем первый.
Расстояние от С до В на 20 км больше расстояния
от А до В. Определить последнее.
499. В правильной трехугольной пирамиде ОАВС все
плоские углы при вершине О — прямые, а длины боко­
вых ребер О А — ОВ = ОС = а. Определить ребро куба,
вписанного в эту пирамиду так, чтобы одна из вер­
шин куба совпадала с вершиной О пирамиды, три
ребра куба, выходящие из вершины О, шли по реб­
рам пирамиды, а вершина М куба, противоположная
вершине О, находилась на грани ЛВС пирамиды.
500. Круг радиуса г обложен снаружи л равными круга­
ми, каждый из которых касается данного круга и
двух соседних с ним кругов. Определить отношение
радиусов этих Кругов к радиусу данного круга.
 

 

Категория: по математике | Добавил: Админ (16.02.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar