Задача №5406

Ответы к сборнику задач по математике Моденов (Часть 3)

Поиск задачи:

Здесь представлено решение задачи по математике. Если у вас возникли сложности в решении то вы можете воспользоваться ответами которые размещены на данной странице. Вы конечно можете не согласиться с ответами, но данная информация размещена с целью ознакомления. Списывать с ответов или решать самому выбирать вам. Данная задача по теме
Решение задачи:

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Условие задачи:

Ответы в самом низу встроенного документа

501. Решить уравнение
( У 2 + У $ ) Х + ( ] / 2 - У з ) х = 4.
68
Вариант 115
502. Водоем А наполняется через трубу 1, водоем В — через
трубу 2. Кроме того, по трубе 3 вода может перетекать
из Л в В. Пропускная способность труб 1 и 2 одина­
кова. Водоем В наполняется одной трубой 2 за 30 мин.,
водоем А наполняется за 2 час., если открыть трубы
1 и 3. Если начать наполнять водоем А трубой 1 при
закрытых трубах 2 и 3, а, когда водоем А заполнится
наполовину, открыть все
трубы, то водоем В запол­
нится через 50 мин. после
начала наполнения водоема
А. За сколько времени на­
полнится водоем А трубой
1 при закрытой трубе 3?
503. Найти отношение площади
поверхности куба к площа­
ди поверхности прямого
кругового конуса, вписан- Черт. 1
ного в этот куб таким обра­
зом, что его вершина совпадает с вершиной куба,
центр основания совпадает с центром куба, а окруж­
ность основания касается граней куба.
504. Дана прямоугольная трапеция АВСО, у которой
^ С — ^ В = 90°, АВ — 2СО. На отрезке СП, как на
основании, построена прямоугольная трапеция ПСЕЕ,
расположенная вне первой трапеции и подобная ей,
причем ^ Е П С = ВВП = 90° и П С > Е Е . Точка Е
соединена с точками Л и В (черт. 1). При условии,
что треугольник АВЕ — правильный, найти отношение
площади четырехугольника ЕВСР к площади трапе­
ции АВСО.
505. Решить уравнение
з т х ~ з1п * — 1 = с1§2 х.
Вариант 116
506. Имеется 3 сосуда. В первом сосуде находится 5 л
20 %-ного раствора кислоты, во втором— 9 л воды и в
третьем — некоторое количество раствора этой же ки­
слоты. Из первого сосуда взяли один литр раствора,
69
перелили во второй сосуд и размешали. Затем взяли
1 л получившегося во втором сосуде раствора и пере­
лили в третий сосуд. После размешивания из треть­
его сосуда взяли 1 л и перелили во второй сосуд.
Наконец после размешивания перелили 1 л из второ­
го сосуда снова в первый. После этого
в первом сосуде оказался 18 % -ный раствор.
Затем содержимое всех трех сосудов
слили вместе и размешали. При этом
получился 412/3%-ный раствор. Какова
была концентрация в третьем сосуде?
607. Четыре шара с одинаковыми радиуса­
ми равными /? расположены так, что
каждый касается трех остальных. Найти
радиус шара, касающегося всех четырех
шаров.
608**. В равнобедренный треугольник с
основанием равным а и высотой равной
к вписаны две окружности так, что одна
касается всех сторон треугольника, а
другая касается боковых сторон и пер-
Ч ерт. 2 вой окружности. Центр малой окруж­
ности и точки касания большой окруж­
ности с боковыми сторонами треугольника соединены
между собой отрезками. Получается треугольник
(черт. 2). При каком отношении с к Л этот треуголь­
ник будет правильным?
Вариант 117
509. Имеются 2 чана, расположенных один над другим.
В первый чан, расположенный выше, поступает вода
через трубу А; из первого во второй вода может пере­
ливаться по трубе В; наконец, из второго чана вода
выливается через трубу С. Известно, что через трубу
А при закрытой трубе В первый чан наполняется
за 3 час. и через трубу В при закрытой трубе А он
опорожняется за 5 час. Если при пустых обоих ча­
нах открыть все три трубы, то за 7 час. наполнится
один из чанов. Если наполнить первый чан, а второй
оставить пустым и после этого открыть трубы В и С
(при закрытой трубе А), то полностью оба чана опо­
рожнятся за 6 час. Какой из чанов больше и во
сколько раз?
5 1 0 . В правильный октаэдр с ребром- равным а вписан
шар. В этот шар вписан правильный октаэдр, в ко­
торый снова вписан шар, затем в последний снова
вписан октаэдр и *
т. д. Найти сумму
объемов первых де­
сяти шаров, пострр-
енных таким образом.
511. В правильном тре­
угольнике АВС каж ­
дая из сторон разде­
лена на три равные
части: сторона АВ
— точками ^ и Е,
сторона ВС — точка­
ми Р и О, сторона С А
— точками Н и /. Че­
рез Ь, М и N обозна­
чены соответственно
точки пересечения пар прямых
АО и ВН (черт. 3). Найти
Д ЬМЫ к площадй А АВС.
512. Решить уравнение
Ч ерт. 3
В1 и СИ, АР и СЕ,
отношение площади
(1§ х)с0$,*= (с!§ х)*1п х.
Вариант 118
513. Пешеход движется по шоссе со скоростью 5 км
в час. По шоссе в обе стороны с одинаковой скоро­
стью4 движутся автобусы, выходящие из конечных
пунктов через равные промежутки времени. Пешеход
подсчитал, что.за 2 час. число автобусов, попавших­
ся ему навстречу, оказалось на 4 больше, чем число
обогнавших его автобусов. При этом, когда пешеход
начал отсчитывать эти 2 час,, около него как раз
встретились 2 автобуса, идущие в противоположных
направлениях (их он еще не Чучитывал), а когда кон­
чил, то около него также встретились 2 автобуса
(эти автобусы были последними, которые он посчи­
тал). Пассажир, едущий в автобусе, замечает, что
встречные автобусы попадаются каждые 5 мин. Како­
ва скорость автобуса?
71
614. Найти площадь поверхности шара, описанного около
треугольной пирамиды со сторонами, соответственно
равными 1 см, 2 см, 10 см, 10 см, 10 см, 10 см.
615. В круг радиуса К вписана трапеция так, что рас­
стояние от центра круга до одного из ее оснований
вдвое меньше соответствующего расстояния до друго­
го основания. Найти периметр трапеции, если изве­
стно, что один из ее углов равен 60°.
516. Найти решения уравнения
4 соз (1о«г, *) — 4 со в* (1ое, VI) ] _ о,
меньшие 1000.
Вариант 119
517. Два самолета одновременно вылетают навстречу
друг другу из городов Л и В, расстояние между ко­
торыми равно I км. Через час после вылета они встре­
тились и, не останавливаясь, продолжали свой путь,
причем первый прибыл в город В на 1 мин. рань­
ше, чем второй в город Л. Найти скорости самоле­
тов.
518. Из вершины О куба выходят два луча, образующие
с ребрами куба, выходящими из этой вершины, уг­
лы «1, Рь Т1 и, соответственно, а2, (32, у* Опреде­
лить косинус угла между ними.
519. Решить систему
2х* = у* -Ь г4, хуг = 8,
зная, что логарифмы 1§у х, 1§г у, \§х г образуют гео­
метрическую прогрессию.
520. Решить уравнение
с1§® х б созес 2х — 8 созес3 2х — 0.
Вариант 120
521. В приемные устройства двух автоматов по расточке
поршневых колец (разной конструкции) было засы­
пано одинаковое количество, а именно, по N колец.
Через час после включения второго автомата выяс­
нилось, что первый выдал на р колец больше второ­
го. Автоматы, не останавливаясь, продолжали работу
до тех пор, пока у каждого из них не истощился’за-
пас колец, причем было установлено, что первый ра­
ботал на Т мин. меньше второго. Сколько колец в ми­
нуту вырабатывал каждый из них?
522. Зная длины а, Ь, с проекций трех ребер куба, вы­
ходящих из одной вершины на произвольную пло­
скость, определить углы между этими проекциями.
523. Найти сумму х5 + х ~ 5, зная, что х + х г 1 = к.
524. Решить систему
. 2 51П X п
х + у = - о — ----------= 2. 7 3 51ПУ
Вариант 121
525. Из двух точек А и В окружности радиуса Я, на­
ходящихся друг от друга на расстоянии р (вдоль
кратчайшей дуги АВ), одновременно в одну и ту же
сторону-вылетели два тела так, что двигались по окруж­
ности с постоянной (для каждого тела своей) ско­
ростью. Через I мин. после вылета одно из них на­
гнало другое и, не останавливаясь, оба продолжали
свой путь пока не закончили его в исходных точках,
одно на к мин. раньше другого. Найти скорости
этих тел.
526. Из вершины О куба выходят два луча, образующие
с ребрами куба, выходящими из этой вершины, уг­
лы <хь рь у 1, и, соответственно, а2, р2, Тг- Определить
косинус угла между проекциями этих лучей на ка­
кую-нибудь грань куба.
527. Найти положительные корни системы уравнений
Х 2 у 2 = Зхуг, у2 + г2 = 4хуг, г2 + х2 = Ьхуг.
528. Решить уравнение
8 $т * = - ^ - + - Д - .
соз х з т х
Вариант 122
529. На эскалатор метро длиной в Ь м спешили два
пассажира. Один взошел первым. Он стоял на эска­
латоре и спустился на т м вниз (считая вдоль эскала­
тора) пока на эскалатор не взошел второй пассажир.
Этот шел (с постоянной скоростью) и через I мин. после
вступления на эскалатор нагнал первого. Не останав­
ливаясь, он прошел дальше и пробыл на эскалаторе
на 5 мин. меньше первого. Найти скорости обоих пас­
сажиров относительно туннеля.
73
630. Диагональ прямоугольного параллелепипеда обра­
зует с двумя его ребрами, выходящими из конца диа­
гонали, углы аир. Определить косинус двугранного
угла между плоскостями, каждая из которых прохо­
дит через диагональ и одно из указанных ребер па­
раллелепипеда.
631. Решить уравнение
1§а ах \%х ах =
где а > 0.
532. Решить уравнение
5 з т 2 х— 1 2 ( з т х — созх) + 12 = 0.
Вариант 123
533.** Для перелета по прямой из города А в город В
и обратно в безветренную погоду самолету потребо­
валось в а раз меньше времени, чем для такого же
перелета при наличии ветра, дувшего под углом 45°
к прямой АВ. Во сколько раз скорость самолета от­
носительно воздуха больше скорости ветра?
534. Решить уравнение
С053 X 51П 3* 4- 81 п® хсоз Зх = —■. 4
535. Даны три одинаковых окружности, каждая из ко­
торых касается двух остальных. В часть плоскости,
расположенную между этими окружностями, вложен
равносторонний треугольник так, что каждая его сто­
рона касается некоторой окружности, причем точками
касания являются вершины треугольника. Вычислить
отношение радиуса каждой из данных окружностей
к стороне треугольника.
536. Известно, что для арифметической прогрессии а 1г
$т т* . а 2.. •., ак, . .. имеет место равенство = — (зА — сум­
ма первых к членов прогрессии). Доказать, что — =

2 т — 1
“ 2 л — 1 *
74
537. Карманные часы идут быстрее, чем будильник. При
проверке в некоторый момент времени выяснилось,
что карманные часы отстают на а мин. от будильни­
ка. Если бы будильник шел на одну минуту в сутки
быстрее, чем он идет на самом деле, то первое сов­
падение показаний обоих часов (считая с момента
проверки) наступило бы на Т час. раньше, чем это
случилось на самом деле. Найти время, прошедшее от
момента проверки до первого совпадения показаний
обоих часов.
538. Решить уравнение
81П 2х — 81П X — С08 X — 1.
539. Даны шесть шаров одного и того же радиуса, каж­
дый из которых касается четырех остальных так, что,
соединив их центры отрезками, мы получим октаэдр.
В часть пространства, расположенную между этими
шарами, вложен куб таким образом, что каждая его
грань касается некоторого шара своим центром. Вы­
числить отношение стороны куба к радиусу данных
шаров.
540. Даны арифметическая и геометрическая прогрессии
с положительными членами. Первые члены этих про­
грессий совпадают и вторые — тоже. Доказать, что
всякий другой член арифметической прогрессии не
больше соответствующего члена геометрической про­
грессии.
Вариант 125
541. На разных берегах канала с постоянным течением
воды имеется две пристани Л и В, расстояние между
которыми в два раза больше ширины канала. Для
поездки напрямик из А в В и обратно катеру потре­
бовалось в к раз больше времени, чем для такой же
поездки по неподвижной воде. Найти отношение ско­
рости течения к скорости катера в неподвижной воде.
542. Решить уравнение
2со з2 х со зх — 8 со5»х + 7 со5х = 1.
543. Вершины правильного шестиугольника являются
центрами одинаковых окружностей, каждая из кото­
рых касается двух соседних. В части плоскости, рас-
Вариант 124
75
положенной между этими окружностями, лежит пра­
вильный шестиугольник так, что каждая его сторона
касается некоторой окружности, причем точками ка­
сания являются вершины шестиугольника. Вычислить
отношение стороны шестиугольника к радиусу окруж­
ностей.
544. Пусть числа аи а2, . . ., а * ,.. . составляют геометри­
ческую прогрессию. Зная суммы 5 = аг + а2+ . . . -|-ап
и Т = — + — + найти произведение
Р = 01 й2 . . . Оп.
Вариант 126
545. Лодка по реке прошла г<уть от пункта А до пунк­
та В с помощью мотора. Обратный путь был пройден
по течению на веслах, причем скорость на веслах от­
носительно неподвижной воды в р раз больше скоро­
сти течения воды в реке. Лодка находилась в пути
из Л в В и обратно к час. Если бы она из Л в В
шла на веслах, а из В в Л — с помощью мотора, то
на весь путь было бы затрачено Т час. За какое
время течение могло бы пригнать лодку из В в Л?
546. Решить уравнение
з т х + з т 2х + з т Зх = 1 4 - созх + соз 2х.
547. Даны четыре шара одного и того же радиуса, каждый
из которых касается трех остальных. В части про­
странства между этими шарами лежит правильный
тетраэдр так, что каждая его грань касается некото­
рого шара своим центром (точка пересечения медиан).
Вычислить отношение радиуса данных шаров к ребру
тетраэдра.
548. Доказать, что для членов аг, а2, . . . , а„ арифме­
тической прогрессии всегда выполняется равенство
Вариант 127
549. По окружности длиною 720 см движутся равномер­
но с одинаковой скоростью и в одном направлении
несколько точек, находящихся на одинаковом рассто­
янии одна от другой. Наблюдатель, стоящий у окруж­
ности, отмечает, что промежуток времени между про­
хождением мимо наблюдателя двух соседних точек
равен 10 сек. Если бы точек было двумя больше, а
скорость каждой из них на 6 см меньше, то мимо
наблюдателя они проходили бы через тот же проме­
жуток времени. Сколько точек находится в движении
и какова их скорость?
550. В правильной пирамиде с квадратным основанием
через сторону основания проведено сечение перпенди­
кулярно к противоположной боковой грани. Найти
площадь сечения, зная длину бокового ребра равную
Ь и угол а наклона боковой грани к основанию.
Выяснить условие возможности построения сечения.
551. Отношение двух углов треугольника равно 2 , а раз­
ность противоположных им сторон равна 2 м; третья
сторона равна 5 м. Найти длины сторон треугольника.
552. Решить систему уравнений
1 0 2 -1 8 <*-у> = 2,5,
1§ (* — У)— 2 1 § 2 = 1 — 1б(* + У)-
Логарифмы считаются десятичными.
Вариант 128
553. Два поезда отправляются одновременно из Л и В
навстречу друг другу. Скорость первого поезда на
10 км/час больше скорости второго. Оба поезда встре­
чаются на расстояний 28 км от середины АВ. Если
бы первый поезд отправился из А на 45 мин. позже
второго, то оба поезда встретились бы на середине АВ.
Найти расстояние А В и скорости обоих поездов.
554. В правильной треугольной пирамиде сторона осно­
вания равна а, а плоские углы при вершине равны а.
Найти радиус, шара, вписанного в пирамиду.
555. Около окружности с В = Ю см описана равнобоч­
ная трапеция. Расстояние между точками касания
77
боковых сторон равно 16 см. Найти площадь трапеции.
556. Решить систему уравнений
У ху (У~К -}• У у) = 6 ,
х + У = 9.
Вариант 129
Б57. Поезд через два часа после отправления со станции А
останавливается на один час, а затем продолжает
путь со скоростью, меньшей на V» первоначальной
скорости, и вследствие этого прибывает на станцию В
с опозданием на 37г час. Если бы остановка про­
изошла на 180 км далее, то поезд прибыл бы в В
с опозданием лишь на I 1/* час. Определить расстоя­
ние АВ.
658. В правильной четырехугольной пирамиде даны бо­
ковое ребро Ь и угол а между противоположными
боковыми ребрами. Найти площадь сечения, проведен­
ного через, вершину основания перпендикулярно к про­
тивоположному боковому ребру. Выяснить условие
возможности построения сечения.
Б59. Два круга данных радиусов В. и г касаются в точ­
ке С. К ним проведена общая внешняя касатель­
ная АВ, где А и В — точки касания. Вычислить пло­
щадь треугольника АВС.
560. Решить систему уравнений
У х + у — У х — у — а (а > 0 ),
У х + У + V % — У =-• Ь2
(Ь — действительное число).
Вариант 130
561. По окружности длиною 540 см движутся в одном
направлении равномерно две точки. Определить ско­
рости движения точек, если известно, что одна из них
пробегает окружность на 9 сек. скорее другой и что
через каждые 108 сек. положения точек совпадают.
562. В треугольной пирамиде боковые грани составляют
с плоскостью основания равные углы а. Определить
площадь основания, если полная поверхность пира­
миды равна
78
563. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого
угла отсекает на гипотенузе отрезки ряд. Найти
длину этой биссектрисы.
564. Решить систему уравнений
Зз1п X + СОЗ у _ |
258**1* * + соз*у 5 ^
Вариант 131
565. Известно, что 'число А в т раз меньше разности
чисел В я С, число В в п раз меньше разности чи­
сел Л и С, а число С в три раза больше разности
чисел А я В. Найти зависимость между т и п.
566. Высота правильной треугольной пирамиды равна Ь.,
а угол между боковыми гранями равен <р. Определить
объем пирамиды.
567. Решить уравнение
1о§ СОЗ X з т * + 1о§8,п * соз х + 2 = 0 .
Вариант 132
568. Артель рабочих прорывает канаву в 14 дней. Если
бы в артели было на 4 человека больше и каждый
работал бы на 1 час в день больше, то та же работа
была бы выполнена в 10 дней. При увеличении же
артели еще на 6 человек и рабочего дня еще на 1 час
вся работа была бы закончена в 7 дней. Сколько
человек было в артели и сколько часов в день они
работали?
569. Грани правильной усеченной треугольной пирамиды
касаются шара. Определить, отношение поверхности
шара к полной поверхности пирамиды, если боковые
грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания
под углом а.
570. Решить уравнение
Л _______ 1 _ ____I______ 1_______ 1________1 3
з т 2* соз2* 1§2* с!§2* зес2* созес2*
Вариант 133
571. Три числа, образующие арифметическую прогрессию,
в сумме составляют 24. Если большее из чисел уве-
79
личить на 4, то эти числа будут составлять геометри­
ческую прогрессию. Определить эти прогрессии.
672. Стороны равнобедренной трапеции касаются кругло­
го цилиндра, ось которого перпендикулярна парал­
лельным сторонам трапеции. Найти угол, который
образует ось цилиндра с плоскостью трапеции, если
длины оснований трапеции равны а и Ь, а высота
трапеции равна Н.
573**. Решить уравнение
т т г / Ш - * (а>а4>0»'
Вариант 134
574. Найти четыре числа, из которых первые три со­
ставляют геометрическую прогрессию, а последние
три — арифметическую; сумма крайних чисел равна 14,
а сумма средних — равна 1 2 .
575. Шар радиуса К вписан в пирамиду, имеющую своим
основанием ромб с острым углом а. Двугранный угол
при основании пирамиды равен р. Определить объем
пирамиды.
576. Решить уравнение
Х2 + . 9*а = 7
+ (3 + *)2
Вариант 135
577. Найти первый член и знаменатель бесконечно убы­
вающей геометрической прогрессии, если известно,
что сумма ее членов равна 3, а сумма квадратов ее
членов равна 1 0 .
578. От правильной четырехугольной призмы с полной
поверхностью 8 плоскостью, проходящей через диаго­
наль нижнего основания и одну из вершин верхнего
основания, отсечена пирамида. Найти ее поверхность,
если угол при вершине треугольника, получающегося
в сечении призмы плоскостью, равен а.
579. Решить уравнение
1о§2 I 2х — 5 1 + 1о§2 1 ж + 2 0 1 = •щ~ 2 *
80
Вариант 136
580. Число членов геометрической прогрессии четно. Сум­
ма всех ее членов в три раза больше суммы членов,
стоящих на нечетных местах. Определить знаменатель
прогрессии.
581. Квадрат АВСО расположен в плоскости ф, накло­
ненной к плоскости Р под углом <р. Сторона АВ обра­
зует с плоскостью Р угол а. Какой угол 0 образует
с этой плоскостью сторона АО.
582. Решить уравнение
х — 2 У х — 1 + 2 + 2 = 0 .
Вариант 137
583. Два самолета вылетают одновременно из пункта А,
летят с разными, но постоянными скоростями в пункт В
и, достигнув его, немедленно поворачивают обратно.
Первый самолет, обогнав второй, встречает его на
обратном пути на расстоянии а км от В, затем, до­
стигнув А и снова повернув обратно ж В, он встре­
чает второй самолет, пролетев расстояние, составляю­
щее расстояния от А до В. Найти расстояние от А
до В.
584. В конус вписан шар радиуса г. Найти объем конуса,
если известно, что плоскость, касающаяся шара и
перпендикулярная к одной из образующих конуса,
отстоит от вершины конуса на расстоянии й.
585. Решить уравнение
• ! . 1ов1 (I + *) — 1°е. *—5" 1°г. (*■ + 2* + 2)
(т )
Вариант 138
586. Два поезда выезжают одновременно из пунктов А
и В навстречу друг другу и встречаются на расстоя­
нии р км от В. Через 1 час. после встречи второй
поезд, миновав пункт А, находился в <7 км от него,
а первый в это время, миновав пункт В, находился
от второго поезда на расстоянии в два раза большем,
чем расстояние между пунктами А и В. Найти ско­
рости поездов и расстояние между А и В.
81
587. Через одно из ребер основания правильной треуголь­
ной пирамиды со стороны основания а проведена
плоскость перпендикулярно к противолежащему боко­
вому ребру, делящая это ребро в отношении т : а.
Определить полную поверхность пирамиды.
588. При каком значении т уравнения
2 ха — (3 т + 2 ) х + 12 = О,
4ха — (9т — 2) х + 36 = О
имеют общий корень?
Вариант 139
589. Имеются три слитка золота, пробы которых соответ­
ственно таковы: 0,800; 0,720 и 0,450. Если сплавить
вместе первый и третий слитки, то получим слиток
с пробой 0,695; если же сплавить два последних слитка
и прибавить 24 г чистого золота, то получим слиток
с пробой 0,600. Наконец, если сплавить все 3 слитка,
то получим слиток пробы 0,700. Каков вес каждого
слитка?
590. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды,
сторона основания которой равна й, а плоский угол
при вершине равен углу наклона бокового ребра
к плоскости основания.
591. Решить уравнение
Вариант 140
692. Найти арифметическую прогрессию, у которой сумма
любого числа членов, начиная с первого, в два раза
меньше квадрата числа взятых членов.
693. На высоте конуса, как на диаметре, описан шар.
Определить объем части шара, заключенной внутри
конуса, если известны высота конуса к и угол <р между
образующей конуса и плоскостью его основания.
594. Решить уравнение
82
V 3 1о§2 (— х) = 1о§2 V л2-
Вариант 141
595. Две бригады школьников сажали фруктовые деревья.
В первой бригаде было на 3 человека меньше, чем
во второй, но каждый посадил на 2 дерева больше,
чем во второй бригаде. В результате обе бригады по­
садили по 180 деревьев. Сколько школьников было
в каждой бригаде?
596. Плоскость, проходящая через центр шара, вписан­
ного в прямой круговой конус и параллельная осно­
ванию его, делит объем конуса пополам. Под каким
углом наклонены образующие этого конуса к плоскости
основания?
597. Решить систему уравнений
1о§з (1о§2 ) + 1о§_^ ^1ой_1_ у ^ = 1,
ху 2 = 4.
Вариант 142
598. На протяжении 36 м переднее колесо экипажа де­
лает на 20 оборотов больше заднего. Если окружность
переднего колеса увеличить на 6 дм, а окружность
заднего уменьшить на 6 дм, то на том же протяже­
нии переднее колесо сделает на 8 оборотов больше-
заднего. Найти длины окружностей обоих колес.
599. Боковые ребра правильной четырехугольной пира­
миды наклонены к основанию под углом а; апофема
пирамиды равна т. Найти объем конуса, описанного
около пирамиды, и его полную поверхность.
600. Решить систему уравнений
X + У + X2 + у 2 =» 8 ,
ху + х2 + у2 = 7.

Вариант 143
бр|» Полная поверхность прямоугольного параллелепипе­
да равна 192 см2; если уменьшить каждое из ребер
на 1 см, то полная поверхность уменьшится на 70 см2.
Найти длину диагонали параллелепипеда.
602. Основанием конусов, вписанных в сферу радиуса Я ,
служит круг, площадь которого равна одной двенад-
83
цатой площади поверхности этой сферы. Найти объемы
обоих конусов.
603. Решить систему уравнений
20х1ое‘ у + 7 у10** * = 81 уН},
ху = 9
Вариант 144
604. Из пункта М в пункт N вышел товарный поезд.
Спустя 5 час. 5 мин. из N в <Л4 вышел пассажирский
поезд. Оба поезда встретились в пункте А. От А до N
товарный поезд шел 12 час. 55 мин., а пассажир­
ский от А до М шел 4 нас. 6 мин. Сколько времени
употребил каждый поезд на прохождение всего пути
между М и Ю
605. Через ребро основания правильной четырехугольной
пирамиды проведена плоскость, отсекающая от противо­
положной грани треугольник с площадью вь Найти
боковую поверхность пирамиды, отсеченной плоско­
стью от данной пирамиды, если боковая поверхность
данной пирамиды равна 48.
606. Решить уравнение
1_ 1_
4 * + 6 * = 9 *.
Вариант 145
607. Определить бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию, в которой второй член равен 6 , а сумма
членов равна г/8 суммы квадратов ее членов.
608. Правильная шестиугольная пирамида пересечена
плоскостью, параллельной боковой грани и проходя­
щей через центр основания; сторона основания равна а;
апофема пирамиды равна к. Найти площадь сечения.
609. Решить уравнение
_ ^
2 (2>Л* + з)Т * — ^ “у О в - 0 .
Вариант 146
610. Самолет летит из А в С по ломаной АВС; угол В
прямой. Остановка в В длится столько же, сколько
путь от В до С. Одновременно с первым из А вылетел
84
второй самолет, скорость которого вдвое меньше. Он
летел по прямой АС без остановок и прибыл в С
одновременно с первым. Какую часть пути АС проле­
тел второй за время остановки первого в В ?
611. В треугольной пирамиде ОАВС все плоские углы
при вершине О прямые, а перпендикуляр, опущенный
из вершины О на грань АВС, образует с ребрами ОА,
ОВ и ОС углы соответственно равные а, р, у и имеет
длину к. В эту пирамиду вписан куб так, что одна
из вершин куба совпадает с вершиной пирамиды О,
три ребра куба, выводящие из этой вершины, идут
по ребрам пирамиды, а вершина М куба противопо­
ложная О лежит на грани АВС. Вычислить длину
ребра куба.
612. Решить систему уравнений
у/Гх + 2у = 2, (2х + 4у) 3* = 72.
Вариант 147
613. По окружности длиной 384 м равномерно движутся
в одном направлении две точки. Одна из них обходит
окружность на 16 мин. скорее другой, и при этом
движущиеся точки совпадают между собой каждые
32 мин. Найти скорости движения точек.
614. Решить неравенство
!§<* + 1)*(* + 3 ) > 1 .
615. Пуеть в треугольнике АВС угол А прямой, а угол В
меньше 45°. Найти угол В, если известна длина с ка­
тета АВ и расстояние т между центром О описанной
окружности и основанием Н высоты, опущенной на
гипотенузу. При каком условии задача разрешима?
616. В тетраэдре (треугольной пирамиде) ОАВС ребра
ОА, ОВ, ОС попарно перпендикулярны. Найти длины
ребер ОВ и ОС, если известна длина а ребра ОА,
площадь 8 треугольника АВС и объем V рассматри­
ваемого тетраэдра. При каком условии задача разре­
шима?
617. Решить систему уравнений:
8ш - ^ - = 1, | * | + |у | = &
85
618. Сосуд объемом 30 л наполнен спиртом. Из него
отливают некоторое количество спирта в другой сосуд
такого же объема и, дополнив остальную часть вто­
рого сосуда водой, дополняют этой смесью первый
сосуд. Затем из первого сосуда отливают 12 л полу­
чившейся там смеси во второй, после чего в первом со­
суде оказывается на 2 л спирта меньше, чем во втором.
Сколько отлито первоначально спирта из первого
сосуда во второй?
619. Найти сумму всех различных чисел, которые можно
получить из числа 22 731, переставляя в нем цифры
всевозможными способами.
620. В треугольнике АВС разность углов В и С равна
*1Г
Найти угол С этого треугольника, зная, что
а
сумма сторон б и с равна к, а высота, опущенная из
вершины А, равна к. При каких условиях решение
возможно?
621. АСБ и ВСИ — два. равнобедренных треугольника
с общим основанием СЬ = 2 а. Вычислить радиус сферы,
описанной около тетраэдра АВСБ, если известно, что
грани треугольников АСО и ВС О взаимно-перпенди­
кулярны, а ребра АС, А й , ВС, В Б равны между
собой и имеют длину равную Ь.
622. Найти все значения т, при которых уравнение
81П2Х + 4 51П х + т = 0
имеет решение. Найти эти решения.
Вариант 149
623. Катер переплывает реку, двигаясь по прямой, перпен­
дикулярной к берегу. Если собственную скорость
катера уменьшить вдвое, то время переправы увели­
чится в т раз. Во сколько раз собственная скорость
катера больше скорости течения реки. При каких т
решение возможно?
624. Найти все действительные значения х, при кото­
рых выполнено неравенство
1 — V 1—8 x2 ^ ,
Вариант 148
2х <
86
625. В треугольнике ЛВС даны радиус /? описанной
окружности, угол А и известно, что высота А А ’
равна 7?. Вычислить углы В я С. При каком условии-
решение возможно?
626. В тетраэдре (треугольной пирамиде) ОАВС ребра
предполагаются ^неограниченно продолженными во всех
направлениях. Пусть р — плоскость, параллельная гра­
ни АВС; Р, 0. и # середины ребер ВС, СА и АВ; А ',
В ', С' — точки пересечения плоскости р с ребрами О А,
ОВ, ОС или с их продолжениями. При каком поло­
жении плоскости р прямые А Р, В'О, С 'В параллель­
ны между собой?
627. Найти все значения т, при которых уравнение
С054Х — 6 С052Х + т2 = О
имеет решения. Найти эти решения.
Вариант 150
628. Три трактора разной производительности вспахивают
два поля разной величины. Один третий трактор мо­
жет вспахать второе поле на 3 час. быстрее, чем первый
вспашет первое поле, нр на 2 час. медленнее, чем
второй может вспахать первое поле. Первый и второй
тракторы вместе могут вспахать первое поле на 6 час.
быстрее, чем третий вспашет второе поле. За сколько
часов третий трактор вспашет второе поле?
629. Доказать, что если действительные числа х, у,
г (х ф 0, у ф 0, гф О ) удовлетворяют соотношениям
х + у + 2 = х у г и х2 — уг, то х 2 >• 3.
630. Вычислить углы -В и С треугольника, если даны
длина а стороны ВС, угол Л и высота к, опущенная
из А на ВС. При каком условии решение возможно?
631. Ребро 5 Л тетраэдра (треугольной пирамиды) 5 ЛВС
перпендикулярно плоскости грани ЛВС; треуголь­
ник ЛВС прямоугольный (угол В равен 90°) и 5 Л =
= АВ = ВС. Вычислить внутренний двугранный угол
с ребром ВС.
632. Доказать, что, если | з т х | = | к з т у |, где | к | < 1, то
произведение з т (х + у) з т (х — у) не меняет знака.
Вариант 151
633. Два сосуда Л и В содержат одинаковое количество
воды. В сосуд Л вливается литр спирта, после чего
87
литр смеси выливается в сосуд В; затем из сосуда В
выливается рдин литр смеси, после чего в сосуде В
остается 0,16 л спирта. Определить, сколько воды
было в сосуде А вначале.
634. Доказать, что если х, у, г действительные числа,
удовлетворяющие равенствам
х + у + г = 5, уг + гх + ху = 8,
то
635. Даны длины б и с сторон треугольника АВС и
известно, что разность углов В я С равна 90°. Вы­
числить длину стороны ВС.
636. В пространстве даны 5 точек А, В, С, О, Е, из
которых никакие 4 не лежат в одной плоскости.
Пусть Р — середина АЕ\ Р ’ — середина СВ\ С — точ­
ка пересечения медиан треугольника ВСО, а (}' —
точка пересечения медиан треугольника А В Е . Дока­
зать, что отрезки РС1 и Р'<2' пересекаются. В каком
отношении делит их точка пересечения?
637. Доказать, что
а • 2х + Ь • 3 ^ + 1 < .У * * + & + 1 ]/а 2 + б2 + 1,
где 0, 0. При каких значениях х и у имеет
место знак равенства?
Вариант 152
638. Пусть ах, о2, а3, . . . ,а п — некоторая перестановка
из чисел 1, 2, 3 , . . . , п. Рассмотрим всевозможные
пары чисел:
(пх, Ох)» (ах, Из), *.., (ах, а„)}
(а2, йз), . . . , (а2, а,),
(ап—1, а„).
Числом инверсий в перестановке аъ а2, а5, . . . ,а п на*
зывается число тех из указанных пар, в которых боль­
шее число предшествует меньшему. ГТодсчйтать сумму
чисел инверсий во всех перестановках из чисел 1 , 2 ,
3, . . . , IX.
639. Решить неравенство
У х -{- 6 > У х + 1 + у~2х — 5.
88
640. В. треугольнике АВС даны угол А, противополож­
ная ему сторона а и опущенная на нее из вершины А
высота равная -Ц-. Вычислить углы В и С. При каком
условии задача разрешима?
641. и О2 — две данные точки пространства. Найти
геометрическое место окружностей, по которым пере­
секаются сферы с центрами в этих точках, при условии,
что сумма поверхностей этих сфер равна данному
числу к.
642. Найти все значения т, при которых система/
$ т х с о з 2 у = т 2 - |- 1, с о з х з т 2 у = З т
разрешима, и решить эту систему.
Вариант 153
643. В бассейн проведены 4 трубы. Когда открыты 1-я,
2 -я и 3-я трубы, бассейн наполняется за 1 2 мин.; когда
открыты 2-я, 3 -я и 4-я трубы — за 15 мин.; когда
открыты только 1-я и 4-я трубы — за 20 мин. За .какое
время наполнится бассейн, если открыть все 4 трубы?
644. Доказать,, что при любом целом « > -0 число 4я +
+ 15л — 1: а) делится на 3, б) делится на 9.
645. Внутри угла А дана точка М. Провести через М
прямую / так, чтобы она отсекала от заданного угла
треугольник наименьшей площади. Указать способ
построения прямой /.
646. В правильную треугольную усеченную пирамиду
вписан шар радиуса г, касающийся всех 5 граней
пирамиды; боковое ее ребро равно стороне меньшего
основания. Найти объем этой усеченной пирамиды.
Вариант 154
647. Пять человек выполняют некоторую работу. Первый,
второй и третий, работая вместе, могут выполнить
эту работу за 71/* час*; 1-й, 3-й и 5-й — за 5 час.; 1-й,
3-й и 4 -й — за 6 чГас.; 2-й, 4-й и 5-й — за 4 час. За
какое время выполнят эту работу все 5 человек,
работая вместе?
648. Дано, что — + 4 г — = — -Д —;— , Доказать, что а Ь с а + Ь + с
тогда сумма некоторых двух чисел из а, Ь и с обя­
зательно равна нулю.
649. Точки А, В ,.С и И лежат на некоторой окружности
(в порядке обхода против часовой стрелки). Найти
геометрическое место точек касания окружностей,
проходящих через А, В и соответственно, С, И.
650. Найти сторону куба, вписанного в правильную тре­
угольную пирамиду, сторона основания которой рав­
на а, а боковое ребро Ь. Четыре вершины куба лежат
на основании пирамиды, четыре другие — на боковых
гранях.
Вариант 155
651. Сосуд снабжен 4 кранами. Если открыты все 4 кра­
на, сосуд заполняется жидкостью за 4 час.; 1-й, 2-й,
и 4-й краны заполняют его за 5 час., а 2-й, 3-й и 4-й —
за 6 час. За какое время заполнят сосуд 1-41 и 3 -й
краны?
652. Найти такое трехзначное число аЬс, чтобы четырех­
значные числа аЬс\ и 2аЬс удовлетворяли равенству
аЬс\ = 3 • 2аЬс.
653. Дана прямоугольная трапеция с высотой Н. На
наклонной боковой стороне, как на диаметре, строится
полуокружность и оказывается, что она касается верти­
кальной боковой стороны. Вычислить площадь прямо­
угольного треугольника с катетами, равными основа­
ниям трапеции.
654. От правильной треугольной призмы АВС А ’В'С плос­
костью А ’ВС отрезана пирамида. В оставшееся тело
вписан шар, касающийся всех, его пяти граней. Радиус
шара равен г. Найти объем призмы.
Вариант 156
655. Первый раствор содержит 6 % (по весу) вещества А,
16% вещества В и 4% вещества С, второй раствор
соответственно 15%, 9% , 10%, третий 3%, 5%
и 2% . В каком отношении надо смешать эти раство­
ры, чтобы получить раствор, содержащий 1 2 % ве­
щества А, 1 0 % вещества В и 8 % вещества С?
90
656. Решить уравнение
з т 2лг + з т 2х з т 4х + . . . + 51П пх з т п2х = 1 .
657. Сторбны а, Ь и с треугольника лежат, соответствен­
но, против угов Л, В и С. Доказать, что биссектриса
угла А
о*. А 2Ьс соз
Ьа== Ь + с *
Пользуясь этой формулой, доказать, что треугольник
с двумя равными биссектрисами равнобедренный.
658. В треугольной пирамиде боковые ребра равны а, Ь
и с, а все плоские углы йри вершине прямые. Найти
сторону куба, вписанного в пирамиду так, что одна
из его вершин совпадает с вершиной пирамиды, а
противоположная вершина лежит на основании.

Глава II
УПРАЖНЕНИЯ, ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ К ПРОГРАММЕ
ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ
В ВЫСШИЕ УЧЕБНЫЕ ЗАВЕДЕНИЯ
* I + I* — о 1 + IУI =
* | + 1у | = 1 ;
2 у = 4;
§ 1. Действительные и комплексные числа
1. Сформулировать и доказать правило обращения перио­
дической десятичной дроби в обыкновенную.
2 . Дать определение функции у = а*.
3. Сформулировать определение абсолютной величины
(или модуля) действительного числа.
4. Построить графики линий, заданных следующими
уравнениями:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8 ) ||х — 1| — 1 1 = 1111У| — 3 1 — 1| — 1 ;
9) Доказать,что 2 |у — г \-\-\2 х— у — г — | у—г |Ц -
+ \2х — у — г + \у — г || = 4 (т а х (х , у, г) —
— т т ( х , у , г)},
92
1 | + | 2 у + 1 | + ^ = | * |
х \ + \ у \ + ^ = { \ х — у \ + \ х + у \ } = У 2 + 1;
У 2
- | у | | = 1;
+ 1|у| — 31 — 3 | = 1 ;
где шах {х, у, г } означает наибольшее из чисел
х, у, г, а пип {х, у, г } наименьшее из этих чисел,
б. Что называется арифметическим значением У а, где а —
действительное положительное число? _
Доказать, что арифметическое значение У а2, где а
действительное число равно |а |.
6. Введем следующее обозначение
1, если а > 0 ;
з § п а = — 1, если о < 0 ;
0, если а = 0
(з§па читается так: «сигнатура а»).
Доказать, что
|а | = а-з§па,
У а2 = а -щ па,
1 ° | 11 / , А\ = 8 §п а (если а Ф 0).
7. Доказать, ,что:
1) (соз а + / з т а) (соз Р + * з т (3) = С08 (а + Р) +
+ I 5Ш (а + Р),
с о з а - М з т а . .. . . . . ..
2) р- ' . о = соз (а — 6) + I эго (а — Р),
' СОЗ Р + I 81П Р ' Г/ ' Г/
3) (соз а + / 81 п а)" = соз па + / з т па
(п — целое число; применить метод полной ин­
дукции для п — целого положительного).
8. Найти все п значений
У с о з а + г з т а ;
как располагаются на плоскости точки, соответствую­
щие этим значениям корня?
9. На плоскости построены две точкиМ х(хх,у ^ и М 2(х2,у*),
соответствующие комплексным числам гх — х х + «>1 и
г2 = х 2 + Где находится точка, соответствующая
числам:
1) 21 4 " 2 г>
2 ) у (*1 + г2);
3) ргх + яг2, где р <7 = 1 ;
93
4 ) р г 1 + <72ь где р + <7 = 1; р > 0, <7>0;
5) Р2х + <7г2 + /-23,
где р + <7 + г = 1, р > 0 , <7 > 0 , г > О;
6) г ;
7) 2 х (7х — комплексное число, сопряженное г*).
10. Выполнить указанные действия:
,ч 1 + / *§« .
; 1 — Й 8 * ’
оч Д + Ь1 .
' о — 6 « ’
4)
(1 + / ) 5 + 1
(1 + О9 .
(1 — /)7 ’
ч (-4 + ^ ) * ;
7) (а + Ы + се3)3 + (а + 6 б* + се)«,
1 . /^ З Г
где е = 2 + “ 2 “ *
И . Вычислить:
1) 1/ 2 /; 2 ) 1/ = 8 /; 3) / 3 ^ 4 7 ;
4) У — 15 + 8 /; 5) / — 3 — 4/; 6 ) У — 11 + 6(5/;
7) ] Л — / К З; 8 ) у ' ^ ’Т; 9) ^ 2 — /1 /1 2 .
12. Представить в тригонометрической форме следующие
комплексные числа:
1)1; 2 ) — 1 ; 3 ) /; 4 ) - / ;
5)1 + /; 6 ) — 1 + /; 7) — 1 — *; 8 )1 + / / 3 ;
9 ) — 3; 10)3 + 4/; 11)3 — 4/; 1 2 )— 3 + 4/;
13) — 3 — 4/.
94
13. Найти геометрическое место точек, соответствующих
числам г, удовлетворяющих соотношениям:
1) 1*1 = 2 ;
2) М < 2 ;
3) | г — 211 = 3 (21 — данное число);
4) | г — * |< 1 ;
5) | г — 2 1 1 = | г — г21 (21 и гг — данные числа);
15. Вычислить суммы:
А = С05Х + 2соз2х + Зсоз Зх + ... + йсозпх;
В — з т х + 2 з т 2х + 3 з т Зх + ••• + я х.
Указание: составить вы ражение А + Ы ; заметить, что для
вычисления сумм вида 1 + 2 а + За2 + ... + пап~~1 полезно это
вы ражение умножить на 1 — а.
П росуммировав таким образом А + Вг> отделить действительную
часть (это будет А ) от мнимой (коэффициент при % будет В).

16. Известно, что при 0 < + < имеют место сле­
дующие неравенства
(х выражен в радианах). Как надо вести вычисления
для того, чтобы быть абсолютно уверенным в размерах
допущенной погрешности? Провести такие вычисления
для
17. Известно, что величины х и у изменяются в пределах:
2,311 < х < 2,312,
3,501 < у < 3,502.
( к — данное положительное
число);
7) 12 — 2112 — | г — г212 = г I2 = к.
14. Вычислить
1 )^ Т ; 2 + 1 ; 3 + 3 + 4 1 .
В каких пределах будет изменяться выражение
ху — 2 х + У
х 2 — У + х
(см. предыдущую задачу).
18. Совершенным числом называется целое положитель­
ное число, равное сумме всех своих делителей (само
число исключается), например:
б == 1 — 2 —{— 3,
28 — 1 2 4 -{- 7 14, ...
— числа совершенные. Доказать, что если 2п+1 — 1 —
число простое (т. е. делящееся только на 1 и на само
себя, то 2Л (2й+| — 1) — число совершенное. Следует ли
отсюда, что множество совершенных чисел бесконечно?
19. Является ли соотношение
а' — а
определением или его можно доказать?
20. Какой принципиальный дефект имеет геометрическая
теория исследования системы двух линейных уравне­
ний с двумя неизвестными?
21. Дано: а > 0 , 6 > 0. Построить с помощью операций
сложения, вычитания, умножения и деления над чис­
лами а и Ь число 0 такое, что с < а и с < 6 .
22. Пусть точка г описывает окружность. Какую линию
при этом описывает точка
, 02 Ь
2 = С2 + ’
где , Ь, с, — данные комплексные числа, причем
ай — Ь сф 0.
23**. 1°. Доказать, что всякое простое число не равное 2
может быть представлено, и притом только одним
способом, в виде разности квадратов двух нату­
ральных чисел.
2°. Доказать, что всякое нечетное число, не являю­
щееся простым, может быть, вообще говоря, пред­
ставлено двумя способами в виде разности двух
квадратов натуральных чисел. В каких случаях
96
мы будем иметь исключение? Приложить к числам
25, 125, 225.
3°. Каково необходимое и достаточное условие, при
котором четное число может быть представлено,
по крайней мере, одним способом, в виде разности
двух квадратов натуральных чисел?
П р и л о ж е н и е. Представить всеми возможными
способами каждое из чисел 672 и 1344 в виде разности
квадратов двух натуральных чисел.
4°. Сколькими способами можно представить число
N = 2 п р*' ... р““ (Ръ Рг, .... рп — простые числа,
отличные от 2; т, аи а2 а„ — целые неотрица­
тельные числа) в виде разности квадратов двух
натуральных чисел?
§ 2. Преобразование алгебраических выражении
Будем называть формой однородный многочлен отно­
сительно входящих в него букв (например, 2 х + 3 у, х2+
+ 5 ху + у2, х8 — 3 х2у — формы, х2 + у — не форма).
Формы первой степени (2 х + 3 у , х — 5 у ,...) будем назы­
вать линейными, формы второй степени (х2 + 2ху + Зу2, ...)
квадратичными и т. д.
1. Разложить в произведение линейных форм относи­
тельно х и у следующие формы:
1) х8 у3;
2) х8— у3;
3) х4— у4;
4) х4 + у4;
5) х4 + х2 у2 + у4.
Упростить следующие выражения:
0 1 х2 + 1 2х(х3 + 1 ) — 2х(х2— 1) 1 2х
* 8 х8— 1 (х2+ 1 ) 2 4 1 + х4 *
3 1 (4х-Ь1-/5)[2х2+(!+/5)х-Ь21-(4х-Ц-Ь/б)12Х*-К1-/57х+21
* / 5 [2х3+ ( 1 - / 5 ) * + 2 ] [ 2л2+ ( 1 + / 5 ) ^ + 2 1
4 Зак. 3473 97
к 1 ___________ !___________ . [ ± л __________V
‘ |/5 ^ / ' 1 + 2х| 2 3 + х + 2 1^1 — х — х2
(1 (1 + х ) - ( З + х + 2 У \ - х - х 2)
ч, \ 1/1 — х — х2 )
X .
е. _ 5 + ^ у т + ^ у — 19+5лг+2л:* 2 “ 2*
-I- ^ -
У.2
12 у 1 -|-2х—х2
у ' - т
7. Л . — : = ! 1 1 '
3 , . \ У 2 + 2 * - *
У 1 1/з] + 1 ( 1 - д г ) К 2 ;
2 — 2х (\—х)У2 +1/2 /2+2х —х2 ч, 2 1/ 2 + 2х — х2
Л — — — — —————
2(1 — х) 2
1 У & — У 2 + 2х — х2. „
У 6 У (Г + / 2 + 2 х — х2
2 ~ 2Х ( У б — У 2 + 2х — х*) 2 У2 + 2х — х2
(/6 — К2 + 2х —х2 )2
2 —2х
, 2 1/ 2 + 2 х — х2
"7------
= ( /6 -ы /2 + 2х — х2)
( /6 — У 2 + 2х — х2)2
1 г - 1 - ( г + 1) 1 ]
X
2 + 1 (2 — I)2 2(1 + 2 *)
1 А_________
- ^ - ( 1 + ^ 4) 4 • 4л:4 — / 1 + л ?
X---------------------- * -------------------- ‘
У 1 + х4
где 2 = X
9. Исключить иррациональность в знаменателе:
п ----------_1-------- •
1 + У 2 — / 3 ’
2 ) ------з~ ------о ^ г ;
1 + / 2 + 2 / 4
3 ) ----------* ----- — .
1 — / 2 + [/2
1 0 . При каком условии х3+ рл +<7 делится на хя+ т х — 1.
1 1 . При каком условии л:4+ рл;2+ < 7 делится на х 2+ т х + 1.
1 2 . Выполнить деление (с остатком):
1) 4л:3 + х 2 на х + 1 + I.
2 ) л3 — х 2 — х на х — 1 + 2 /.
13. Разложить следующие выражения на линейные отно­
сительно х множители:
1) л3 — 6ха + 11х — 6;
2) л4 + 4;
3) х* + 4х3 + 4х2 + I;
4) х 4 — Юл:2 + 1.
14. Доказать, что один из корней уравнения
36л:3 — 12л:2 — 5лс + 1 = 0
равен сумме двух других и решить это уравнение.
15. Определить соотношение между р и </, при котором
корни уравнения х3 + рх + <7 = 0 связаны соотноше-
1 , 1 нием х 3 -------- . Х\ ха
§ 3. Уравнения. Неравенства. Функции и их графики
1. Доказать теорему. Если ах Ь%— а2 Ьх ф 0 , то система
ахх + Ь ху = сх, а 2 л: + 6 8у = са
4* 99
имеет, и притом только одно, решение. Найти это ре­
шение.
2 . Доказать теорему. Если агЬ«, — а^Ьу — 0 , но хотя бы
одно из чисел Ь2 — с2 Ь\ или # 1 с2— а 2 сх не равно
нулю, то система
агхЬгу = с1у а 2 х + 6 2у = с2
несовместна.
3. Доказать, что если а\Ь ъ— а%Ъ\ — с\ Ь% — с^Ьх — а ^ г —
— а 2С1 = 0 , но хотя бы одно из чисел аи Ьи а 2, 6 2
не равно нулю, то система
й1 Х-\-ЪхУ = си
я2 х -(- Ь2 у — с2
неопределенная, т. е. имеет бесконечное множество
решений. Найти все эти решения.
4. Доказать, что если а ф Ь , Ь.ф с, с Ф а , то существует
и притом только одна совокупность чисел А, В, С та­
ких, что имеет место тождество:
рх2 + дх + г А В С
(х — а )(х — Ь)(х — с) ~ х — а х — Ь х — с
(требуется выразить А, В, С через а, Ь, с, р, ^ и г),
5. Доказать, что если трехчлены х2+ р х + <7 и х2+ л х + з
с действительными коэффициентами имеют попарно раз­
личные мнимые корни, то существует, и притом только
одна, совокупность действительных чисел А, В, С, Р
таких, что
х3 + Ьх2 + с х 4 -й? _ Ах + В
(х2 + рх + д){х2 +• гх + 8) ~ X2 + рх + <7 +
Сх + Р
х2 + ас + з
(требуется выразить А, В, С, Р через р, <7, г, 5, Ь, с, Ф,
Ь, с, Л — также действительны).
6 . Подобрать числа А, В, С, Р так, чтобы имело место
тождество
(Ах + В )(х 2 — х У 2 + 1 ) +
4- (Сх + П )(х2 + х ] /Т - 1- 1) = 1.
Доказать, что такая совокупность чисел А, В, С, Р
единственна.
100
7. Доказать теорему. Если а, Ь, с, й — числа действитель­
ные, х — мнимое и
ах + Ь = сх + ё,
то а — с и Ъ — й. Верна ли эта теорема, если среди
чисел а, Ь, с, й есть мнимые?
8 . Доказать, что дробь
________ 2 х— 1________
х (х + I)8 (х8 + х + I)8
может быть представлена в виде:
4 - + ^ + т г 4 п г + в * + / г • х х + 1 (ж + I)2 х 2 + х -+- 1
+ - Р Л + Л (!)
^ (х 2 + х + I ) 2
(требуется найти А, В, С, Е, Р, О, Н). Доказать, что
система чисел, при которых данная дробь представима
в виде ( 1) — единственна.
Пусть XI и х 2 — корни уравнения
х2 + -рх + 9 = 0 .
Выразить через р, <7 и х следующие суммы:
1 1
1)
2)
"Т* 9
X ---XI X — Х2
XI *2 .
X — XI ' X — Х2 '
1
3) К . V . . . \Л Л \ л ЛО)~
1 0 . Доказать, что если р, <7, г действительн ее числа и
трехчлены х2 + Р* + <7 и х2 4 - рх + г имеют действи­
тельные корни, то и трехчлен ха рх -+-«, где 5 за­
ключено между <7 и г, также имеют действительные
корни.
1 1 . Дано, что сумма двух корней уравнения
х4 + ах3 + Ьх2 + сх + й = 0
равна сумме двух-других его корней. Доказать, что
тогда подстановкой х => у + а это уравнение при над­
лежащем выборе а приводится к биквадратному.
101
1 2 . Составить формулу для решения биквадратного урав­
нения х* + рх% + <7 = 0 (р и 7 — действительны), удоб­
ную для случая
^ - < 7 < 0 .
13. Решить уравнения:
1) х2 —■ (2 /) х (— 1 —|— 7/) == 0;
2 ) (2 -|- /) х 2 — (5 — I) х -I- 2 — 2/ = 0 ^
3) Xй -{- 6л? + 9л:2 + 100 = 0;
4) л:4 — 30л:2 + 289 = 0.
14. Исследовать расположение действительного числа X
относительно корней х г и л:2 уравнения
ах2 + Ьх + с = 0
(предполагается, что х\ и х2 действительны и различны,
а, Ь, с — действительны).
15. Пусть уравнение
х 3 + рх + <7 = 0 (р и <7 — действительны)
имеет действительные и попарно различные корни
Х1, Хг, х3. Исследовать расположение действительного
числа X относительно корней хи х 2, х3.
16. При каком условии оба корня уравнения л:2 + рх +
+ 7 = 0 (р и (/ — действительны) будут действительны
и по абсолютной величине меньше 1.
17. При каком условии модули обоих корней уравнения
х2 “I- рх -|- р = 0
(р и <7— действительны, но корни могут быть и мни­
мыми) будут меньше 1 .
18. Доказлть, что в области х < — ^ функция
у = ах2 + Ьх + с
(а, Ь, с — действительны и а > 0 ) — убывающая, а
в области х^> — ^ возрастающая, т. е.:
1\ ^ ^ Ь
1) если то
ах\ + Ъх% + с >• а х\ + Ьх2 + с;
102
2) есл и — 2 ^ < л ? 1 < ^ 2, то
ах\ Ьх1 ~}~с < ах 2 -I- Ьх% с.
19. Доказать, что при о > 0 функция / (х) = ах2 + 6 * + с
выпукла вниз, т. е.
/
/ XI + Хг \
I 2 )
<
а при а < 0 — вверх, т. е. имеет место обратное
неравенство. Дать геометрическую интерпретацию ре­
зультату.
20. Доказать, что функция
у = 1оёа х
при а > 1 выпукла вверх, т. е.
1^ *1 + *2 ^ Х2
ёа 2 2
Какой теореме арифметики соответствует это нера-
венство? Каков его геометрический смысл?
2 1 . Исследовать на возрастание и убывание, на выпук­
лость вверх и вниз функции:
1) /(х) = х3 + Зрх + ц, р Ф О,
2) / (х) = ах3 + Ьх2 + сх + д..
(во втором случае сделать предварительно замену
х = г + а и а выбрать так, чтобы выражение ах3 +
+ Ьх2 + сх + й перешло в выражение, не содер­
жащее г2).
2 2 . Решить неравенства:
1) х 2 — 5х + 6 > 0 ;
2 ) — х 2 — х + 2 < 0 ;
х ( х + 2 )
3)
4)
5)
6)
7)
8 )
(х — 1)(х + 3)
х4 > 1 ;
х 6 < 64;
X'
х 2 — 2х
х + 2
х — 1
<0;
,з > 2 7 ;
2[ < 1;
> 3 .
103
23. При построении графика параболы у — х2 мы рисуем
эту кривую выпуклостью вниз. Обосновать это ана­
литически, т. е. доказать, что для любых двух значе­
ний XI и х2 хорда М 1 М 2, соединяющая точки (хх, у!)
и М> (х2, у2). будет выше стягивающей ее дуги
(Ух = Хи Уг = *!)•
24. Доказать выпуклость вниз дуги гиперболы У =
при х > 0 в соответствии с определением выпуклости
вниз, данном в предыдущей задаче.
25. Доказать, что график функции
у = х2 + — ' х
при х > 0 будет иметь выпуклость вниз, т. е. любая
хорда этой линии будет выше стягивающей ее дуги.
26. Доказать, что при х > О
х2 ~1— 5— .
* ^ 2
27. Построить графики функций:
1 ) у = 2 х;
2) у = — Зх;
3) у = — х + 2 ;
4) у = 2х + 5;
6) У — 4-:
7) у = 2х2;
8 ) у = — х2;
9) у = 2х — х2;
1 0 ) у = 2 х + х2;
1 1 ) у = (х — З)2 + 2 ;
12) у = х2 + х + 1;
13) у = 1— х2;
* У ~ 1 с + Т ''
104
15>У = Т ^ г *
16^ = г ^
17) у = 1 + х*
}У 1 — х2 

 

Категория: по математике | Добавил: Админ (16.02.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar